辽宁省辽南协作校2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷

2025—2026学年度上学期期末考试高三试题 数 学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（     ） A. B. C. D. 2. 设全集，，，则（     ） A. B. C. D. 3. 数据30，31，32，33，35，35，37，38，38，的中位数是35，则的取值范围为（     ） A. B. C. D. 4. 的展开式的常数项为（     ） A.2430 B.4860 C.4680 D.2340 5. 已知等差数列的前8项和为60，，则（     ） A.8 B.9 C.10 D.11 6. 已知圆，直线. 若圆上恰有3个点到直线的距离等于，则的值为（     ） A. B.0 C. D. 7. 已知角，满足，，则（     ） A. B. C. D. 8. 正方体 的棱长为2， 为棱 的中点，点 、、、 在球心为 的球面上，且该球面与棱 交于点 （异于 、 两点），则 的面积为（     ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 在 中，点 在边 所在的直线上，且 ，若 ，则 的值可能为（     ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线 的焦点 与椭圆 的一个焦点重合，过 的直线交 于 ， 两点，交 的准线于点 。若 ，则下列说法中正确的有（     ） A. 抛物线 的方程为： B. C. D. 的面积为 11. 已知数列 的通项公式为 ，在其相邻两项 ， 之间插入 个 （）得到新数列 ，记 的前 项和为 ，则下列说法中正确的有（     ） A. B. C. 位于数列 中的第1032项 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 的解集为 。 13. 某书店计划进行促销活动，需从5本小说和4本传记中随机抽取3本书作为展示。在“抽取的3本书中至少有一本是小说”的前提下，“抽取的3本书全是小说”的概率是 。 14. 已知定义在 上的函数 ，满足 ，且 ，则不等式 的解集为 。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）证明：； （2）求的取值范围. 16.目前，AI赋能英文识别技术已从实验室的“概念验证”发展为改变人类生活的基础设施，随着大模型和多模态技术的融合，英文识别将不再是单一功能，也是智能系统理解世界的“耳朵”和“眼睛”，推动人机交互下从“命令执行”向“自然对话”演进.现甲、乙两名同学通过英文指令与某AI智能体人机交互共生成200篇文章.若生成的文章达到专业要求，不用进一步改良，视为合格.现已知甲同学生成的文章有80篇合格，占甲同学生成文章总数的，乙同学生成的文章有一半合格. （1）请根据以上数据填写下面的列联表，并推断能否有95%的把握认为生成的文章是否合格与甲、乙（不同的）同学给出的指令有关？ 生成的文章合格 生成的文章不合格 总计 甲同学 80 乙同学 总计 200 （2）经试验，若给出的指令够准确具体，该智能体生成文章合格的概率为，则在此条件下从该智能体生成的一批文章中随机调取3篇，请写出其中合格的篇数的分布列，并算出期望. 附：，其中（结果精确到0.001）. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在三棱柱 中，，， 为棱 的中点， 是棱 上一点，且 ，。 （1） 求证：平面 平面 ； （2） 求点 到平面 的距离； （3） 求二面角 的正弦值。 18. 已知函数 ，。 （1） 讨论函数 的单调性； （2） 令 ，当 时，证明函数 有唯一的极大值点 ，并证明 。 19. 已知双曲线 的中心为坐标原点，焦点在 轴上，它的虚轴长为 ，离心率为 ，直线 与双曲线上交于 ， 两点，与渐近线交于 ， 两点（点 ， 在第一象限，点 ， 在第二象限）。 （1） 求双曲线 的方程； （2） 若点 的横坐标为 ，在线段 上取一点 ，且满足 ，判断点 是否总在某条定直线上，若定直线存在，求出直线方程，若不存在，说明理由； （3） 已知双曲线上点 ，，，，在点 处作双曲线的切线交 的渐近线于 ， 两点，且 ，数列 的前 项和为 ，求证：。 2025-2026学年度上学期期末考试高三试题 数学参考答案 一.1.C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C 7.A 8.A 二.9.BC 10.ACD 11.ACD 三.12. 13. 14. 14. 解析：令 ∴在上单调递减， ∴，又因为在上单调递减，∴，， ∴不等式的解集为. 四.15. 解：（1）在中，由正弦定理可得： sinC=2sinAcosB+sinA 1分 又因为，∴ ∴，化简整理得： sin(B-A)=sinA 3分 ∵为锐角三角形， ∴B=2A 5分 （2）在锐角三角形中，由（1）， ∴ ∴由{0<A<π20<2A<π20<π−3A<π2 可得：A∈π6,π4 7分 10分 12分 ∴sin2A4sinA-sinC的取值范围为26,14. 13分 16.解：（1） 生成文章合格 生成文章不合格 总计 甲同学 80 40 120 乙同学 40 40 80 总计 120 80 200 2分 χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200(80×40-40×40)2120×80×120×80≈5.556 5分 ∵χ2>3.841， 所以有95%的把握认为生成文章是否合格与甲、乙（不同的）同学给出的指令有关 6分 （2）合格的篇数的所有可能取值为，，， 由题意， X∼B3,34 8分 故的分布列为 0 1 2 3 13分 期望， …………15分 17. 证明：（1）取的中点，连、、 在中，，， 由余弦定理得： 又， ，。 又，，平面，， 平面 ……………………3分 取中点，连接、，为中点 ， 又 ，四边形为平行四边形 ， 又因为在四边形中，， ， 又，、平面，平面 平面 平面平面。 ……………………6分 （2）因为，，，所以 如图，以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向。 建立空间直角坐标系，因为， 所以，，， ，， 设平面的法向量 由，有， 令z=3，则m→=(3,0,3) 8分 点B到平面C1CE的距离d=|CB→·m→||m→|=-33232+0+(3)2=34， 10分 （3）由（2）中的空间直角坐标系可知，，， ， 设平面得法向量为， 由， 有{3x=0−34x+34y+32z=0，{x=0y=−2z令z=1，则n1→=(0,-2,1)， 12分 取平面的法向量 cos⟨n1→，n2→⟩=n1→·n2→|n1→||n2→|=-25×1=-255 14分 设二面角的平面角为锐角，则 ∴二面角A1-AC-D的正弦值为55。 15分 18. 解：（1）f'(x)=a(lnx+1)，(x>0) 1分 当时，；当时，。 当时，时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减。 当时，，无单调性 当时，时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增。........6分 （2）F(x)=f(x)+g(x)=axlnx+ex2-ex，(x>0) 7分 令，时， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 分 ，， 又，使，且是在上唯一一个零点 且时，； 时， 分 在上单调递增； 在上单调递减， 是在上唯一的极大值点. 又因为在上，单调递增， 在此区间上无极大值点，故时，存在唯一的极大值点. 分 即，有 ， 分 ，，故 分 19. 解：（1）设双曲线的方程为： ， 所以双曲线方程为； 分 （2）设，，， 因为点在第一象限内， 所以 由题意可得， 因为， 因此， 所以，， 由， 得， 解得 所以， 同理点 分 将，两点代入双曲线方程为中， 得： ， 整理得： ， 因为， 所以，即点总在定直线上；　　………………6分 （3）因为在双曲线方程为上， 　　所以， 　　所以， 双曲线上支方程为：，， ∴过作双曲线切线，斜率为， 故切线方程为：　　………………9分 　　与渐近线方程联立，解得 　　同理可求 　　因为， 　　所以点是点和的中点． 所以 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　………………11分 　　　　　　　　 　　　　　　　　 所以是首项为，公比为的等比数列， 　　　　　　　， 所以， 所以，所以　……13分 构造函数， 因为单调递减，单调递减， ∴函数单调递减，（求导证明也可以） 时，所以 所以，即 所以 即 …………15分 又因为 所以 综上：． …………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $