第24节 特殊平行四边形(一)-【练客中考】2026年浙江新中考数学课堂精讲本PPT

该初中数学中考复习课件聚焦“特殊平行四边形”核心考点，严格对接新课标d级要求，梳理矩形、菱形、正方形的性质与判定，分析近2年中考分值（2025年20分，2024年17分），归纳性质计算、判定证明等常考题型，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题精讲+变式训练+模型总结”模式，如2023杭州中考矩形性质题通过几何直观分析边角关系，2024浙江统考菱形题运用推理能力突破面积比计算，培养数学思维。提供易错点解析和解题模板，帮助学生掌握答题技巧，教师可依此高效组织复习，助力学生中考冲刺。

《课堂精讲本》 数学 目录 01 02 教材知识 夯基础 题型精讲 攻重难 第五单元 四边形 (2025年20分，2024年17分) 第24节　特殊平行四边形(一) [2025.19，8分、2024年2考6分] 深研浙江统考方向 2022年版课标c，d要求及其变化 要求 四边形 平行四边形 探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直 d 正方形既是矩形又是菱形(改动) d 探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形 d 深研浙江统考方向 返回目录 教材知识 夯基础 1.(教材改编)如图，正方形ABCD的边长为8，E为边AD上一点.若BE＝10，则CE的长为(　 　) A.2　　　 B.2　　　 C.11　　　 D.6 4 3 2 1 课前小测 第1题图 A [知识点3] 深研浙江统考方向 返回目录 2.已知四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，下列条件能使四边形ABCD成为正方形的是( 　 ) A.AC＝BD B.AB⊥BC C.AD＝BC D.AC⊥BD 4 3 2 1 D [知识点3] 深研浙江统考方向 返回目录 3.(教材改编)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，AB＝3，则AC的长为___. 4 3 2 1 第3题图 6 [知识点1] 深研浙江统考方向 返回目录 4.(教材改编)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC＝30°，BD＝6.则菱形的边长为___，菱形面积为______. 4 3 2 1 第4题图 6 18 [知识点2] 深研浙江统考方向 返回目录 知识梳理 矩形 性质 (1)边：对边平行且相等； (2)角：四个角都是直角； (3)对角线：对角线________________； (4)对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有___条对称轴 互相平分且相等 2 深研浙江统考方向 返回目录 判定 (1)有一个角是______的平行四边形是矩形； (2)对角线______的平行四边形是矩形； (3)有三个角是______的四边形是矩形； (4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形 面积 S＝ab(a，b分别表示矩形的长和宽) 结论 矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形，且这四个三角形面积相等 直角 相等 直角 深研浙江统考方向 返回目录 菱形 性质 (1)边：对边平行，四条边都相等； (2)角：对角相等，邻角互补； (3)对角线：对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； (4)对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是____ __________，有___条对称轴，对称轴是对角线所在直线 对角 线的交点 　2 深研浙江统考方向 返回目录 判定 (1)有一组邻边相等的____________是菱形； (2)对角线__________的平行四边形是菱形； (3)四条边______的四边形是菱形； (4)对角线互相__________的四边形是菱形 面积 S＝l1l2(l1，l2分别表示菱形两条对角线的长)或S＝ah(a，h分别表示菱形的边和该边上的高) 平行四边形　 互相垂直 相等 垂直平分 深研浙江统考方向 返回目录 结论 (1)菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形； (2)菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形； (3)若菱形有一个内角为60°，则较短的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形； (4)菱形中连接一边的中点与两条对角线的交点可构成直角三角形斜边上的中线或三角形的中位线 深研浙江统考方向 返回目录 正方形 性质 (1)边：对边平行，四条边相等； (2)角：四个角都是直角； (3)对角线：对角线_____________________，每条对角线平分一组对角； (4)对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有___条对称轴，对称中心是______________ 相等且互相垂直平分 4 对角线的交点 深研浙江统考方向 返回目录 判定 (1)有一组邻边相等，并且有一个角是____的平行四边形是正方形； (2)有一组邻边______的矩形是正方形； (3)对角线__________的矩形是正方形； (4)有一个角是______的菱形是正方形 面积 S＝a2(a表示边长)＝l2(l 表示对角线的长) 结论 正方形的对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形 直角 相等 互相垂直 直角 深研浙江统考方向 返回目录 题型精讲 攻重难 例1 (2023杭州中考)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则＝(　 　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 题型一 矩形性质的计算 例1题图 D 深研浙江统考方向 返回目录 变式1 (2025绍兴校级三模)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF.若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为(　 　) A.　　　 B.　　　 C.2　　　 D.2 新题变式练 变式1题图 B 深研浙江统考方向 返回目录 【解析】如解图，过点G作GH⊥AB于点H，过点G作MN∥AB.∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3.∵AE＝1，∴BE＝.∵∠GHE＝∠A＝∠EGF＝90°，∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA.在△GEH和△EFA中， 变式1题解图 深研浙江统考方向 返回目录 ，∴△GEH≌△EFA(AAS)，∴GH＝AE＝1，∴点G 在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，∴CG的最小值＝＝. 变式1题解图 深研浙江统考方向 返回目录 例2 (2025杭州校级二模)如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，O是BD的中点，E，F是BD上的点，且BE＝DF，AF∥CE. (1)求证：△OEC≌△OFA； 题型二 矩形的判定及相关计算 例2题图 证明：∵AF∥CE，∴∠AFO＝∠CEO，∠FAO＝∠ECO. ∵O为BD的中点，即OB＝OD，BE＝DF， ∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF. 在△OEC和△OFA中，，∴△OEC≌△OFA(AAS)； 深研浙江统考方向 返回目录 (2)若OA＝OB，求证：四边形ABCD是矩形. 例2题图 证明：∵△OEC≌△OFA， ∴OC＝OA. ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵OA＝OB， ∴OA＝OB＝OC＝OD，即BD＝AC， ∴四边形ABCD为矩形. 深研浙江统考方向 返回目录 变式2 (2025舟山校级三模)如图，在▱ABCD中，BE⊥AD交DA的延长线于点E，AE＝AD. (1)求证：四边形AEBC是矩形； 新题变式练 变式2题图 证明：由题意可得AD∥BC，AD＝BC. ∵AE＝AD， ∴AE∥BC，AE＝BC， ∴四边形AEBC是平行四边形. 又∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝90°， ∴四边形AEBC是矩形； 深研浙江统考方向 返回目录 (2)若F为CD的中点，连接AF，BF.已知AB＝6，BF⊥AF，求BF的长. 变式2题图 解：由(1)得四边形AEBC是矩形，AD＝BC， ∴∠CAD＝∠CAE＝90°， ∵F为CD的中点. ∴AF＝CD＝AB＝3. ∵BE⊥AF，∴∠AFB＝90°， 由勾股定理，得BF＝＝＝3. 深研浙江统考方向 返回目录 例3 【一题多解】(2024浙江统考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，＝.线段AB与A'B'关于过点O的直线l对称，点B的对应点B'在线段OC上，A'B'交CD于点E，则△B'CE与四边形OB'ED的面积比为____. 题型三 菱形性质的计算(2024.16) 例3题图 　 深研浙江统考方向 返回目录 【解析】如解图，连接OE，A'D.∵AB关于过点O的直线l对称，点B的对应点B'在线段OC上，∴点A'在BD延长线上.∵＝，∴设AC＝10k，则BD＝6k，∴在菱形ABCD中，OA＝OC＝5k，OB＝OD＝3k.∵AB与A'B'关于过点O的直线l对称，∴OA＝OA'＝5k，OB＝OB'＝3k，∴∠A'＝∠DAC＝∠DCA， 例3题解图 深研浙江统考方向 返回目录 ∴A'D＝B'C＝2k.∵∠A'ED＝∠B'EC，∴△A'ED≌△CEB'(AAS)，∴DE＝B'E.∵OE＝OE，OD＝OB'，∴△DOE≌△B'OE(SSS)，∴S△DOE＝S△B’OE.∵＝＝，∴＝＝. 例3题解图 深研浙江统考方向 返回目录 新题变式练 变式3 (2025温州鹿城区二模)如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，E为BC边上的一个动点(不与端点重合)，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，过点F作FG⊥BD于点G，连接AE，则下列比值为定值的是(　 　) A. B. C. D. 变式3题图 B 深研浙江统考方向 返回目录 【解析】如解图，连接AC交BD于点O，设CD与FG交于点H.∵四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴AC＝AB，∠ACB＝∠ACD＝60°，∴OA＝OC＝AC，∠BDC＝ADC＝30°.设OA＝b， 变式3题解图 深研浙江统考方向 返回目录 则AC＝AB＝BC＝CD＝2b，在Rt△OAB中，由勾股定理，得OB＝＝＝b，∴BD＝2OB＝2b.设CF＝BE＝2a，∴EF＝EC＋CF＝BC－BE＋CF＝BC＝2b，EC＝BC－BE＝2b－2a.∵FG⊥BD，AC⊥BD，∴FG∥AC，∴∠F＝∠ACB＝60°，∠CHF＝∠ACD＝60°，∴∠F＝∠CHF＝60°， 变式3题解图 深研浙江统考方向 返回目录 ∴△CHF是等边三角形，∴CH＝CF＝2a，∴DH＝CD －CH＝2b－2a.在Rt△DHG中，∠BDC＝30°，∴GH ＝DH＝b－a，由勾股定理，得DG＝＝ ＝(b－a)，∴BG＝BD－DG ＝2b－(b－a)＝b＋a，对于选项A，＝不是定值；对于选项B，＝＝为定值；对于选项C，＝不是定值；对于选项D，＝不是定值. 变式3题解图 深研浙江统考方向 返回目录 例4 (2023嘉兴、舟山中考)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF. (1)求证：AE＝AF； 题型四 菱形的判定及相关计算 例4题图 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D. 又∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°. 在△ABE和△ADF中，， ∴△ABE≌△ADF(AAS).∴AE＝AF； 深研浙江统考方向 返回目录 (2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数. 例4题图 解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＋∠BAD＝180°. ∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°. 又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°. 由(1)知△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF＝30°， ∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°， ∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°. 深研浙江统考方向 返回目录 变式4 (2025衢州校级三模)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE，AF，BF. (1)求证：四边形AEBF是菱形； 新题变式练 变式4题图 证明：∵点D为AB边中点，∴AD＝BD. ∵DF＝ED， ∴四边形AEBF是平行四边形. ∵EF⊥AB，∴四边形AEBF是菱形； 深研浙江统考方向 返回目录 (2)若cos∠EBF＝，BF＝5，连接CD，求CD的长. 变式4题图 解：如解图，过点F作FG⊥BC于点G，易得四边形 AFGC是矩形， ∵cos∠EBF＝＝，BF＝5，∴BG＝3，∴FG＝AC＝4. ∵四边形AEBF是菱形，∴CG＝AF＝BF＝5， ∴BC＝CG＋BG＝5＋3＝8， ∴AB＝＝＝4. ∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴CD＝AB＝2，∴CD的长为2. 变式4题解图 深研浙江统考方向 返回目录 例5 (2025浙江统考)【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上. 题型五 正方形的计算与证明(2025.21，2024.8) 例5题图 深研浙江统考方向 返回目录 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程； 例5题图 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD. 又∵BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE(SAS)； 深研浙江统考方向 返回目录 (2)若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数. 例5题图 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°. ∵DE＝DA， ∴∠DAE＝∠DEA. ∵∠DAE＋∠DEA＋∠ADE＝180°， ∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°， ∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝22.5°. 深研浙江统考方向 返回目录 变式5 (2023杭州中考)如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F. (1)若ED＝，求DF的长； 新题变式练 变式5题图 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AB＝AD＝BC＝CD＝1， ∴△DEF∽△CBF，∴＝， ∴＝，∴DF＝； 深研浙江统考方向 返回目录 (2)求证：AE·CF＝1； 变式5题图 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴∠ABE＝∠F. 又∵∠A＝∠BCD＝90°， ∴△ABE∽△CFB， ∴＝， ∴AE·CF＝AB·BC＝1； 深研浙江统考方向 返回目录 (3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G.若EG＝ED，求ED的长. 变式5题图 解：设EG＝ED＝x，则AE＝AD－DE＝1－x， BE＝BG＋GE＝BC＋GE＝1＋x， 在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， 即1＋(1－x)2＝(1＋x)2， 解得x＝， ∴ED＝. 深研浙江统考方向 返回目录 特殊四边形中常考模型 ——见《初中数学常考模型》P21～23 深研浙江统考方向 返回目录 请完成《课后作业本B》P30～31习题 深研浙江统考方向 返回目录 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $