第7节 一元二次方程及其应用-【练客中考】2026年浙江新中考数学课堂精讲本

第7节 一元二次方程及其应用 2022年版课标c,d要求及其变化 要求 方程及方程组 方程 能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程 c 教材知识夯基础 侵课前小测 (2)确定a,b,c的值（注意带上“符号”）： 1.若关于x的方程(k-2)x2+3x-1=0是一元二次 (3)求出b2-4ac的值； 方程，则k的取值范围是()[知识点1] 公式法 (4)若b-4ac≥0，则代入求根公式 A.k≠0 B.k≠2 C.k>2 D.k>0 ,解出x1,x2 2.（教材改编)若一元二次方程ax2+bx+c=0的系数 满足ac<0,则方程根的情况是( )[知识点3] 适用： 开平 A.没有实数根 (1)形如ax2+c=0(a≠0，ac<0); 方法 B.有两个不相等的实数根 (2)形如(x+a)2=b(b 0) C.有两个相等的实数根 适用二次项系数化为1后，一次项系数为 D.无法判断 偶数的一元二次方程，解题步骤如下： 3.（教材改编)[知识点2] (1)移项：将常数项移到方程的右边； ()方程x(2x-7)=-智的解为 配方法(2)变形：将二次项系数化为1； (2)方程(x+1)(x-1)=2x的解为 (3)配方：方程两边同时加上 4.(教材改编)如图1，有一张长40cm,宽25cm的 写成完全平方的形式； 矩形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成 (4)求解：用直接开平方法解方程 如图2的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm2, 适用以下方程： 则纸盒的高是 ,[知识点4] (1)方程缺少常数项，即方程ax2+bx=0 40 cm (a≠0)； 因式分 (2)一元二次方程的一边为0，而另一边易 解法 25 cm 分解成两个一次因式的乘积，即方程(ax+ b)(cx+d)=0(ac≠0)； 图1 图2 (3)方程两边含有相同的因式 第4题图 知识点3一元二次方程根的判别式及根与 心知识梳理 系数的关系 知识点1一元二次方程的概念 根的判 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 只含有一个未知数，并且未知数的最高次 别式 的判别式为 概念 数是2次的整式方程 (1)b2-4ac 0台一元二次方程ax2 ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数，a≠0)，其 一般 +bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实 中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数 形式 根与判数根； 项，α，b分别称为二次项系数和一次项系数 别式的(2)b2-4ac=0台一元二次方程ax2+bx+ 知识点2一元二次方程的解法 关系 c=0(a≠0)有两个 的实数根； 适用所有一元二次方程，解题步骤如下： (3)b2-4ac<0曰一元二次方程ax2+bx+ 公式法 (1)将方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的 c=0(a≠0)》 实数根 形式： 第二单元方程（组）与不等式（组） 25 根与系若x1,x,是一元二次方程ar2+bx+c=0(a (2)互赠礼物总份数：x(x-1)(x为人 循环问题 数的关 ≠0)的两根，那么x1+x2=」 数，且x≥2)（双循环问题）》 系 x1·x2= D 知识点④一元二次方程的实际应用 审题→设元→列方程→解方程→检验→ B一a 列方程解 作答 应用题的 S阴影三 S刷形= 注意：检验一元二次方程的解是否符合 般步骤 面积问题 (a-2x)(b-2x) (a-x)(b-x) 实际 (设起始量为a,终止量为b) (1)若连续两次增长，平均增长率为x, 平均变化 则b=a(1+x)2; B—a 率问题 (2)若连续两次下降，平均下降率为x, S册影=(a-x)(b-x) 则b=a(1-x)2 若单价每涨a元，少卖出b件，则涨价x (1)握手总次数：x)1少(x为人数，且 每每问题 循环问题 2 元，少卖出(x·b)件 x≥2)（单循环问题）； 题型精讲 攻重难 题型一一元二次方程的解法 @ 新题变式练 例1(2025宁波一模)解方程：x2-1=x. 变式1-1(2025宁波一模)解方程4x2-1=0, 得 变式1-2(2025杭州滨江区一模)解方程： x2+2x-1=0. 题型口一元二次方程根的判别式 新题变式练 例2(2023杭州中考)设一元二次方程x2+bx+c= 变式2-1(2025杭州校级模拟)已知关于x的方程 0.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值， x2+4x+k=0有两个同号的实数根，则k的取值 使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个 范围是 方程. A.k<0B.0<k≤4C.0≤k<4D.k>0 ①b=2,c=1; ②b=3,c=1; ③b=3,c=-1; ④b=2,c=2. 变式2-2(2025北京中考)若关于x的一元二次方 程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a 的值为 A.-4 B.-1 C.1 D.4 26 浙江新中考数学课堂精讲本 题型三一元二次方程根与系数的关系 新题变式练 例3(2025杭州西湖区二模)若x1,x2是一元二次方 变式3-1已知m,n是关于x的一元二次方程 程x2-mx+15=0的两个实数根，1-2=2，则m x2-2025x+1=0的两个根，则(m+1)(n+ 的值为 ( 1)= A.±8 B.8 C.-8 D.±4 技巧点拨+++++++++++++++ 变式3-2(2025宁波模拟)已知关于x的一元二次 (1)两根平方和的变形x12+x22=（x1+x2)2 方程(x+1)(x-5)=k有一个实数根x1=-2,则 2x=(-b)2-2x9=6-2ac 它的另一个实数根x2= a 6 (2)两根倒数和的变形1 a= b(x1x20) (3)两根差的平方变形(x1-2)2=(1+:2)2 42=(一6)2-4×C=620 a 题型四一元二次方程的实际应用 新题变式练 例4近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公 变式4如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种 司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预 植园.为了方便耕作管理， 20m 计7月产值将增至8100万元.设该公司6,7两个 在种植园的四周和内部修 月产值的月均增长率为x,则x的值为() 建宽度相同的小路（图中阴 A.80%B.60%C.70% D.90% 影部分).小路把种植园分 成面积均为24m2的9个矩 变式4题图 形地块，则小路的宽度为 高频易错 易错点一解一元二次方程 例1方程x(x-1)=x(2x+3)的解为 【错因分析】本题容易出错的地方在于方程两边同除以一个含字母的式子，导致丢根. 【思考总结】 易错点二二次项系数的取值 例2若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为 A.2 B.-2 C.2或-2 D 【错因分析】本题容易出错的地方在于忽略一元二次方程二次项系数不为0这一隐含条件. 【思考总结】 温馨提示请完成《裸后作业本A》P8~9习题 第二单元方程（组）与不等式（组） 27变式3-2x=4,解答过程略. 变式3-3 「x=1 1y=0解答过程略 例4-1 9例4-2C变式4-1D 变式4-2500 rx-10=2(y+10) 变式4-3 3(x+5)=y-5 {1 变式4-4(1)实际支付高速费用为(0.95a+0.5c) 元，优惠了(0.05a+b+0.5c)元； (2)故此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其 他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元，解 答过程略。 高频易错 例略 第6节分式方程及其应用 课前小测 1.C2.23.D4.600 题型精讲，攻重难 例1-13例1-2x=2,解答过程略. 变式1-1x=-3,解答过程略. 变式1-2分式方程无解，解答过程略 例2C变式2-1D变式2-2B例3-1C 例3-2(1)根据题意可得顺流航行的速度为(32+ x)km/h,逆流航行的速度为(32-x)km/h, 所用时间（分别为3932” (2)江水的流速为6.4km/h,解答过程略. 变式3-111 变式3-2一辆该型号快速换轨车每小时更换钢 轨2公里 高频易错 例m<-1且m≠-2 第7节一元二次方程及其应用 课前小测 7 1.B2.B3.(1)x==4;(2)x=1-2,x= 1+√24.5cm 知识梳理 x=-b±B-4ac ≥一次项系数的一半的平方 2a -4ac>相等没有-b9 aa 题型精讲攻重难 例1x1= 1+5=1-5,解答过程略. 2,x=2 1 1 变式1-1名=24=-2 浙江新中考 变式1-2x1=-1+V2,x2=-1-√2，解答过程略. 例2略 变式2-1B变式2-2C 例3A变式3-12027变式3-26 例4A变式40.5m 高频易错 例1x1=0,x2=-4例2A 第8节一元一次不等式（组）及不等式的应用 课前小测 1.D2.C3.A4.x≤85.x>36.17 知识梳理 课 >><x≤b无解≥≤ 堂 题型精讲攻重难 精 例1C变式1A例2x>3,解答过程略. 讲 变式2x≥-2，解答过程略，在数轴上表示不等式 本 的解集略 例3-1A例3-2-2≤x<4 变式3x≥-1；x<4;在数轴上表示略。 例4B变式4-1-17≤P<-7变式4-22 例5（1)A种品牌的防晒霜每套的进价为100元，B 种品牌的防晒霜每套的进价为75元，解答过程略； (2)A品牌的防晒霜至少要购进16套，解答过 程略。 变式5(1)a=8,解答过程略； (2)至少需要6个这样的机器人同时工作1小时， 才能使采摘的苹果个数不少于10000个，解答过程 略 高频易错 例(1)五，不等式两边同时除以负数，没有改变不等 号方向；(2)x≥1. 第三单元函数 第9节平面直角坐标系与函数初步 课前小测 1.D2.-13.(1)(5,3);(2)(-3,-5): (3)(-3,5)4.(3.5,2),(1.5,-1.5)5.160;s,t 知识梳理 相等互为相反数纵横√x2+yx1一x,1 ly1-y21(x,-y)（-x,y)(-x,-y)(x-c, y）(x,y-c)(y,-x)（-y,x)（-x,-y) 题型精讲攻重难 例1B变式1D 例2A变式2（-3，-2) 例3C变式3-1D变式3-2A 例4B变式4-1x>3 5 变式4-2y=10-2x,2.5<x<5 例5D变式5C例6D变式6D 学参考答案 5