6.4一次函数的应用 同步练 2025--2026学年鲁教版（五四版）七年级数学上册

第六章一次函数 4 一次函数的应用 第 1 课时 确定一次函数的表达式 列清单·划重点 知识点❶求正比例函数的表达式 正比例函数y= kx(k≠0)中只有 个要确定的系数，所以只要知道 与函数的一对 或图象上一个点的 即可求出k 的值，从而确定表达式. 知识点❷ 求一次函数的表达式 一次函数 y= kx+b(k≠0)中含有 个要确定的系数k 和b，根据已知条件列出 ，求出未知数的系数k，b，从而确定出表达式. 知识点❸ 求一次函数表达式的步骤 求一次函数表达式的步骤： (1)设：设出函数表达式 ; (2)列：根据已知条件列出关于 ， 的方程； (3)解：解方程求未知数 ， ; (4)代:将k,b代入y= kx+b(k≠0)中，即得到一次函数的表达式. 明考点识方法 考点❶确定正比例函数的表达式 典例1 一个正比例函数的图象经过点A(a,2),B(a+1,4),则这个正比例函数的表达式为 ( ) A. y=2x B. y=-2x 变式1 已知y=(3+a)x+a-5是正比例函数，则该函数的表达式是 ( ) A. y=3x B. y=5x C. y=8x D. y=-2x 变式2 正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示，则该函数的表达式为 ( ) A. y=3x B. y=-3x C. y=-2x-1 考点❷ 确定一次函数的表达式 典例2 一次函数 y =kx+b的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的表达式是 ( ) A. y=2x+4 B. y=2x-4 C. y=-2x+4 D. y=-2x-4 变式 已知一次函数的图象经过点A(-1,1)和B(0,3). (1)求这个一次函数的表达式； (2)求这个一次函数的图象与x 轴的交点坐标. 考点❸ 根据平行确定一次函数表达式 典例3 已知一个一次函数的图象与直线y=-2x平行,且与函数y=x+3的图象交y轴上于同一点，那么这个一次函数的表达式是 ( ) A. y=2x+3 B. y=2x-3 C. y=-2x+3 D. y=-2x-3 注意 对于直线 和直线 若两直线平行，则 且 ，若两直线相交于 y轴，则 且 变式1 已知直线 y=kx+b可以看作由直线 y=-0.5x 向下平移2个单位长度而得到，那么直线y=kx+b与x 轴交点坐标为 . 变式 2 如图,光 源A(-3，2)发出的一束光，遇到平面镜(y轴)上的点 B 的反射光线 BC 交 x 轴于点C(-1,0),再被平面镜(x轴)上的点 C 反射得光线CD，则直线CD 的表达式为 . 考点❹ 根据实际问题确定一次函数表达式 典例4 工艺品店销售某种工艺品，调查发现：当销售价为 40 元/件时，每天的销售量为20件；而当销售价每降低1元，每天的销售量就多5件.设销售价为x元/件，每天的销售量为y件. (1)求y 与x之间的函数表达式； (2)若某天销售时，每件工艺品的利润为 15元，当天共盈利750元，求这天该种工艺品每件的销售价. 变式 用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图. 经测试，在用快速充电器为手机充电时，其电量E(单位:%)与充电时间t(单位: min)之间的关系如表格所示. 充电时间 t(单位: min) 0 10 20 30 40 50 手机电量 E(单位：%) 20 28 36 44 52 60 (1)请求出 E 与 t 之间的表达式； (2)若电量充到76%，请求出充电时间； (3)已知该手机正常使用时耗电量为每小时10%，在用快速充电器将其充满电后，正常使用t 小时，接着再用普通充电器将其充满电，普通充电器充电平均速度为每小时15%，其“充电一耗电—充电”的时间恰好是5 小时,求t 的值. 第2课时 一次函数的简单应用 列清单划重点 知识点❶利用图象信息解决实际问题 利用图象信息解决实际问题的关键是对图象的观察和分析.观察图象时，首先要观察图象反映的是哪两个 之间的关系，其次要注意分析图象中 的意义，尤其是图象与 的交点. 知识点❷ 一次函数与一元一次方程的关系 当一次函数 y=kx+b的函数值为 时，相应的自变量值即为一元一次方程 kx+b=0的解;一次函数 y= kx+b 的图象与 轴的交点的横坐标即为一元一次方程 kx+b=0的解. 明考点识方法 考点❶ 通过一次函数的图象获取信息解决实际问题 典例1 已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km，文化广场离家1.5km.张华从家出发，先匀速骑行了 4 min 到画社,在画社停留了15 min,之后匀速骑行了 6 min 到文化广场，在文化广场停留6 min 后,再匀速步行了20 min 返回家.图中x 表示时间，y表示离家的距离.图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系. 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表: 张华离开家的时间/min 1 4 13 30 张华离家的距离/km 0.6 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为 km/ min; ③当0≤x≤25时，请直接写出张华离家的距离y 关于时间x 的函数表达式； (2)当张华离开家 8 min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20 min 直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中(0.6<y<1.5)两人相遇时离家的距离是多少?(直接写出结果即可) 思路导析(1)①根据图象作答即可； ②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可； ③分段求解,0≤x≤4,可得出 y=0.15x,当4<x≤19时,y=0.6;当19<x≤25 时,设一次函数表达式为y= kx+b,把(19,0.6),(25,1.5)代入y=kx+b，用待定系数法求解即可； (2)先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家y' km,则y'=0.075x-0.6,当两人相遇时有0.15x-2.25=0.075x-0.6,列一元一次方程求解即可进一步得出答案. 变式 小明家今年种植的樱桃喜获丰收，采摘上市20 天全部销售完毕.小明对销售情况进行跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y(kg)与上市时间x(天)的函数关系图象如图1 所示，樱桃单价z(元/kg)与上市时间x(天)的函数关系图象如图2 所示. (1)当0≤x≤12时,y 与x 的函数表达式为 ; (2)当5≤x≤15 时,求 z 与x 的函数表达式； (3)第10天与第 12 天的销售额相比，哪一天的多? 考点❷ 一次函数与一元一次方程的关系 典例2 若关于x 的方程2x+b=0 的解是 x=2,则直线 y=2x+b一定经过点 ( ) A.(2,0) B.(0,2) C.(1,0) D.(0,1) 变式 已知一次函数 y=ax-1与 y= mx+4 的图象交于点 A(3,1),则关于x的方程 ax-1= mx+4 的解是 ( ) A. x=-1 B. x=1 C. x=3 D. x=4 第3课时 两个一次函数的综合应用 列清单·划重点 知识点❶ 两个一次函数图象相交 在观察图象时，若两条直线相交，先确定交点 ，在交点处 ，再看交点的左右两边，图象位于上方的直线函数值较 . 明考点。识方法 考点❶利用两条直线交点解决实际问题 典例 一列快车与一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留了2 h，沿原路仍以原速度返回甲地.已知快、慢两车到甲地的距离y(km)与行驶的时间x(h)之间的函数关系分别如图中折线O-B-C-D 和线段OA所示. (1)甲、乙两地相距 km，快车的行驶速度是 km/h，慢车的行驶速度是 km/h; (2)求图中点 E 的坐标，并解释点 E 的实际意义； (3)慢车出发多长时间后，两车相距200 km?(请直接写出答案) 变式1甲、乙两人沿相同路线由 A地到 B地匀速前进，两地之间的路程为20km.两人前进路程s(单位：km)与甲的前进时间t(单位：h)之间的对应关系如图所示.根据图象信息，下列说法正确的是 A.甲比乙晚出发1h B.乙全程共用2h C.乙比甲早到 B地 3h D.甲的速度是 5km/h 变式2学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进.如图所示，l₁和l₂分别表示两人到小亮家的距离s(km)和时间t(h)的关系，则出发 h后两人相遇. 变式3某公司生产了 A，B两款新能源电动汽车.如图，l₁，l₂分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y(kW·h)与汽车行驶路程x(km)的关系.当两款新能源电动汽车的行驶路程都是 300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 kW·h. 回顾与思考(六) 第 1课时 确定一次函数的表达式 【列清单·划重点】 知识点1 一 自变量 对应值 坐标 知识点2两方程 知识点3 (1)y= kx+b(k≠0) (2)k b (3)k b 【明考点·识方法】 典例1 A 变式1 C 变式2 B 典例2 C 变式 解：(1)由题知， 令一次函数的表达式为y=kx+b， 则 解得 所以这个一次函数的表达式为y=2x+3； (2)将y=0代入y=2x+3,得 2x+3=0, 解得 所以这个一次函数的图象与x轴的交点坐标为 典例3 C 变式1 (-4,0) 变式2 典例4 解:(1)根据题意得 y =20+ 所以 y 与 x 之间的函数表达式为 y =-5x+220; (2)当 即y=50时, -5x+220=50, 解得x=34, 所以这天该种工艺品每件的销售价为34元. 变式 解：(1)由题意得，根据表格数据可知函数图象过(0,20),(10,28), 设函数关系式为E=kt+b， 所以 所以k=0.8,b=20. 所以 E与t的函数表达式为E=0.8t+20; (2)由题意,结合E=0.8t+20, 令E=76, 所以0.8t+20=76, 所以t=70. 答:充电时间为70 min; (3)由题意得,令E=100, 所以快充充满电需要的时间为 由题意得 所以t=2. 第2课时 一次函数的简单应用 【列清单·划重点】 知识点1 变量 各点 坐标轴 知识点2 0 x 【明考点·识方法】 典例1 解:(1)①0.15,0.6,1.5; ②1.5÷(51-31)=0.075(km/ min), 故答案为:0.075; ③当0≤x≤4时，张华的匀速骑行速度为 0.6÷4=0.15(km/ min), 所以y=0.15x; 当4<x≤19时,y=0.6; 当19<x≤25时，设一次函数表达式为y=kx+b, 把(19,0.6),(25,1.5)代入y= kx+b,可得出 解得 所以y=0.15x-2.25, 综上所述 (2)张华爸爸的速度为 1.5÷20=0.075(km/ min), 设张华爸爸距家y' km,则y'=0.075(x-8)=0.075x-0.6, 当两人从画社到文化广场的途中(0.6<y<1.5)两人相遇时,有 0.15x-2.25=0.075x-0.6, 解得x=22, 所以y'=0.075x-0.6=0.075×22-0.6=1.05(km), 故从画社到文化广场的途中(0.6<y<1.5)两人相遇时离家的距离是1.05 km. 变式解:(1)y=10x; (2)z=-2x+42;(过程略) (3)当x=10时,y=10×10=100,z=-2×10+42=22, 销售额为100×22=2200(元); 当x=12时,y=10×12=120,z=-2×12+42=18, 销售额为120×18=2160(元); 2200>2160. 答：第10 天与第 12 天的销售额相比，第10天的多. 典例2 A 变式C 第3课时 两个一次函数的综合应用 【列清单·划重点】 知识点 坐标 大 【明考点·识方法】 典例 解:(1)600,100,50; (2)线段OA 所在直线的函数表达式为y=50x(0≤x≤12), 6+2+6=14(h), 所以D(14,0), 所以 CD 段所在直线的函数表达式为y=600-100(x-8)=-100x+1400,(8<x≤14), 根据题意，得 解彳 所以点 E 的坐标是 其实际意义表示两车于出发后 h在距甲地 的地方相遇； (3)线段OB 所在直线的函数表达式为y=100x(0≤x≤6), 所以快车到甲地的距离 y(km)与行驶的时间x(h)之间的函数表达式为 当0≤x≤6,两车相距 200 km 时,得100x-50x=200, 解得x=4; 当6<x≤8,两车相距200 km 时,得600-50x=200, 解得x=8; 当8<x≤12,两车相距 200 km 时,得|-100x+1400-50x|=200, 解得x=8(舍去)或 当12<x≤14,两车相距 200 km 时,得600-(-100x+1400)=200, 解得x=10(舍去). 综上所述，x=4或8或 答：慢车出发4h或8h或 h后，两车相距200km. 变式1 D 变式2 0.35 变式3 12 学科网（北京）股份有限公司 $