第7节 一元二次方程及其应用-【练客中考】2026年贵州新中考数学精讲册

第7节 一元二次方程及其应用 [3年3考，3~4分] Q2022年版课标重要变化 了解一元二次方程的根与系数的关系（删除“*”，改为必学） 教材知识夯基础 知识点个一元二次方程及其解法 知识梳理 【例1】(2025贵阳白云区二模)已知m为方程x2+3x- 1.一元二次方程 1012=0的根，那么代数式2m2+6m+1的值为 (1)概念：只含有① 个未知数，并且 【针对训练1】请从下列一元二次方程中任选两个，并解 未知数的最高次数是② 的整式方程 这两个方程 (2)一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数， a≠0)，其中ax2,bx,c分别是二次项、一次项 ①x2-16=0;②x2+3x=1;③x(5x+4)=5x+4; 和常数项，a,b分别是二次项系数和一次项 ④3x2-6x+1=0. 系数 2.解一元二次方程 (1)直接开平方法：x2=n(n≥0)的解为x= ±n (2)配方法：ax2+bx+c=0→(x+m)2= n(n≥0)，方程的解为x=±√n-m (3)公式法：ax2+bx+c=0(b2-4ac≥0)的解 为x=③ (4)因式分解法：ax2+bx+c=0→a(x- m)(x-n)=0,方程的解为x1=m,x2= ④ 知识点2一元二次方程根的判别式 知识梳理 【例2】[易错]若关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+ 1.根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0 1=0有实数根，则实数a的取值范围是 (a≠0)根的判别式为4=⑤ A.a≤2 B.a<2 2.根的判别式与根的情况 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1 (1)b2-4ac>0一方程有两个⑥ 的实 易错提醒++十+十+++++++++ 数根 根据根的情况求一元二次方程的系数的值或取值范围， (2)b2-4ac⑦ 0曰方程有两个相等的 要注意： 实数根 (1)把一元二次方程化为一般形式，正确找出a,b,c (3)b2-4ac⑧ 0曰方程没有实数根 的值 (4)b2-4ac≥0曰方程有实数根 (2)若一元二次方程的二次项系数含有字母，求其取值 范围时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件 (3)若未指明方程为一元二次方程，求解时需要分情况 讨论（二次项系数为0和二次项系数不为0） 第二章方程（组）与不等式（组） 19 知识点3一元二次方程根与系数的关系 知识梳理 【例3】北师九上P51T3改编关于x的一元二次方程1.根与系数的关系：若一元二次方程ax2+bx+ x2+5x-m=0的一个根是2，则m的值是 c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则x1+x2= 温馨提尿++一+++++一 ⑨ ,x1·x2=0 利用根与系数的关系解题的前提是方程的两个实数根 2.常见变形 存在，即根的判别式b2-4ac≥0 1+1=+西 121X2 【针对训练3】已知一元二次方程x2+x=5x+6的两根 (x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1 x斤+x2=(x1+x2)2-2x12 为x,x,则上+1 (x1-2)2=(x1+x2)2-4x1x2 知识点4一元二次方程的实际应用 知识梳理 【例4】商场某种商品平均每天可售30件，每件盈利501.变化率问题 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施， 设原来的量为a,变化后的量为b 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可 (1)若平均增长率为x,增长次数为2，则b= 多售出2件.若商场销售该商品日盈利要达到2100 a(1+x) 元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价x (2)若平均下降率为x,下降次数为2，则b= ① 元，依题意可列方程为 2.销售问题 A.(50+x)(30-2x)=2100 单价每涨价a元，少卖出b件，若涨价x元，则 B.(50+x)(30+2x)=2100 C.(50-x)(30-2x)=2100 少卖出的数量为·b件 D.(50-x)(30+2x)=2100 3.面积问题 【针对训练】 4-1人教九上22T4改编]某校“研学”活动小组在 S阴影=(a-2x)(b-2x) 一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目 的支干，每个支干又长出同样数目的小分支.已知1 个主干长出的支干和小分支的总数是56，则这种植物 S阴影=(a-x)(b-x) 每个支干长出小分支的个数是 D 4-2(2025贵阳白云区二模)象棋是一种源自中国的传 围栏的总长为a, 统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴。九年 墙 BC的长为b, 级(1)班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个 S阴张=② 选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： 4.其他问题 (1)病毒传播问题、支干问题 每局赢者记2分，输者记0分 如果平局，两个选手各记1分 1个传染源，一轮传播x人，则第二轮传播 x(1+x)人，经过两轮传播后共有[1+x+ 班主任统计了全班比赛得分 1980分 x(1+x)]=(1+x)2个人 (2)单循环问题、握手问题 (1)若该班级共有个参赛选手，则每个选手都要与 有x支球队参加比赛，每支球队都要和其他 个选手比赛一局，比赛总共有 局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加. 球队比赛一场，则共比赛的场数是(x1) 2 (3)互赠礼物问题 全班有x人，每人向其他人送一份礼物，则共 送出礼物的份数是x(x-1) 20 贵州新中考数学精讲册 贵州真题 随堂测 圈建议用时：8分钟 命题点1]一元二次方程及其解法(3年2考) 5.(2023贵州15题4分)若一元二次方程kx2- 1.(2024贵州5题3分)一元二次方程x2-2x= 3x+1=0有两个相等的实数根，则k的值是 0的解是 A.x1=3,x2=1 B.x1=2,x2=0 6.(2025贵州省一模15题4分)关于x的一元 C.x1=3,x2=-2 D.x1=-2,x2=-1 二次方程(x+1)(x-3)=m有两个不相等的 2.(2025贵州15题4分)一元二次方程x2-1= 实根，则m的取值范围是 0的根是 命题点3】一元二次方程的实际应用 强预测+…++++…++++十 强预测++++++++十+++++++ 3.（2024贵阳市白云区模拟)若一元二次方 7.(2025新疆)如图，小明在数学综合实践活 程x2-2+2=0的一根为x=-1,则k 动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长 的值为 的围栏围成一个面积为40m2的矩形场 A.-1 B.0 地.设矩形的宽为xm,根据题意可列方程 C.1或-1 D.2或0 为 +…+ 命题点2】一元二次方程根的判别式(2023.15) 4.(2023贵州省一模9题3分)关于x的一元二 次方程x2+2x+a=0(a<0)根的情况是 (第7题图) ( A.x(24-2x)=40 A.没有实数根 B.x(24-x)=40 B.有两个相等的实数根 C.2x(24-2x）=40 C.有两个不相等的实数根 D.2x(24-x)=40 D.不能确定 温馨提示清完成《课后提升练》P13~14习题 第二章方程（组）与不等式（组） 21a=-1或a=2, 当a=-1时，原式==1： 当a=2时，原式=2 1 6.解：①二，括号前面是负号，去括号没有变号 ②2x-3_2x+1=2x-3-(2x+1) x+3x+3 x+3 =2x-3-2x-1 4 x+3 x+3 第二章方程（组）与不等式（组） 第5节一次方程（组）及其应用 教材知识夯基础 【知识梳理】 ①r②8 ③两④1⑤两 【例1】C【例2-1】6 【例2-2】答案不唯一，若选择①②， 方程组x+2y=7的解为x=3 Lx+3y=9 ly =2 【针对训练】2-15 2-2解：方程的解为x=-11. 【例3】C【针对训练】3-1B3-2x+2y=32 贵州真题随堂测 1.C2.C3.C4.205.B 第6节分式方程及其应用 教材知识夯基础 【知识梳理】 ①未知数②零③最简公分母 【例1】B 【针对训练1】(1)方程的解为x=3 2 (2)方程无解 【例2】D 【针对训练2】A型玩具的单价是8元，B型玩具的单 价是5元 贵州真题 随堂测 1.C2.D 3.(1)1.25x. (2)更新设备后每天生产125件产品 第7节 一元二次方程及其应用 教材知识 夯基础 【知识梳理】 ①一 ②28-b±VF-4ac 2a ④n⑤b2-4ac ⑥不相等⑦=⑧<⑨-名⑩ ①a(1-x)22号b(a-b) 【例1】2025 【针对训练1】①x2-16=0,x1=4,x2=-4. 贵州新中考 2 5西=-3-13 ②+3x=1,出，=-3+3. 2 4 ③x(5x+4)=5x+4,x=-5西=1. ④3x2-6x+1=0, 七=1+6 西=1-6 31 【例21C【例3】14【针对训练3】-号 【例4】D【针对训练】4-17 4-2(1)(n-1):2n(n-1). 精 (2)这次比赛共有45个选手参加. 贵州真题随堂测 讲 册 1B2x=±13A4C56m>-47.A 第8节一元一次不等式（组）及不等式的应用 教材知识夯基础 【知识梳理】 ①>②<③一④1⑤x>a⑥x≥a ⑦公共部分⑧x<b⑨b<x<a 【例1】x+17≥5x【针对训练1】D 【例2】原不等式的解集为x≤2， 该不等式的解集在数轴上表示如解图. -5-4-3-2-1012345 (例2题解图) 【针对训练2】+3<3：<3：1或2 2 【例3】(1)①x<1;②x>-2; ③不等式I和Ⅱ的解集在数轴上表示如解图 所示； -4-3-2-10i2341 (例3题解图) ④-2<x<1:⑤-1 (2)-12;(3)a≥3；(4)-12≤a<-9. 【例4】(1)A种型号“文房四宝”的单价是300元，B 种型号“文房四宝”的单价是200元 (2)该学校最多购买的A种型号“文房四宝”的数 量是20个. 贵州真题随堂测 1.C 2.a的取值范围为a>2. 3.A 4.原不等式组的解集为-2<x≤4. 5.(1)一条A型生产线每月生产抹茶120吨，一条B 型生产线每月生产抹茶80吨. (2)至少需要安装3条A型生产线 第三章函数 第9节 平面直角坐标系及函数初步 教材知识夯基础 【知识梳理】 数学 参考答案 3