精品解析：陕西省榆林市米脂县第五中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

榆林市第五中学九年级期末考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内做答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的值等于（） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值直接计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 2. 《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也：甍、层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，解题的关键是理解三视图的定义，根据主视图是从前面看到的图形求解即可． 【详解】根据题意得，其主视图为： ． 故选：A． 3. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键． 4. 如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（ ） A cm B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似，相似的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．连接，，过点作于点，于点，先判定，即可得对应高比之比等于相似比，即可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点，于点， 由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， ∴， ∴相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为， 故选：C． 5. 如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由菱形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，由三角形内角和定理得出，最后由平角的定义即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 6. 如果三点都在反比例函数的图象上，其中，那么与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数 中， ∴ ∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， 在第二象限，点在第四象限， ， 故选：B． 7. 如图，在中，，过点A作于点D，．若E、F分别为、的中点，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，三角形中位线定理，由等腰直角三角形的性质求出，由锐角的正弦求出，由三角形中位线定理求出． 【详解】解：∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：A． 8. 如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确． 【详解】①∵抛物线开口向上， ∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上， 由得，， ， 故①正确； ②抛物线的对称轴为， ， ， ，故②正确； ③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等． 由图知时，， ∴时，． 即． 故③错误； ④由图知时二次函数有最小值， ， ， ， 故④错误； ⑤由抛物线的对称轴为可得， ， ∴， 当时，． 由图知时 故⑤正确． 综上所述：正确的是①②⑤，有3个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知是关于的一元二次方程，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，先求出使得未知数最高次数为的的值，再排除二次项系数为的情况． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，可知：， 解得：， 所以． 故答案为：． 10. 在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件：________，则可判定四边形是矩形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形的判定定理是解题的关键． 根据矩形的判定定理回答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 若添加条件，则对角线相等，根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得四边形是矩形． 故答案为：． 11. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据题意可得关于x的一元二次方程有实数根，据此利用判别式和一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数与x轴有交点即对应的一元二次方程有实数根是解题的关键． 12. 某市开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为______米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查坡度问题，以及勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识。利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离． 【详解】解：坡比，， ，即， 解得， （米）， 故答案为：4． 13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则k＝______． 【答案】32 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍）， 则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：32． 14. 如图，在菱形中，，，过点A作，与相交于点E，连接，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，连接交于点，根据菱形的性质以及勾股定理求得，进而根据余弦的定义求得，进而根据四边形的面积为，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分，解答题应写出过程） 15. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解：，，， ． ， 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值及实数的运算．掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．先代入特殊角的三角函数值，然后合并解题即可． 【详解】解： ． 17. 求下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： 【答案】开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了把一般式化成顶点式，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：， ∴二次函数对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴二次函数图象的开口向上． 18. 在中，．请用尺规作图，在边上求作一点，连接，使得将分为两个相似三角形（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，垂线的尺规作图， 于D，根据垂线的定义得到 再证明即可证明． 【详解】解：如图所示，点D即为所求． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D即为所求． 19. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，与交于点，若，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，由正方形的性质得出，，再证明，由全等三角形的性质得出． 【详解】证明：四边形为正方形， ，， 又， ， ． 20. “亮剑云端，有我无敌”！在2025年9月3日举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会上，由多款新型隐身战斗机所组成的歼击机梯队震撼亮相，向全世界宣告祖国领空，绝不容侵犯．资深军迷小陈和小王在现场用相机抓拍由一架歼，两架歼，两架歼所组成的第一个梯队、并且每次只拍摄其中的一架战斗机． （1）小陈随机拍摄一次，拍到的战斗机是歼的概率是______； （2）若小陈和小王各自随机拍摄一次，请用列表或画树状图的方法，求两人拍到的战斗机都是歼的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，列表法和树状图法求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）列出表格，进而根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵共5架飞机，歼有1架， ∴小陈随机拍摄一次，拍到的战斗机是歼的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：将一架歼，两架歼，两架歼分别用，，，，表示列表如下： 由表格可知，共有25种等可能的结果，其中两人拍到的战斗机都是歼的结果有4种， ∴P（两人拍到的战斗机都是歼）． 21. 如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行到达D处，再沿着斜坡走到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到） （1）求斜坡的铅直高度和水平宽度． （2）求旗杆的高度．（参考数据：，，，） 【答案】（1）ED的铅直高度约为，水平宽度约为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形应用﹣仰角俯角问题． （1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）过点E作，垂足为H，根据题意可得：，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：在中，， ∴，， ∴斜坡的铅直高度约为，水平宽度约为； 【小问2详解】 解：过点E作，垂足为H， 由题意得：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴旗杆的高度约为． 22. 某商店销售一批商品，每件该商品的成本为100元，若按每件140元的售价销售，则每周可卖100件．经市场调查发现，在不亏本的前提下，每件该商品的售价每降低1元，每周便能多卖10件．要使每周总利润为6000元，且尽可能给顾客优惠，则该商店应将每件该商品降价多少元？（列方程解决问题） 【答案】该商店应将每件该商品降价20元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程解实际应用，准确理解题意是解题的关键．设该商店应将每件该商品降价x元，根据要使每周总利润为6000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设该商店应将每件该商品降价x元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该商店应将每件该商品降价20元． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集． 【答案】（1）；反比例函数的解析式为 （2）；不等式的解集为 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）把代入求出，得，从而可求出的值； （2）由平移得直线与直线平行，得，把点代入得，得，代入，求出，得出；由图象得当时，在直线的下方，故可求出不等式的解集． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴； ∴， 把代入，得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵直线是将直线向下平移个单位长度后得到的， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数的图象的交点为， 把代入得，， 解得，， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴； 由图象知，当时，在直线的下方， ∴不等式的解集为 24. 如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质以及相似三角形的判定和性质， （1）由菱形的性质可证明，即可证明，可得出结论； （2）由可得，设，则，，证明，得出方程求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ． ∵， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 又∵，， ， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， ． 25. 某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 （1）求所在抛物线的函数表达式； （2）现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 26. 问题探究 （1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____； （2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点． 按照设计要求，长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 【答案】（1）4；（2）；（3）的最小值为，此时的长为 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形中，斜边上中线等于斜边长的一半解答即可； （2）根据矩形的判定和性质，结合垂线段最短解答即可； （3）根据矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形三边关系定理应用，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，垂线段最短原理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，，为边上的中线， ∴, 故答案为：4； （2）如解图①， 四边形为矩形， 连接，则， 过点作于点， ． 在中，， 故， 根据三角形面积性质，得， 的最小值为； （3）如解图②，连接，则， ，当三点共线时最小， 在上顺次截取， 作，则四边形为矩形， 则， ， 解得，． 如解图③，作点关于的对称点，作， 连接， 与的交点即为所确定的位置． 作交于点，得矩形． 在中， ， ， ， 由， ， ，， 当最小时，的最小值为，此时的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林市第五中学九年级期末考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内做答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的值等于（） A. 1 B. C. D. 2 2. 《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也：甍、层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　　） A. B. C. D. 4. 如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（ ） A. cm B. C. D. 5. 如图，在菱形中，，垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如果三点都在反比例函数的图象上，其中，那么与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，过点A作于点D，．若E、F分别为、的中点，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 8. 如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知是关于的一元二次方程，则___________． 10. 在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件：________，则可判定四边形矩形． 11. 若二次函数图象与轴有交点，则的取值范围是___________． 12. 某市开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为______米． 13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则k＝______． 14. 如图，在菱形中，，，过点A作，与相交于点E，连接，则四边形的面积为______． 三、解答题（共12小题，计78分，解答题应写出过程） 15. 解方程： 16. 计算：． 17. 求下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： 18. 在中，．请用尺规作图，在边上求作一点，连接，使得将分为两个相似三角形（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，与交于点，若，求证：． 20. “亮剑云端，有我无敌”！在2025年9月3日举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会上，由多款新型隐身战斗机所组成的歼击机梯队震撼亮相，向全世界宣告祖国领空，绝不容侵犯．资深军迷小陈和小王在现场用相机抓拍由一架歼，两架歼，两架歼所组成的第一个梯队、并且每次只拍摄其中的一架战斗机． （1）小陈随机拍摄一次，拍到的战斗机是歼的概率是______； （2）若小陈和小王各自随机拍摄一次，请用列表或画树状图的方法，求两人拍到的战斗机都是歼的概率． 21. 如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行到达D处，再沿着斜坡走到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到） （1）求斜坡的铅直高度和水平宽度． （2）求旗杆的高度．（参考数据：，，，） 22. 某商店销售一批商品，每件该商品的成本为100元，若按每件140元的售价销售，则每周可卖100件．经市场调查发现，在不亏本的前提下，每件该商品的售价每降低1元，每周便能多卖10件．要使每周总利润为6000元，且尽可能给顾客优惠，则该商店应将每件该商品降价多少元？（列方程解决问题） 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集． 24. 如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 （1）求所在抛物线的函数表达式； （2）现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 26 问题探究 （1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____； （2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点． 按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $