精品解析：浙江省北仑区2025-2026学年上学期强基数学（二）

北仑区强基（二） 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 1. 抛掷骰子二次，正面向上的两次数字之和大于8的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率，画出树状图，利用概率进行计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有36种等可能的结果，其中正面向上的两次数字之和大于8的结果10种， ∴正面向上的两次数字之和大于8的概率为， 故选：C． 2. 若常数，，满足，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了函数的最值，熟练掌握数轴上两点之间的距离是关键． 根据表示在数轴上到表示，，c三个数的点的距离的和．根据数轴即可确定最小值． 【详解】解：∵，表示在数轴上到表示，，c三个数的点的距离的和．当在表示点的数的位置时距离最小，即最小，最小值是与之间的距离，即． 故选A． 3. 关于的方程恰好有三个根，则实数的值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查含绝对值的方程，通过分析方程的解的情况，根据绝对值方程的性质，讨论参数的取值对根数量的影响． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵方程恰好有三个根， ∴或， 当时，原方程化为或。 方程无解，方程有一解，故原方程只有1个根，不合题意； 当时，原方程化为或。 由得或；由得，故原方程有3个根，符合题意； 综上，， 故选：D． 4. 平面内有8条直线，有且只有两条平行，其余直线两两相交且不交于同一点，那么这8条直线把平面区域划分成（） A. 31个 B. 35个 C. 36个 D. 41个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相交线，平行线，掌握知识点是解题的关键． 有8条直线，其中两条平行，其余两两相交且无三线共点，计算直线划分平面的区域数．可通过逐条添加直线计算增加区域，或使用最大区域数减去因平行减少的区域． 【详解】解：第1条直线，把平面区域划分成2个； 添加第2条直线（与第1条平行），增加1区域，把平面区域划分成3个； 添加第3条直线，与前两条都相交，有2交点，被分3段，增加3区域，把平面区域划分成6个； 添加第4条直线，与前三条都相交，有3交点，被分4段，增加4区域，把平面区域划分成10个； 添加第5条直线，与前四条都相交，有4交点，被分5段，增加5区域，把平面区域划分成15个； 添加第6条直线，与前五条都相交，有5交点，被分6段，增加6区域，把平面区域划分成21个； 添加第7条直线，与前六条都相交，有6交点，被分7段，增加7区域，把平面区域划分成28个； 添加第8条直线，与前七条都相交，有7交点，被分8段，增加8区域，把平面区域划分成36个； 故选C． 5. 已知，为实数，若，，同时成立，则，，从小到大的排列的次序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据完全平方公式和因式分解对式子变形，推出，分两种情况讨论，当时和当时，进而得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴、同号， ∵，， ∴； ①当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴； ②当时，可化为， ∴， ∴， ∴，与矛盾， 故此种情况不成立； 综上所述，． 故选：A． 6. 已知为正整数，若，则当的值最大时为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作差法比较大小，根据题意列出不等式组是解题的关键． 当最大时，得到且，进行解题即可． 【详解】解：当最大，则有且； ∴ ， ∴， 解得， ， ∴， 解得， ∴， ∵为正整数， ∴时，且， 即时，最大． 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 7. 若，则的值是_____． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查绝对值，二次根式的被开方数，平方等的非负性，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将方程左边分组并完成平方，得到三个非负项之和为零，从而每个项必须为零，求出x，y，z的值，即可解答． 【详解】解：原方程可化为． ∵，，， ∴，，， 即， 解得，，． ∴． 故答案为：2025． 8. 在中，已知，，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的边角关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系，大边对大角，结合内角和定理列不等式组求解． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形内角和定理，， 代入得， 即， 故， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 9. 如图，中为直角，、均为线段上的点，且，，，，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 在中，由勾股定理求得的长，在中，由勾股定理求得的长，进而得到，在中，求得的值即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 在中，， 故答案为：． 10. 关于的函数，当时，函数值恒为负值，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，一元一次不等式组，掌握知识点是解题的关键． 先求出当时，，当时，，继而根据题意得到一元一次不等式组，即可解答． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵关于的函数，当时，函数值恒为负值， ∴， 解得． 故答案为：． 11. 在矩形中，，，将沿矩形对角线折叠到，直线与交于点，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本的性质．根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，，，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 半径为的圆中，是两条垂直的直径，为弧上的任一点，弦与交于，弦与交于，则四边形的面积为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等，连接，过点作交的延长线于，可证，由得，即得①，再证得②，由①②得，由此可得，得到，然后求出的面积即可；正确地作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接，过点作交的延长线于，如图所示： ∴，， ∵是两条垂直的直径， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即①， ∵，， ∴， ∴， 即②， 由①②得，， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共4小题，每小题15分，共60分） 13. 已知，是函数图象上关于原点对称的两个点（其中为第一象限内的点），过，分别作轴的平行线，交轴于，两点． （1）证明：四边形的面积为定值，并求出该定值． （2）若点，且，求点的坐标． （3）若点，求的最小值． 【答案】（1）四边形的面积为定值，定值为8 （2） （3）24 【解析】 【分析】（1）设点，则点，根据平行四边形的判定条件证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形面积公式求解； （2）设点，则点，根据得出点P在的中垂线上，利用两点间的距离公式得到、、，在中，根据列方程，求解的值，从而得到点C坐标； （3）设点，则点，先根据两点间距离公式表示出，再利用任何数的平方都非负，求出其最小值． 【小问1详解】 证明：设点，则点， ， 根据题意得 四边形为平行四边形， 四边形的面积为， 四边形的面积为定值，定值为8； 【小问2详解】 解：设点，则点， 点在的中垂线上， 如图，连接、， 则， ，， ， ， 即 解得或（舍去）， 当时，， 则点的坐标为； 【小问3详解】 解：设点，则点， 则 ， 即的最小值为24． 【点睛】本题考查反比例函数、平行四边形的判定与性质、中垂线的性质、勾股定理，熟练掌握反比例函数的图像性质是解题的关键． 14. 已知实数，满足，且． （1）试比较与的大小． （2）求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值问题，绝对值，完全平方公式的变形应用，掌握知识点是解题的关键． (1)利用完全平方公式将与联系，分a、b同号和异号两种情况结合绝对值性质比较大小即可； (2)由已知方程变形得，用a表示b代入c表达式，转化为二次函数求最值确定c的取值范围，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 当a，b同号时，， 此时， 当a，b异号时，， ∵， ∴，此时， 综上，； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴或， ∴， 当时，即， 则， ∵， ∴； 当时，即， 则， ∵， ∴； 综上，． 15. 如图，在内取一点，使，作于点，于点，记，，分别为线段，，的中点，连结，． 求证： （1）． （2）的垂直平分线必经过点． 【答案】（1） 证明∶， ． ， ． ， ∴是的中位线， ， ． （2） 证明：如图，连结，，，． ， ． ， ． ， ∴是的中位线， ， ． ， 四边形是平行四边形， ． ， ， ． ， ． ， ． 在与中， ， ， 是等腰三角形， 的垂直平分线必经过点． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质得出，，等量代换即可得证； （2）连结，，，．证明四边形是平行四边形，进而证明，，从而得出，根据等腰三角形的性质，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16. 已知函数，其中． （1）当时，作出该函数图象，并求其最小值和最大值． （2）当变化时，该函数的最大值记为，求的表达式． 【答案】（1） 函数图象如图： 最小值为0和最大值为2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式． （1）根据已知条件，求出该函数的表达式，作出函数图象，观察函数图象，求出答案即可； （2）求出函数的表达式，分三种情况进行讨论，根据取值范围，求出对称轴，从而求出最大值即可． 【小问1详解】 解：当时，函数为， 即， ∴在中，其最小值为0和最大值为2； 【小问2详解】 (2)由题意得：， 即， ①当，即时，的对称轴为， 在时，范围内，y随x的增大而增大， ∴，即； ②当，即时， 的对称轴为， ∴当时，范围内，最大值在处取得为：， 当时，范围内，y随x的增大而增大，； ③当时，即时，，对称轴为：， ∵， ∴范围内，最大值， ∵对称轴为， ∴y在范围内单调递增，最大值为， ∴， ∴， 当时，或， ∵， ∴， 当时，， 当时，，， 综上：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北仑区强基（二） 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 1. 抛掷骰子二次，正面向上的两次数字之和大于8的概率为（　　） A. B. C. D. 2. 若常数，，满足，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 关于的方程恰好有三个根，则实数的值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 4. 平面内有8条直线，有且只有两条平行，其余直线两两相交且不交于同一点，那么这8条直线把平面区域划分成（） A. 31个 B. 35个 C. 36个 D. 41个 5. 已知，为实数，若，，同时成立，则，，从小到大的排列的次序为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为正整数，若，则当的值最大时为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 7. 若，则的值是_____． 8. 在中，已知，，则的取值范围是_____． 9. 如图，中为直角，、均为线段上的点，且，，，，则的值为_____． 10. 关于的函数，当时，函数值恒为负值，则实数的取值范围为_____． 11. 在矩形中，，，将沿矩形对角线折叠到，直线与交于点，则的面积为_____． 12. 半径为的圆中，是两条垂直的直径，为弧上的任一点，弦与交于，弦与交于，则四边形的面积为 ______． 三、解答题（本题共4小题，每小题15分，共60分） 13. 已知，是函数图象上关于原点对称的两个点（其中为第一象限内的点），过，分别作轴的平行线，交轴于，两点． （1）证明：四边形的面积为定值，并求出该定值． （2）若点，且，求点的坐标． （3）若点，求的最小值． 14. 已知实数，满足，且． （1）试比较与的大小． （2）求实数的取值范围． 15. 如图，在内取一点，使，作于点，于点，记，，分别为线段，，的中点，连结，． 求证： （1）． （2）的垂直平分线必经过点． 16. 已知函数，其中． （1）当时，作出该函数图象，并求其最小值和最大值． （2）当变化时，该函数的最大值记为，求的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $