7.2.3同角三角函数的基本关系式（教学课件，含交互动画）高一数学人教B版必修第三册

第3课时 同角三角函数的基本关系式 7.2 任意角的三角函数 第七章 三角函数 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握同角三角函数的两个基本关系式. 能够运用关系式进行已知一个三角函数值求其余两个（知一求二）、化简三角代数式、证明简单三角恒等式等运算 经历从单位圆定义出发，通过观察、猜想、推理构建知识的过程，体会数形结合与从特殊到一般的思想. 新课导入 同一个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系? 经过前面的学习，我们已经知道： 如果 是 终边上不同于坐标原点的点, 记 [邻比斜] [对比邻] [对比斜] 则： 正弦、余弦、正切间的关系 探究一：同一个角的三角函数 [邻比斜] [对比邻] [对比斜] ① 由勾股定理得： ②已知 将代入上式得 新知探究 一般情况下，可将以上两个关系组合成一个方程组，这样就可以 知一推二！ 知识小结 同角三角函数的关系式 平方关系： 商数关系 知一推二！ ①平方关系变形式： ②商数关系变形式： 即时训练 A 1．已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【分析】根据同角三角函数基本公式计算，即可“知一求二” 【详解】由题意得 所以. 知一求二 即知道一个三角函数 另外两个同角三角函数也可得出 提分笔记 例题讲解 例1 已知, 且是第二象限角, 求角的余弦和正切. 分析：利用的变形式求，关键在于根据象限判断符号(第二象限 . 解：由, 得, 所以. 因为是第二象限角, , 所以 , . 例题讲解 例2 已知 , 且 是第二象限角, 求角 的正弦和余弦. 【分析】将sin 和视为未知数，列方程组组求解. 解：由题意和同角三角函数的基本关系式, 有 由②得 , 代入①整理得 , 所以 . 因为 是第二象限角, 所以 , 代入②式得 例题讲解 例3 已知，求的值. 【分析】要结合同角三角函数的基本关系（平方和关系）联立方程求解. 解：由题意和同角三角函数的基本关系式，有 消去，得 解得 当时，可得，此时； 当时，可得，此时 例题讲解 例4 【分析】利用商数关系进行化简即可. 解：，则分母部分可化简为： 此时原式变为： 例题讲解 求证: （1） 例5 【分析】证明左边=右边即可，利用平方差公式 + 同角平方关系 证明： （1） 原式左边 因此 例题讲解 （2） 【分析】证明左边=右边即可，利用同角商数关系 + 平方关系 解：原式右边 因此 例题讲解 （ 方法一：【分析】利用作差法（证明差为0即可说明等式成立） 解：因为 所以 方法二：【分析】利用分式恒等变形（约分法） 解：由题知 ，因而 ，即 ，则 因此 新知探究 数学拓展 除了正弦、余弦与正切之外，数学中还有角的其他三角函数。 在终边上取不同于坐标原点的任意一点 ①称为的正割，记作 ②称为的余割，记作 ③称为的余切，记作 同样的，这些三角函数也有三角函数线. 点击以上图标，一起看看它们的三角函数线吧 数学拓展 新知探究 此外，我们发现这些三角函数与正弦、余弦、正切之间都有一定关系. 它们实际上分别是余弦、正弦和正切的倒数，即： ① ② ③ 2．若角为第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D．2 【分析】根据给定条件，利用同角公式计算作答. 【详解】角为第四象限角，且，则 所以. C 巩固提升 巩固提升 2.已知 ，，则 【分析】由 的值及 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 与 的值，代入原式计算即可。 【详解】， ， 则 巩固提升 3.已知，则（   ） A． B． C． D． 【分析】根据给定条件，可得，将切化弦，再利用齐次式法计算即可. 【详解】因为， 则，所以 则 所以． D 巩固提升 题3为正余弦齐次式的计算 提分笔记 已知角 的正切求关于 的齐次式的值的方法： ②若无分母时，把分母看作 1，并将 1 用 来代换，将分子、分母同除以 ，可化为关于 的式子，再代入求值. ①关于 的齐次式就是式子中的每一项都是关于 的式子且它们的次数之和相同.设为 次，将分子、分母同除以 的 次幂，其式子可化为关于 的式子，再代入求值. 巩固提升 5.求证: (1); 【分析】(1)利用平方差公式及 证明. 故 成立. 解：(1) 巩固提升 (2); 【分析】利用提取公因式及 证明. (2) 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! f(x) 同角三角函数几何意义 高中数学拓展课程 当前角度: 45° 弧度: 0.79π 选择函数解析 全景视图 基础函数 sin 正弦 sine 对边 / 斜边 cos 余弦 cosine 邻边 / 斜边 tan 正切 tangent 对边 / 邻边 拓展函数 cot 余切 cotangent 邻边 / 对边 sec 正割 secant 斜边 / 邻边 csc 余割 cosecant 斜边 / 对边 拖动圆点或空白处改变角度 请从左侧选择一个函数 查看详细几何定义 当前关系公式 \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) 课堂小结 同角三角函数的基本关系式 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 人教B版 · 必修三 核心公式与定义 1. 平方关系 sin2α + cos2α = 1 语言表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1。 变形公式： sin2α = 1 - cos2α cos2α = 1 - sin2α 2. 商数关系 tanα = sinα cosα 成立条件：角 α 的终边不在 y轴 上。 即 α ≠ kπ + π 2 (k ∈ Z) 常见陷阱与误区 ⚠️ 陷阱一：忽视“同角”前提 公式中的角必须是同一个角。 错误示例：sin2α + cos2β = 1 (❌) ⚠️ 陷阱二：开方时的符号判断 利用平方关系求值开方时，必须根据角 α 所在的象限判断三角函数值的符号。 若象限不明确，需要进行分类讨论。 ⚠️ 陷阱三：商数关系的定义域 使用 tanα = sinα / cosα 时，必须保证 cosα ≠ 0。 解题模型与技巧 🎯 知一求二 已知 sinα, cosα, tanα 中的任意一个，可求出另外两个。 思路：利用方程组思想，结合平方关系和商数关系求解。 🔄 “1”的代换 常数 1 可以灵活代换为 sin2α + cos2α。 应用：化简分式、因式分解或构造齐次式。 ⚖️ 齐次式处理（切化弦 / 弦化切） 对于关于 sinα, cosα 的齐次分式，分子分母同除以 cosnα，转化为关于 tanα 的式子。 a sinα + b cosα c sinα + d cosα → 分子分母同除 cosα → a tanα + b c tanα + d $