精品解析：广西壮族自治区柳州市柳江区名校协作体2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

广西2025~2026学年度上学期第四阶段素质评价 九年级数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选和未选均不得分．） 1. 下列数学符号是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义求解即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】A、是二次函数，故本选项符合题意； B、当a=0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意； C、不是二次函数，故本选项不符合题意； D、不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查二次函数的定义，能熟记二次函数的定义的内容是解题的关键． 3. 如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键；因此此题可直接根据图形进行求解即可． 【详解】解：由图可知：这个圆与这条直线的位置关系是相交； 故选：C． 4. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用锐角三角函数的定义求解，sinB为∠B的对边比斜边，求出即可． 【详解】∵∠C=90°，AB=5，AC=4， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 5. 如图，将一块直角三角板的一个锐角的顶点放在圆心处，这个锐角的两边分别与相交于点，点是优弧上一点（点与点不重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，由直角三角形的性质可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 故选：． 6. 如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 7. 点是反比例函数图象上的两点，若时，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将A、B坐标代入反比例函数的解析式，然后结合已知条件列出不等式，分两种情况讨论．解不等式时注意去分母时不等号的方向是否改变，最后取不等式的交集即可求得m的取值范围． 【详解】解：将代入反比例函数中得， ， ∵， ∴①， 由已知条件，分与两种情况讨论， （1）时，，， 所以． 不等式①两边同乘，不等号方向改变，得． 该不等式恒成立，故m的取值范围是：． （2）时， ，， 所以． 不等式①两边同乘，不等号方向不变，得． 该不等式显然不成立，故不成立． 综合（1）、（2）两种情况知， m的取值范围是：． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的性质、不等式的解法，去分母时注意不等号的方向是解本题的关键． 8. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，给人一种美感．如图，某女士身高，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解即可． 【详解】解：根据已知条件得下半身长是， 设需要穿的高跟鞋是， 根据黄金分割的定义得： 解得：， 经检验：是方程的解， 故选：C． 9. 人体生命活动所需能量主要由食物中的糖类提供．如图是小潘早餐后一段时间内血糖浓度变化曲线图．下列描述正确的是（　　） A. 从9时至时血糖呈下降状态 B. 时血糖最高 C. 从时至时血糖呈上升状态 D. 这段时间有3个时刻血糖浓度达到 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象逐项判断即可． 【详解】解：A．从9时至10时血糖呈下降状态，故说法正确，符合题意； B．9时血糖最高浓度最高，故说法错误，不符合题意； C．从时至时血糖先上升后下降，故说法错误，不符合题意； D．这段时间有2个时刻血糖浓度达到，故说法错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数的图象，理解函数图象中横纵坐标的实际意义，从函数图象中获取相关信息是解题关键． 10. 公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．设增长率为，根据“7月份销售1500个，9月份销售个”列得函数关系式即可求解． 【详解】解：设增长率为， 根据题意得：， 故选：A． 11. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数图象、二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键． 分两种情况讨论，当时和当时，结合一次函数与二次函数的图象和性质即可得出答案． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过一、二、三象限，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，且一次函数与二次函数交于点，符合条件的为选项C； 当时，一次函数的图象经过一、二、四象限，二次函数图象开口向下，对称轴为直线，且一次函数与二次函数交于点，没有符合条件的选项； 故选：C． 12. 如图，正方形的边长为，点是边上一点，且，连接，过点作于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，勾股定理，先根据正方形的性质，得，则，证明，再结合勾股定理，根据对应边成比例进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴ 则 ∵ ∴ ∴ 则 故选：A 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，若P（m，n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点P在第_____象限． 【答案】四 【解析】 【详解】∵点P（m，n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称， ∴m=2，n=-3， ∴P点坐标为（2，-3），在第四象限， 故答案为四. 14. 正三角形绕中心旋转______度的整倍数之后能和自己重合． 【答案】120 【解析】 【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【详解】解：∵， ∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合． 故答案为：120． 【点睛】本题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称的性质是解题的关键． 15. 已知关于x的二次函数的图象如图所示，则关于x的方程的非零根为_____． 【答案】x＝－2 【解析】 【分析】由图可知y=ax2+bx可以看作是函数y=ax2+bx+3的图象向下平移3个单位而得到，再根据函数图象与x轴的交点个数进行解答 【详解】解：∵抛物线与x轴的交点为（-3，0），（1，0）， ∴关于x的方程ax2+bx+3=0的根是x1=-3，x2=1，对称轴是直线x=-1， 又∵将抛物线y=ax2+bx+3的图象向下平移3个单位而得到抛物线y=ax2+bx， ∴抛物线y=ax2+bx与x轴的交点坐标是（0，0）、（-2，0）． ∴关于x的方程ax2+bx=0的非零根为x= -2． 故答案是：x= -2． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，解题时是根据二次函数图象的平移变换规律和抛物线的对称性质得到答案的． 16. 画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域； …… 如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查规律问题，先得到n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域，根据题意可得，然后得到n的最小整数解即可． 【详解】解：画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； …… 画n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； ∵将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块， ∴，即， 又∵，， ∴至少要画的直线条数是条， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）先算括号里的加法以及乘方，再算乘除，最后算加减即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向左平移5个单位得到，则的坐标为 ． （2）将绕点顺时针旋转后得到，画出，并写出的坐标为 ． （3）求第（2）问中线段旋转时扫过的面积． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查了由平移方式确定点的坐标，求绕原点旋转90度的点的坐标，求绕原点旋转一定角度的点的坐标，求图形旋转后扫过的面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据平移的性质即可将向左平移5个单位得到，进而可得的坐标； （2）根据旋转的性质即可将绕点O顺时针旋转后得到，进而写出的坐标； （3）先求出，，然后用扇形的面积减去扇形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求；     的坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴线段旋转时扫过的面积． 19. 年中国科技发展进入创新爆发期，创新指数首次跻身全球前十，在航空航天、清洁能源、高端制造等多领域斩获多项世界级突破．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．该校某调查小组对活动中模具设计水平进行调查，随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：：，：，：，：． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次抽取的学生中成绩在组的有____________人，抽取学生成绩的中位数是____________分； （2）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（1）； （2）估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数约人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键； （1）由直方图及中位数定义即可求得； （2）根据样本中不低于分的占比来估计总体； （3）画树状图求解即可. 【详解】解：（1）由直方图可知在组人数：人； ∵， ∴中位数为：； （2）（人）； ∴估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数约人． （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙），（丙，甲），共种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 20. “秋风起，蟹脚痒”金秋十月是螃蟹大量上市时．东营某校开展社会实践活动，要求学生调查当地某种规格的螃蟹的市场行情．如表是“智多星”小组的调查记录表，请根据下表中的相关信息解决两个实际问题． 东营某校社会实践调查记录表 团队名称 智多星 活动时间 2025.10.2 活动地点 某水产超市 实践内容 调查螃蟹的市场行情，解决销售问题，让顾客得到更大的实惠 调研信息 螃蟹的进价为40元/千克． 当螃蟹售价为50元/千克时，每天可销售100千克． 若每千克螃蟹每涨价1元，销售量每天就会减少2千克． 解决问题 问题1 涨价后，若该水产超市某天正好销售螃蟹70千克，则获利多少元？ 问题2 当螃蟹的售价定为多少元/千克时，该店当日销售螃蟹所获利润最大？ 【答案】问题1：获利1750元；问题2：当螃蟹的售价定为70元/千克时，该店当日销售螃蟹所获利润最大 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，解题的关键在于根据题目所给条件建立利润与售价之间的函数关系，然后利用函数的性质来求解问题． 问题1：先根据售价的变化求出销售量的变化，进而得到实际售价，再根据利润公式计算获利． 问题2：先设出售价，根据售价与销售量的关系表示出销售量，再根据利润公式建立利润与售价的函数关系，最后根据二次函数的性质求出最大值． 【详解】解：问题1：设每千克螃蟹涨价x元， 则销售量每天为千克， 由题意得：， 解得：， 元）， 答：获利1750元； 问题2：设售价定为m元/千克，该店当日销售螃蟹所获利润为y元， 由题意得： ， ，函数图象开口向下， 当时，y最大，最大值为1800元． 答：当螃蟹的售价定为70元/千克时，该店当日销售螃蟹所获利润最大． 21. 如图1，在中，，．动点从点出发，沿方向以速度运动；同时，动点从点出发，沿方向以的速度运动．当点到达终点时，点也停止运动．设动点运动的时间为，的长为，与的函数关系如图2所示，其中点为图象最低点． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）当时，线段的长为______； （3）求出图2中，的值，并说出它们表示的意义； （4）当以，，为顶点的三角形与相似时，直接写出的值． 【答案】（1）10，15 （2）10 （3），，当点，运动时，线段最小，最小值为 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据函数图象直接求解即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）根据，然后利用二次函数的图象性质求解即可； （4）分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由图2可知：，， ∴， 故答案为：10；15． 【小问2详解】 解：当时，由题意，得，， 则， ∵ ∴ 故答案为：10． 【小问3详解】 解：由题意，得，， 则， ∵ ∴， ∵ ∴当时，有最小值为90，即有最小值， 由由图2可知：当时，有最小值n， ∴，， ∴，表示的意义是当点，运动时，线段最小，最小值为． 【小问4详解】 解：当时，则， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得：； 综上，当以，，为顶点的三角形与相似时， 的值为或． 【点睛】本题考查动点函数图象问题，二次函数的图象和性质，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握次函数的图和象性质是解题的关键． 22. 综合与探究 【课本再现】 课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径．复习课上，复盘小组结合图①对课本例题进行了深入学习，对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深刻的理解． 例：矩形的对角线相交于点，求证：四个点在以点为圆心的同一个圆上． 证明：因为四边形为矩形， 所以，，． 所以． 所以四个点都在以点为圆心，为半径的圆上． （1）以下是一道课本原题：“在中，，求证：三点在同一个圆上．”请你利用图②写出证明过程． 【初步运用】 （2）对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决．例如：如图③，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助圆，由可知点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而容易得到 °． 【深入理解】 （3）如图④，在四边形中，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）27；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关知识点以及构造辅助圆在解决几何问题中的作用，涉及了圆周角定理、直角三角形的性质等知识点，掌握相关结论并加以运用是解题关键． （1）仿照例题，结合直角三角形斜边上中线的性质，证明即可． （2）根据圆周角定理计算即可． （3）以点A为圆心，为半径作辅助圆，根据圆周角定理及三角形内角和定理计算并证明． 【详解】解：（1）证明：如图，取的中点O，连接. 因为为直角三角形，，O为的中点，所以，， 所以， 所以A，B，C三点都在以点O为圆心，为半径的圆上． （2）由圆周角定理可知，， 故答案为：27； （3）证明：因为，所以点B，C，D在以点A为圆心，为半径的圆上． 如图②，作辅助圆，则. 因为，所以， 因为，所以． 所以． 23. [问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决] （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）四边形是正方形， 理由如下： 由旋转的性质得：，， ，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）由勾股定理求出，再求出，由旋转的性质得：，则可得出答案； （2）先证四边形是矩形，再证明是正方形； （3）点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，当点、、依次共线时，最大，计算即可． 【小问1详解】 解：（1），，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图： 当点、、依次共线时，最大， 此时，， 即长度的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西2025~2026学年度上学期第四阶段素质评价 九年级数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选和未选均不得分．） 1. 下列数学符号是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 4. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一块直角三角板的一个锐角的顶点放在圆心处，这个锐角的两边分别与相交于点，点是优弧上一点（点与点不重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　） A. B. C. D. 7. 点是反比例函数图象上的两点，若时，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，给人一种美感．如图，某女士身高，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ） A. B. C. D. 9. 人体生命活动所需能量主要由食物中的糖类提供．如图是小潘早餐后一段时间内血糖浓度变化曲线图．下列描述正确的是（　　） A. 从9时至时血糖呈下降状态 B. 时血糖最高 C. 从时至时血糖呈上升状态 D. 这段时间有3个时刻血糖浓度达到 10. 公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（ ） A. B. C. D. 11. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形的边长为，点是边上一点，且，连接，过点作于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，若P（m，n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点P在第_____象限． 14. 正三角形绕中心旋转______度的整倍数之后能和自己重合． 15. 已知关于x的二次函数的图象如图所示，则关于x的方程的非零根为_____． 16. 画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域； …… 如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是_______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向左平移5个单位得到，则的坐标为 ． （2）将绕点顺时针旋转后得到，画出，并写出的坐标为 ． （3）求第（2）问中线段旋转时扫过的面积． 19. 年中国科技发展进入创新爆发期，创新指数首次跻身全球前十，在航空航天、清洁能源、高端制造等多领域斩获多项世界级突破．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．该校某调查小组对活动中模具设计水平进行调查，随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：：，：，：，：． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次抽取的学生中成绩在组的有____________人，抽取学生成绩的中位数是____________分； （2）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 20. “秋风起，蟹脚痒”金秋十月是螃蟹大量上市时．东营某校开展社会实践活动，要求学生调查当地某种规格的螃蟹的市场行情．如表是“智多星”小组的调查记录表，请根据下表中的相关信息解决两个实际问题． 东营某校社会实践调查记录表 团队名称 智多星 活动时间 2025.10.2 活动地点 某水产超市 实践内容 调查螃蟹的市场行情，解决销售问题，让顾客得到更大的实惠 调研信息 螃蟹的进价为40元/千克． 当螃蟹售价为50元/千克时，每天可销售100千克． 若每千克螃蟹每涨价1元，销售量每天就会减少2千克． 解决问题 问题1 涨价后，若该水产超市某天正好销售螃蟹70千克，则获利多少元？ 问题2 当螃蟹的售价定为多少元/千克时，该店当日销售螃蟹所获利润最大？ 21. 如图1，在中，，．动点从点出发，沿方向以速度运动；同时，动点从点出发，沿方向以的速度运动．当点到达终点时，点也停止运动．设动点运动的时间为，的长为，与的函数关系如图2所示，其中点为图象最低点． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）当时，线段的长为______； （3）求出图2中，的值，并说出它们表示的意义； （4）当以，，为顶点的三角形与相似时，直接写出的值． 22. 综合与探究 【课本再现】 课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径．复习课上，复盘小组结合图①对课本例题进行了深入学习，对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深刻的理解． 例：矩形的对角线相交于点，求证：四个点在以点为圆心的同一个圆上． 证明：因为四边形为矩形， 所以，，． 所以． 所以四个点都在以点为圆心，为半径的圆上． （1）以下是一道课本原题：“在中，，求证：三点在同一个圆上．”请你利用图②写出证明过程． 【初步运用】 （2）对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决．例如：如图③，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助圆，由可知点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而容易得到 °． 【深入理解】 （3）如图④，在四边形中，，求证：． 23. [问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决] （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $