第26节 圆的基本性质-【练客中考】2026年浙江新中考数学课堂精讲本

圆知识脉络图 弦、优孤、劣孤、圆心角、圆周角、弦心距 圆的相关 点在圆内，如点A 概念及性质 点与圆 点在圆上，如点B A B C 对称性、旋转不变性 点在圆外，如点C ∠AOB=∠DOC AB-CD.OE=OF 孤、弦、圆心角、 直线与圆相交，如叫 AB-CD 弦心距的关系 相交 直线与圆 直线与圆相切，如l 相切 直线与圆相离，如叫 相离 在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的孤相等，所对的弦也相等 圆心角定理 与圆有关的 位置关系 外心：三边垂直平分线的交点 鞋 三角形的外接圆 OA=OB=OC,∠BOC=2∠BAC AB⊥CD,CD是直径 三角形 AE=BE,AC-BC, 垂径定理 与圆 AD-BD 及其推论 E 内心：三个内角平分线的交点 LADB=∠AOB, 三角形的内切圆 OD=OE=OF,∠BOC-90°+5∠BAC 画 圆周角定理 ∠CAD=∠CBD=90° 及其推论 中心角9=360 2025 17 ∠ACB+∠ADB=180°， 圆 正n边形与圆 边心距r=R-(号} 心角入半径R ∠CAD+∠CBD=180°， 边 边 ∠CBF=∠CAD 圆内接四边形 等分圆周 周长l=na 169.2024 面积-na= 点A是切点，OA⊥AP 性质 逆 扇形孤长公式 经过半径外端且 上悉 垂直于半径的直线 判定定理 切线的性 质与判定 与圆有关 的 扇形面积公式 SnπR 0 PA=PB, LAPO-LBPO=LAPB切线长（定理） m/2 Sw-360=1 画 圆锥的计算公式 S-S.+Ss-nHT 0=·360 品 核心素养：抽象能力、运算能力、模型观念、推理能力、几何直观、应用意识 第26节 圆的基本性质 [2025.16,3分、2024.24,12分] 2022年版课标c,d要求及其变化 要求 探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧（改动）】 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系 d 圆 圆的基本性质 了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对 的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补 教材知识夯基础 侵课前小测 4.如图，点A,B,C,D均在直线1上，点P在直线 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数 1.下列说法正确的有( )[知识点1] 为( )[知识点1] ①圆中的线段是弦；②直径是圆中最长的弦；③经 P. 过圆心的线段是直径；④半径相等的两个圆是等 圆；⑤长度相等的两条弧是等弧；⑥弧是半圆，半 A B C DI 第4题图 圆是弧 A.3个 B.4个 A.2个B.3个 C.4个 D.5个 C.5个 D.6个 2.（教材改编)如图是一个圆形人工湖示意图，弦AB 5.如图，AB是⊙O的直径，BC,CD,DA是⊙0的弦， 是湖上的一座桥，已知AB长为100m,圆周角∠C= 且BC=CD=DA,则∠BCD的度数为 [知识点3] 45°，则这个人工湖的直径是( )[知识点4] 第5题图 第2题图 6.(教材改编)如图，点C是AB上一点，∠AOB=n°， A.100√2m B.1003m 则∠ACB的度数为 .[知识点5] C.120√2m D.1203m 3.(教材改编)如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半 径为5cm,瓶内液体的最大深度CD=2cm,则截面 B 圆中弦AB的长为( )[知识点2] 第6题图 7.如图，AB,AC是⊙0的两条弦，OD⊥AB于点D, 0E⊥AC于点E,连接OB,OC.若∠D0E=140°， 则∠BOC的度数为 .[知识点4] B D 第3题图 E A.4√2cm B.6 cm C.8cm D.8.4 cm 第7题图 96 浙江新中考数学课堂精讲本 ®知识梳理 知识点①圆的基本概念及性质 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦 直径 经过圆心的弦叫作直径 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，大 圆弧 于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧 概念 叫作劣弧 圆心 顶点在 两边都与圆相交的角 角 叫作圆心角 圆周 顶点在 两边都与圆相交的角 角 叫作圆周角 (1)圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是 中心对称图形，任何一条直径所在的直线 圆的 都是它的对称轴， 是它的对称中心； 基本 (2)旋转不变性：绕圆心旋转任意一个角度 性质 都能与自身重合； (3)确定圆的条件：不在同一条直线上的三 个点可以确定一个圆 知识点2垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 定理 所对的弧 (1)平分弦（不是直径）的直径 于弦， 推论 并且 弦所对的弧； (2)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 根据圆的对称性，如图，在以下四个结论 中，只要满足其中两个条件，另外两个结论 定成立，即“知二推二” 常用 结论 ①AC=BC,AD=BD B ②AE=BE, 0 ③AB⊥CD, ④CD是直径 D 知识点3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 定理 相等，所对的弦也相等 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 推论 弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等， 那么它们所对应的其余各对量都相等 相交弦定理：圆内的两条 相交弦，被交点分成的两 拓展 条线段长的积相等即 AE·CE=BE·DE 知识点④圆周角定理及其推论 圆周角圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度 定理 数的一半 (1)半圆（或直径）所对的圆周角是直角或 90°；90°的圆周角所对的弦是 推论 (2)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等 (1)一条弦对应两条弧，这两条弧所对的圆 常用 周角互补； 结论 (2)一条弧只能对应一个圆心角，但能对应 无数个圆周角且度数相等 知识点5圆内接四边形 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆 定义 上，那么这个四边形叫作圆的内接四边形， 这个圆叫作四边形的外接圆 (1)圆内接四边形的对角互补，如图，即 ∠A+∠C=180°，∠D+∠ABC=180°； (2)圆内接四边形的外角等于它的内对角， 如图，即∠ABE=∠D 性质 0 第六单元圆 97 题型精讲攻重难 题型一垂径定理及其推论 0 新题变式练 例1(2023湖州中考)如图，OA是⊙0的半径，弦BC 变式1如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥OA于点E, ⊥OA于点D,连接OB.若⊙O的半径为5cm,BC的 连接OC,OD.若⊙0的半径为m,∠AOD=∠a,则 长为8cm,则OD的长是 cm. 下列结论一定成立的是 A.0E=m·tana B.CD=2m·sina C.AE=m·cosa D.SAco=7m2·sinQ 例1题图 变式1题图 技巧点拨 在有关弦长、弦心距的问题中，常作垂直于 弦的线段或连接半径，构造直角三角形，再利用 勾股定理、方程思想求解 题型二圆周角定理及其推论 新题变式练 例2(2023杭州中考)如图，在⊙0中，半径0A,0B 变式2(2025金华金东区二模)如图，AB是⊙0的直 互相垂直，点C在劣弧AB上.若∠ABC=19°， 径，点C,D为⊙0上的两点，∠BAC=50°，∠D的 则∠BAC= ( 度数为 A.23° A.20° B.24o B.40° C.25° C.50° D.26° D.80° D 例2题图 变式2题图 题型三圆内接四边形的相关计算(2025.16) 新题变式练 例3【一题多解】(2025浙江统考)如图，矩形ABCD 变式3如图，四边形ABCD内接于⊙0，∠BAD=74°， 内接于⊙O,E是AD上一点，连接EB,EC分别交 ∠ABC=58°，∠A0B=138°.若AB=m,BC=n, AD于点F,G.若AF=1,EG=FG=3,则⊙0的 CD=P,DA=q,则四边形ABCD的面积为（)） 直径为 A.mg+np B.2(m网+p) C.mp+ng D2卿+m) 变式3题图 例3题图 98 浙江新中考数学课堂精讲本 题型四圆的性质综合题(2024.24) 新题变式练 例4【一题多解】(2024浙江统考)如图，在圆内接四 变式4(2025温州一模)如图，在圆内接四边形AB- 边形ABCD中，AD<AC,∠ADC<∠BAD,延长AD CD中，延长AB,DC交于点E,在DE上方作 至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连接EF,使 △EFG,使点F在线段DE上，且∠1=∠2，连 ∠AFE=∠ADC. 接DG. (1)若∠AFE=60°，CD为直径，求∠ABD的度数； (1)若∠1=35°，B为AC的中点，求∠ADC的度数； (2)求证：①EF∥BC; (2)连接BD,当∠BDG=∠BEG时. ②EF=BD. ①求证：四边形BEGD是平行四边形； ②若∠3=∠DAB,求证：BC=FG 例4题图 变式4题图 •常考模型链接 点圆最值及隐形圆问题 见《初中数学常考模型》P28~33 易错点弦的位置不确定 M 例如图，已知⊙0的半径为5，弦AB⊥MW于E,且AB=6.若弦CD∥AB,且CD=8,则CD 与AB之间的距离为 【错因分析】本题弦CD的位置不固定，有两种情况：圆心O在弦AB与CD之间，或圆心O E B 在弦AB与CD同侧.本题容易出错的地方在于未考虑到圆的对称性，漏解. 【思考总结】 例题图 温馨提示请完成《裸后作业本B》P32~33习题 第六单元圆 99例3(1)证明略；(2)a=2,解答过程略； (3)重叠部分的四边形A'ECF的边长为7-26 2 解答过程略。 第六单元圆 第26节圆的基本性质 课前小测 1.A2.A3.C4.D5.120°6.180°- 2n 7.80° 知识梳理 圆心圆上圆心垂直平分直径 题型精讲攻重难 例13变式1B例2D变式2B 例32√/14变式3D 例4（1)∠ABD=30°，解答过程略； (2)证明：①如解图，延长AB至点M. 四边形ABCD是圆内接四边形， ∴.∠CBM=∠ADC. 又.·∠AFE=∠ADC ∴.∠AFE=∠CBM,.EF∥BC; ②如解图，过点D作DG∥BC交⊙O于点G,连接 AG,CG. DG∥BC, ∴.∠GDC=∠DCB, BD =CG, .BD=CG. ·四边形ACGD是圆内接四边形， .∴.∠GDE=∠ACG :EF∥DG, .∴.∠AEF=∠GDE .∴.∠AEF=∠ACG ,·∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC, .∠AFE=∠ACC. .∵AE=AC, ·.△AEF≌△ACG(AAS), ∴.EF=CG, ∴.EF=BD E 例4题解图 变式4(1)∠ADC=70°，解答过程略 (2)证明略 高频易错 例7或1 浙江新中考 第27节与圆有关的位置关系 课前小测 1.C2.B3.B4.B5.B6.67.1.5 知识梳理 2个相切>垂直平分线角平分线 题型精讲攻重难 例1D变式1A例2-140° 例2-2(1)证明略； (2)四边形0CE的面积为3+号，解答过程路 变式2-150° 变式2-2(1)证明略； 课 (2)⊙0的半径长为，解答过程略 例3(1)证明略；(2)EF=3,解答过程略. 讲 变式3(1)证明略；（2)弧BE的长为T,解答过 程略. 例4D变式4B例5D变式5D 高频易错 例D 第28节与圆有关的计算 课前小测 1.C2.A3.A4.A5.10π6.9m 知识梳理 nRR扇形圆的周长 180360 等腰三角形 题型精讲攻重难 例1-1B例1-2名变式1-1C 变式1-2C 例2B变式2-1D变式2-2C 变式2-36-π 变式2-4（1)∠D=60°，解答过程略； (2)∠0CA=30°，解答过程略； (3)S阴影都分=3π-2V5. 第七单元图形的变化 第29节尺规作图 课前小测 1.2AB,58S,LACD,SAS,180°，90 2.(1)作图略；(2)是，SAS. 题型精讲攻重难 例1-1D例1-2B变式1-1D 变式1-2B 例2(1)证明略； (2)解：以A为圆心，EC长为半径画弧，交BC于点 F,此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题 意，故小丽的作法有问题. 学 参考答案 9