2.4.2 圆的一般方程导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.4.2·圆的一般方程 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、掌握圆的一般方程的形式，理解其与圆的标准方程的联系与转化 2、能根据圆的一般方程确定圆心坐标和半径 3、会根据已知条件求圆的一般方程 通过圆的标准方程与一般方程的转化，培养数学抽象、逻辑推理素养；利用一般方程解决圆的相关问题，提升数学运算、直观想象素养 重点 圆的一般方程的形式 圆的标准方程与一般方程的相互转化 难点 根据已知条件求圆的一般方程 解决含参数的圆的一般方程问题 新知识导入 我们知道，方程 (x－1)2＋(y＋2)2＝4 表示以 (1，－2) 为圆心，2 为半径的圆. 可以将此方程变形为 x2＋y2－2x＋4y＋1＝0. 一般地，圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (2) 的形式. 反过来，形如 (2) 的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？ 知识清单 知识点一 圆的一般方程 1.圆的一般方程：方程表示以_____________为圆心，为半径的圆. 当_____________时，方程表示一个圆. 2.当_____________时，方程表示一个点，若时，方程不表示任何图形 例题讲解 例题1求过三点 O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2) 的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 例 5 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4，3)，端点 A 在圆 (x＋1)2＋y2＝4 上运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程． 课堂练习 1.若方程表示圆，则实数k的取值范围是( ) A.R B. C. D. 2.方程表示的图形是( ) A.一个点 B.一个圆 C.一条直线 D.不存在 3.当时，圆( ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于直线对称 D.关于直线对称 4.求经过点和，且圆心在x轴上的圆的方程. 5.已知的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程. 6.已知线段AB的端点B的坐标为，端点A在圆上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么. 课后练习 1.若，则方程表示的圆的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.若方程表示一个圆，则b的取值范围为( ) A. B. C. D. 3.过，，三点的圆的一般方程是( ) A. B. C. D. 4.过点，且圆心在直线上的圆的一般方程为________. 5.已知圆的面积为，则__________. 答案以及解析 知识清单 答案：1. 2.<0 例题讲解 例题1 分析：将点 O，M1，M2 的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程． 解：设圆的方程是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． ① 因为 O，M1，M2 三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于 D，E，F 的一个三元一次方程组 ,解这个方程组，得 所以，所求圆的方程是 x2＋y2－8x＋6y＝0． 由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是 (4，－3)， 半径． 例题2 分析：如图，点 A 运动引起点 M 运动，而点 A 在已知圆上运动，点 A 的坐标满足方程 (x＋1)2＋y2＝4．建立点 M 与点 A 坐标之间的关系，就可以利用点 A 的坐标所满足的关系式得到点 M 的坐标满足的关系式，求出点 M 的轨迹方程． 解：设点 M 的坐标是 (x，y)，点 A 的坐标是 (x0，y0)．由于点 B 的坐标是(4，3)，且 M 是线段 AB 的中点，所以 于是有 x0＝2x－4，y0＝2y－3．① 因为点 A 在圆 (x＋1)2＋y2＝4 上运动，所以点 A 的坐标满足圆的方程，即 (x0＋1)2＋y02＝4．② 把①代入②，得， 整理，得． 这就是点 M 的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为 1 的圆． 课堂练习 1.解析：依题意，，解得. 故实数k的取值范围是. 故选：B. 2.解析：方程可化为，即，所以方程表示点.故选A. 3.解析：圆的圆心在直线上(若直线过圆心，则该直线是圆的对称轴)，故该圆关于直线对称.选D. 4.解析：设圆的方程为. 因为圆心在x轴上，所以，即. 又圆过点和， 所以即解得 故所求圆的方程为. 5.解析：如图，以边AB所在直线为x轴，边AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则，.设点C的坐标为，边BC的中点为， 则①.，.② 将①代入②并整理，得.点C不能在x轴上，. 综上所述，点C的轨迹是以点为圆心，6为半径的圆去掉和两点. 轨迹方程为. 6.解析：设点P的坐标为，点A的坐标为. 点B的坐标为，且点P为线段AB的中点， ，，，. 点A在圆C上运动，点A的坐标满足方程，即， ， 化简，得，即， 点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.. 课后练习 1.答案：B 解析：若方程表示圆， 则， 解得， 又， 所以或， 即表示的圆的个数为2. 故选：B. 2.答案：D 解析：若方程表示一个圆，则， 方程可化为， 所以， 解得，且b不等于0， 所以或. 故选：D. 3.答案：D 解析：设所求的圆的方程为，因为，，三点在圆上，所以解得故所求圆的一般方程是. 4.答案： 解析：设圆的一般方程为，则圆心为， 依题意得，解得， 所以圆的一般方程为. 故答案为：. 5.答案： 解析：由得，故半径，所以，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $