6.4 一次函数的应用 同步习题-2025-2026学年鲁教版（五四制）（2024）数学七年级上册

6.4一次函数的应用 同步习题 一、单选题 1．如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．已知一款商务签字笔购买数量x（支）与应付钱数（元）之间的关系如下表所示，下列关于小明和小亮的结论判断正确的是（    ） 购买数量（支） 1 2 3 4 … 应付钱数（元） 15 30 45 60 … 小明：应付钱数是自变量的函数； 小亮：与之间的函数解析式为 A．只有小明的对 B．只有小亮的对 C．小明和小亮的都对 D．小明和小亮的都不对 3．某天小明从家骑自行车前往图书馆，中途休息一段时间后，继续骑自行车到达图书馆．小明离家的距离与离开家的时间之间的函数关系如图所示．则下列描述正确的是（   ） A．休息结束后小明离家的距离关于离开家的时间的函数解析式为 B．小明家到图书馆的距离为 C．小明休息前的骑行速度大于休息后的骑行速度 D．小明从家到图书馆共骑行 4．要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为32米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设边的长为x米，边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 5．周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t（秒）的关系图像如图所示．若不计转向时间，按照这一速度练习20分钟，迎面相遇的次数为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 6．某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（厘米）与观察时间x（天）之间的关系，并画出如图所示的图象（是线段，射线平行于x轴），根据图象，下列说法正确的是（    ） A．从开始观察起，60天后该植物停止长高 B．直线的函数表达式为 C．观察第40天时，该植物的高度为14厘米 D．该植物最高为15厘米 7．已知平面直角坐标系中，点P为直线上的动点，点，设的最小值为t．则随着k值的变化，t的值不可能等于（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 8．已知等腰三角形的周长为20．则底边长关于腰长的函数图象为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个劣马先行的问题，其中良马与劣马行走路程单位：里关于行走时间（单位：日）的函数图象如图所示，则良马的速度比劣马的速度快 里/日． 10．小冬骑自行车，爸爸骑电动车，沿相同路线由A地到B地，两人行驶的路程与时间之间的函数关系如图所示．根据图象可知，在小冬出发 时两人相遇， 先到达B地． 11．小红和小刚分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止；小刚从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小刚跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小刚的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小刚之间相距的路程（单位：米）与小红所花的时间（单位：秒）之间的关系如图所示，则当小刚到达终点时，小红离终点的路程是 米． 12．已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 13．新冠疫情爆发以来，某工厂响应号召，积极向疫情比较严重的甲地区捐赠口罩、消毒液等医疗物资，在工厂装运完物资准备前往甲地的A车与在甲地卸完货准备返回工厂的B车同时出发，分别以各自的速度匀速驶向目的地，出发6小时时A车接到工厂的电话，需要掉头到乙处带上部分检验文件（工厂、甲地、乙在同一直线上且乙在工厂与甲地之间），于是，A车掉头以原速前往乙处，拿到文件后，A车加快速度迅速往甲地驶去，此时，A车速度比B车快32千米/小时，A车掉头和拿文件的时间忽略不计，如图是两车之间的距离y（千米）与B车出发的时间x（小时）之间的函数图象，则当A车到达甲地时，B车离工厂还有 千米． 14．如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 三、解答题 15．数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 声音在空气中的传播速度 阅读上述材料，回答下列问题： (1)从表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了多少？ (2)用含t的代数式表示v； (3)某日的气温为，小莹同学看到烟花燃放后才听到声响，那么小莹同学与燃放烟花所在地大约相距多远？ 16．秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图①，可以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤钩上所挂物体的质量，称重时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米），秤钩所挂物体质量为y（千克）．下表为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 4 7 y（千克） (1)在图②中，描出表中对应的点； (2)根据表格和描点发现： ①当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x（厘米）每增加1厘米时，秤钩所挂物体质量y（千克）的具体变化是______； ②当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物体质量是______千克； ③直接写出y与x之间的关系式：______； (3)当秤钩所挂物体质量为千克时，求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是多少厘米． 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，并与直线相交于点，其中点的横坐标为3． (1)求点的坐标和的值； (2)为直线上一动点，当点运动到何位置时，的面积等于？请求出点的坐标． 18．学校为创建多媒体教学中心，备有资金150万元，已分批购进电脑x台，每台电脑单价5000元． (1)求所剩资金y（万元）与电脑台数x之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)购入200台这种型号的电脑后还有备用资金多少万元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A A C B C A D 1．A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了正比例函数的理解，函数的图表表示和解析式表示，熟练掌握定义，正确表示是解题的关键．根据表格数据，判断应付钱数是否为自变量的函数，并验证函数解析式的正确性． 【详解】解：由表格可知，每有一个确定的购买数量（支），对应唯一的应付钱数（元）．例如，时，时，依此类推．根据函数的定义，因变量是自变量的函数，因此小明的结论正确． 小亮给出的解析式为． 当时，代入得，但实际表格中，矛盾． 观察表格数据，与的比值恒为15，说明与成正比例关系，正确解析式应为．因此小亮的结论错误． 综上，只有小明的结论正确， 故选：A． 3．A 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，从函数图象中获得信息，解题的关键是熟练掌握待定系数法求出一次函数解析式．根据待定系数法求出一次函数解析式即可判断A选项；根据函数图象可以直接判定B选项；先分别求出小明休息前的骑行速度和休息后的骑行速度，然后进行比较，即可判定C选项；根据图象求出骑行时间即可判断D选项． 【详解】解：A．设休息结束后小明离家的距离关于离开家的时间的函数解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴休息结束后小明离家的距离关于离开家的时间的函数解析式为，故A正确； B．根据函数图象可知：小明家到图书馆的距离为，故B错误； C．小明休息前的骑行速度为：， 休息后的骑行速度为：， ∴小明休息前的骑行速度等于休息后的骑行速度，故C错误； D．小明从家到图书馆共骑行，故D错误． 故选：A． 4．C 【分析】此题考查了根据实际问题列一次函数关系式的知识，属于基础题，解答本题关键是根据三边总长应恰好为32米，列出等式．根据题意可得，继而可得出与之间的函数关系式． 【详解】解：由题意得：， 故可得：． 故选：C． 5．B 【分析】先求出二人速度，即可得20分钟二人所跑路程之和，再总结出第n次迎面相遇时，两人所跑路程之和（400n﹣200）米，列方程求出n的值，即可得答案． 【详解】解：由图可知，父子速度分别为：200×2÷120（米/秒）和200÷100＝2（米/秒）， ∴20分钟父子所走路程和为（米）， 父子二人第一次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200米， 父子二人第二次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200×2+200＝600（米）， 父子二人第三次迎面相遇时，两人所跑路程之和为400×2+200＝1000（米）， 父子二人第四次迎面相遇时，两人所跑路程之和为600×2+200＝1400（米）， … 父子二人第n次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200（n﹣1）×2+200＝（400n﹣200）米， 令400n﹣200＝6400， 解得n＝16.5， ∴父子二人迎面相遇的次数为16． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出父子二人第 次迎面相遇时，两人所跑路程之和米． 6．C 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键． 根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高，可判断A；设直线的解析式为，然后利用待定系数法求出直线线段的解析式可判断B；把代入②的结论进行计算即可判断C；把代入②的结论进行计算可判断D． 【详解】解：A.∵射线CD平行于x轴， ∴从第50天开始植物的高度不变， 故A的说法不正确； B.设直线的解析式为， ∵经过点， ∴， 解得， 所以，直线的解析式为， 故B的结论不正确； C.当时，， 即第40天，该植物的高度为14厘米； 故C的说法正确； D当时，， 即第50天，该植物的高度为16厘米； 故D的说法错误． 故选：C． 7．A 【分析】当直线与线段有交点时，可得；当直线与线段没有交点时，作点O关于直线的对称点，可得的最小值为的长度，点在如图3中优弧上运动，求出的最大值即可得到t的最大值，进而得出答案． 【详解】解：设，则直线过定点B， 如图1，当直线与线段有交点时， 可得点P为交点时，取最小值，最小值t为的长，即； 如图2，当直线与线段没有交点时， 作点O关于直线的对称点，连接与直线交于点P，则此时的最小值为的长度， 如图3，以点B为圆心，的长为半径作，设直线与交于点C， ∵， ∴当直线与线段没有交点时，点在如图3中优弧上运动， ∴当点运动到点C的位置时，取最大值，最大值为的长度， ∵，， ∴， ∴的最大值为8， ∴当直线与线段没有交点时，t的最大值为8， ∴t的值不可能等于10， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，轴对称最短路径问题，圆的基本性质，勾股定理等知识，判断出点的运动轨迹，求出的最大值是解题的关键． 8．D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及函数关系式．根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式，再利用三角形三边关系求得，据此判断即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 9．90 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．根据函数图象特殊点的坐标解答即可． 【详解】解：由图象可知，劣马从第0日出发，良马从第12日出发．劣马比良马早出发12日， 当时，两直线有交点，代表良马追上劣马，此时良马出发日， 良马行走4800里用了20日，故速度为里/日，劣马行走4800里用了32日，故速度为里/日， 所以良马的速度比劣马的速度快里/日 故答案为： 10． 20 爸爸 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象解答即可． 【详解】解：由图象可得，在小冬出发时两人相遇，爸爸先到达B地． 故答案为：20；爸爸． 11．960 【分析】本题可先根据图象求出两人的速度和，再结合相遇时间求出两人的速度，最后根据小刚到达终点的时间求出此时小红离终点的路程． 本题考查了从函数图象获取信息，利用速度、路程和时间的关系逐步求解．先根据图象得出关键信息（如总路程、相遇时间等），再依次求出速度和、各自速度，最后计算出所求路程． 【详解】解：由图可知，甲乙两地相距米，两人秒相遇，根据速度和路程和相遇时间，可得两人速度和为（米/秒）； 相遇后小刚到达甲地用时（秒）， 根据速度路程时间，可得小刚速度为（米/秒）； 因为两人速度和为米/秒，小刚速度为米/秒，所以小红速度为（米/秒）； 小刚到达终点用时秒，此时小红跑的路程为（米）， 那么小红离终点的路程为（米）， 故答案为：960． 12． 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据方程解的定义求得a的值，再令，即可求得一次函数与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵关关于x的方程的解为， ∴， 解得：． ∴一次函数为， 令，得． 解得：， ∴一次函数与x轴交点的坐标为． 故答案为． 13．96 【分析】根据题意和题目的函数图像，先求出A车和B车的速度，然后求出A车到乙地拿到文件后，前往甲地的时间，再得到B车的总时间，即可求出A车到达甲地时B车离工厂的距离． 【详解】解：根据题意，设A车的速度为，B车的速度为，则 ①， A车前往乙地取文件的过程，有 ②， 结合①②两式，得 ，， ∴A车的速度为48千米/小时；B车的速度为32千米/小时； A车拿到文件后，距离甲地的距离为：千米， ∴A车加速后达到甲地的时间为：小时； ∴B车一共所走的时间有：小时， ∴当A车到达甲地时，B车离工厂的距离为： 千米； 故答案为：96． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用——行程问题，以及函数图像的识别，解题的关键是熟练掌握题意，正确求出A、B两车的速度，从而进行解题． 14． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键． 利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴相交于点， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：． 15．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，求一次函数自变量或函数值，解题关键是掌握求一次函数解析式的方法． （1）根据表中数据求解； （2）根据表中数据，得出气温每升高，声音在空气中传播的速度提高量，且当时，，由此求得函数解析式； （3）当时，代入函数解析式求出函数值． 【详解】（1）解：从表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了， 所以气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了． （2）因为气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了，且当时，，所以． （3）当时，，， 所以小莹同学与燃放烟花所在地大约相距． 16．(1)见解析 (2)①增加千克；②4；③ (3)厘米 【分析】本题考查了一次函数的实际运用，待定系数法求一次函数解析式，根据自变量的值求函数值，掌握一次函数的性质和待定系数法是解题的关键． （1）根据表格数据描点； （2）①当时，，当时，，由此即可求解； ②根据①可求解； ③根据，，设一次函数的解析式为，把已知点代入即可求解； （3）当秤钩所挂物重为斤时，根据y与x的函数关系式求解． 【详解】（1）解：描点如图， （2）①当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤钩所挂物重y的具体变化是千克； 故答案为：增加千克； ②∵秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤钩所挂物重y的具体变化是千克，当时，，， ∴当时，， 故答案为：4； ③∵y是x的一次函数， ∴设解析式为， 把，代入得， ，解得：， ∴， 故答案为：； （3）当时，，解得， 所以当秤钩所挂物体质量为千克时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是厘米． 17．(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的交点问题，通过三角形的面积求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）利用解析式求点的坐标，利用待定系数法求一次函数参数； （2）先求出点的坐标，再设点的坐标为，利用三角形的面积列出绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得，所以点的坐标为． 因为点在一次函数的图象上， 所以，解得． （2）解：把代入，得，所以点的坐标为，即． 设点的坐标为，则， 解得或，所以点的坐标为或． 18．(1)（且x为整数） (2)当购入200台这种型号的电脑后还有备用资金50万元 【分析】此题考查了一次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是关键． （1）根据所剩资金等于备有资金减去花费的资金建立函数解析式，再根据实际情况求出自变量的取值范围； （2）把代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∵ 解得且x为整数； （2）当时，． 答：当购入200台这种型号的电脑后还有备用资金50万元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $