第22节 锐角三角函数及其应用-【练客中考】2026年浙江新中考数学课堂精讲本

题型精讲攻重难 例1(1)证明略；(2)CD=ED,理由略。 变式1（1)∠DAE=10°，解答过程略； (2)∠B=36°，解答过程略. 例2(1)5a+5b=7c;(2)a2+b2=c2 变式2∠B0Q=60°，解答过程略. 高频易错 例(1)65°，65°或50°，80°；(2)20 第19节直角三角形与勾股定理 课前小测 1.22.502.3.364.130cm510 知识梳理 90°一半斜边的一半30°a2+b2=c2 题型精讲攻重难 例1D变式1B例2D变式29 例3C变式3D例4C变式438 高频易错 例15W5+5或105例212或7+7 第20节相似三角形 课前小测 1.C2.40°3.√2：1 知识梳理 ad=bcc±da+c+…+m=m5-l db+d+…+n-n2 相似比的平方相等 题型精讲攻重难 例12变式1C例2C变式212 例3B变式3-14变式3-245 3 例4C变式4D 例5（1)AD=2,解答过程略； (2)平行四边形BFED的面积为6，解答过程略. 变式5 （1)证明略：(2)配的长是3，解答过 程略。 第21节相似三角形及其应用 课前小测 1.162.48 34(-号号)，8（号2）.C0,2)成4（径，-号， B(-,-2),c(0,-2) 题型精讲攻重难 例1C变式1A例24.1变式2C 例3（证明略：(2器-号解答过程略： （3)aL4C8-.解答过程略 浙江新中考 娄 变式3(1)证明略； （2-册9 (3)y=n2x,解答过程略； (4解号y册3y=, ”=5(负值巴舍去) 8那=n=2m, EP5 5 由勾股定理，得EP2+DP2=DE2 ·DE=3, P+(25Py2=3BP=5(负位已含去) 课 精 BC=AB.12=AB EG=Ep·5 …h 5 高频易错 本 例D 第22节锐角三角函数及其应用 课前小测 1.D2.B3.D4.51,18 知识梳理 a b aa b a cc b cc b 题型精讲攻重难 例1(1)BC=14,解答过程略； （2)∠0A8=等，解答过程路 变式1(1)线段AC的长为√10，解答过程略； (2)uam∠ABC的值为子，解答过程略 例2-1490例2-2(1)B=90°-a; (2)气球A离地面的高度AD是60m,解答过程略， 变式2-1A变式2-2D 变式2-3A,B两点间的距离约为42m,解答过 程略。 例3（1)6+2；(2)原式=，解答过程略 4 2 变式3(1)成立.证明略； (2)S△MBc=6√5+6，解答过程略. 第五单元四边形 第23节平行四边形与多边形 课前小测 1.C2.C3.2√134.∠BAE=∠DCF(答案不唯一) 知识梳理 (n-2)·180°360°n(n-3)(n-2)·180° 2 n 360° n 学参考答案 >第22节锐角三角函数及其应用 [2025.13,3分、2024.19,8分] 2022年版课标c,d要求及其变化 要求 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA) 图形的变化锐角三角函数能用锐角三角函数解直角三角形 能用相关知识解决一些简单的实际问题 教材知识夯基础 侵课前小测 ®知识梳理 1.若a=sin45°，b=cos60°，c=tan30°，则它们之间 知识点个锐角三角函数 的大小关系是( )[知识点1] 1.概念 A.c<b<a B.b<a<c 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c,BC=a,AC=b,则 C.a<c<b D.b<c<a ∠A的正弦：sinA= ;∠A的余弦：cosA= 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A,∠B,∠C所 ;∠A的正切：tanA= 对的边分别为a,b,c,则( )[知识点1] 2.特殊角的三角函数值 a 30° 45° 60° 图形 1 sin a 3 3+1 2 2 2 15° 45% 第2题图 3-175 22 3 √2 1 收45° cos a 2/303 A.c=bsin B B.b=csin B 2 2 2 60° C.a=btan B D.b=ctan B tan a 3 30°60° 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,则 3 3 3 cosA的值是( )[知识点2] 知识点2解直角三角形 B 1.概念：在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出 另一些边、角的过程，叫作解直角三角形 C 2.解直角三角形的依据：在Rt△ABC中，∠C=90°， 第3题图 AB=c,BC=a,AC=b. B含 C.3 D (1)三边关系：a2+b2=c2(勾股定理)； (2)三角关系：∠A+∠B=∠C=90°； 4.(教材改编)小玲家对面新造了一幢图书大厦，小 (3)边角的关系：sinA=cosB= 玲在自家窗口测得大厦顶部的仰角和大厦底部的 cos A=sin B= tan A= 俯角（如图所示），量得两幢楼之间的距离为32m. 则大厦的高约为m,小玲家高约为 知识点3解直角三角形的实际应用 m. (结果精确到1m,参考数据：tan46°≈1.04， 1.仰角、俯角 tan29°≈0.55)[知识点3] 如图1，在视线与水平线所成的锐角中，视线在水 B 平线上方的角叫作仰角，视线在水平线下方的角 ◇ 叫作俯角. 视线 四C 46 A回 铅 29°9 仰角 垂 角水平线 D -32m 视线 第4题图 图1 80 浙江新中考数学课堂精讲本 2.坡度（坡比）、坡角 3.方向角 如图2，通常把坡面的铅直高度h与水平宽度1的 如图3，指北或指南的方向线与目标方向线所成的 比叫作坡度（或坡比），用字母i表示；坡面与水平 小于90的角叫作方向角. 面的夹角a叫作技角，即i=m《=会 北 北偏东30° 30 北偏西70° =h: 70° $ 东 ☑ 45509 南偏西45° 南偏东509 图2 (或西南方向)南 图3 题型精讲 攻重难 题型一解直角三角形(2024.19) @ 新题变式练 例1(2024浙江统考)如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE 变式1(2025杭州西湖区二模)如图，在△ABC中， 是BC边上的中线，AB=10,AD=6,tan∠ACB=1. AD=3√2，BD=DC=4,∠ADC=45° (1)求BC的长； (1)求线段AC的长； (2)求sin∠DAE的值. (2)求tan∠ABC的值. ED B D 例1题图 变式1题图 题型二解直角三角形的实际应用(2025.13) 新题变式练 例2-1(2025浙江统考)无人机警戒在高速公路场景 变式2-1(2025舟山定海区九年级期中)某河堤横 中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践 断面如图所示，堤高BC=10米，迎水坡AB的坡比 方向.如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机 是1：√3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度 巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它 AC之比)，则AC的长是 的正下方公路上点B处有汽车发生故障测得A处 A.10√3米 到P处的距离为500m,从点A观测点P的仰角为 B.20米 ,cosa=0.98,则A处到B处的距离为 m. C.205米 D.30米 变式2-1题图 例2-1题图 第四单元三角形 81 例2-2(2023宁波中考)某综合实践研究小组为了 变式2-2(2025温州模拟)如图，小温通过“Smart 测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅 Measure'”软件测得手机镜头点A离地面的高度 锤自制了一个简易测角仪，如图1所示 AB=x,垂直地面的小旗杆底端C点的俯角α，顶 (1)如图2，在P点观察所测物体最高点C,当量角 端D点仰角B,则可得到小旗杆的高度为() 器零刻度线上A,B两点均在视线PC上时，测得 A.(sin a sin B)x D 视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为B,请直 B.(tan a +tan B)x B 接用含α的代数式表示B; C.(1+sin (2)如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高 sin B' 度，该小组利用自制简易测角仪在点B,C分别测 D.(1+tanB B C tan o 变式2-2题图 得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地 变式2-3（2025湖州校级三模)如图，为了测量河 面上点B,C,D在同一水平直线上，BC=20m,求 对岸A,B两点间的距离，数学综合实践小组在河 气球A离地面的高度AD.(参考数据：sin37°≈ 岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东 0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 30°方向上，沿正东方向行走60m至观测点D,测 得B在D的北偏西60°方向上，A在D的北偏西 21°方向上，求A,B两点间的距离.（结果取整数， 参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈ 0.81,sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈ C 1.23,√3≈1.73) 图1 图2 图3 例2-2题图 变式2-3题图 技巧点拨 解直角三角形的应用中常见辅助线作法 图示 B --DD (1)找（构造）直角三角形（一般用两个）； (2)标出已知和所求的量； 方法 (3)找到两个直角三角形的关联点，建立 等量关系 82 浙江新中考数学课堂精讲本 题型三锐角三角函数的拓展 新题变式练 例3在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的 变式3【特例猜想】小明同学在学习了锐角三角函数 边分别是a,b,c,利用锐角三角函数定义很容易推 和圆的相关知识后发现，如图1，在Rt△ABC中， 导出一些关系式，如sin2A+cos2B=1,sinA=cosB 以AB为直径作圆O,设其半径为r,三边长分别为 等，这些公式在三角函数式子的变形中运用比较 a,bc,由锐角三角函数定义知道：sinA=BC=是， 广泛.设，B是锐角，定义：当α>B时，两角和的 AB 2r 余弦公式：cos(a+B)=cos acos B-sin asin B.例： 血8治-多血C怡-号经变形可得：4 计算c0s75°的值.c0s75°=c0s(45°+30)= 2,B=2,c=2,因此A=B b cos45cos30°-sin45°sin300=2×5-2 2×-2 × 1-6_2-6-2 inC=21,这正是高中数学将要学习的正弦定理， 2=44=4 【一般推广】(1)如图2，把Rt△ABC改为△ABC, 两角差的余弦公式：cos(a-B)=cos acos B+sina sinB.利用类比的方法运用公式求解. ⊙0是△ABC的外接圆，结论 品ABc (1)计算cos15°= 2r还成立吗？若成立，请你利用已学知识进行证 (2)计算cos80°cos35°+sin80°sin35的值. 明；若不成立，请说明理由； 【实际应用】(2)如图3，在△ABC中，∠B为钝角， imB=6+2,AC=6+25,AB=45,BC=26, 4 求△ABC的面积 知识拓展 十十十十十州十十十 基础公式： 0. (1)ax+B=90°时：①sina=cosB;②cosa=sinB; ③tana·tanB=l; B (2)对于任意角a时：①sin2a+cos2B=1; 图1 图2 图3 变式3题图 ②tana&=sina;③sina+cos&>1. 正弦定理：0 b sin A=sin B=sin C= 2r(r为外接圆半径) a 2+c2-a2 第1题图 余弦定理：cosA=9 2bc cos B=a'tc2-2 2ac- cos C=a+b2-c2 2ab 二倍角公式：sin2A=2 sin Acos A;cos2A=1- 2sin'A;tan2A 2tan A +十++十 1-tan2A 温馨提示清完成《课后作业本B》P26~27习题 第四单元三角形 83