18.1.2 分式的基本性质（分层作业）数学人教版2024八年级上册

18.1.2 分式的基本性质（解析版） 目 录 类型一、分式的变形 1 类型二、分式的值的变化 5 类型三、将分子分母各项系数化为整数 8 类型四、约分与最简分式 11 类型五、通分与最简公分母 20 类型一、分式的变形 1．分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，分式的变形，掌握分式的性质是解题的关键． 根据分式的性质变形即可求解． 【详解】解：， 故符合的只有B选项， 故选：B． 2．下列等式从左到右变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是熟练掌握分式的基本性质． 根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0，并且分式的值不变，由此即可判定选项． 【详解】解：选项A：，分子和分母同时加1，不符合分式基本性质，故本选项错误，不符合题意； 选项B：，分子和分母同时乘以，但若，则右边分式无意义，而左边有意义（当），等式不成立，故本选项错误，不符合题意； 选项C：，左边分母为，化简为，右边为，两者不相等，故本选项错误，不符合题意； 选项D：，右边分子分母同时除以（），化简为，与左边相等，故本选项正确，符合题意； 故选：D 3．下列各式的值一定与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，需注意分子分母同时变化时保持比例不变是解题的关键． 根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分数的值不变． 【详解】解：∵ （分子分母同除以3）， ∴ A选项的值一定与 相等； 对于B、C、D选项，可通过反例验证： 如取 ，则 ，但B选项 ； C选项 ； D选项 ，故B、C、D不一定相等． 故选：A． 4．下列各式的变形，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质：判断分式变形是否正确．根据分式的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 5．下列各式从左至右的变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，需注意分子分母只能同时乘或除，不能同时加或减．根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变；逐一判断各选项的变形是否正确. 【详解】解：∵分式的基本性质要求分子分母同时乘以或除以同一个非零整式，值不变； 对于A：，分子分母同时加c，但c可能不为零，且变形后值可能改变（如时，左边=，右边=，不相等）， ∴A不正确， 对于B：，分式的值不变， ∴B正确， 对于C：，分子分母均有负号，负负得正， ∴C正确， 对于D：，分子分母同时除以 （），得， ∴D正确， 故选：A. 6．分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，通过提取分母中的负号，将分式简化即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ 变形后为：， 故选：C． 7．若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可. 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故选：C. 8．若，则M为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的分母的变化确定分子分母都乘以，从而可得答案. 【详解】解：∵，而， ∴， 故选：D 9．若，则“？”所代表的分子是 ． 【答案】c 【分析】本题考查了分式的基本性质，将式子变形为，结合分式的基本性质即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．根据分式的基本性质填空： （1）；序号中应分别填 ； ； ． （2）；序号中应分别填 ； ； ． （3）；序号中应分别填 ； ； ． （4）．序号中应分别填 ； ； ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （2）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （3）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （4）根据分子从变为可知①②其中一个为，进而根据平方差公式作答即可． 【详解】解：（1） 故答案为：，，； （2） 故答案为：，，； （3） 故答案为：，，； （4） 故答案为：，，． 类型二、分式的值的变化 11．如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（   ） A．值不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的25倍 D．缩小为原来的 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．把x与y都扩大5倍，确定出分式的值，比较即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴x，y都扩大到原来的5倍，分式的值不变． 故选：A． 12．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（   ） A．不改变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的10倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行计算即可解答，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵ x和y都扩大10倍， ∴， ∴ 分式的值不变， 故选：A． 13．若分式，则m的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，即， 又∵， ∴； 故选：C． 14．把分式中的x、y都扩大3倍，则分式的值（ ） A．扩大3倍 B．扩大6倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，当分式中的字母同时扩大相同倍数时，通过计算新分式并简化，与原分式比较即可判断值的变化即可． 【详解】解：∵和都扩大为原来的3倍， ∴新分式为， ∴分式的值不变； 故选：D． 15．如果把中的x、y都扩大为原来的3倍，则这个代数式的值（    ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．扩大为原来的9倍 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，即分式的分子和分母同乘或同除同一个不为零的数，分式的值不变． 根据分式的基本性质，分子和分母同时扩大相同的倍数，分式的值不变． 【详解】∵和都扩大为原来的 3 倍，即 ，， ∴， ∴代数式的值不变． 故选：C． 16．若把分式中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．不变 C．缩小到原数的 D．变为原来的 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键，将和都扩大 2 倍后，代入分式并化简，与原分式比较即可得出结果． 【详解】解：∵和都扩大到原来的 2 倍， ∴ 新分式为 ， ∵ 原分式为 ， ∴ 新分式 ，即分式的值扩大为原来的2倍． 故选：A． 17．将下列各式中，（，）的值均扩大倍后，分式值一定不变的有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为的数（或式子），分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质逐项判定求解． 【详解】解：A、，分式值变为原来的，故本选项不符合题意； B、，分式值改变了，故本选项不符合题意； C、，分式值没有改变，本选项符合题意； D、，分式值改变了，故本选项不符合题意； 故选：C． 18．若将分式 中的， 都扩大10倍．则分式的值（    ） A．扩大10倍 B．不变 C．缩小10倍 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质进行化简即可得出答案． 【详解】解：由于， 都扩大10倍， ∴ ∴分式的值变为原来的， 故选：C． 19．若把分式中的、都扩大3倍，那么分式的值 ． 【答案】扩大3倍 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是根据分式基本性质分析分子分母的变化． 将、都扩大3倍后，分别表示出新的分子和分母，再与原分式比较，得出分式值的变化情况． 【详解】解：把分式中的、都扩大3倍，得到新的分式为： 所以分式的值扩大3倍． 故答案为：扩大3倍． 20．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值 （填“扩大”“缩小”或“不变”） 【答案】不变 【分析】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键；因此此题可根据分式的性质进行求解即可． 【详解】解：将中的x，y都扩大10倍，为， ∴分式的值不变； 故答案为：不变． 类型三、将分子分母各项系数化为整数 21．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 22．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 23．把分式的分子、分母的最高次项的系数都化为正数的结果为（　　） A．﹣ B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，把分子分母都乘﹣1即可. 【详解】分子分母都乘﹣1，得， 原式=， 故选C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 24．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可. 【详解】解：． 故选：C 25．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘5，判断出所得结果为多少即可． 【详解】解：， 故选：A． 26．不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以10，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 27．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查分式的基本性质的运用，注意当分子、分母为多项式时，要乘每一项．利用分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．把原分式的分子分母同乘10，再进一步计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 28．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）分子与分母都乘以10即可； （2）分子与分母都乘以12即可． 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： 29．不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）分式的分子和分母同时乘以6，进行计算即可； （2）分式的分子和分母同时乘以100，进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：． 类型四、约分与最简分式 30．计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的约分，根据分式的基本性质，进行约分即可． 【详解】解：； 故选B． 31．下列从左到右的分式变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质以及因式分解的应用，熟练掌握分式的基本性质（分子分母同乘或除以不为的整式，分式值不变）是解题的关键． 依次对每个选项依据分式的基本性质（分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变）以及因式分解、分式化简等知识进行分析判断． 【详解】解：的分子分母同时乘以，应为，故A项错误． 当时，的分母为，分式无意义，不满足分式基本性质中“乘以同一个不为的整式”，故B项错误． ∵（，即），分子分母同时约去， ∴，故C项正确． 与没有公因式，不能约分，，故D项错误． 故选：． 32．下列分式的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了约分，根据分式约分的法则逐项分析即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、不能约分，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 33．下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的变形，在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求． 根据分式的基本性质，对四个选项逐个进行判断，即可得出结论． 【详解】A． ，故选项A计算错误； B．该分式的分子、分母是“和”的形式，不能进行约分，，故B计算错误； C． ，故C正确； D．分式的分子不能进行分解因式，所以该分式不能进行约分，，故D错误． 故选C． 34．如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱体体积公式在实际问题中的应用，解题的关键是明确饮料瓶正放时饮料的体积与倒放时空置部分的体积均可用“底面积高度”表示，且瓶的容积等于饮料体积与空置部分体积之和． 设瓶底底面积为，先根据圆柱体体积公式分别求出正放时饮料体积为、倒放时空置部分体积为，进而得出瓶的容积为，最后计算饮料体积与容积的比值即可得到结果． 【详解】解：设瓶底的底面积为S，正立时，饮料的体积，倒立时， 空置部分的体积， 则瓶子的总体积， 所以瓶内剩余饮料的体积占总体积的比例为：． 故选：A． 35．约分的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的约分是解题的关键．分子分母同时约去即可． 【详解】解：． 故选：B． 36．下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的约分，约分的依据是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键；对各选项进行约分即可作出判断． 【详解】解：A、，约分错误； B、，约分错误； C、的分子、分母没有公因式，不能约分，约分错误； D、，约分正确； 故选：D． 37．下列各式是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查最简分式的概念，掌握最简分式是指分子和分母没有公因式的分式是解题的关键． 通过逐项检查各选项的分子和分母是否能约分即可判断． 【详解】选项A：分子在实数范围内不能因式分解，与分母无公因式，因此是最简分式； 选项B：，可约分，不是最简分式； 选项C：分子，分母，有公因子2，可约分，不是最简分式； 选项D：分子，分母，有公因式，可约分，不是最简分式； 故选：A． 38．下列各项是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最简分式的定义，解题的关键是判断分子分母是否有公因式． 最简分式是指分子和分母没有公因式的分式,通过检查每个选项是否可约分，即可判断． 【详解】解：选项A：，分子4和分母有公因数4，可约分为，不是最简分式； 选项B：，分子和分母有公因式b，可约分为，不是最简分式； 选项C：，分子y和分母没有公因式，是最简分式。 选项D：， ，与分子有公因式，可约分为，不是最简分式； 故选：C． 39．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．通过检查各选项分子和分母是否能约分即可判断． 【详解】选项A：分子与分母无公因式，是最简分式，故符合题意； 选项B：分母=，与分子有公因式，可约分，故不符合题意； 选项C：分子6与分母有公因数2，可约分，故不符合题意； 选项D：分母=，与分子有公因式，可约分，故不符合题意； 故选：A． 40．下列分式中是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式．通过检查各选项分子和分母的公因式情况即可判断． 【详解】A．，故不是最简分式； B．，分子与分母无公因式（平方和不能因式分解），故是最简分式； C．，故不是最简分式； D．，故不是最简分式． 故选：B． 41．分式、、、中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，分子和分母没有公因式的分式 叫做最简分式，据此判断即可． 【详解】解：的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 故最简分式有2个， 故选：B． 42．把下列分式化为最简分式： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的约分，以及化为最简分式； （1）约去分子分母的公因式即可； （2）约去分子分母的公因式即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：． （2）； 故答案为：． 43．下列各式中，最简分式有 个． ①②③④⑤⑥⑦ 【答案】2 【分析】本题主要考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念判断即可． 【详解】解：①是最简分式； ②，不是最简分式； ③不是分式； ④，不是最简分式； ⑤，不是最简分式； ⑥，不是最简分式； ⑦是最简分式； 综上分析可知：最简分式有2个． 故答案为：2． 44．分式①；②；③；④中，属于最简分式的有 （填序号）． 【答案】② 【分析】根据最简分式的定义逐个分式进行判断，若能约分，则不是最简分式． 本题考查了最简分式的相关知识，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：①因为，所以①不是最简分式； ②因为分子分母没有公因式，所以②是最简分式； ③因为，所以③不是最简分式； ④因为，所以④不是最简分式． 故答案为：②． 45．从代数式：，，中任选两个，组成一个最简分式 ．（写出一个即可） 【答案】（答案为不唯一） 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，进行求解即可，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 【详解】解：根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式， ∴组成一个最简分式为或， 故答案为：．（答案为不唯一） 46．约分： ． 【答案】 【分析】本题考查了约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．分子、分母的公因式是，通过约分进行化简． 【详解】解：． 故答案为：． 47．代数式化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解、约分等知识点，掌握分式的约分是解题的关键． 先对分子约分，然后再运用分式的基本性质约分即可． 【详解】解： ． 故答案为． 48．化简分式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式化简，先将分子因式分解，然后约分即可，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 49．当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质—通分和约分，由，得，然后整体代入即可求解，掌握分式基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 50．计算（约分）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． （1）分子分母都约去公因式即可； （2）先把分子分母因式分解，然后分子分母都约去公因式即可； （3）先写成分式的形式，然后分子分母都约去公因式即可； （4）先写成分式的形式，再把分子分母因式分解，然后分子分母都约去公因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 51．约分： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的约分，在约分时要注意约掉的是分子分母的公因式． 分别根据分式的基本性质进行化简得出即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 52．化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）分子分母先进行因式分解，再约去公因式即可； （2）分子分母先进行因式分解，再约去公因式即可． 【详解】（1）解：； （2）． 53．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的约分，根据分式的基本性质把分子、分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约分． （1）根据分式的约分法则计算即可； （2）根据分式的约分法则计算即可； （3）分子提取，根据分式的约分法则计算即可； （4）先将分子、分母因式分解，再根据分式的约分法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 54．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． （1）根据分式的基本性质约分即可； （2）根据分式的基本性质约分即可； （3）先利用平方差公式和提公因式进行因式分解，再根据分式的基本性质约分即可； （4）先根据，对分子进行变形，再根据分式的基本性质约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 类型五、通分与最简公分母 55．把分式与通分，它们的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键．最简公分母是分母系数的最小公倍数与各变量最高次幂的乘积． 【详解】解：分母和的系数4和6的最小公倍数为12，变量的最高次幂为，变量的最高次幂为， 最简公分母为， 故选：A． 56．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 【详解】解：分式与的最简公分母是； 故选A． 57．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的最简公分母的确定，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：，， ∴分式，的最简公分母是， 故选：D． 58．分式、、的最简公分母为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简公分母、平方差公式，首先利用平方差公式分解因式，可得：，再根据最简公分母的找法：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式，据此求解即可． 【详解】解：分式、、的分母分别为、、， 三个分式的最简公分母为． 故选： C． 59．分式与分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据最简公分母的概念解答． 【详解】解：， 分式与分式的最简公分母是， 故选：C 60．分式、、的最简公分母是 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简公分母的定义，解题的关键在于熟练掌握确定最简公分母的方法：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母因式连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 先把分母因式分解，再根据方法找出最简分母即可． 【详解】解：∵，，， ∴最简公分母是； 故选：A． 61．化简结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式加减，解题的关键是熟练掌握异分母分式加减运算法则． 根据异分母分式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故选：C． 62．把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 63．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式与的公分母是，据此作出选择． 【详解】解：分式与的公分母是，则分式的分子应变为． 故选：A． 【点睛】本题考查了通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 64．把与通分后，的分母为，则的分子变为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案． 【详解】解∶， 故的分子为． 故选∶B． 【点睛】此题主要考查了通分，正确进行通分运算是解题关键． 65．分式，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，由并结合最简公分母的定义即可得解，熟练掌握最简公分母的定义是解此题的关键． 【详解】解：， 故分式，的最简公分母是， 故答案为：． 66．分式和的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母的概念，熟练掌握取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为最简公分母是解题的关键；因此此题根据最简公分母可进行求解． 【详解】解：分母和的系数的最小公倍数是6，x的最高次幂是，y的最高次幂是，因此最简公分母为； 故答案为：． 67．分式，，的最简公分母为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了最简公分母的确定，熟练掌握最简公分母的确定方法是解题的关键． 先对分母进行因式分解，再根据最简公分母的确定方法求出最简公分母． 【详解】解：因为， 所以分式，，的最简公分母为（或）． 故答案为：． 68．分式与的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，根据求两个分式分母的最小公倍数，数字部分取最小公倍数，字母部分取最高次幂即可，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：分式与的最简公分母为， 故答案为 ：． 69．分式，，的最简公分母为 ； 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的定义，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 根据最简公分母的定义即可求解． 【详解】解：分式，，的最简公分母为， 故答案为：． 70．将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分，确定最简公分母是解题的关键．将分母分解因式后，找到各分母的最简公分母作为公分母，再将各分式化为该公分母的形式即可． 【详解】解：分式的最简公分母为， ∴需要把的分子、分母同时乘以， 故答案为：． 71．通分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分，通分的定义：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式的变形叫做分式的通分． （1）根据通分的定义把分式变形即可； （2）根据通分的定义把分式变形即可； （3）根据通分的定义把分式变形即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， （3）解：， ， ． 72．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查通分，解题的关键是找到最简公分母，先确定每一组分式的最简公分母，再根据分式的性质，化成同分母的分式即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 1．若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查分式的值为整数时求字母的取值．先对分式进行变形，然后根据分式值为整数的条件来确定m的取值． 【详解】解：∵， ∴是3的因数， ∵分式的值为正整数， ∴或， ∴或， ∵时，原分式无意义，舍去， ∴， 故答案为：0． 2．分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 【答案】或0或2或8 【分析】本题考查了分式的值，原式变形为，根据题意可得是7的因数，则或，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 要使分式的值是整数，则是7的因数， ∴或， ∴或0或2或8， 故答案为：或0或2或8． 3．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法、乘法及绝对值的相关知识，熟知运算法则及绝对值的性质是正确解题的关键． 由已知条件且，中必为两正两负．先将变形整理为：，，，，再代入所求的式子化简即可求解． 【详解】解：由，可得，，，． 原式， ，可知，中负因数的个数为偶数0或2或 4个， 由可知，不可能全为正数或全为负数， 中必为两正两负，此时的值中，有两项为1，两项为， 原式， 故答案为：． 4．已知，均不等于0，且满足：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，分式的化简．由得到，因此，代入分式进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 5．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1) (2) (3)或0 【分析】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题目给出的定义是解决问题的关键． （1）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （2）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （3）先把分式化为真分式，再根据值为整数，x的值为整数确定x的值． 【详解】（1）解： ， 答案为：； （2）解： ； （3）解：． 分式的值为整数，且为整数， ， 或0． 6．数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． (1)嘉嘉：求的最小值； (2)琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 【答案】(1)的最小值是． (2)整数的值为或． 【分析】本题主要考查了整式的加减、配方法的应用、分式的化简以及分式值为正整数的条件．熟练掌握整式的运算法则、配方法、分式的化简方法是解题的关键． （1）先求出的表达式，再将其化为顶点式，根据二次函数的性质求出最小值． （2）先求出的表达式，再根据其为正整数以及为整数来确定的值． 【详解】（1）解： ∴当且仅当，即时取等号，的最小值是． （2）解： ∵分式有意义时，分母不为，即，解得． 当时，． ∵的值为正整数，为整数． 当，即时，； 当，即时，． ∴整数的值为或． 1．已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算： ①若，则； ②，则需要满足的条件是； ③若为正整数，且为整数，则． 上面说法正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，含绝对值一元一次方程，分式的化简相关知识点，能够正确解方程是本题的关键． ①直接列方程求解即可；②列绝对值方程即可直接求解；③列代数式，再化简，直接代数验证即可． 【详解】解：①∵， ∴， 解得：，故①错误； ②∵， ∴， 整理得：， 当时，，解得（不合题意，舍去）， 当时，恒成立， 当时，，解得（不合题意，舍去）， 故②正确； ③∵ ， 又∵为整数，x为正整数， ∴，2，4，5， 故③正确． 综上所述，正确的有②③，共2个． 2．已知n，a，b都是正整数． (1)求证：； (2)任意一个分数都可以写成两个比它小的分数的和，若，求a，b与n之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作差法解答即可； （2）去分母，化简解答即可． 本题考查了作差法比较大小，分式的化简，熟练掌握大小比较，分式的化简是解题的关键． 【详解】（1）解：由， ∵n，a，b都是正整数， ∴，， ∴ ∴， ∴． （2）解：根据题意，得， 去分母，得 去括号，得， 化简得． 故选：C． 3．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． (1)请你直接写出方程的正整数解___________． (2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值__________． (3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)4，5，6，9 (3)；0；2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，分式的值，能得出方程组的解是解（3）的关键． （1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解； （2）根据为自然数，x为正整数，可得取6或3或2或1，即可求解； （3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或4或2或1，从而得到k取或0或2或3，再判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得： ， ∵、为正整数， ∴是3的倍数，且， ∴， ∴， ∴方程的正整数解为； 故答案为：； （2）解：∵为自然数，x为正整数， ∴取6或3或2或1， ∴x可取4或5或6或9． 故答案为：4，5，6，9； （3）解：解方程组得：， ∵方程组的解是正整数， ∴8是的倍数， ∴或4或2或1， ∴k取或0或2或3， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，整数的值为；0；2． 4．你见过“约去指数”的约分吗？如：，，…． (1)观察并仿写出一个类似的式子：_____； (2)请你用只含有字母、的式子表示上述猜想； (3)试证明（2）中的猜想．[提示：] 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)见解析 【分析】本题考查了分数的性质，数字类规律探究； （1）根据规律写出一个类似的式子，即可求解； （2）根据规律写出代数式； （3）分别对分子分母因式分解，再约分，即可求解． 【详解】（1）解：类似的式子可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． （2） （3）解： ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.1.2 分式的基本性质（原卷版） 目 录 类型一、分式的变形 1 类型二、分式的值的变化 2 类型三、将分子分母各项系数化为整数 3 类型四、约分与最简分式 3 类型五、通分与最简公分母 6 类型一、分式的变形 1．分式可变形为（    ） A． B． C． D． 2．下列等式从左到右变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式的值一定与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式的变形，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各式从左至右的变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．分式可变形为（   ） A． B． C． D． 7．若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 8．若，则M为（   ） A． B． C． D． 9．若，则“？”所代表的分子是 ． 10．根据分式的基本性质填空： （1）；序号中应分别填 ； ； ． （2）；序号中应分别填 ； ； ． （3）；序号中应分别填 ； ； ． （4）．序号中应分别填 ； ； ． 类型二、分式的值的变化 11．如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（   ） A．值不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的25倍 D．缩小为原来的 12．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（   ） A．不改变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的10倍 13．若分式，则m的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 14．把分式中的x、y都扩大3倍，则分式的值（ ） A．扩大3倍 B．扩大6倍 C．缩小为原来的 D．不变 15．如果把中的x、y都扩大为原来的3倍，则这个代数式的值（    ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．扩大为原来的9倍 16．若把分式中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．不变 C．缩小到原数的 D．变为原来的 17．将下列各式中，（，）的值均扩大倍后，分式值一定不变的有（   ） A． B． C． D． 18．若将分式 中的， 都扩大10倍．则分式的值（    ） A．扩大10倍 B．不变 C．缩小10倍 D．无法确定 19．若把分式中的、都扩大3倍，那么分式的值 ． 20．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值 （填“扩大”“缩小”或“不变”） 类型三、将分子分母各项系数化为整数 21．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 22．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 23．把分式的分子、分母的最高次项的系数都化为正数的结果为（　　） A．﹣ B． C． D． 24．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 25．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 26．不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 27．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（    ） A． B． C． D． 28．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 29．不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数： （1） ； （2） ． 类型四、约分与最简分式 30．计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 31．下列从左到右的分式变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 32．下列分式的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 33．下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 34．如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（   ） A． B． C． D． 35．约分的结果是（   ） A． B． C． D． 36．下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 37．下列各式是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 38．下列各项是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 39．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 40．下列分式中是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 41．分式、、、中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．把下列分式化为最简分式： （1） ； （2） ． 43．下列各式中，最简分式有 个． ①②③④⑤⑥⑦ 44．分式①；②；③；④中，属于最简分式的有 （填序号）． 45．从代数式：，，中任选两个，组成一个最简分式 ．（写出一个即可） 46．约分： ． 47．代数式化简的结果是 ． 48．化简分式： ． 49．当时，的值是 ． 50．计算（约分）： (1)； (2)； (3)； (4)． 51．约分： (1)． (2)． 52．化简下列各式： (1)； (2)． 53．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 54．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型五、通分与最简公分母 55．把分式与通分，它们的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 56．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 57．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 58．分式、、的最简公分母为（   ） A． B． C． D． 59．分式与分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 60．分式、、的最简公分母是 （　　） A． B． C． D． 61．化简结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 62．把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 63．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 64．把与通分后，的分母为，则的分子变为（） A． B． C． D． 65．分式，的最简公分母是 ． 66．分式和的最简公分母为 ． 67．分式，，的最简公分母为 ； 68．分式与的最简公分母为 ． 69．分式，，的最简公分母为 ； 70．将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以 ． 71．通分： (1)； (2)； (3)． 72．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． （4）． 1．若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是 ． 2．分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 3．已知，则 ． 4．已知，均不等于0，且满足：，则 ． 5．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 6．数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． (1)嘉嘉：求的最小值； (2)琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 1．已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算： ①若，则； ②，则需要满足的条件是； ③若为正整数，且为整数，则． 上面说法正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知n，a，b都是正整数． (1)求证：； (2)任意一个分数都可以写成两个比它小的分数的和，若，求a，b与n之间的数量关系． 3．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． (1)请你直接写出方程的正整数解___________． (2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值__________． (3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 4．你见过“约去指数”的约分吗？如：，，…． (1)观察并仿写出一个类似的式子：_____； (2)请你用只含有字母、的式子表示上述猜想； (3)试证明（2）中的猜想．[提示：] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $