精品解析：山东省东营市广饶县 乐安中学2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

九年级数学第二次学情调研试题 一、选择题 1. 的平方根是（ ） A. 4 B. 4或 C. 2 D. 2或 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 不透明的袋子里共装有2个黑球和3个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一个含角的直角三角板的斜边和量角器的直径所在的边重合放置，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为，，连接交于点E，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 用一个半径为面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 8. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载这样一个问题；今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人几何？这个问题的意思是：令有若干人乘车，每三人乘 一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则乘车人数为（ ） A. 15 B. 35 C. 39 D. 41 9. 已知二次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②若点，都在该抛物线上，则；③；④方程有两个不相等的实数根；正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题 11. 测得某人的头发直径为米，这个数据用科学记数法表示为______． 12. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___． 13. 已知，则________． 14. 如图，中，半径弦于点D，点E在上，，则半径等于________． 15. 若关于的分式方程无解，则的值是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和图象交于，两点．若，则的值为_____． 17. 九章算术中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于__________步（注：“步”为古代长度单位）． 18. 在直角坐标系中，点从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：，，，，，，，则的坐标为_______． 三、解答题 19. （1）计算：； （2）解不等式，并求出其最小整数解． 20. 劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建（烹饪）、（种植）、（陶艺）、（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题： （1）参加这次调查的学生总人数为多少？将条形统计图补充完整； （2）请计算扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角； （3）若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择小组的学生人数． （4）若该校在，，，四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目和的概率． 21. 如图，是的直径，C为上一点，点D在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为．求圆中阴影部分的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时x的取值范围； （3）点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 23. “雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”．2024年青岛樱桃节期间，张大爷购进了一批质量相等的大小樱桃，已知每千克小樱桃的进价比每千克大樱桃少8元．受污损的进货清单如表所示： 品名 大樱桃 小樱桃 进价／（元／千克） 总价／元 1134 630 （1）请你帮张大爷求出每千克大樱桃和小樱桃的进价各是多少元． （2）若张大爷决定再次购进同种大樱桃和小樱桃共60千克，再次购进的费用不超过1000元，若每种樱桃的进价保持不变，大樱桃的销售单价为30元，小樱桃的销售单价为18元，张大爷应如何进货，才能使第二批大樱桃和小樱桃售完后获得最大利润？ （3）利润关系仍然满足（2）中的利润关系，张大爷推出福利活动，决定拿出销售利润的另购大、小樱桃赠送游客免费品尝，第二批购进大樱桃至少多少千克，能使剩余利润不少于450元？ 24. 某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每周可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每周要少卖出10件，每周销量不少于240件． （1）每件售价最高为多少元？ （2）实际销售时，为尽快减少库存，每件在最高售价的基础上降价销售，每降价1元，每周销量比最低销量240件多卖出20件，要使利润达到6500元，则每件应降价多少元？ 25. 已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第二次学情调研试题 一、选择题 1. 的平方根是（ ） A. 4 B. 4或 C. 2 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根，先化简，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：的平方根是2或； 故选D． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．根据整式运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、，原选项错误，故本选项不符合题意； B、，原选项正确，故本选项符合题意； C、，原选项错误，故本选项不符合题意； D、，原选项错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 不透明的袋子里共装有2个黑球和3个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用概率公式即可求解． 【详解】解：总的可能情况有5种，摸到黑球的可能有2种， 摸到黑球的概率是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够熟练掌握概率计算公式． 4. 如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，利用邻补角和角平分线的定义进行求解即可. 【详解】解： 平分， 故选：A 5. 如图，将一个含角的直角三角板的斜边和量角器的直径所在的边重合放置，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为，，连接交于点E，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、三角形内角和定理等知识，根据题意可知点C在以为直径的圆上，根据圆心角和圆周角的关系求出，再利用三角形内角和定理就可以求出答案． 【详解】解：∵， ∴点C在以为直径的圆上 设圆心为O，连接，则， ∴， ∴． 故选：C． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可． 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴=0， ∴， 解得，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键． 7. 用一个半径为面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•r•3=3π，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意得•2π•r•3=3π， 解得r=1． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 8. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载这样一个问题；今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人几何？这个问题的意思是：令有若干人乘车，每三人乘 一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则乘车人数为（ ） A. 15 B. 35 C. 39 D. 41 【答案】C 【解析】 【分析】设有x辆车，找准等量关系：人数是定值，列一元一次方程可解此题． 【详解】解：设有x辆车，依题意得： 3(x-2)=2x+9． 解得，x=15． ∴2x+9=2×15+9=39（人） 答：15辆车，有39人． 故选择C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，代数式的值，找准等量关系是解此题的关键． 9. 已知二次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②若点，都在该抛物线上，则；③；④方程有两个不相等的实数根；正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息，是解题的关键．开口方向和与y轴交点判断①，由函数的对称轴、开口方向、点到对称轴的距离等判断②；由特殊点的值结合图象即可判断③，由抛物线与直线的交点个数即可判断④． 【详解】解：由图象可知：抛物线的开口方向向下， ∴， ∵二次函数的图象与y轴交于正半轴， ∴ ∴， 故①错误， 抛物线对称轴为直线， ∵抛物线的开口方向向下，点，都在该抛物线上，， ∴； 故②错误， 由图象可知，当时，， 故③错误， 如图，与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根，即方程有两个不相等的实数根， 故④正确； 综上，正确的是④，共1个； 故选：A． 10. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过A点作AH⊥BC于H，利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，BH=CH=AH= BC=2，分类讨论：当0≤x≤2时，如图1，易得PD=BD=x，根据三角形面积公式得到y=x2；当2＜x≤4时，如图2，易得PD=CD=4-x，根据三角形面积公式得到y=-x2+2x，于是可判断当0≤x≤2时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当2＜x≤4时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2， 当0≤x≤2时，如图1，∵∠B=45°， ∴PD=BD=x， ∴y=•x•x=； 当2＜x≤4时，如图2，∵∠C=45°， ∴PD=CD=4﹣x， ∴y=•（4﹣x）•x=， 故选B． 二、填空题 11. 测得某人的头发直径为米，这个数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数变为时小数点向右移动的数位的相反数，由此即可求解．确定的取值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___． 【答案】x（x﹣3）2 【解析】 【详解】解：x3﹣6x2+9x =x（x2﹣6x+9） =x（x﹣3）2 故答案为：x（x﹣3）2 13. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握分式的混合运算原则是解题的关键． 根据已知条件进行通分得到，等式两边同乘即可得到，再将所求表达式化简，最后代入求值即可． 【详解】解：由可得：， 等式两边同乘， 得，即， 即： ， 故答案为：． 14. 如图，中，半径弦于点D，点E在上，，则半径等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识点，根据半径弦，由垂径定理可得，结合圆周角定理可推出得是等腰直角三角形，即可求解. 【详解】解：∵半径弦， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 15. 若关于的分式方程无解，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的无解问题，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值． 【详解】解：∵， 去分母，得：， ∵分式方程无解， ∴， 解得：， 把代入，则 ， 解得：； 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和图象交于，两点．若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义，根据，即可得到一个关于的方程，进而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 九章算术中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于__________步（注：“步”为古代长度单位）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，掌握中，两直角边长分别为、，斜边长为，其内切圆半径是解题的关键．先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形的内切圆的半径求法确定出内切圆半径，进而可得到直径． 【详解】解：根据勾股定理得：斜边长为， 该直角三角形内切圆的半径为（步）， 该直角三角形内切圆的直径为（步）． 故答案为：． 18. 在直角坐标系中，点从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：，，，，，，，则的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标的位置及坐标变化规律的知识点，善于观察并寻找题目中蕴含的规律是解题的关键． 根据题意可得在第二象限内，然后根据第二象限内点，，的坐标特点求解即可． 【详解】解：根据题意得：从点开始点所到达的位置按第一、二、三、四象限的顺序，4个一循环， ∵， ∴在第二象限内， 根据题意得：在第二象限的点为，，，……， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 19. （1）计算：； （2）解不等式，并求出其最小整数解． 【答案】（1）；（2）；其最小整数解为 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，求不等式的解集，熟练掌握相关运算法则，解不等式的步骤，是解题的关键： （1）先进行乘方，特殊角的三角函数值，零指数幂，开方运算，再进行加减运算即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化为1，求出不等式的解集，进而求出其最小整数解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， ， ， ， ； ∴其最小整数解为． 20. 劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建（烹饪）、（种植）、（陶艺）、（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题： （1）参加这次调查的学生总人数为多少？将条形统计图补充完整； （2）请计算扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角； （3）若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择小组的学生人数． （4）若该校在，，，四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目和的概率． 【答案】（1）， 补全条形图如下， （2） （3）估计选择D小组的学生人数为500人 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，利用列表法求概率，掌握由样本百分比估算总体数量的方法，圆心角的计算方法，列表法是解题的关键． （1）根据C组的人数与占比计算求解调查总人数，由此得到B组人数，即可补全条形图； （2）根据圆心角的计算方法求解即可； （3）根据样本百分比估算总体数量即可求解； （4）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：调查总人数为：（人）； 选择B人数为：（人）； 答：参加调查的总人数为180人， 【小问2详解】 解：， 答：B部分扇形所对应的圆心角为； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计选择D小组的学生人数为500人． 【小问4详解】 解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种等可能的结果，其中，恰好选中项目A和D的结果有2种， ∴． 21. 如图，是的直径，C为上一点，点D在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为．求圆中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，不规则图形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得，即，进而根据等腰三角形的性质可得，即得，即可证明是的切线； （2）过C作于E，可得，，可得，最后根据圆中阴影部分的面积即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，过C作于E， ，， ，， 于E， ， ， ，， 圆中阴影部分的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时x的取值范围； （3）点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2）或 （3）点C坐标为或 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等． （1）由待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求得； （3）设与轴交于点，得出，设，则，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得的坐标． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2 ∴将代入， 则， ∴反比例函数解析式为：， ∴将代入， 则， ∴， 将，代入， 则， 解得： ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴观察图象，当时，的取值范围是或； 【小问3详解】 解：设与轴交于点， 当时， ∴ ∴， 设， ∴ ∵的面积为18， ∴ ∴， ∴，即 解得：或 ∴点C坐标为或． 23. “雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”．2024年青岛樱桃节期间，张大爷购进了一批质量相等的大小樱桃，已知每千克小樱桃的进价比每千克大樱桃少8元．受污损的进货清单如表所示： 品名 大樱桃 小樱桃 进价／（元／千克） 总价／元 1134 630 （1）请你帮张大爷求出每千克大樱桃和小樱桃的进价各是多少元． （2）若张大爷决定再次购进同种大樱桃和小樱桃共60千克，再次购进的费用不超过1000元，若每种樱桃的进价保持不变，大樱桃的销售单价为30元，小樱桃的销售单价为18元，张大爷应如何进货，才能使第二批大樱桃和小樱桃售完后获得最大利润？ （3）利润关系仍然满足（2）中的利润关系，张大爷推出福利活动，决定拿出销售利润的另购大、小樱桃赠送游客免费品尝，第二批购进大樱桃至少多少千克，能使剩余利润不少于450元？ 【答案】（1）每千克大樱桃的进价为18元，每千克小樱桃的进价为10元 （2）张大爷再购进50千克大樱桃、10千克小樱桃，才能获得最大利润 （3）第二批购进大樱桃至少30千克，能使剩余利润不少于450元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出分式方程、函数解析式以及不等式是解题的关键。 （1）设每千克小樱桃的进价为元，则每千克大樱桃的进价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设张大爷再购进千克大樱桃，则购进千克小樱桃，先根据题意列不等式求得a的取值范围，设总利润为元，根据题意，得．然后根据一次函数的性质求解即可； （3）直接根据题意列不等式求解即可。 【小问1详解】 解：设每千克小樱桃的进价为元，则每千克大樱桃的进价为元． 根据题意，得，解得． 经检验，是原方程的解，且符合实际意义，． 答：每千克大樱桃的进价为18元，每千克小樱桃的进价为10元． 【小问2详解】 解：设张大爷再购进千克大樱桃，则购进千克小樱桃． 根据题意，得，解得:． 每千克大樱桃的利润为（元），每千克小樱桃的利润为（元）． 设总利润为元，根据题意，得． , 随的增大而增大， 当时，有最大值，此时． 答：张大爷再购进50千克大樱桃、10千克小樱桃，才能获得最大利润． 【小问3详解】 解：根据题意，得，解得． 答：第二批购进大樱桃至少30千克，能使剩余利润不少于450元． 24. 某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每周可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每周要少卖出10件，每周销量不少于240件． （1）每件售价最高为多少元？ （2）实际销售时，为尽快减少库存，每件在最高售价的基础上降价销售，每降价1元，每周销量比最低销量240件多卖出20件，要使利润达到6500元，则每件应降价多少元？ 【答案】（1）66元． （2）13元． 【解析】 【分析】（1）根据每涨价1元，每周要少卖出10件，每周销量不少于240件，可以列出不等式． （2）根据每降价1元，每周销量比最低销量240件多卖出20件，要使利润达到6500元，可以列一元一次方程，因为要尽快减少库存，所以取最大值． 【小问1详解】 设每件涨价x元，则 解得 x取最大值， ∴x=6， ∴每件售价最高为：元． 【小问2详解】 设每件应降价y元，则 解得 ∵要减少库存， （舍去）， ∴每件应降价13元． 【点睛】本题主要考查列一元一次不等式和列一元一次方程，熟练找到不等关系和等量关系是解此题的关键． 25. 已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：①当时，②当时，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； 【小问3详解】 解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $