北京市西城区北京师范大学附属中学2025-2026学年上学期八年级 期末数学试题

北京师大附中2025—2026学年度第一学期期末试卷八年级数学 注意事项 1.本试卷共8页，共两部分，四道大题，26道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分．第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间100分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 传统建筑中的窗格样式丰富，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．小红设计了下列窗格图案，其中可以看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 如图是“过直线外一点作的平行线”的尺规作图．根据该作图方法，可以证明，证明过程中判定的依据是（ ） A. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 三边分别相等的两个三角形全等 7. 八年级师生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，师生乘大车先出发，过了学校的后勤人员乘小车出发，结果他们同时到达．已知小车的平均速度是大车的平均速度的倍，求大车的平均速度．如果设大车的平均速度为，那么下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，分别是边上的两个动点，连接．若当与的和最小时，的长为1，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义．则实数的取值范围是______． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 11. 计算：______． 12. 如图，点在线段上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是______（写出一个即可）． 13. 已知1个水分子的质量约是．如果1滴水的质量约是，那么这滴水中大约有______个水分子（结果用科学记数法表示）． 14. 如图是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形表示帐篷，线段表示绳索，点在的延长线上，且点都在的延长线上．若，，，则______． 15. 如图，某街心公园有一块长为，宽为的长方形绿地，绿地的北侧是一个长为，宽为的长方形休闲区，绿地的东、西两侧各有一个边长为的正方形喷泉区．已知休闲区的宽与绿地的宽的和为，休闲区的面积与两个喷泉区的面积的和为，那么绿地的面积为______． 16. 如图，是的角平分线，点在的延长线上，，，，垂足为．有下列四个结论：①与的面积相等；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题（共68分，第17题8分，第18题11分，第19题7分，第20题8分，第21题10分，第22－24题每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 19. 解方程：． 20. 如图，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 已知在中，． （1）如图1，在的边上求作一点，使． ①将下面的分析过程补充完整． 分析：点在线段上，则______， 而要使，即需要____________， 因此需要点在线段______的垂直平分线上， 所以作出这条线段的垂直平分线，它与边的交点即为所求作的点． ②用直尺和圆规在图1中完成作图并保留作图痕迹； （2）用直尺和圆规在图2中完成下列作图并保留作图痕迹： 在边上取一点，使；作的平分线交于点，连接； （3）在（2）的条件下，图2中线段______与线段相等；若，，，则的周长为______（用含的式子表示）． 22. 有这样一组按规律依次排列的正整数：，，，其中每个数都能表示为两个连续正奇数的平方差，我们称这样的数为“特征数”，记按上述顺序排列的第个“特征数”为（为正整数）． （1）将表示为两个连续正奇数的平方差：______－______； （2）求证：对于任意的正整数，一定能被8整除； （3）已知是第个“特征数”，判断是否为“特征数”，如果是，求出它是第几个“特征数”（用含的式子表示）；如果不是，说明理由． 23. 如图1，公园里有一条河，河岸线可看成两条平行的直线，河的宽度为，景点A和景点B分别位于河的两岸（正方形网格中小正方形的边长为，直线都在网格线上，点A，B都在网格线的交点上）．现要在河上造一座桥连通河的两岸，其中点分别在直线上． （1）小明先将桥的桥形设计为一条线段，线段与直线垂直，且使得从景点A经桥走到景点B的路径最短．他将点A沿与直线垂直的方向平移河的宽度得到点，从而将问题转化为在直线上确定点N的位置，使最小．请在图1中画出小明设计的桥（保留画图痕迹）； （2）小明又将桥设计成Ⅰ型（如图2）和Ⅱ型（如图3）两种桥形，这两种桥形都是由五条长的线段组成的折线，其中以点为端点的两条线段分别与直线，垂直，且相邻两条线段互相垂直． 请在图4，图5中分别画出当采用Ⅰ型和Ⅱ型桥形时的桥，使得从景点A经桥走到景点B的路径最短（保留画图痕迹）； 比较图4，图5可知，采用______型桥形，最短路径的长度更短（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）； （3）小明以直线为轴，经过景点且与直线垂直的直线为轴（分别取向右、向上为正方向），取1个单位长度代表长，建立平面直角坐标系，景点A的坐标为，另一景点的坐标为．若无论采用（2）中的Ⅰ型或Ⅱ型桥形，从景点A经桥走到景点C的最短路径的长度相等，则t的值为______． 24. 如图，在中，，，射线与边交于点，．点与点关于直线对称，线段与射线交于点，点在线段上，且，连接． （1）依题意补全图形，并求的度数（用含的式子表示）； （2）连接，是的中点，连接，探究线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分） 25. 在解关于的方程组时，小天发现可以利用“换元法”求解，即设，，将原方程组转化为关于的方程组求出的值后，再代回，，从而求出原方程组的解．类似地，也可以利用“换元法”解决下列问题． （1）化简：． 下面是小天解决此问题的思路，请补充完整． 解：设，， 则，______（用含的式子表示）． 将原式转化为关于的式子进行化简， 再将，代回，得到原式化简的结果为______． （2）比较与的大小，并说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，对于直线l，线段和点C，给出如下定义：记点C关于直线l的对称点为，若线段上存在点M，N，使得，且，则称点C是线段的“可及点”． （1）如图，直线l为y轴，点，．在点，，中，线段的“可及点”是______； （2）已知点，，直线经过点且垂直于x轴，点，．若线段上存在线段的“可及点”，直接写出m的取值范围； （3）已知是等边三角形，其三个顶点的坐标分别为，，，直线l经过点且垂直于x轴，点，．当时，对于t的每一个值，的三条边上的所有点都是线段的“可及点”，直接写出n的取值范围． 北京师大附中2025—2026学年度第一学期期末试卷八年级数学 注意事项 1.本试卷共8页，共两部分，四道大题，26道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分．第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间100分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】或或（答案不唯一） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】20 【15题答案】 【答案】72 【16题答案】 【答案】②③④ 三、解答题（共68分，第17题8分，第18题11分，第19题7分，第20题8分，第21题10分，第22－24题每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）， 【19题答案】 【答案】 【20题答案】 【答案】（1） 证明：，， ． ， ，即． 在和中， ． ． （2） 【21题答案】 【答案】（1）①；②图见解析 （2）图见解析 （3）； 【22题答案】 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）该数是第个“特征数” 【23题答案】 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析；Ⅱ （3）10 【24题答案】 【答案】（1） 补全图形如图1， （2） ，． 证明：延长至点，使，连接，如图2． 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ∵点与点关于直线对称， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ∴， ， ． 四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分） 【25题答案】 【答案】（1）， （2），理由见解析 【26题答案】 【答案】（1）， （2）m的取值范围为且 （3）n的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $