2.4.2圆的一般方程 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.2　圆的一般方程 【学习目标】 1.掌握圆的一般方程，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径. 2.利用待定系数法求出圆的一般方程，并能分析条件，选择恰当的方程形式求圆的方程. 3.能用圆的一般方程解决一些实际应用问题． 【学习重难点】重点：待定系数法求圆的一般方程. 难点：与圆有关的轨迹问题. 【知识梳理】 1．圆的一般方程 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)叫做圆的一般方程．圆心为，半径为. 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心， 为半径的圆 说明：1．圆的一般方程形式上的特点(1)x2，y2的系数均为1；(2)没有xy项；(3)D2＋E2－4F>0. 2．在圆的一般方程中，系数D，E，F没有明显的几何意义，但配方后却有着明确的几何意义，表示圆心， 表示半径． 【概念辨析】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(　 ) (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．(　 ) (3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(　 ) (4)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心坐标和半径分别是(　 ) A．(－1,2)，3 B．(1，－2)，3 C．(－1,2)，1 D．(1，－2)，1 解析：选A　将圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆心坐标为(－1,2)，半径为3. 【典例分析】 例1、已知方程x2＋y2＋(t＋1)x＋ty＋t2－2＝0表示一个圆． (1)求t的取值范围； (2)若圆的直径为6，求t的值． 解：(1)由题意，方程x2＋y2＋(t＋1)x＋ty＋t2－2＝0表示圆，则满足D2＋E2－4F＝(t＋1)2＋t2－4(t2－2)＝2t＋9>0，解得t>－， 即t的取值范围为. (2)由圆的直径为6，可得r＝ ＝ ＝3，解得t＝. 变式、（1）当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面积最小时，m的值为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　D 解析　由圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－m)2＝m2－2m＋4，从而对于圆C的半径r有r2＝m2－2m＋4＝(m－1)2＋3≥3，所以当m＝1时，r2取得最小值，此时圆C的面积最小． （2）点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________． 答案　9π 解析　圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是， 由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－＋1＋1＝0，解得k＝4， 圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为 ＝3， ∴该圆的面积为9π. 例2、已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程． 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0①， 将P，Q坐标代入①得 令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0④， 据题设知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是④的两根． 所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48⑤， 解由②③⑤组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－10，E＝－8，F＝4.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 变式、已知A(0,0)，B(2,0)，C(2，－2)，O(m，－1)四点共圆，则实数m的值为(　 ) A.±1 B.＋1 C.－1 D．1± 解析：选D　设过四点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将A(0,0)，B(2,0)，C(2，－2)代入可得解得所以圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，将O(m，－1)代入圆的方程得m2－2m－1＝0，解得m＝1±，故选D. 例3、点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 解：(1)设线段AP的中点M(x，y)， 由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2,2y)． ∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设线段PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 变式、点B(1,1)是圆x2＋y2＝4上内一点，求过点B的弦的中点T的轨迹方程． 解：设T(x，y)． 因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT. 当斜率存在时，有kOT·kBT＝－1. 即·＝－1，整理得x2＋y2－x－y＝0. 当x＝0或x＝1时，点(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)也都在圆上． 故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0. 求与轨迹问题有关的圆的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 【当堂检测】 1．已知圆C经过两点A(0,2)，B(4,6)，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，则圆C的方程为(　 ) A．x2＋y2－6x－6y－16＝0 B．x2＋y2－2x＋2y－8＝0 C．x2＋y2－6x－6y＋8＝0 D．x2＋y2－2x＋2y－56＝0 解析：选C　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心坐标为，因为圆C经过两点A(0,2)，B(4,6)，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，所以解得所以圆C的方程为x2＋y2－6x－6y＋8＝0. 2. 圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则实数a的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 C 【解析】由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为M，圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N(2,0).又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故有×1＝－1，解得a＝2.故选C. 3. 如图所示，在平面直角坐标系中，等腰梯形的底边长分别为6和4，高为3，为的中点，求该等腰梯形的外接圆的一般方程，及圆心坐标和半径. 【解】 由等腰梯形的底边长分别为6和4，高为3，知点，，的坐标分别为，，.设所求圆的一般方程为.将，，三点的坐标分别代入上述方程，可得，解得，故所求圆的一般方程为，其圆心坐标为，半径. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.2圆的一般方程 【学习目标】1.掌握圆的一般方程，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径. 2.用待定系数法求出圆的一般方程，并能分析条件，选择恰当的方程形式求圆的方程. 3.能用圆的一般方程解决一些实际应用问题． 【学习重难点】重点：待定系数法求圆的一般方程. 难点：与圆有关的轨迹问题. 【知识梳理】 1．圆的一般方程 方程()叫做圆的一般方程．圆心为， 半径为. 2．方程表示的图形 方程 条件 图形 说明：1．圆的一般方程形式上的特点(1) 的系数均为；(2)没有项；(3) . 2．在圆的一般方程中，系数没有明显的几何意义，但配方后却有着明确的几何意义，表示圆心，表示半径． 【概念辨析】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(　 ) (2)二元二次方程一定是某个圆的方程．(　 ) (3)若方程表示圆，则.(　 ) (4)方程表示圆．(　 ) 2．圆的圆心坐标和半径分别是(　 ) A．， B．， C．， D．， 【典例分析】 例1、已知方程表示一个圆． (1)求的取值范围； (2)若圆的直径为，求的值． 变式、（1）当圆的面积最小时的值为(　　) A． B． C． D． （2）点在圆上，且点关于直线对称，则该圆的面积为________． 例2、已知圆过两点，且在轴上截得的线段长为，求圆的方程． 变式、已知四点共圆，则实数的值为(　 ) A. B. C. D． 例3、点是圆上的定点，点是圆内一点，为圆上的动点． (1)求线段的中点的轨迹方程； (2)若，求线段的中点的轨迹方程． 变式、点是圆上内一点，求过点的弦的中点的轨迹方程． 【当堂检测】 1．已知圆经过两点，且圆心在直线上，则圆的方程为(　 ) A． B． C． D． 2. 圆关于直线对称的圆的方程是，则实数的值为(　　) A． B． C． D． 3. 如图所示，在平面直角坐标系中，等腰梯形的底边长分别为和，高为，为的中点，求该等腰梯形的外接圆的一般方程，及圆心坐标和半径. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $