第9节 平面直角坐标系与函数初步-【练客中考】2026年浙江新中考数学课堂精讲本

变式3-2x=4,解答过程略. 变式3-3 「x=1 1y=0解答过程略 例4-1 9例4-2C变式4-1D 变式4-2500 rx-10=2(y+10) 变式4-3 3(x+5)=y-5 {1 变式4-4(1)实际支付高速费用为(0.95a+0.5c) 元，优惠了(0.05a+b+0.5c)元； (2)故此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其 他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元，解 答过程略。 高频易错 例略 第6节分式方程及其应用 课前小测 1.C2.23.D4.600 题型精讲，攻重难 例1-13例1-2x=2,解答过程略. 变式1-1x=-3,解答过程略. 变式1-2分式方程无解，解答过程略 例2C变式2-1D变式2-2B例3-1C 例3-2(1)根据题意可得顺流航行的速度为(32+ x)km/h,逆流航行的速度为(32-x)km/h, 所用时间（分别为3932” (2)江水的流速为6.4km/h,解答过程略. 变式3-111 变式3-2一辆该型号快速换轨车每小时更换钢 轨2公里 高频易错 例m<-1且m≠-2 第7节一元二次方程及其应用 课前小测 7 1.B2.B3.(1)x==4;(2)x=1-2,x= 1+√24.5cm 知识梳理 x=-b±B-4ac ≥一次项系数的一半的平方 2a -4ac>相等没有-b9 aa 题型精讲攻重难 例1x1= 1+5=1-5,解答过程略. 2,x=2 1 1 变式1-1名=24=-2 浙江新中考 变式1-2x1=-1+V2,x2=-1-√2，解答过程略. 例2略 变式2-1B变式2-2C 例3A变式3-12027变式3-26 例4A变式40.5m 高频易错 例1x1=0,x2=-4例2A 第8节一元一次不等式（组）及不等式的应用 课前小测 1.D2.C3.A4.x≤85.x>36.17 知识梳理 课 >><x≤b无解≥≤ 堂 题型精讲攻重难 精 例1C变式1A例2x>3,解答过程略. 讲 变式2x≥-2，解答过程略，在数轴上表示不等式 本 的解集略 例3-1A例3-2-2≤x<4 变式3x≥-1；x<4;在数轴上表示略。 例4B变式4-1-17≤P<-7变式4-22 例5（1)A种品牌的防晒霜每套的进价为100元，B 种品牌的防晒霜每套的进价为75元，解答过程略； (2)A品牌的防晒霜至少要购进16套，解答过 程略。 变式5(1)a=8,解答过程略； (2)至少需要6个这样的机器人同时工作1小时， 才能使采摘的苹果个数不少于10000个，解答过程 略 高频易错 例(1)五，不等式两边同时除以负数，没有改变不等 号方向；(2)x≥1. 第三单元函数 第9节平面直角坐标系与函数初步 课前小测 1.D2.-13.(1)(5,3);(2)(-3,-5): (3)(-3,5)4.(3.5,2),(1.5,-1.5)5.160;s,t 知识梳理 相等互为相反数纵横√x2+yx1一x,1 ly1-y21(x,-y)（-x,y)(-x,-y)(x-c, y）(x,y-c)(y,-x)（-y,x)（-x,-y) 题型精讲攻重难 例1B变式1D 例2A变式2（-3，-2) 例3C变式3-1D变式3-2A 例4B变式4-1x>3 5 变式4-2y=10-2x,2.5<x<5 例5D变式5C例6D变式6D 学参考答案 5品数知识脉络图 待定系数法求表达式，也 各象限内的点 浙河新土号 可根据k的几何意义求解 坐标轴上的点 点的坐 各象限角平分线上的点 标特征 h>0 表达式y=k≠0) 与坐标轴平行的直线上的点 无限接近坐标轴， 图象双曲线 但与坐标轴永不相交 骥 对称 点的坐 增减性 平移：右加左减，上加下减 标变换 性质对称性 注意反比例函数讨论增 减性需在每个象限内 旋转 YIy=- 平面直角 反比例函数 点到坐标轴、原点的距离 ,点的距 坐标系与 k的几何意义 SE形PA0B=|k B P(x,y） 平行于坐标轴的直线上的两点间的距离 离特征 函数初步 与一次函数、几何图形综合问题 两，点之间的距离 0A 常量与变量 实际应用，行程问题、工程问题、跨学科问题、其他生活问题 函数的表示方法：列表法、解析法、图象法 函数及 自变量的取值范围 待定系数法求表达式 相关概念 画函数图象的步骤：列表、描点、连线 函数 一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 图 函数图象的分析与判断 表达式 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 0y 交，点式：y=a(x-x1)(x-x2(a0) b>0 a>0 图象抛物线 娄 开口方向。a>0,开口向上；a<0,开口向下 待定系数法求表达式 2025 b 4ac-b2 一次函数：y=kx+b,b为常数，k≠0) 表达式 顶点坐标：（←2a,4a t 云 正比例函数：y=kx化≠0 二次函数 顶点坐标与对称轴 对稀轴：直线立 一条直线 图象 性质 增减性由开口方向和对称轴共同决定 k的正负决定增减性 最小值：4ac-b2 .20244 b的正负决定函数图象与y轴的交，点位置 性质 一次函数 a>0 与x轴交点坐标(-是，0) 最值 a<0 最大值：4ac-b 4a 与y轴交点坐标(0，b) 系数a,b,c与图象的关系 与方程（组）、不等式的关系 图象平移规律：左加右减，上加下减 最优方案或方案选择问题、行程问题、利润问题实际应用 与方程、不等式的关系 实际应用。抛物线型问题、利润问题、几何图形面积问题 核心素养：抽象能力、运算能力、推理能力、几何直观、模型观念、应用意识、创新意识 第9节平面直角坐标系与函数初步 [2025.10,3分] 2022年版课标c,d要求及其变化 要求 在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置 c 函数 函数的概念 在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置 c 探索简单实例中的数量关系和变化规律 教材知识夯基础 侵课前小测 (1)x轴上：纵坐标为0，即y=0; 坐标轴 1.如图，在平面直角坐标系中，被手盖住的点的坐标 (2)y轴上：横坐标为0，即x=0; 上的点 可能为( )[知识点1] (3)原点0：坐标为(0,0) A.(1,2) (1)点在第一、三象限的角平分线上， 各象限角 B.（-1,2) 横纵坐标 平分线上 C.(1,-2) (2)点在第二、四象限的角平分线上， 的点 D.(-1,-2) 第1题图 横纵坐标 2.已知点P(2m+4,m-1),若点P到两坐标轴的距 (1)平行于x轴（或垂直于y轴）的直 离相等，且点P在第四象限，则m的值是 与坐标轴 线上的点的 坐标相等； [知识点2] 平行的直 (2)平行于y轴（或垂直于x轴）的直 3.(教材改编)填空：[知识点3] 线上的点 线上的点的 坐标相等 (1)点P(5,-3)关于x轴对称的点的坐标是 知识点2点的距离特征 (2)点P(3,-5)关于y轴对称的点的坐标是 (1)点P(x,y)到x轴的距离d=lyl; 点到坐标 (3)点P(3,-5)关于原点对称的点的坐标是 (2)点P(x,y)到y轴的距离d=lxI; 轴的距离 4.(教材改编)已知点A的坐标是(1.5,2)，则点A (3)点P(x,y)到原点的距离d= 向右平移2个单位长度后的坐标是 ,点A 平行于坐标 (1)平行于x轴的直线上的两点P(x1, 向下平移3.5个单位长度后的坐标是 轴的直线上y),P2(x2,y)之间的距离PP2= [知识点3] 的两点间的(2)平行于y轴的直线上的两点Q(x, 5.（教材改编)一列行驶中的火车的速度为每小时 距离 y1),Q2(x,y2)之间的距离QQ2= 160千米，用t(时)表示行驶的时间，s(千米)表示 行驶的里程.其中常量是 ,变量 已知平面内任意两点A(x1,y1),B(x2, 是 [知识点4] 拓展 2),则AB=√(x-x)2+(2-y)7, ②知识梳理 知识点点的坐标特征 B的中点坐标为（高5，”） 知识点3点的坐标变换 第二象限 4 第一象限 （-,+) 3 (+,+) (1)P(x,y) 关于x轴对称 P 2 各象限 1 内的点 -5-4-3-2-012345元 点的对称 (2)P(x,)关于y轴对称P: -2H 第三象限-3 第四象限 (-,-） -4 （+,-) 关于原点对称 (3)P(x,y) P 5 第三单元函数 33 口诀：关于谁对称，谁不变；关于原点对 知识点4函数及相关概念 点的对称 称，都要变 常量与 在一个过程中，固定不变的量称为常 横坐标右加左减，纵坐标上加下减 变量 量，可以取不同数值的量称为变量 (1)P(x,y) 向左平移 般地，在某个变化过程中，如果有两 c个单位长度 函数的 个变量x,y,并且对于x的每一个确定 向右平移 点的平移 (2)P(x,y) c个单位长度 P'(x+c,y）; 概念 的值，y都有唯一确定的值与之对应， (3)P(x,y) 向上平移 那么就说y是x的函数，x叫作自变量 c个单位长度 P'(x,y+c); 向下平移 函数的表 (4)P(x,y) 解析法、图象法、列表法 c个单位长度 示方法 (1)点P(x,y)绕原点顺时针旋转90 画函数图象 列表、描点、连线 的对应点P1的坐标为 的一般步骤 (2)点P(x,y)绕原点逆时针旋转90 (1)分式型：分母不为0； 点的旋转 函数自变 的对应点P2的坐标为 (2)二次根式型：被开方数≥0； 量的取值 (3)点P(x,y)绕原点旋转180°的对应 (3)分式+二次根式型：被开方数≥0 范围 点P3的坐标为 且分母不为0 题型精讲 攻重难 题型一点的坐标特征 E 新题变式练 例1(2023丽水中考)在平面直角坐标系中，点 变式1(2025宁波一模)如果点P(1-x,x-3)在平 P(-1,m2+1)位于 ( 面直角坐标系的第三象限内，那么x的取值范围 A.第一象限 B.第二象限 在数轴上可表示为 C.第三象限 D.第四象限 01234 0 1234 01.234 0 34 题型二点坐标的确定 新题变式练 例2(2023台州中考)如 变式2（教材改编）七巧板，又称七巧图、智慧板，它 图是中国象棋棋盘的 楚河 汉界 是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平 一部分，建立如图所示 行四边形共七块板组成的.如图为由七巧板拼成 的平面直角坐标系，已 的“小船”，若点A的坐标为(-2,1)，点B的坐标 知“車”所在位置的坐 为(0，-1)，则点C的坐标是 标为(-2,2)，则“炮” 例2题图 所在位置的坐标为 A.(3,1)B.(1,3) C.(4,1) D.(3,2) 技巧点拨+++++++++++++++ 若已有坐标轴，则根据单位长度判断点的坐 标，若没有坐标轴，则先根据已知条件确定原点位 变式2题图 置，并画出坐标轴，再去判断所求点的坐标 34 浙江新中考数学课堂精讲本 题型三点的坐标变换 新题变式练 例3(2023杭州中考)在直角坐标系中，把点A(m,2) 变式3-1在平面直角坐标系中，若点A(a,-1)与 先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点 点B(4,b)关于x轴对称，则 ( B.若点B的横坐标和纵坐标相等，则m=（ A.a=4,b=-1 B.a=-4,b=1 A.2 B.3 C.4 D.5 C.a=-4,b=-1 D.a=4,b=1 技巧点拨+++++++++++++++ 变式3-2(2024宁波九上期末)在平面直角坐标系 点的平移口诀：右加左减，上加下减 中，将点A(-4,2)绕原点0顺时针旋转90°，则点 点的对称口诀：关于x轴对称“横等纵反”，关 A的对应点A'的坐标是 () 于y轴对称“横反纵等”，关于原点对称“横反 A.(2,4) B.(4,2) 纵反” C.(-4,-2) D.(-4,2) 题型四函数的概念及自变量的取值范围 新题变式练 例4(2023温州龙湾区一模)下列图象中，表示y是 变式4-1(2025杭州校级模拟)在函数y= 2x x的函数的是 √/3x-5 中，自变量x的取值范围是 A B 技巧点拨 变式4-2已知等腰三角形的周长为10cm,将底边 在实际问题中，自变量的取值范围既要使 长ycm表示为腰长xcm的关系式是 函数关系式有意义，又要符合实际意义. 其自变量x的取值范围是 题型五根据实际问题分析判断函数图象 新题变式练 例5(2025温州模拟)如图，姐弟两人沿同一路线去 变式5某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上 1500m外的学校上学，弟弟走路，姐姐骑车，他们 午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校 所走的路程s(m)与时间t(分)之间的函数图象如 师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图）到爱国 图所示，则以下说法中不正确的是 主义教育基地进行研学.上午8：00，军车追上大巴 ↑s(m) 并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学 1500 物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到 达基地，设军车与大巴离仓库的路程为s,所用时间 0101520(分) 为t,则下列图象能正确反映上述过程的是（) 例5题图 A.弟弟比姐姐晚到5分钟 仓库基地 B.姐姐的速度是弟弟的速度的4倍 绿 营地学校 C.姐姐出发时，弟弟已经走了750m 变式5题图 D.姐姐出发4分钟后追上弟弟 第三单元函数35 技巧点拨+++++++++++++ 十十十…十十十十十十十十十十十十十…十十十 根据实际问题分析判断函数图象 (3)拐点：反映函数图象在这一时刻开始变化； (1)横纵坐标：理清横轴与纵轴所表示的变量， (4)水平线：函数值随自变量的变化而保持不变； 判断自变量与因变量； (5)交点：表示两个函数的自变量与函数值分 别对应相等，这个点是函数值大小关系的“分 (2)起点：根据题目的条件，判断函数图象的起 始点的位置； 界点” 题型六根据几何动态问题分析判断函数图象 新题变式练 [2025.10] 例6(2025浙江统考)为了实时规划路径，卫星导航 变式6如图，在扇形OAB中，一个动点P从点O出 系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方. 发，沿路线O-A-B-O匀速运动，当点P运动的 如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处 时间为t时，OP的长为s,则s与t的关系可以用 出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ 图象大致表示为 为x(单位：km)(0≤x≤n),PQ为y(单位：km2). 如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C,最低 点D(m,81),且经过E(1,225)和F(n,225)两点. 下列选项正确的是 变式6题图 8 图1 图2 例6题图 A.m=12 B.n=24 C.点C的纵坐标为240 技巧点拨十++++++十++++++一 D.点(15,85)在该函数图象上 几何量的变化趋势判断函数图象 技巧点拨 (1)认真观察几何图形，找出运动的起点和终 解决几何中的动点函数图象问题的方法 点，由动点、动直线的移动范围确定自变量的 (1)看两轴：先确定横、纵轴表示的意义； 取值范围，分清整个运动过程分为几段； (2)看点：找图象中的起点、拐点、与坐标轴的 (2)关注运动过程中的特殊位置（即拐点）处 交点、终点、最高点（最低点）及其对应的坐标 的函数值，常关注的函数值包括起点和终点处 值，并与几何图形对应； 的函数值，最大（小）函数值； (3)看线：判断函数图象的趋势，注意特殊的函 (3)关注每一段运动过程中函数值的变化规 数图象（如平行于坐标轴、直线、曲线等），并与 律，与图象上升（下降）的变化趋势相比对，最 几何图形对应； 后判断函数图象。 (4)找等量关系，利用几何图形的性质求解. 十 温馨提示清完成《裸后作业本A》P10~11习题 36 浙江新中考数学课堂精讲本