精品解析：哈尔滨市第四十七中学2025-2026学年下学期九年级中考二模数学试题

哈47中学2025-2026学年度下学期学情调研（二） 初四数学试题 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 2和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：A. 和互为相反数，故该选项正确，符合题意； B. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意； C. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意； D. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 2. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、积的乘方、同底数幂相乘及完全平方公式； 根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、同底数幂相乘的法则及完全平方公式逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，故本选项运算错误； B、，故本选项运算错误； C、，故本选项运算正确； D、，故本选项运算错误； 故选：C. 3. 如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．找到从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左面看得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形． ∴它的左视图是： 故选：C． 4. 据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”期间，国内游客出游人次，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 5. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是， 故选：C． 6. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 7. 按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得 ∴四边形是菱形，则， 又∵， ∴ 故选：D． 8. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键． 9. 如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，的度数为（ ）度． A. 22.5 B. 45 C. 30 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正多边形内角计算公式求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在，，之间三个阶段，用含x的代数式表示出的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可． 【详解】解：菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上， ，， ， ， ，，， 设直线的解析式为，将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为． 轴， N的横坐标为x， （1）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为， ， ， ， 该段图象为开口向上的抛物线； （2）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中，上的高为， ， 该段图象为直线； （3）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为， 由，可得直线的解析式为， ，， ， ， 该段图象为开口向下的抛物线； 观察四个选项可知，只有选项A满足条件， 故选A． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及坐标与图形，菱形的性质，二次函数、一次函数的应用等知识点，解题的关键是分段求出函数解析式． 二、填空题（每题3分共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求自变量的取值范围，根据二次根式的性质，被开方数必须为非负数，从而求解自变量x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 12. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】分解因式时，先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 【详解】解：． 13. 不等式组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分． 【详解】解得：， 解得：， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)． 14. 窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底．如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了概率公式，根据概率公式求解即可． 【详解】解：共有“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”三种窗格， 故选中“步步锦”的概率是， 故答案为：． 15. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键． 16. 观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则_________． 【答案】38 【解析】 【分析】结合图形寻找规律即可作答． 【详解】解：， ， ， ， 依次类推：， 当时， ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数上点的坐标特征是解题的关键． 先根据点的坐标求出反比例函数的解析式，再依次求出点、、的坐标，最后根据线段的长度等于点与点的纵坐标之差来求解． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴，即双曲线解析式为． ∵，且线段与坐标轴平行， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵的长度等于点与点的纵坐标之差， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先由S△PAB=S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值． 【详解】解：设△ABP中AB边上的高是h． ∵S△PAB=S矩形ABCD， ∴AB•h=AB•AD， ∴h=AD=2， ∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离． 在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4， ∴BE=， 即PA+PB的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题、三角形的面积、矩形的性质、勾股定理和两点之间线段最短的性质，其中得出动点P所在的位置是解题的关键． 19. 定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：①当时，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，证明，得到，即可求出的长；②当时，过点作交于点，由等角对等边得到，再证明，设，进而得出，，根据求出的值，即可求出的长；③当时，利用锐角三角函数，得出，，即此种情况不存在；④当时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 若为“反直角三角形”， ①当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②当时，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ； ③当时， ，，且， ， ， 若，则，即， 此种情况不存在； ④当时， 当点与点重合时，最小，此时， 同③理可证，此种情况不存在； 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 20. 如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论：①；②；③若，则；④．其中结论正确的序号是_____________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用正方形的性质证明，进而证明四边形是矩形，可得，即可判定②；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质可得，即可判定①；证明，再根据相似三角形的性质即可判定④，设， 根据勾股定理求得，根据③的结论求得，即可判断③． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即，故②正确； ∵，， ∴，故①正确； ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 设， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，故③不正确； 综上，结论正确的序号是①②④． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据特殊角三角函数值求得的值，代入计算可得． 【详解】 ， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值以及特殊角三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 22. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作锐角等腰，使点在格点上； （2）在图2中的线段上作点，使，并直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2），图形见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理以及锐角等腰三角形的定义画图即可； （2）利用小正方形的性质确定格点，再求出的长即可． 【小问1详解】 解：所作图形如图所示： 【小问2详解】 解：，所作图形如图所示： 令小正方形边长为， ， ， ，即， ， ． 23. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模具设计水平调查报告 【调查主题】 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平． 【调查目的】 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 【调查对象】 某校学生模具设计成绩． 【调查方式】 抽样调查． 【数据收集与表示】 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成四组（A：，B：，C：，D：）． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 【数据分析与应用】 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，在扇形图中，C组对应圆心角的度数为________． （2）请补全频数分布直方图． （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数． 【答案】（1）50；83.5； （2）见解析 （3）720人 【解析】 【分析】（1）先通过组的频数和扇形图占比求出总抽取人数；再确定各组频数，找到中位数对应的位置，计算其平均数，最后根据组频数占比求对应圆心角； （2）通过总人数减去其他组频数，得到B组频数，补全直方图； （3）先计算样本中成绩不低于分的比例，再用该比例估计全校对应人数． 【小问1详解】 解：总抽取人数：由扇形图知组占，组频数为， 故总人数名； 中位数：组人、组人，前个数据是组，第 、个数据在组，第个是，第个是，中位数分； C组圆心角：C组频数 ，占比，圆心角． 【小问2详解】 解：B组频数为 补全频数分布直方图如图： 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720． 【点睛】本题考查统计图表的综合应用，掌握频数与扇形图占比的换算、中位数的确定、圆心角的计算，以及用样本比例估计总体数量是解题的关键． 24. 如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，点为射线，的交点． （1）求证：； （2）若，，把绕点旋转，当时，直接写出的长． 【答案】（1）见详解 （2）和 【解析】 【分析】(1)由条件可知和均为等腰直角三角形，首先根据等腰直角三角形的性质证明，进而可得，最后证明即可； (2) 观察图形可知，在旋转过程中，时分为点E在线段上和线段的延长线上两种情况，首先画出图形，然后根据图形分别求解即可． 【小问1详解】 证明： 如图1，设交于点F． 和是等腰直角三角形， ． ， ，即， ， ． 在和中，， ； 【小问2详解】 解：①如图2，当点E在线段上时，． ， ． ∵ ，， ∴， ， ， ； ②如图3，当点E在线段的延长线上时，． 同理可得， ， ， ． 综上可知，的长为或． 25. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【答案】任务一：每个篮球元，每个排球元；任务二：购买篮球个，排球个，最节省费用． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 任务一：设每个篮球元，每个排球元，根据题意得，然后解方程组即可； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，费用为元，根据题意得，求出的取值范围，由，可得随的增大而增大，则当时，有最小值，从而求解． 【详解】解：任务一：设每个篮球元，每个排球元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个篮球元，每个排球元； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，总的费用为元， 根据题意得：， ∴且a为整数， ∴， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，为元，此时， 答：购买篮球个，排球个，最节省费用． 26. 如图1，在中，于，连接和，． （1）求证：； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在弧上，连接，连接交于，交于，，点为中点，连接并延长交于，连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，设，根据已知得出，，可得，根据等角对等边即可得证； （2）在上截取，连接，证明得出，根据三线合一的性质得出，进而得出结论； （3）先证明得出，证明是的直径，证明得出，，设，则，得出，，过点作于点，延长交于点，则四边形是矩形，则，根据得出，，进而求得，在中得出，结合已知得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图 设， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，在上截取，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ∴是的直径 ∵， ∴ ∴， ∵点为中点， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∴，， ∴， 过点作于点，延长交于点，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 27. 抛物线经过点， （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，过点作轴，交抛物线于点，连接，为线段上一动点，设点的横坐标是，直线交轴于点，连接，，的面积是，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，作于点，于点，是线段上的一点，连接并延长交抛物线于点，是线段上一动点，连接并延长交于点，若，，，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解； （2）求出直线的解析式，确定点坐标，利用轴对称得出点坐标，求出相关线段的长度，最后利用作差法表示出三角形面积； （3）过点作，交的延长线于点，根据面积确定，，，在上截取，连接，，将绕点顺时针旋转,利用半角旋转得出，然后求出相关直线的解析式，联立解析式求出相关点的坐标，最后利用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，，代入解析式得， ， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：假设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ， 当时，， ， ∴； ∵的对称轴为直线，点与点为对称点，且， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点作，交的延长线于点， 当时，， 解得， ∴，，， ∴，， 由，可得， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在上截取，连接，，将绕点顺时针旋转, ∴四边形是平行四边形，四边形为正方形， ∴,，，点旋转后的对应点为点， ∴， ∴根据旋转的性质可得，，， 即， 又∵， ∴， ∴， 假设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得或（舍去）， ∴，， ∴， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 假设直线的解析式为， 将，，代入解析式得， ， 解得 ∴， 联立 解得，， ∴， 根据勾股定理得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈47中学2025-2026学年度下学期学情调研（二） 初四数学试题 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 2和 D. 和 2. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”期间，国内游客出游人次，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 7. 按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 9. 如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，的度数为（ ）度． A. 22.5 B. 45 C. 30 D. 60 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围为__________ 12. 分解因式：___________． 13. 不等式组的解集是__________． 14. 窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底．如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是______． 15. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 16. 观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则_________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高______． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为______． 19. 定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________． 20. 如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论：①；②；③若，则；④．其中结论正确的序号是_____________． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作锐角等腰，使点在格点上； （2）在图2中的线段上作点，使，并直接写出的长． 23. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模具设计水平调查报告 【调查主题】 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平． 【调查目的】 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 【调查对象】 某校学生模具设计成绩． 【调查方式】 抽样调查． 【数据收集与表示】 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成四组（A：，B：，C：，D：）． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 【数据分析与应用】 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，在扇形图中，C组对应圆心角的度数为________． （2）请补全频数分布直方图． （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数． 24. 如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，点为射线，的交点． （1）求证：； （2）若，，把绕点旋转，当时，直接写出的长． 25. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 26. 如图1，在中，于，连接和，． （1）求证：； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在弧上，连接，连接交于，交于，，点为中点，连接并延长交于，连接，若，，求的长． 27. 抛物线经过点， （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，过点作轴，交抛物线于点，连接，为线段上一动点，设点的横坐标是，直线交轴于点，连接，，的面积是，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，作于点，于点，是线段上的一点，连接并延长交抛物线于点，是线段上一动点，连接并延长交于点，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $