5.1分式及其基本性质（题型专练）数学新教材北师大版八年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.1分式及其基本性质 题型一分式的判断 题型二 分式的规律性问题 题型三分式有意义、无意义和值为0的条件 基础达标题 题型四分式的求值 题型五约分 题型六最简分式 题型一 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型二 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型三 判断分式变形是否正确 分式及其基本性质 题型四求使分式变形成立的条件 能力提升题 题型五利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型六将分式的分子分母最高次项化为正数 题型七将分式的分子分母各项系数化为正数 题型八列分式 拓展培优题 题型 分式的综合运用 A 基础达标题 题型一 分式的判断 1.（25-26八年级上黑龙江哈尔滨期末)在3,1，x m x x-1, 2+2x+1,m+”中，分式的个数是（） 5 m-n A.2 B.3 C.4 D.5 2.(25-26八年级上黑龙江哈尔滨期末)在3 。-,宁西，分有《) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2 0g+5:⑤m”.其 3.256八年级上黑龙江鸡两期未)下列各式：@子，@打-，@子：@写 5 中是分式的有() 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.①③④ B.①②③ c.③⑤ D.①④ 4.(25-26八年级上辽宁抚顺期末)下列式子中属于分式的是() A.a+b创 B司 C+2x+1 5 D.a+6 2b 5.(25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末)下列各式是分式的是() A月 B C.x+y D.a-b 5 a+b 6.(25-26八年级上海南省直辖县级单位期末)在 11x3xy3 x24πx+y 中分式的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型二 分式的规律性问题 1.2526八年级上云青附通期未)观察下列式于：是兰一，使照此规律，第8个式子是() A号 B. 20 C.18 D. 22324八年级上云南昆明期未)观察下列分式：子·号，是·.，按此规律第10个式 2’3’ 子是() A. B.-99 x10 c.101 D.-101 气，(2526八年级上湖南永州期中)一组按规律排列的式子：二，专，。怎，，，则第10个式了 是 22 2 4.(25-26八年级上·全国周测)已知y=2x,y2=二，3=二，…，y225= ，则y2·y2025的值为 yi y2 y2024 5,12八年级上贵州第仁断未给出下面一列分式：于一号·号兰，一表那#，则这列粉 y 式中的第2022个分式是、 6.256七年级上全国期巾)已知4=专44,4-4 4 1 1 ’a。,，以此类推，则a 的值为一· 14916 7.(21-22八年级上云南红河期末)一组按规律排列的式子：2，一 ,（a≠0)，其中 a8’ 第个式子是 题型三分式有意义、无意义和值为0的条件 2/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(25-26八年级上辽宁大连·期末)若分式 有意义，则x的取值范围是() x+1 A.x≠-1 B.x≠1 C.x≥-1 D.x>-1 2.(25-26八年级上全国期末)若分式-1的值为0，则x的值为（) x-1 A.1或-1 B.0 C.-1 D.1 3.(25-26八年级上山东烟台期中)写一个含有字母x的分式，当x=2时，分式无意义；当x=1时，分式 的值为0.则这个分式可以是」 4.(2526八年级上西藏日喀则期末)当x=时，分式+无意义。 x-2 5。(2223八年级下河南郑州月考)若分式无意义，则x的取值为 6.(24-25八年级上·湖南邵阳·期中)当x= 时，分式1-2x 无意义 x-6 7.(25.26八年级上山东威海月考)对于分式x+a+b,当x=3时，分式的值为零，当x:-2时，分式 a-2b+3x 无意义，则a=」 b= x-2 8.(25:26八年级上广东广州期中)已知分式+2，当”一时，分式无意义：当—时，分式 的值为0 9.(2425八年级上北京期末)分式二3有意义，x的取值范围是 一分式-3的值为0，则x 的值为■ 10.(25-26八年级上北京期末)若分式-9的值为0，则x= x-3 1.(25-26八年级上甘肃定西月考)对于分式-3 x-3 ()当x取什么值时，分式有意义？ (2)当x取什么值时，分式的值为零？ 题型四分式的求值 1.(25-26九年级上河南周口月考)若+y=3,则上的值为() A.号 B.2 c. D.4 2.7-18九年级上安做合肥期中)若，，则（） 3/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 A.3 B.$ c D.3 3。《2526八年级上甘肃期末)已知。片4，则29±3二2 的值为() a-2ab-b A. B. c.- 6 6 4.(25-26七年级上上海浦东新月考)如果分式4-2 值为1，那么b的值是 a-b 5.(25-26九年级上广东深圳月考)如果x=5, -少3，那么= y 那么 6.(2-23九年级上上海期中)如果=， y (2526九年级上安徽期末)若号=子，则+的值等力 a-b 题型五约分 1.(25.26八年级上甘肃定西月考)化简-的结果是() x-1 A.x-1 B.x+1 C.x2-1 D.x2+1 2.(25-26八年级上福建厦门月考)约分：xy (其中ay≠0). axy 3.(2.23八年级下河南郑州月考)对+进行约分，结果为 (x+y)2 4.(25-26八年级上北京西城期中)约分： -10mn2 15m2n 5.(25-26八年级上云南昭通·月考)计算： (0)x94 x+2 (249 a-b 题型六最简分式 1.(25-26八年级上·内蒙古呼和浩特期末)下列分式中，最简分式是() A.4r+8 x-y B.xy x2-y2 D.x2+2 6x+10 C.x2xy+y x+y 2.(25-26八年级上·云南保山·月考)下列分式是最简分式的是() A. 6 y B. 3x+1 C.3y D.x+1 x2-1 3.(25-26八年级上·广西崇左·月考)下列各分式中是最简分式的是() 12(x-y) x2-y2 A.15x+ B. x2+y2 C. D.x-y xv+xv （x+y) x+y 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(25-26八年级上·河北石家庄·月考)下列分式是最简分式的是() A.x-1 B. x2+1 C.x+x 9v D. x2-1 x2-1 xy 12x 5.(25-26七年级上·上海浦东新·月考)下列代数式中，是最简分式的是() 2m a+b 2a x+y A.3mn B. C. D. a2-b2 a2+a x2+y2 B 能力提升题 题型一求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 25-,26八年级上宁营口月考)已知的值为正数，则x的取值范围为 2.2526八年级上北凉海淀月考)若分式为负数，则附取值范康是 3.(25-26八年级上江苏苏州月考)若分式，1的值为正数，则x的取值范围是」 3x+1 4.《2425九年级下江苏南通月考)若分式2的值为负，则的范超是一 5。(2025八年级上全围专题练习》当x为何值时，分式，K士3的值为正数，一 6(25.26八年级上全国课后作业)()当x取什么值时，分式形 °的值为0； 《2)当x取什么值时，分式的值为正： 3)当x取什么值时，分式的值为负) 题型二求使分式值为整数时未知数的整数值 1.C②26八年级上西袋左月考)a呢有理数，则，20的值不能是() A.1 B.-1 C.0 D.-2000 22526八年级上北京通州期末)若x为整数，且使分式，。的值是整数，则x的值是 人年级上北京顺义期中)如果分式2元的值是正数，那么的取值泡围是一有 的值为整数，则的整数值为 3m-6 4.(25-26八年级上北京房山期中)若分式m+川m-2的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是 5/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.（25-26八年级上全国课后作业)若整数x使式子3x+(r- 的值为整数，则满足条件的x的值 x-3'(x+1(x-3) 有个 6.(2025七年级上全国专题练习)若分式方程m=3-x的解为正整数，求整数m的值. 1-x x-1 7.(2526八年级上河北唐山期中)已知当x=-3时，分式-C无意义；当x=2时，此分式的值为0. x+d (I)直接写出d,c的值， 2在()的条件下，当分式3的值为正整数时，求整数x的值. x+c 8.(25-26八年级上全国课后作业)(1)若分式之的值为负数，求x的取值范围。 x-2 (2)若3的值是一个整数，则整数x可能取哪些值？ x-2 题型三判断分式变形是否正确 1.(25-26八年级上山东滨州·月考)下列式子从左到右的变形一定正确的是（) A.19 b+1b C.a=a b bc b b2 2.(25-26八年级上·北京西城月考)下列分式变形正确的是() A.atb_a+b B.a2-4a+4 c a-2 a-2 C.a+2a 6+26 n 3.(25-26八年级上·辽宁抚顺·期末)下列分式变形正确的是() A.am、4 bm b B名需 C.BB D.-a a-b--b-a 4.(25-26八年级上山西吕梁月考)下列变形正确的是() A88 B.a-b_a2-ab a a2 C.2=b+2 D.3a2+3ab_1+3a aa+2 6a2 2 5.(25-26八年级上辽宁大连期末)下列等式一定成立的是() A. 2xy 2x y2 y B名发 c. 6/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(25-26八年级上·北京海淀·期末)下列各式从左到右变形正确的是() A.x+11 B. -xy_y c.y+1=2+1 x+22 xx 7.(25-26八年级上·福建龙岩·月考)下列分式变形正确的是() A.-x-y=1 B.-y2 x-y x+y x2+xy c.a-2-a2-4 a+b 1 D. a+2 a a+ba+b 题型四求使分式变形成立的条件 x+1 1.要使式子 “x-3(x-3(x+1从左到右变形成立，x应满足的条件是() A.x>-1 B.x=-1 C.x<-1 D.x≠-1 2.若等式6x成立，则x应满足的条件是() 3a 3ax A.x=0 B.x=1 C.x≠0 D.x=1或x=0 3x 3kx 3.能使等式= 成立的k的取值范围为() y ky A.k≠1 B.k≠0 C.k≠-1 D.k为任意实数 4.若a+0,等式之=成立，则x应满足的条件是 3a 3ax 。已知m,均为非0常数，要使等式-成立，则括号内应填入二 6在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：(1）h点：（2)子-产=：-：括号内应 ab a'b 填 7.若？1」 c2+7cc+7’则？所代表的分子是 &当k有时，等款昌仁温凤： 题型五利用分式的基本性质判断分式值的变化 1.(25-26八年级上·辽宁大连·期末)若把分式中的x和y都扩大10倍，那么下列分式的值不变的是() 2x+2y B.x+y C. x+y xy x+y D.2x+y 2.(25-26八年级上云南昆明期末)把3y中的x和y都扩大10倍，则分式的值() 2x A.扩大为原来的10倍 B.扩大为原来的5倍 7/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 C.不变 D.缩小为原来的 0 3.(2425八年级上北京期末)已知mn<0,m>n,则下列式子一定比”大的是() m A.2n B.2+n C.2n D.2 m 2m m 4.（25-26八年级上云南昭通期末)如果把分式3m-2m 中的m和同时扩大为原来的4倍，则调整后的分 4m 式的值() A.扩大为原来的4倍 B.缩小为原来的} C.保持不变 D.扩大为原来的16倍 y 5.(24-25八年级上河北廊坊期未)如果分式2x-3)中的x,y都扩广大为原来的2倍，那么分式的值（） A.不变 B.扩大为原来的2倍 C.缩小为原来的 4 D.缩小为原来的 6.(2025八年级上·河北沧州专题练习)下列说法正确的是() A.若分式-4值为0，则x的值为±2 x-2 B.根据分式的基本性质，”可以变形 mx2+1 n nx2+1 C.分式3x+2y 中，x,y都扩大2倍，分式的值不变 D分成品不是设简分式 7.(25-26八年级上云南保山月考)若把分式+上中的x和y都扩大为原来的10倍，则分式的值() 2xv A.扩大为原来的10倍 B.不变 C.缩小为原来的 10 D.缩小为原来的 20 题型六将分式的分子分母最高次项化为正数 1,(19-20八年级上山东课后作业)不改变分式2二3x+x,的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， -5x3+2x-3 正确的是() A号 B. 3x2-x+2 C.3r2+x-2 D. 3x2-x-2 5x3+2x-3 5x3-2x+3 5x-2x+3 2.(25-26八年级上·全国·课后作业)不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中x的最高次项的系数为 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 正数 (1) -3x+x2 -2x2+x ； (2) -x2-1 -x+y (3)-x-x2 -x2+x 3.(24-25八年级下·全国·课后作业)不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数. (0) 1-x (2)Q-a2 b-b 4.(24-25八年级下·全国·课后作业)不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数. (07a-a2 2-a 1-x2+y3 (2②3+2x-5莎 5.(24-25八年级下·全国·课后作业)不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正 数： (101-a-a2 1+a2-a (2)*1 1-x29 6)-1a3 a2-a+1 题型七将分式的分子分母各项系数化为整数 1.(25-26八年级上·全国·课后作业)不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数. 0.5x-0.7y (1) 0.2x+0.6y 1 a+b (2) 4 3-2 2.(25-26八年级上，全国课前预习)不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数： a+b (1)3 1 2a- b 9/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2) 0.01a-0.03b 0.05a+0.04b 3.(25-26八年级上·全国·课后作业)将分式的分子与分母中的各项系数化为整数. (1) 0.1x+0.2y 0.3+y 3 = 4.(2025八年级上北京专题练习)不改变分式的值，将分式02a+0.50的分子分母化为整数. 0.1a-0.3b 5.(25-26八年级上·全国·课后作业)不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数 0.3x+0.5y (00.2x-0.01y 1 0.2m-2” (2)12 4m-n 3 题型八列分式 1.(23-24七年级下·北京·月考)浓度为p%的盐水m公斤与浓度为4%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是() A.P+9% 2 B.(mp+ng% C.(mp+ng D.(mp+ng p+q m+n 2.(24-25八年级下·河北保定·月考)某校组织全体师生m人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提 供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆() A.m+1辆 B.m-l辆 c.”+1辆 m-1辆 n n n D. 3.(2025八年级上·黑龙江·专题练习)打字员要打一份12000字的文件，第一天她打字2h,打字速度为w 字/min,第二天打字速度比第一天快了l0字/min,两天打完全部文件，第二天她打字用了_min 4.(25-26八年级上·全国课后作业)请写出一个分式，使其只含有字母a,且无论a取何数分式都有意 义： 5.(2025八年级上全国专题练习)根据表格中的信息，请写出一个含x的分式：一· X -2 -1 0 分式的值 无意义 6.(24-25八年级下·江苏徐州月考)已知某体育用品厂要生产a个篮球，原计划每天生产b个篮球(a>b, 10/12 5.1分式及其基本性质 题型一   分式的判断 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】B 题型二 分式的规律性问题 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】 4．【答案】2 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】. 题型三   分式有意义、无意义和值为0的条件 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】6 7．【答案】 0 8．【答案】 2 9．【答案】 3 10．【答案】 11． 【答案】(1)当时，分式有意义 (2)当时，分式的值为零 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件，即分母不为0，列式求解即可； （2）根据分式的值为零的条件，即分子为0，且分母不为0，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得， 答：当时，分式有意义； （2）∵分式的值为零， ∴且， 即且， ∴， 答：当时，分式的值为零． 题型四   分式的求值 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】0 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】 题型五   约分 1．【答案】B 2．【答案】/ 3．【答案】 4．【答案】 5． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查约分，熟练掌握分式的性质是解题的关键； （1）根据平方差公式及分式的性质可进行化简； （2）根据平方差公式及分式的性质可进行化简． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型六   最简分式 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】D 题型一   求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．【答案】 且 2．【答案】且 3．【答案】 4．【答案】且 5． 【答案】 【分析】本题考查分式的值的正负性，根据分式有意义的条件及分子分母的正负性来确定的取值范围，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由分式的值为正数，已知分子为正数，只需分母为正数即可． 【详解】解：由题意得，，解得， 即时，分式的值为正数． 6． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件，熟练掌握分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． （1）根据分式值为0的条件解答即可； （2）分式的值为正即分子分母同号，由，得，从而得出，解答即可； （3）分式的值为负即分子分母异号，由，得，从而得出，解答即可． 【详解】解：（1）由，得， 当时，； ∴当时，分式的值为0； （2）由分式的值为正，得与同号， ∵， ∴， ∴， 解得： （3）由分式的值为负，得与异号， ∵， ∴， ∴， 解得：， 题型二   求使分式值为整数时未知数的整数值 1．【答案】C 2．【答案】，，0，1 3．【答案】 ， 4．【答案】0 5．【答案】3 6． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解法及参数取值问题。本题关键在于正确处理分式方程的变形与去分母，并在解出含参数的解后结合解的限制条件进行讨论，特别注意这一隐含条件，避免代入导致分母为零的情况。先解含有字母参数的分式方程，求出，再根据分式方程的解为正整数，列出关于的方程，解方程求出，再判断时分式方程有无意义，从而求出答案即可． 【详解】解：， 去分母：， 去括号：， 移项合并：， 化系数为1：， ∵分式方程的解为正整数， ∴或3， 解得：或1， ∵当时，，分式无意义， ∴， ∴整数的值为． 7． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式的值，熟练掌握知识点是解题关键； （1）根据分式有意义的条件“分母不为0”列出方程解方程即可得到d的值，再通过分式的值为0时，分子为0，列出方程即可得到c的值； （2）把的值代入分式，然后利用分式的值为正整数进行分情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）把，代入得 因为分式的值为正整数，所以是的正因数，的正因数有、、．当时，；当时，；当时，． 整数的值可能为，，． 8． 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）根据分式值为负数的条件，分子分母异号，结合分子的取值情况，确定分母的符号，进而求出的取值范围； （2）根据分式值为整数的条件，分母是分子的约数，找出使得为的约数的整数的值． 【详解】解：（1）分式的值为负数，且， 且且． （2）的值是一个整数，且为整数， 可以为整数可能取． 【点睛】本题考查了分式的值的相关计算，掌握根据分式值的正负或整数情况，分析分子分母的关系是解题的关键． 题型三   判断分式变形是否正确 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】B 题型四   求使分式变形成立的条件 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】 5．【答案】/ 6．【答案】 7．【答案】c 8． 【答案】1 【分析】此题考查了分式的性质，根据分式的性质得到，且，进而求解即可． 【详解】解：因为， 所以，且， 所以， 所以当时，等式成立． 题型五   利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】C 题型六   将分式的分子分母最高次项化为正数 1．【答案】D 2．【答案】 3． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质，是解题的关键： （1）分子，分母同时乘以，即可； （2）分子，分母同时乘以，即可； 【详解】（1）解：； （2）． 4． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质及分式的符号法则，解题的关键是正确运用分式的基本性质、分式的符号法则求解． （1）先将分式的分子分母按字母进行降幂排列，分子分母同时添上带负号的括号，再根据分式的基本性质，将分子分母都乘以即可得到答案； （2）先将分式的分子分母均按字母进行降幂排列，将分母添上带负号的括号，再根据分式的符号法则，将分母的负号提到分式本身的前边即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 5． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的基本性质． （1）原式分子分母分别提取变形，即可得到结果． （2）分式分母提取变形即可得到结果； （3）分式分子提取变形即可得到结果； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型七   将分式的分子分母各项系数化为整数 1．【答案】 2．【答案】 3．【答案】 4． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘以10即可． 本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：． 5． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分式的分子系数和分母系数都乘60即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型八   列分式 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】 4．【答案】（答案不唯一） 5．【答案】（答案不唯一） 6．【答案】 7．【答案】 8． 【答案】小明从家到学校的步行速度如果是20米/分，则时间是分钟，从家到学校的步行速度如果是米/分，则时间是分钟．（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的实际意义． 结合实际生活作答即可． 【详解】解：小明从家到学校的步行速度如果是20米/分，则时间是分钟，从家到学校的步行速度如果是米/分，则时间是分钟．（答案不唯一） 9． 【答案】混合后糖果的价格为 【分析】本题主要考查了列分式， 先表示出总价元，再除以总质量千克，可得答案. 【详解】解：根据题意，得 混合后每千克糖果的价格是元. 题型一   分式的综合运用 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】 4． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了对平方差倒数的理解，完全平方公式的应用、分式方程的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义平方差倒数，直接求解，即可解题； （2）根据“是的平方差倒数，”结合平方差倒数概念建立分式方程求解，即可解题； （3）利用新定义因式分解化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴2的平方差倒数是， 故答案为：； （2）解：∵是的平方差倒数， ∴， ∴， 去分母，得， 解得， 经检验，是该方程的解， 此时； （3）解：∵是某一正整数的平方差倒数（，是正整数）， 设这一正整数为n, ∴， ∴， 即， 去分母，得， ， ∵a，b，n为正整数， ∴， ∴要使的值最小，需使为最小的完全平方数． ∵n为正整数， ∴，． ∴的最小值为25，此时， ∴的最小值为10． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1分式及其基本性质 题型一   分式的判断 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，，中，分式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解决本题的关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的有理式），判断每个表达式是否为分式． 【详解】解：由题意得，，，是分式； ，是整式； ∴分式共有3个． 故选B． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，，中，分式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式，逐一判断各表达式即可，熟知分式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵分式是分母中含有字母的代数式， ∴的分母含字母，是分式； 是整式，不是分式； 的分母是常数，不含字母，不是分式； 的分母含字母，是分式； 的分母含字母，是分式， ∴分式有个， 故选：． 3．（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是分式的有（   ） A．①③④ B．①②③ C．③⑤ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式，逐一判断各式即可． 【详解】解：① ，分母为，含字母，是分式； ② 是多项式，不是分式； ③ ，分母为常数，不含字母，不是分式； ④ ，分母为，含字母，是分式； ⑤ ，分母为常数，不含字母，不是分式； 故选：D． 4．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）下列式子中属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是明确分式的概念：一般地，形如（A、B均为整式，B中有字母，）的式子是分式． 根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式．逐一分析各选项的分母是否含有字母即可判断． 【详解】解：A、不属于分式，故本选项不符合题意； B、不属于分式，故本选项不符合题意； C、不属于分式，故本选项不符合题意； D、属于分式，故本选项符合题意； 故选：D 5．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）下列各式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的定义，分母中必须含有字母的代数式是分式．据此可得答案． 【详解】解：根据分式的定义可知，四个式子中，只有是分式， 故选：D． 6．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中分式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断，根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式，逐一检查各分母是否含字母即可． 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母， ∴，分母为，含字母，是分式； ，分母为2，不含字母，不是分式； ，分母为，不含字母，不是分式； ，分母为，是常数，不含字母，不是分式； ，分母为，含字母，是分式， ∴ 分式有2个， 故选：B． 题型二 分式的规律性问题 1．（25-26八年级上·云南昭通·期末）观察下列式子：，依照此规律，第8个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查式子的规律，掌握知识点是解题的关键． 观察分子和分母的规律：分子是连续偶数，分母是的幂次递增． 【详解】解：分子依次为2， 4， 6， 8， …，；分母依次为， ， ， ， …， 因此第个式子为． 当时，． 故选：D． 2．（23-24八年级上·云南昆明·期末）观察下列分式：，，，，，…，按此规律第10个式子是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式中的规律探究，观察可知，奇数位的符号为正，偶数位的符号为负，第个式子的分母为，分子为，进行求解即可． 【详解】解：∵，，，，，… ∴奇数位的符号为正，偶数位的符号为负，第个式子的分母为，分子为， ∴第10个式子是； 故选：D． 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）一组按规律排列的式子：，，，，，则第10个式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，观察分子和分母的规律：分子为连续偶数，分母为的连续奇数次幂，由此推导第个式子的通项公式，从而即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：分子依次为2,，4，6，8，…，可表示为； 分母依次为，，，，，可表示为， 因此第个式子为， 当时，分子为20，分母为，故第10个式子为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·周测）已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】利用分别用含的代数式表示从而探索规律即可求解． 【详解】解：， ． ． ． 当是奇数时， ． 当是偶数时， ． ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的运算，探索出规律是解题的关键． 5．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）给出下面一列分式：，，，，根据规律，则这列分式中的第2022个分式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了探究分式规律问题，找出规律是解题的关键． 第偶数个分式符号为负，分母是第几个式子就是y是几次方，分子是第n个式子，就是x的次方，据此求解即可． 【详解】解：第偶数个式子符号为负，分母是第几个式子就是y是几次方，分子是第n个式子，就是x的次方， ∴第2022个分式是． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·全国·期中）已知 ，，，，…，以此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律．通过计算探索出运算规律是解题的关键． 先计算，通过计算结果得到规律，利用发现的规律得出的值． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 重复． ∴每3次为一个循环组． ∵， ∴． 故答案为： 7．（21-22八年级上·云南红河·期末）一组按规律排列的式子：，，，，（），其中第个式子是 ． 【答案】. 【分析】本题考查数字类规律的探究，根据题意可得式子的第奇数个数为正，第偶数个数为负，分子为序号的平方，分母中的指数为：序号三倍减1.据此规律可得结果． 【详解】∵, ， ， … 第个式子应为：， 故答案为：． 题型三   分式有意义、无意义和值为0的条件 1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）若分式有意义，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，关键是掌握分母不为零． 分式有意义的条件是分母不为零，因此令分母即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·期末）若分式的值为0，则的值为（    ） A．1或−1 B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了分式值为0的条件，解题的关键是熟练掌握分式值为0时，则分子为0，分母不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴. 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）写一个含有字母x的分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．则这个分式可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式值为零的条件．根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），构造分式． 【详解】解：当时，分式无意义，因此分母应含有因式；当时，分式的值为，因此分子应含有因式，且分母在时不为零．故分式可以为． 故答案为（答案不唯一）． 4．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）当 时，分式无意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件是分母为零可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴ 故答案为：． 5．（22-23八年级下·河南郑州·月考）若分式无意义，则x的取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件是分母为零求解即可． 【详解】解：根据分式无意义的条件，分母，解得． 故答案为：1． 6．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）当 时，分式 无意义． 【答案】6 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分母为零时，分式无意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，，解得， 故答案为：6． 7．（25-26八年级上·山东威海·月考）对于分式，当时，分式的值为零，当时，分式无意义，则 ， ． 【答案】 0 【分析】此题主要考查了分式值为零的条件和分式无意义的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少． 根据分式无意义的条件，当时，分母为零；根据分式值为零的条件，当时，分子为零．分别代入得到关于a和b的方程，解方程组即可． 【详解】∵对于分式，当时，分式的值为零， ∴ ∴， ∴， ∵当时，分式无意义， ∴ ∴ ∴联立①②得， 解得． 故答案为：0，． 8．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知分式，当x 时，分式无意义；当x 时，分式的值为0． 【答案】 2 【分析】本题考查分式无意义以及为0的条件，掌握分式无意义以及为0的条件是解题的关键． 分式无意义：分母为0；分式是值为0：分子为0，分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：要使无意义，则，解得； 要使的值为0，则，解得； 故答案为：；． 9．（24-25八年级上·北京·期末）分式有意义，x的取值范围是 ；分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 3 【分析】此题考查了分式为0和分式有意义的条件． 分式有意义的条件是分母不为零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．据此进行解答即可． 【详解】解：当分式 有意义时，分母， 故的取值范围是； 当分式的值为时， 需满足 ， 解得， 故的值为． 故答案为：， 10．（25-26八年级上·北京·期末）若分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0求解即可． 【详解】解：分式的值为0， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·甘肃定西·月考）对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 【答案】(1)当时，分式有意义 (2)当时，分式的值为零 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件，即分母不为0，列式求解即可； （2）根据分式的值为零的条件，即分子为0，且分母不为0，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得， 答：当时，分式有意义； （2）∵分式的值为零， ∴且， 即且， ∴， 答：当时，分式的值为零． 题型四   分式的求值 1．（25-26九年级上·河南周口·月考）若，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质．由题意根据两内项之积等于两外项之积列式整理，并代入即可． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ∴ . 故选：B． 2．（17-18九年级上·安徽合肥·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的求值，根据结合，进行求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26八年级上·甘肃·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可求出，把所求式子变形为，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 4．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）如果分式值为1，那么b的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了分式的值，解分式方程，根据分式的值为1，得到分子等于分母，解方程求出b的值，并验证分母不为零． 【详解】解：因为分式 的值为1， 所以 ，且 且分子等于分母， 即 ． 解得， 当时，分母，且，分式有意义． 故答案为：0． 5．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．通过交叉相乘和解方程来求值即可． 【详解】解： ， ， 展开得， 移项得， 合并同类项得， 两边同时除以，得． 故答案为：． 6．（22-23九年级上·上海·期中）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，设，（），代入式子后运用分式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·安徽·期末）若，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质：若，则．由已知比例设参数，代入所求表达式计算． 【详解】解：由，设，（）， 则． 故答案为：． 题型五   约分 1．（25-26八年级上·甘肃定西·月考）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的约分，掌握知识点是解题的关键． 分子利用平方差公式因式分解，再与分母约分化简 【详解】解： ． 故选B． 2．（25-26八年级上·福建厦门·月考）约分： （其中）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的约分，确定分子、分母的最大公因式是解题的关键．通过约去分子和分母的最大公因式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（22-23八年级下·河南郑州·月考）对进行约分，结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分．对分子进行因式分解，提取公因式后与分母约分，即可求解． 【详解】解：， 故答案为． 4．（25-26八年级上·北京西城·期中）约分： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．通过寻找分子和分母的公因式进行约分即可． 【详解】解：分子和分母的公因式为， 给分子和分母同时除以得原式． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·云南昭通·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查约分，熟练掌握分式的性质是解题的关键； （1）根据平方差公式及分式的性质可进行化简； （2）根据平方差公式及分式的性质可进行化简． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型六   最简分式 1．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．分别检查各选项的分子和分母是否能约分． 【详解】A、，可约分，所以不是最简分式； B、，可约分，所以不是最简分式； C、，可约分，所以不是最简分式； D、中， 分子无法因式分解，与分母无公因式，所以是最简分式． 故选：D． 2．（25-26八年级上·云南保山·月考）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式，根据最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，分别检查各选项分子与分母是否可约分． 【详解】解：∵选项A∶，分子与分母有公因式x，可化简为，不是最简分式； ∵ 选项B∶，分子x与分母3x+1无公因式，是最简分式； ∵ 选项C∶ ，分子与分母有公因式3，可化简为，不是最简分式； ∵ 选项D∶，分母，与分子有公因式，可化简为，不是最简分式． 故选B． 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）下列各分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意． 最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、，故原式不是最简分式，不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，故原式不是最简分式，不符合题意； D、，故原式不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，熟练掌握定义是解题的关键． 根据最简分式的定义“一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式”，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，故原式不是最简分式； B、不能再约分，故原式是最简分式； C、，故原式不是最简分式； D、，故原式不是最简分式； 故选：B． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）下列代数式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的定义，解题的关键在于对每一个选项的分子分母进行因式分解，看是否存在公因式，若不存在，则为最简分式． 通过检查各选项分子与分母是否有公因式，判断是否可约分，从而确定最简分式． 【详解】解：、因为分子分母有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分母，与分子有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分母，与分子有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分子与分母无公因式，所以不可约分，是最简分式； 故选：． 题型一   求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．（25-26八年级上·辽宁营口·月考）已知的值为正数，则的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】此题主要考查了分式的值，能够根据分式的值的符号来判断分子和分母的符号是解题的关键．分式的值为正数，分母恒为正（且），因此分子 必须大于零，计算求解即可． 【详解】解：∵的值为正数， ∴分子与分母同号， 又∵对于任意实数，，且作为分母， ∴， ∴， 即且． 故答案为：且． 2．（25-26八年级上·北京海淀·月考）若分式值为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求分式的值． 分式的值为负，需分子和分母异号，即且，结合分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴分子和分母异号， ∵， ∴且， 解得：且， ∵分母不能为零， ∴， 综上所述，的取值范围是且． 故答案为：且． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，分式的值为正数，由于分子恒为正，因此分母必须为正，解不等式即可． 【详解】分式 的分子为 1，是正数，因此分式值为正数时，分母 必须大于 0，即 ． 解得：． 故答案为：． 4．（24-25九年级下·江苏南通·月考）若分式的值为负，则的范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式的值为负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，且，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）当为何值时，分式的值为正数． 【答案】 【分析】本题考查分式的值的正负性，根据分式有意义的条件及分子分母的正负性来确定的取值范围，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由分式的值为正数，已知分子为正数，只需分母为正数即可． 【详解】解：由题意得，，解得， 即时，分式的值为正数． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件，熟练掌握分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． （1）根据分式值为0的条件解答即可； （2）分式的值为正即分子分母同号，由，得，从而得出，解答即可； （3）分式的值为负即分子分母异号，由，得，从而得出，解答即可． 【详解】解：（1）由，得， 当时，； ∴当时，分式的值为0； （2）由分式的值为正，得与同号， ∵， ∴， ∴， 解得： （3）由分式的值为负，得与异号， ∵， ∴， ∴， 解得：， 题型二   求使分式值为整数时未知数的整数值 1．（25-26八年级上·广西崇左·月考）是有理数，则的值不能是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，掌握分式的值为零的条件是解题的关键．根据分式值为零的条件是分子为，分母不为，因为分式的分子不为，所以分式的值不能为，即可解答． 【详解】解：A、当时，，故选项不符合题意； B、当时，，故选项不符合题意； C、因为分式的分子，所以分式值不可能为，故选项符合题意； D、当时，，故选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·北京通州·期末）若为整数，且使分式的值是整数，则的值是 ． 【答案】，，0，1 【分析】本题主要考查分式的值，掌握求解的方法是解题的关键；要使分式的值为整数，则分母必须为6的约数，即的值为，，，，再结合x为整数求解即可． 【详解】解：因为分式的值为整数，且x为整数，所以是6的约数， ∴或或或， 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 因此，x的值为，，0，1； 故答案为，，0，1． 3．（25-26八年级上·北京顺义·期中）如果分式的值是正数，那么的取值范围是 ，若分式的值为整数，则的整数值为 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查根据分式的值，求参数的范围，根据分式的值为正数，得到，根据的值为整数，得到，求出的整数值即可． 【详解】解：∵的值为正数， ∴， ∴； ∵的值为整数， ∴， ∴； 故的整数值为； 故答案为：；． 4．（25-26八年级上·北京房山·期中）若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查分式的值为整数时求字母的取值．先对分式进行变形，然后根据分式值为整数的条件来确定m的取值． 【详解】解：∵， ∴是3的因数， ∵分式的值为正整数， ∴或， ∴或， ∵时，原分式无意义，舍去， ∴， 故答案为：0． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的运算与化简，掌握分式的化简及求整数的方法是解题的关键． 【详解】解：， 当原式的值是整数时，或， 即：或或或． 又： 即． 故：或或共3个整数值． 故答案为：． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）若分式方程的解为正整数，求整数的值． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解法及参数取值问题。本题关键在于正确处理分式方程的变形与去分母，并在解出含参数的解后结合解的限制条件进行讨论，特别注意这一隐含条件，避免代入导致分母为零的情况。先解含有字母参数的分式方程，求出，再根据分式方程的解为正整数，列出关于的方程，解方程求出，再判断时分式方程有无意义，从而求出答案即可． 【详解】解：， 去分母：， 去括号：， 移项合并：， 化系数为1：， ∵分式方程的解为正整数， ∴或3， 解得：或1， ∵当时，，分式无意义， ∴， ∴整数的值为． 7．（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)直接写出的值． (2)在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式的值，熟练掌握知识点是解题关键； （1）根据分式有意义的条件“分母不为0”列出方程解方程即可得到d的值，再通过分式的值为0时，分子为0，列出方程即可得到c的值； （2）把的值代入分式，然后利用分式的值为正整数进行分情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）把，代入得 因为分式的值为正整数，所以是的正因数，的正因数有、、．当时，；当时，；当时，． 整数的值可能为，，． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若分式的值为负数，求的取值范围． （2）若的值是一个整数，则整数可能取哪些值？ 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）根据分式值为负数的条件，分子分母异号，结合分子的取值情况，确定分母的符号，进而求出的取值范围； （2）根据分式值为整数的条件，分母是分子的约数，找出使得为的约数的整数的值． 【详解】解：（1）分式的值为负数，且， 且且． （2）的值是一个整数，且为整数， 可以为整数可能取． 【点睛】本题考查了分式的值的相关计算，掌握根据分式值的正负或整数情况，分析分子分母的关系是解题的关键． 题型三   判断分式变形是否正确 1．（25-26八年级上·山东滨州·月考）下列式子从左到右的变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．根据分式的基本性质判断即可，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【详解】解：A、当时，左边，右边，不相等，故A不符合题意． B、当时，分式无意义，故B不符合题意． C、当时，左边，右边，不相等，故C不符合题意． D、分子和分母同除以2（），分式的值不变，故D符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级上·北京西城·月考）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，而，两者不相等，∴ A错误； B、（当），变形正确，∴ B正确； C、与不一定相等，例如当 时，左边，右边，不相等，∴ C错误； D、，而不一定等于其平方，例如当时，左边，右边 ，不相等，∴ D错误； 故选：B． 3．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变．选项A符合性质，正确；，选项B当时，等式才成立，故错误；选项C和D的变形错误，可通过具体数值验证或代数推导判断． 【详解】解：∵分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变； A：，符合性质，正确； B：，当时，等式才成立，故错误； C：取 ，则，错误； D：左边 ，右边，两边不相等，错误． 故选：A． 4．（25-26八年级上·山西吕梁·月考）下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是掌握：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质一一判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：B． 5．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，当时右边无意义，等式不成立； C、，当时（如），右边为，等式不成立； D、，当且时（如），左边为4，右边为，等式不成立； 故选：A． 6．（25-26八年级上·北京海淀·期末）下列各式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键． 根据分式的基本性质，检查每个选项的变形是否恒成立． 【详解】解：∵ 选项A: ，除非取特定值，否则不成立，∴ A错误; ∵ 选项B: ，变形正确，∴ B正确; ∵ 选项C: ，因为右边等于，与左边不同，∴ C错误; ∵ 选项D: ，∴ D错误． 故选：B． 7．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查分式的变形，熟练掌握分式的基本性质和分式的求值是解题的关键． 通过简化分式或代入具体值验证每个选项的正确性，只有B选项的变形符合分式的基本性质． 【详解】解：A：，∴ A错误． B：，∴ B正确． C：取，，，不相等，∴ C错误． D：取，，，不相等，∴ D错误． 故选：B 题型四   求使分式变形成立的条件 1．要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以同一个不为零的整式，分式的值不变．变形中乘以了，因此需满足． 【详解】解：∵左边分式变形为右边分式是通过分子和分母同时乘以得到的， ∴根据分式的基本性质，必须保证，即， 故选：D． 2．若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可. 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故选：C. 3．能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式有意义的条件． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变．因此需确保分母不为零，从而确定k的取值范围． 【详解】解：若，则分子和分母可同时约去，得到，此时等式成立． 若，分母变为，分式无意义， 因此，k的取值范围是， 故选：B． 4．若，等式成立，则x应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的值不变，解答即可． 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故答案为：． 5．已知，均为非0常数，要使等式成立，则括号内应填入 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：∵，均为非0常数， ∴， 故答案为：． 6．在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：（1）；（2）；括号内应填 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质进行变形即可； （2）根据分式的基本性质进行变形即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）， 故答案为：． 7．若，则“？”所代表的分子是 ． 【答案】c 【分析】本题考查了分式的基本性质，将式子变形为，结合分式的基本性质即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．当取何值时，等式成立？ 【答案】1 【分析】此题考查了分式的性质，根据分式的性质得到，且，进而求解即可． 【详解】解：因为， 所以，且， 所以， 所以当时，等式成立． 题型五   利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）若把分式中的和都扩大10倍，那么下列分式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 根据分式的基本性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）把中的和都扩大倍，则分式的值（    ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的5倍 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 将和都扩大倍后代入分式，化简后与原分式比较，判断值的变化，然后即可求解； 【详解】解：∵扩大后分式为 ， ∴分式的值不变， 故选：C； 3．（24-25八年级上·北京·期末）已知，，则下列式子一定比大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，有理数符号的判断及其利用分式的基本性质判断分式值的大小； 由且 ，可得，，故，比较各选项与的大小即可． 【详解】解：∵且 ， ∴，， 故， A、∵，， ∴， ∴比小，故此选项不符合题意； B、∵且， ∴， ∴一定比大，故此选项符合题意； C、∵，故此选项不符合题意； D、∵，但可能大于或小于，故与大小不确定， ∴不一定比大； 故选：B． 4．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如果把分式中的和同时扩大为原来的4倍，则调整后的分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．扩大为原来的16倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键，将 和 同时扩大 4 倍后代入原分式，化简比较即可． 【详解】设原分式 ． ∵ 和 同时扩大为原来的 4 倍，即 ， ， ∴ 新分式 ． 化简，得 ． ∴ 调整后的分式的值保持不变． 故选：C． 5．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 当和都扩大为原来的2倍时，代入新值计算分式，化简后比较与原分式的关系． 【详解】解：原分式为，当和都扩大为原来的2倍时，新分式为： ∴ 新分式是原分式的2倍，即分式的值扩大为原来的2倍． 故选：B． 6．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．若分式值为0，则x的值为 B．根据分式的基本性质，可以变形为 C．分式中，，都扩大2倍，分式的值不变 D．分式不是最简分式 【答案】B 【分析】本题考查了分式的相关知识点，根据分式值为零的条件、分式的基本性质、分式值的变化和最简分式的定义逐一判断各选项即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、若分式值为0，则且，解得，故原说法错误，不符合题意； B、根据分式的基本性质，可以变形为，故原说法正确，符合题意； C、，故分式中，，都扩大2倍，分式的值扩大倍，故原说法错误，不符合题意； D、分式中分子分母没有公因式，是最简分式，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 7．（25-26八年级上·云南保山·月考）若把分式中的和都扩大为原来的10倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的10倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质化简是解题的关键．将原分式中的x和y分别用和替换，计算新分式并化简，与原分式比较即可. 【详解】解：∵新分式， 原分式， 故分式的值缩小为原来的， 故选C． 题型六   将分式的分子分母最高次项化为正数 1．（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质，是解题的关键： （1）分子，分母同时乘以，即可； （2）分子，分母同时乘以，即可； 【详解】（1）解：； （2）． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质及分式的符号法则，解题的关键是正确运用分式的基本性质、分式的符号法则求解． （1）先将分式的分子分母按字母进行降幂排列，分子分母同时添上带负号的括号，再根据分式的基本性质，将分子分母都乘以即可得到答案； （2）先将分式的分子分母均按字母进行降幂排列，将分母添上带负号的括号，再根据分式的符号法则，将分母的负号提到分式本身的前边即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的基本性质． （1）原式分子分母分别提取变形，即可得到结果． （2）分式分母提取变形即可得到结果； （3）分式分子提取变形即可得到结果； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型七   将分式的分子分母各项系数化为整数 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）分子与分母都乘以10即可； （2）分子与分母都乘以12即可． 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）分式的分子和分母同时乘以6，进行计算即可； （2）分式的分子和分母同时乘以100，进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）将分式的分子与分母中的各项系数化为整数． （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的基本性质． （1）不改变分式的值就是依据分式的基本性质进行变形，分子分母同时乘以10，分式的值不变． （2）不改变分式的值就是依据分式的基本性质进行变形，分子分母同时乘以6，分式的值不变． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：；． 4．（2025八年级上·北京·专题练习）不改变分式的值，将分式的分子分母化为整数． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘以10即可． 本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分式的分子系数和分母系数都乘60即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型八   列分式 1．（23-24七年级下·北京·月考）浓度为的盐水m公斤与浓度为的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列分式．根据溶液浓度两种浓度的盐水中的盐的总质量两种浓度的盐水总质量，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵浓度为的盐水m公斤中含盐，浓度为的盐水n公斤中含盐， ∴混合后溶液的浓度为， 故选：D． 2．（24-25八年级下·河北保定·月考）某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 3．（2025八年级上·黑龙江·专题练习）打字员要打一份12000字的文件，第一天她打字，打字速度为w字，第二天打字速度比第一天快了10字，两天打完全部文件，第二天她打字用了 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式，利用第二天打字用的时间（总字数第一天打的字数）第二天的速度，求解即可． 【详解】解：， ， ∴第二天她打字用了， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）请写出一个分式，使其只含有字母a，且无论a取何数分式都有意义： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此需要构造一个分母恒不为零的分式即可． 【详解】解：由于对于所有实数，有，因此， 所以无论取何实数，该分式都有意义． 故答案为：． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）根据表格中的信息，请写出一个含的分式： ． … 0 1 2 … 分式的值 … * 无意义 * * … 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的值，分式无意义的条件，根据时，分式的值无意义可知分母含有因式，再根据时，分式的值为解答即可． 【详解】解：满足条件的分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 6．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）已知某体育用品厂要生产个篮球，原计划每天生产个篮球(，且是的因数)．若实际提前1天完成任务，则该体育用品厂实际每天生产篮球 个． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的应用，先计算原计划的时间为天，可得实际的时间为天，进一步可得答案. 【详解】解：由题意可得， 实际每天生产篮球为：， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）千克橘子糖、千克椰子糖、千克奶糖混合成“什锦糖”．已知这3种糖的单价分别为28元／千克、32元／千克、48元／千克，则这种“什锦糖”的单价用含、、的代数式表示 元／千克． 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式，分别求出三种糖的价格，求和后除以三种糖的总质量即可得到答案． 【详解】解：由题意得，这种“什锦糖”的单价为元／千克， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）请你联系生活中的实际问题，列举一个用分式表示的数量关系． 【答案】小明从家到学校的步行速度如果是20米/分，则时间是分钟，从家到学校的步行速度如果是米/分，则时间是分钟．（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的实际意义． 结合实际生活作答即可． 【详解】解：小明从家到学校的步行速度如果是20米/分，则时间是分钟，从家到学校的步行速度如果是米/分，则时间是分钟．（答案不唯一） 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混合成杂拌糖，请写出混合后每千克糖果的价格的式子． 【答案】混合后糖果的价格为 【分析】本题主要考查了列分式， 先表示出总价元，再除以总质量千克，可得答案. 【详解】解：根据题意，得 混合后每千克糖果的价格是元. 题型一   分式的综合运用 1．（25-26九年级上·重庆开州·月考）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（   ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查分式中的规律探究，分式的求值，先求出前几个数，得到这列数6个数为一个周期，循环出现，再逐一进行判断即可，正确的找到规律，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这列数6个数为一个周期，循环出现， ∵， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴，，，， ∴满足条件的整数共有8个． 又，，即，，， 故满足条件的整数共有6个．故④正确， 故选：B． 2．（25-26八年级上·重庆巴南·月考）有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项减去得到，将乘以x得到第2项，再将第2项减去得到，将乘以x得到第3项···，以此类推，下面结论中正确的个数为（   ） ①当时， ； ②； ③第2025项； ④若x为整数，且值为整数，则x的取值个数为4个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查代数式的应用，正确根据已知条件列出代数式是解题的关键． 根据操作规则，推导出和的通项公式，然后逐一验证四个结论是否正确即可． 【详解】解：第1项是， 则 ，即， ， 依此类推，、， 当时， ， 故①正确； ， 故②正确； 第2025项， 故③正确； ， 若x为整数，且值为整数， 则为6的因数， 即或或或， 由于为奇数， 则或, 解得或或1或， 则x的取值个数有4个， 故④正确， 因此结论中正确的有①②③④，共4个， 故选：A． 3．（25-26八年级上·湖南·期末）已知0，求= ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、分式的值为零的条件以及二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质，分子中平方根和绝对值的和为零，需各自为零，结合分母不为零，求出 和 的值，然后代入所求表达式计算． 【详解】解：由 ，分母 ，故 ． 分子 ． 由于 ，，且和为零，故 且 ． 由 ，得 ，即 ． 由 ，得 ，即 ． 但 ，故 ，代入 ，得 ． ∴ ，． 代入所求表达式： ． ． ． 故原式 ． 故答案为： ． 4．（25-26八年级上·北京西城·月考）已知（是正整数），叫作的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数． (1)2的平方差倒数是________； (2)是的平方差倒数，求的值： (3)已知是某一正整数的平方差倒数（，是正整数），求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了对平方差倒数的理解，完全平方公式的应用、分式方程的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义平方差倒数，直接求解，即可解题； （2）根据“是的平方差倒数，”结合平方差倒数概念建立分式方程求解，即可解题； （3）利用新定义因式分解化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴2的平方差倒数是， 故答案为：； （2）解：∵是的平方差倒数， ∴， ∴， 去分母，得， 解得， 经检验，是该方程的解， 此时； （3）解：∵是某一正整数的平方差倒数（，是正整数）， 设这一正整数为n, ∴， ∴， 即， 去分母，得， ， ∵a，b，n为正整数， ∴， ∴要使的值最小，需使为最小的完全平方数． ∵n为正整数， ∴，． ∴的最小值为25，此时， ∴的最小值为10． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $