第1节 实数-【练客中考】2026年浙江新中考数学课堂精讲本

数与式知识脉络图 代数式的意义 无限不循环小数 无理数、有理数按定义分 列代数式 实数的分类 代数式 將 正实数、0、负实数按性质分 代数式求值 三要素：原点、正方向、单位长度。数轴 实数与 单项式 概念 数轴上 整式的相关概念 多项式 代数意义、几何意义 相反数 相关概念 的点一 同类项 概念 一对应 绝对值 整式与因式分解 加减运算 实质：合并同类项 代数意义、几何意义 倒数 同底数幂相乘、除 幂的运算 幂的乘方 表示形式：a×10,a的确定：1≤dk10,n的确定 科学记数法 积的乘方 平方根、算术平方根、立方根 整式的 乘除运算 数轴比较法 运算 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 乘法公式 分类比较法 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 实数的大小比较 作差比较法 适用于含无理数的大小比较及估值 两者为 平方比较法 互逆运算 加、减、乘、除、乘方、开方- 加法交换律、结合律 因式 公式法 分解 乘法交换律、结合律运算律 提公因式法 分配律 实数的运算 数与式 乘方、-1的奇偶次幂 去绝对值符号、特殊角的三角函数值 常见运算 分式号有意义的条件：B≠0 先乘方、开方、后乘除，最后加减 运算顺序 相关 有括号先算括号里面的 概念 分式会的值为0的条件：A0且B≠0 有意义的条件 最简分式：分子与分母没有公因式 最简二次根式 概念 4=A×M-A÷M 基本 同类二次根式 B BXM B:7(其中B,M是不为零的整式) (20254289.20244208) 分 性质 双重非负性 性质 符号变化法则，芳=号，方=号号 积、商的算术平方根 加减运算。 关键是通分 加、减、乘、除 运算 二次根式 乘除运算 关键是约分 分母有理化 运算 乘方运算 确定在哪两个相邻整数之间 二次根式的估值 分式的化简 注意化成最简分式或整式 确定离哪个整数较近 核心素养：抽象能力、运算能力、模型观念、推理能力、几何直观（数轴） 5.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，则 若两个实数的乘积为1，就称这两个实数互 a b,a+b 0.(填“>”“<”或 倒数为倒数，0没有倒数，倒数是它本身的 “=”)[知识点5] 数是 0123 b 知识点3科学记数法与近似数 第5题图 6.1-61-(-2)-2+-8= [知识点6] 科学把一个数表示成a×10”(其中1≤a<10,n 少知识梳理 记数法为整数)的形式 知识点①实数的分类 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就 近似 1.按定义分 说这个近似数精确到哪一位，如2.026万精 数 正整数1 确到十位 自然数 整数{零 知识点4平方根、算术平方根与立方根 有理数 负整数 「正分数]有限小数或 般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)， 平方 实数 分数 负分数无限循环小数 那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二 根 正无理数 次方根，记作±√a 无理数{ 无限不循环小数 负无理数」 正数的正平方根称为算术平方根，0的算术 2.按性质分 算术 平方根是0.一个数a(a≥0)的算术平方根 正整数 平方根 正有理数 记作√a 正实数 正分数 正无理数 一般地，一个数的立方等于a,这个数就叫 立方 实数{零 作a的立方根，也叫作a的三次方根，记 根 负整数 作a 负有理数 负实数 负分数 知识点5实数的大小比较 负无理数 数轴比在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边 知识点2实数的相关概念 较法的数 规定了原点、单位长度和正方向的直线叫作 数轴 (1)负数<0<正数； 数轴，实数与数轴上的点是一一对应的 (2)两个正数比较大小，绝对值 的 (1)代数意义：非零实数a的相反数是-a, 分类比 数大； 较法 特别地，0的相反数是0，如果实数a,b互为 (3)两个负数比较大小，绝对值大的数反而 相反 相反数，那么a+b= 数 (2)几何意义：在数轴上，表示互为相反数 作差比a-b>0曰→a b (0除外)的两个点，位于原点的两侧，并且 较法a-b=0曰a=b;a-b<0→a<b 到原点的距离相等 ra(a>0) 平方比a>b>0曰a b2(a>0,b>0)(适用 (1)代数意义：lal= 0(a=0) ,绝对值具 较法于含无理数的大小比较) -a(a<0) 绝对 知识点6实数的运算 有非负性； 值 (2)几何意义：一个数在数轴上对应的点到 (1)加法交换律：a+b=b+a; 实数的 原点的距离叫作这个数的绝对值.一个数a (2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c); 运算律 的绝对值表示为lal (3)乘法交换律：ab=ba 第一单元数与式 3 实数的 (4)乘法结合律：(ab)c=a(bc); (1)a°=1(a≠0)； 运算律割 (5)分配律：a(b+c)=ab+ac 幂 2)负整数指数暴a“-a≠0，a为正然 n个a (1)a·a·…·a=a"; 1 数)，特别地，a1=一(a≠0) a 乘方 (2)-1的奇偶次幂： 1(n为偶数) 运算 先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若 -1)” -1(n为奇数) 顺序 遇到括号，则先进行括号里的运算 题型精讲 攻重难 题型一实数的分类 @ 新题变式练 例1在-2,75,2中，是无理数的是 变式1-1(2025杭州滨江一模)我国古代数学名著 《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失 A.-2 B号 C.3 D.2 相反，要令正负以名之”.如收入100元记为+100 元，那么支出60元记为 技巧点拨 A.-60元 B.60元 C.-40元 D.40元 常见的四种无理数形式 (1)根号型：含2,4等开方开不尽的数； (2)三角函数化简后含有根号型：sin60° tan30°等化为实数后带有根号的数； 变式1-2实数-7，-5,2，-3中，为负整数的是 (3)与m有关型：写，m-1等； (4)特定结构的数：1.3232232223…（两个 A. D.-3 2 B.-5 C.2 “3”之间依次多一个“2”)等有规律但不循环的 无限小数. 题型二数轴、相反数、绝对值和倒数(2025.1) 新题变式练 例2-1(2025浙江统考)子的相反数是 ( 变式2-1(2025嘉兴平湖市二模)用数轴上的点表 示下列各数，其中与原点距离最近的是（) B.3 4 C.- D. 3 3 A.-3 B.1 C.2 D.3 例2-2（2023温州中考)如图，比数轴上点A表示 变式2-2若m,n互为倒数，且满足m+mn=3,则n 的数大3的数是 的值为 例2-2题图 A.-1 B.0 c.1 D.2 4 浙江新中考数学课堂精讲本 题型三实数的大小比较(2024.1) 新题变式练 例3(2024浙江统考)以下四个城市中某天中午12 变式3-1(2025杭州萧山区一模)如图，数轴上点 时气温最低的城市是 ( P,Q,M,N所表示的数中，绝对值最大的是() P Q M N 北京 济南 太原 郑州 -3-2-i01克 0℃ -1℃ -2℃ 3℃ 变式3-1题图 A.P B.Q C.M D.N A.北京 B.济南 C.太原 D.郑州 变式3-2(2025杭州西湖区一模)下列各数中，比 -1.5小的数是 A.3 B.0 C.-1 D.-3 题型四科学记数法(2025.3) 新题变式练 例4(2025浙江统考)国家税务总局发布的数据显 变式4-1（2025杭州西湖区一模)“杭州六小 示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主 龙”一宇树科技、游戏科学、强脑科技、深度求 要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国 索、云深处科技，群核科技正在用硬科技重新定义 新质生产力加速培育、制造业高质量发展.将数 中国创新.据统计，2024年杭州数字经济核心产业 2629300000000用科学记数法表示为( 增加值达6305亿元，占全市GDP的比重为 A.26.293×101 B.2.6293×102 28.8%,远超全国平均水平.数据“6305亿”用科 C.0.26293×1013 D.2.6293×1013 学记数法表示为 () A.6305×108 B.63.05×109 C.6.305×10 D.0.6305×102 技巧点拨 变式4-2（2025杭州拱墅区三模)北斗卫星导航系 a值的确定：1≤a<10. 统是我国自主研发的一款导航系统，北斗卫星导 n值的确定： 航系统服务性能优异，提供定位导航时授时精度 (1)当原数的绝对值≥10时，几为正整数，其值 最高可达0.000000005秒.数据0.000000005用 等于原数的整数位数减1； 科学记数法表示为 () (2)当0<原数的绝对值<1时，n为负整数，其 A.5×10-7 B.5×10-8 绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零 C.5×10-9 D.5×10-10 的个数（含小数点前的零） 第一单元数与式 5 题型五实数的运算(2025.11,2024.17) 新题变式练 例5-1(2025浙江统考)1-51+-27= 变式5(2025湖州一模)计算：√9-2cos45°-(1- m)°+（兮）1+1-2. 例5-2(2024浙江统考)计算：()1-8+1-51 易错点实数的运算 例计算：15-21-(1+8)°+2s30+(-2之)- 答题示范：解：原式=2-5-1+2×5+ 4 2 =2-3-1+5+4 =5. 【错因分析】本题容易出错的地方在于：(1)去掉绝对值后正负判断出错；(2)零次幂理解出错；(3)特殊角 的三角函数值记忆模糊；(4)负整数指数幂计算出错. 【思考总结】 温馨提示请完成《课后作业本A》P2~3习题 6 浙江新中考数学课堂精讲本参考答案 1.课堂精讲本 第一单元数与式 题型精讲攻重难 第1节实数 例1x≠2变式12例2D变式2C 例3原式=a-1,解答过程略. 课前小测 变式3原式=x+2,解答过程略.当x=3时，原式= 1.c201,-4百6-5，m,l02m2022 3+2=5. 例4D变式4B 0…(相邻两个0之间2的个数逐次加1)3.（1)4， 课 高频易错 堂 4,-4(2)-1和54.1.6x105.<,> 1 15 6.4 例1C例2略 精 知识梳理 第4节二次根式 讲 0±1大大小>> 课前小测 本 题型精讲攻重难 1.C2.23.A4.-15.C6.3,√11-3,6 例1C变式1-1A变式1-2D 知识梳理 例2-1A例2-2D变式2-1B 变式2-2号 零aa-a 硒√8 题型精讲攻重难 例3C变式3-1A变式3-2D 例1D变式1C例2-1-2 例4B变式4-1C变式4-2C 例2-2①完全平方公式；②三；③解答过程略 例5-12例5-2原式=7，解答过程略。 变式2（1)y=1,解答过程略； 变式5原式=5，解答过程略。 （2)x2+y2-3x灯=11，解答过程略； 第2节整式与因式分解 (3)ax-by=1-7V3,解答过程略. 课前小测 例3(1)√67≈8.22，解答过程略； 1.-82.B3.(1)a;(2)a54.a2b5.B (2)用①的形式得出的√7的近似值的精确度更 6.(1)-ab(1-a)2;(2)(2m+n)2(2m-n)2 高，理由略 知识梳理 变式3(1)x2≈8.18535，解答过程略； a-b-c am+m am-"amm a"b"ma'b ma+mb (2)√67的近似值约为8.185，解答过程略； ma+mb+na+nb a2-b2 a2 t2ab+b2 (3)√56的近似值约为7.483，解答过程略. 题型精讲攻重难 第二单元方程（组）与不等式（组） 例1D变式1C例2D变式2D 例3原式=13，解答过程略. 第5节一次方程（组）及其应用 变式3原式=5，解答过程略. 课前小测 例48变式4D 4.(1)35,65:(2)九 例5a(a-7)变式5-1C变式5-2 -4 高频易错 知识梳理 例1(1)a;(2)8a bic be a s6 例2(1)(x2+y2)(x+y)(x-y)； a (2)4(x+2y)(x-2y) 题型精讲攻重难 例1B变式1C 第3节分式 例2-1A例2-216变式2-14 课前小测 变式2-23 1(4年：(2)-4：302D3.B4 x-2 例3-1解：(1)面图略；(2)=分，解答过程略。 知识梳理 1 B0A=0且B≠0公因式0±b d a" 例3-2 x=2,解答过程略。 变式3-12 c 1y=-4 2 浙江新中考数学参考答案