专题02 圆中不规则图形面积与辅助线添加6种题型（高效培优专项训练）数学沪科版九年级下册

专题02 圆中不规则图形面积与辅助线添加6种题型 题型一：和差法求不规则图形面积 题型二：等积转化法求不规则图形面积 题型三：连半径，证垂直，得切线 题型四：作直径构造直角三角形 题型五：遇弦作弦心距 题型六：遇切线，连半径，得垂直 题型一：和差法求不规则图形面积 1．（24-25九年级上·安徽合肥·月考）如图，，，以点为圆心，为半径作弧交于点，交于点，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 3.如图，已知是的直径，弦，垂足为E，且，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 4.如图，是的直径，且，点是上一点，连接，过点作于点，将沿直线翻折．若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·安徽合肥·一模）如图，直线与相切于点，是的一条弦，且，连接．若的半径为，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·安徽合肥·一模）如图，以边长为的等边顶点为圆心，一定的长为半径画弧，恰好与边相切，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 7.如图，的斜边与半圆相切，，，已知，，则阴影部分的面积为(   ) A． B． C． D． 8．（2023·安徽宿州·二模）如图，在平行四边形中，，，，则阴影部分的面积为 ． 9．（24-25九年级下·安徽合肥·月考）如图，在矩形中，点在对角线上，分别以点和点为圆心，线段，的长为半径画圆弧．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 10．（2025·安徽芜湖·一模）如图，在中，，，，O是斜边的中点，以点O为圆心的半圆O与相切于点D，交于点E，F，则阴影部分的面积为 ． 11.如图，在中，，，以的长为半径的经过，两点，点，分别在，上， ，且与过，两点的相切，则图中阴影部分的面积是 ．    12．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，．点D为边的中点，以点D为圆心，长为直径画半圆，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 13．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，在矩形纸片中，，，若以点B为圆心，为半径，剪出扇形． (1)求图中阴影部分的面积；（结果保留） (2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆的半径． 14.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到． (1)求点经过的路线的长度． (2)求阴影部分的面积． 15．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，平行四边形中，是上一点，平分，以为圆心，为半径的圆与相切于点，连接，作于点． (1)求证：与相切； (2)若，，且，求阴影部分的面积． 16．（2023·安徽六安·三模）如图，半径是3的中，与相切于点，与交于点，点是延长线上一点，且，E是半圆上的一点，．    (1)求的度数； (2)求证：是的切线； (3)求图中阴影部分的面积． 题型二：等积转化法求不规则图形面积 17．如图所示，、是半圆弧的三等分点，点是直径所在直线上任意一点，若半圆的直径为，那么图中阴影部分的面积为( ) A． B． C． D． 18.是的直径，弦，则（    ） A．π B．2π C． D．4π 19．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，，是以为直径的半圆的三等分点，，则阴影部分的面积是 ． 20．（23-24九年级上·安徽芜湖·月考）如图，边长为3的正方形的中心与半径为1的的圆心重合，过点O作，分别交于点E，F，则阴影部分的而积是（） A． B． C． D．随点E，F的位置而变化 21．（2023·安徽安庆·三模）如图，点在半圆上，直径，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 22．（2023·安徽黄山·模拟预测）如图，半径为2的两个等圆，外切于点，切于点，弦，连接，，则图中阴影部分的面积等于 ．（结果保留） 23.如图，在中，是直径，点是上一点，且，过点作的切线交延长线于点，为弧的中点，连接，与交于点． (1)求证：； (2)已知图中阴影部分面积为6π． 求的半径；直接写出图中阴影部分的周长． 题型三：连半径，证垂直，得切线 24．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 25．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的外接圆，，连接并延长至点，使交于点． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 26．（2025·安徽·模拟预测）如图中，，以为直径的圆交于点D、交延长线于点E，过E作于M，交延长线于N． (1)求证：为圆O切线； (2)若， ，求圆O的半径． 27．（2025·安徽滁州·模拟预测）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，连接，过点作，垂足为点．    (1)求证：是的切线； (2)求证：． 28．（2025·安徽滁州·模拟预测）已知是的直径，是上的一点，的平分线交于点，是延长线上一点，满足． (1)如图，求证：与相切； (2)试判断与，哪个式子成立？并说明理由． 29．（2024·安徽·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，． (1)求证：是的切线； (2)若，垂足为E，交于点，求的长． 30．（23-24九年级上·安徽六安·月考）如图，在中，，，，点在边上，经过点，分别交、于点、，且． (1)求证：为的切线； (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留，，，） 31．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的直径，是上一点，于点 D，延长至点 F，使得． (1)求证：与相切； (2)当，时，请直接写出阴影部分的面积_______．（结果保留） 32．（24-25九年级下·安徽蚌埠·月考）如图，是的外接圆，为直径，为的中点，． (1)求证：为的切线； (2)已知，为的中点，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 33．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线： (2)若，，求阴影部分的面积． 题型四：作直径构造直角三角形 34．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径．若，则 °． 35．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知：如图，的直径与弦（不是直径）交于点，若，． (1)求的长． (2)求证：． 36．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，以为直径的分别与，交于D，E两点，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的面积． 37．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，交的边于点，点，在上，是的直径，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)若，求证：是的切线． 38．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）已知为的直径，是的切线且切点为点，过点作于点，交于点，连接． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点为的中点，，求线段的长． 题型五：遇弦作弦心距 39．（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 40．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，是的直径，弦交于点，，，，求的长． 41．（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，、是的两条弦，，垂足为点M，，，，，求的半径． 42．（2025·安徽滁州·一模）如图，是半的直径，，点，分别在半径和弦上，且，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 43．（24-25九年级下·安徽淮北·期中）如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． (1)若，，求的长； (2)连接，如图2，若，求的度数． 44．（2025·安徽阜阳·三模）如图，是的直径，点E在弦上，且平分，过点B作，交的延长线于点D，延长交于点F． (1)求证：． (2)若的半径为2，，求的长． 45．（2025·安徽·一模）如图，是半圆的直径，弦，点在弦上，连接，． (1)若，，，求的长； (2)在上取一点，使得，求证：． 题型六：遇切线，连半径，得垂直 46．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的直径，交于点D，点C为上方上一点，连接，，与交于点E，过点C作的切线交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 47．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，为的直径，点F在上，，点P在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 48．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图1，在中，和互余，点D是上一点，以为直径作切于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，与交于点F，点F是的中点，，求的半径． 49．（2025·安徽淮南·二模）如图，是的直径，C为上一点，D为的中点，过点D作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求直径的长． 50．（2024·安徽·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点，是的切线且交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 51．（2024·安徽·模拟预测）如图，的顶点C在半圆O上，P为直径上一点，交于点D，交半圆O于点E，交的延长线于点F，过点C作半圆O的切线交于点G． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 52．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作的切线交于点E，交的延长线于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02圆中不规则图形面积与辅助线添加6种题型 题型归纳 题型一：和差法求不规则图形面积 题型二：等积转化法求不规则图形面积 题型三：连半径，证垂直，得切线 题型四：作直径构造直角三角形 题型五：遇弦作弦心距 题型六：遇切线，连半径，得垂直 题型专练 题型一：和差法求不规则图形面积 1.(24-25九年级上安徽合肥月考)如图，∠AOB=90°，∠B=30°，以点0为圆心，OA为半径作弧交 AB于点C,交OB于点D,若OA=4,则阴影部分的面积为() D 4π A.3 .+5 c.-45 D.4v5-4 3 【答案】A 【详解】解：连接OC, O- B D ·,∠AOB=90°∠B=30°OA=4 AB=2OA=8,∠OAB=90°-∠B=60°， .OA=OC, ∴.△AOC为等边三角形， ∴.∠AOC=60°，AC=OA=4, .BC=AB-AC=4,∠COB=90°-∠AOC=30°=∠B, .CO=CB=AC=4, ∴.SAoc=SB0C, ,阴影部分的面积为S扇形AOc-S△1Oc+S△BOc-S扇形Doc=S扇形AOc-S扇形Doc= 360 360 1/56 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：A 2.(23-24九年级上·安徽合肥·期末)如图，△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,AC分别相切于点D,E, F,连接OE,OF,∠C=90°，AC=6,BC=8,则阴影部分的面积为() A.1-27 B.4-2 1 C.4-π 【答案】C 【详解】解：如图：连接AO、BO、DO,CO,设⊙O半径为r, D E ∠C=90°AC=6BC=8 AB=10 :△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,AC分别相切于点D,E,F, .AC⊥OF,AB⊥OD,BC⊥OE,且OF=OD=OE=r, :∠C=90°， ∴.四边形OFCE是正方形， S.ABC=S.4BO+Sco+S.aco, 1 1 红-一子 26x8, 6×8 .r= 6+8+10 2,∴S影=S#50E-S0m=4-90zX4=4-元. 360 故选：C. 3.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为E,且∠BCD=30°，CD=4W3,则图中阴影部分的 面积为（) 2/56 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 E 0 B A.2元-4 8π-4W5 B. c.-45 3死一4 D.8 【答案】B 【详解】解：连接OC, E B CD⊥AB,AB过O,CD=4V3, CE-DE-CD=23 ZCEB=90 ∠BCD=30°， ∴∠CB0=90°-∠BCD=60°，BC=2BE, 由勾股定理得：BC2=CE2+BE2, 即(2BE)2=2V5+BE2, 解得：BE=2, BC=4, ∠CBO=60°，OC=OB, ∴△COB是等边三角形， ..OC=OB=BC=4, 阴影部分的面积S=S扇形CoB-S△coB 60πx41x4×25=87-45, 3602 3 故选：B. 4.如图，AB是⊙O的直径，且AB=8,点C是⊙O上一点，连接AC,过点O作OD⊥AC于点D,将AC 3/56 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 沿直线AC翻折.若翻折后的圆弧恰好经过点O,则图中阴影部分的面积为() D 0 A警+20 8.5+25 c. 8r+2W2 . 4π+2N2 【答案】A 【详解】解：如图，连接OC,BC.可得OB=OC=4, B .LCAO=LCAB, ..OC=BC, ∴.OC=BC=OB, ∴LCOB=60°， .LA0C=180°-60°=120°， OD⊥AC, .LCOD=60°， 0DE0c=2.CD=)0C=23, 2 =Sect5-60+)X2x2V58r+25, 360 3 故选：A. 5.(2023安徽合肥.一模)如图，直线AB与⊙O相切于点A,CD是⊙0的一条弦，且CD∥AB,连接 AC.若⊙0的半径为2，CD=2V5,则阴影部分的面积为() 4/56 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.4红-5 B.4 2.5 3 C.4W2元-5 D. -3 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点O作EF∥AB,作OH⊥CD于H,则点H是CD的中点， D H E B :直线AB与OO相切于点A,CD∥AB, ∴A,O,H在同一条直线上，且AB∥EF∥CD, c=Dl=c0*25=5, 在Rt△COH中，CO-2, ∴0H=C02-CH=V22-(W5)=1, .∠OCH=30°， :AB∥EF∥CD, .∠HCO=∠COF=30°，∠FOA=∠OAB=90°， ∠A0C=120°， :S猫形04c=360 ,Saaw=01,0H=5x1k5- *πx22=4 120 2 2 2， 5m-cam-x5x0-2)=35 2 .SOAC=SAACH-S△oCH= 355-5, 22 5/56 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3-V3, 阴影部分的面积为S扇形o4c一S△o4c 故选：A. 6.(2023安徽合肥一模)如图，以边长为4的等边△ABC顶点A为圆心，一定的长为半径画弧，恰好与 BC边相切，分别交AB,AC于点D,E,则图中阴影部分的面积是() A.4N5-π B.85-π c.(6-5 3 D.4N5-2元 【答案】D 【详解】解：如图所示，过点A作AF⊥BC,交BC于点F, 是等边三角形， F .△ABC BC=4 .CF=BF=2. 在RtAACF中，AF=√AC2-CF2=25 S阳影=S4Bc-S扇形DE)×4×2V5 1 60rx254N5-2m 360 故选：D 7.如图，Rt△ABC的斜边AB与半圆相切，∠B=30°，∠ACB=90°，已知OC=2cm,∠BOF=120°，则阴 影部分的面积为() A.( 6/56 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 c.〔26-m .（o5-rm 【答案】A 【详解】解：，∠BOF=120°， .∠FOC=60°， :∠ACB=90°， .∠0FC=30°， .OC=2cm, :.F0=20C=4cm, ..EO=FO=4cm, ,斜边AB与半圆相切， ,∠OEB=90°， ∠B=30°， ∴，∠EOB=60°，BO=2E0=8, .BE=43, 1 S影=So8B-Sm形oE三×4×4V5-60T×4, =8V5-8 ， 360 故选：A. 8.(2023安徽宿州·二模)如图，在平行四边形ABCD中，AD=AE=3N2,AB=6,∠A=45°，则阴影 部分的面积为 D E B 【答案】18-9 【详解】解：如图所示，过点D作DF⊥AB与点F, D B 7/56 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AD=AE=3N2,∠A=45°， 45° 六.S扇形DE= 360° πx102=g×32=9 8 4 :∠A=45°，AD=3V2,DE1AB, ..AF=DF,AF2+DF2 AD2, .AF DF=3, ,S平行四边形BCD=AB×DF=6×3=18, 影=S行边4n-S装0e=18-9 4, 故答案为：18-9如 4· 9.(24-25九年级下·安徽合肥月考)如图，在矩形ABCD中，点E在对角线BD上，分别以点B和点D为 圆心，线段BE,DE的长为半径画圆弧.若BC=BE=2,DE=1,则图中阴影部分的面积为一· 【答案】2V5-5” 4 【详解】解：：BC=BE=2,DE=1, .BD=BE+DE=2+1=3, ∴DC=VBD2-BC2=V5, 阴影部分的面积为：2x5:2=2N55 44 故答案为：25-5如 4 10.(2025安徽芜湖一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4,O是斜边AB的中点， 以点O为圆心的半圆O与AC相切于点D,交AB于点E,F,则阴影部分的面积为一· 8/56 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 3V3π 23 【详解】解：连接OD, B :∠C=90°，∠A=30°，AB=4, :BC=)AB=2,4C=P-2=25 2 :AB=4,O是斜边AB的中点， .4O-14B=2, :AC是半圆O的切线， .OD⊥AC, '∠A=30°， 0n04=1,AD=7-5∠0f=0+0=12w ∴阴影部分的面积为SRLABC-SRa4OD一S扇形FOD CCAD-OD-120gg 360 2x25-x5x1-号 2 35π 23 故答案为： 3W5π 23 11.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4,以BC的长为半径的⊙O经过A,B两点，点D,E分 别在AC,BC上，DE∥AB,且与过A,B两点的⊙O相切，则图中阴影部分的面积是一 C B 9/56 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】32√2-32-4π 【详解】解：已知以BC的长为半径且经过A,B两点的圆的圆心为点O,连接OC,交AB于点M,交 DE于点N, D O ..OA=OB=BC=AC=4 ·.四边形ACBO是菱形， ∠C=90°， .四边形ACBO是正方形， ∠CAB=CBA=45°， DE∥AB, .∠CDE=∠CED=45°， ∴.△CDE是等腰直角三角形， .AB=2AC=42, .0C=42, :DE与⊙O相切， ∴.ON=OA=4, ∴.CN=OC-OW =4W2-4, ∴DN=NE=CN =42-4, sme=45-4s巨-s =48-32√5， ·.∴S阴影=S正方形ACBO-SCDE-S扇形AOB =16-48-32V2)-90m×4 360 =32√2-32-4π. 故答案：32V2-32-4π. 10/56