7.2.1&7.2.2 三角函数的定义&单位圆与三角函数线（题型专练）高一数学人教B版必修第三册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7.2.1&7.2.2三角函数的定义&单位圆与三角函数线 基础达标题 题型一利用定义求某角的三角函数值 1.【答案】 5/-15 2 -05 2.【答案】(1)sin0=0,cos0=1,tan0=0 (2)sinπ=0，cosπ=-l,tanπ=0 B1sn江=-1，cos亚-0，额的正切不存在。 2 2 2 ,tam5红.-5 62 63 【知识点】利用定义求某角的三角函数值 【分析】(1)(2)(3)(4)在角的终边上取一特殊点，由三角函数的定义即可求得答案， 【详解】(1)角0的终边在x轴正半轴上，在x轴的正半轴上取点(1,0)， 所以7=f+0=1,因tsn0=90cas0-Lm0-=90 (2)角的终边在x轴负半轴上，在x轴的负半轴上取点(-1,0)， 所以r=少0-1，因此sn-9=0esa=-lm=号=0。 -1 (3)角3江的终边在y轴负半轴上，在y轴的负半轴上取点(0，-)， 所以，=0+少=1，因此sn资-1，os交=-0，受的正切值不存在. 2 (4)如图所示，在5的终边上取点P,使得0P=2·作PM1Ox,则在RteOMP中， 6 ∠POM=元-5π=π 66 因此MP=1,OM=V5,从而可知P的坐标为-5，，因此sin红=，cd 。令5，a=— 6 3 D 5π 16 M 0 题型二己知终边上的点求三角函数（式）值 1/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.【答案】C 2.【答案】A 3.【答案】C 4.【答案】AD 5.【答案102 题型三己知终边求三角函数值 1.【答案】B 2.【答案】1 3.【答案】3/o6 5 题型四己知三角函数值求终边上的点或参数 1.【答案】C 2.【答案】A 3.【答案】-5 4【答案】 5.【答案】 10 -v15 3 6.【答案】 V31 22 7.【答案】(8,6) 题型五画己知角三角函数线 1.【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】画三角函数线 【分析】根据三角函数线概念，结合单位圆和三角函数概念画图即可. 【详解】(1)如图，有向线段DP,OD,AT分别表示严的正弦线、余弦线、正切线 2/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 君的终边 T ① (2)如图，有向线段DP,OD,AT分别表示-的正弦线、余弦线、正切线. 6 O P 5π的终边 ② 2.【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 3)答案见解析 【知识点】画三角函数线 【分析】根据正弦线的作法即可作出(1)(2)的正弦线； (3》在0，]，和27终边相同的角是牙再作出正弦线即可。 3 【详解】(1)如图所示，正弦线为MP W M (2)如图所示，正弦线为MP 5π 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 霸迎平图4'料一游浴平明立H渐经平之门‘立+8二文4通 3 /P M B 能力提升题 题型一 己知角（范围）确定三角函数式的符号 1.【答案】AC 2.【答案】BC 3.【答案】ABD 题型二由三角函数式的符号确定角的范围或象限 1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】A 4.【答案】 【知识点】三角函数线的应用 【分析】根据三角函数符号，结合三角函数线分析可得 sina-cosa >0 [sina cosa 【详解】由题意知 tana>0 ，即 tana>0 由a>0,可ae到a经小 又sna>cosa,如图，由三角函数线可知，<a< 4 4/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 平的终边 π的终边 综上， <a< 或<a< 即a的取值范围为 C 拓展培优题 题型一 三角函数线的应用 1.【答案】c 2.【答案】B 3.【答案】c>b>a 4.【答案】 π5π 4’4 5.【答案】(1)a4 ka+2kkEZ 6 6 aL-元+2km<a<元+2km,keZ 2 6 6 【知识点】单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质、由单位圆求三角函数值 【分析】根据正余弦的函数值，在单位圆中画出对应角的范围即可知α的集合. 【详解】1如图O,过点(0，》作x轴的平行线交单位图于PP两点，则sm∠0P=sm∠0P:号 21 ∠0P=1lr,∠oP=7π 6 6 故a的范围是oa 2a2knkez 6 6 5/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P P V 2 X- 图① 图② (2)如图②，过点 20 作x轴的垂线与单位圆交于P,P两点，则 cos∠xOP=cos∠xOP'= ,∠xOP=,∠0P=-T, 6 6 故a的范围是 +2kπ<a< 6 +2km,k∈Z 6 6.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】三角函数线的应用 【分析】(1)利用正切线与余弦线的定义，结合三角形两边之和大于第三边即可得证； (2)利用三角函数线的定义，结合三角形与扇形的面积大小即可得证. 【详解】(1)如图，在平面直角坐标系中作出角o,角的正弦线MP和余弦线0M, A 0 M 由0<a<号，&P0M为直角三角形，且MP=6ina,OM=cos,OP=l, 在RtAPOM中，MP+OM>OP,所以sina+cosa>1. (2)如图，∠AOP=a,MP、AT分别为角a的正弦线和正切线，连结AP, 6/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M 由0<a<受，显然有S:<Sao:<So， 而Sa4-)-OAMP=×lxsina=)sna,SR6a4= 1 1 x12×0u= 0 2 2 2 1 1.04.4T=1x1xtana=I tana, S04=2 2 2 所以sma<a<分na,即0c&<a<na 11 2 题型二三角函数定义的综合应用 1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】AB 4.【答案】BD 5.【答案】cD 6.【答案】BD 7.【答案】35 8.【答案】A(0, /3 9.【答案】 2 +2（或写作2+店) 2 10.【答案】负 【知识点】由三角函数值的正负判断其他三角函数值的正负 【分析】分sina>0,cosa>0、sinu>0,cosa<0、sina<0,cosa<0与sina<0,cosa>0讨论即可求解. 【详解】由题意可得sina cosa≠0， 若sina>0,cosa>0,则sina cosa =2≠0； sina cosa 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sina cosa 若sina>0,cosa<0,则 1=1-1=0,符合题意； sina cosa sina cosa 若sina<0,cosa<0,则 =-1-1=-2≠0； sin a cosa sina 若sina<0,cosa>0,则 sina cos@=-1+1=0,符合题意. cosa 故sina>0,cosa<0或sina<0,cosa>0. 所以sina cosa<0. 所以sina cosa的符号为负， 8/8 7.2.1&7.2.2 三角函数的定义&单位圆与三角函数线 题型一 利用定义求某角的三角函数值 1．（25-26高一上·全国·课前预习）由三角函数的定义知， ， ． 【答案】 / / 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、特殊角的三角函数值 【分析】在角的终边上选择一个点，根据正余弦三角函数的定义可求三角函数值. 【详解】   为第三象限角，在的终边上选择点， 故． 故答案为：. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各角的正弦、余弦和正切． (1)0； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)，0，的正切不存在． (4)，， 【知识点】利用定义求某角的三角函数值 【分析】（1）（2）（3）（4）在角的终边上取一特殊点，由三角函数的定义即可求得答案． 【详解】（1）角0的终边在x轴正半轴上，在x轴的正半轴上取点， 所以，因此． （2）角的终边在x轴负半轴上，在x轴的负半轴上取点， 所以，因此． （3）角的终边在y轴负半轴上，在y轴的负半轴上取点， 所以，因此，，的正切值不存在． （4）如图所示，在的终边上取点P，使得．作，则在中，． 因此，，从而可知P的坐标为，因此，，． 题型二 已知终边上的点求三角函数（式）值 1．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数定义可得，从而计算出答案. 【详解】终边过点，故， 所以. 故选：C 2．（24-25高一上·福建龙岩·月考）已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由单位圆求三角函数值 【分析】由三角函数定义求出，相减即得． 【详解】角终边与单位圆交于点，则，. . 故选：A. 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由正切函数的定义计算可得. 【详解】由题意可得. 故选：C 4．（多选）（20-21高一·全国·单元测试）若角的终边上有一点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据角终边上一点应用任意角的正弦及余弦的定义计算即可. 【详解】因为角的终边上有一点，， 当时，， 当时，， 故选：AD. 5．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则 . 【答案】/ 【知识点】利用定义求某角的三角函数值 【分析】利用三角函数定义直接代入计算可得结果. 【详解】由题意可知， 所以可得. 故答案为： 题型三 已知终边求三角函数值 1．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）在平面直角坐标系xOy中，角α和角β的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于x轴对称．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据任意角三角函数的定义可求． 【详解】设的终边上一点，则， 因为角α和角β的终边关于x轴对称， 所以是终边上一点， 可得. 故选：B． 2．（2025高一上·江苏·专题练习）已知直线与以原点为圆心的单位圆交于两点，点在轴的上方，是坐标原点，则以射线为终边的角的正切值为 【答案】1 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】先求出点坐标，再根据三角函数的定义求值；再求出点坐标，再根据三角函数的定义求值即可； 【详解】由题意可知点坐标为， 所以，， 由题意可得点坐标为，所以. 故答案为：1 3．（2025高一上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则 【答案】/-0.6 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义分的终边在第一象限和第二象限讨论即可. 【详解】若角的终边在第一象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时； 若角的终边在第二象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时. 故答案为： 题型四 已知三角函数值求终边上的点或参数 1．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知角的终边经过点，且，则的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由三角函数的定义可得，故， 故选：C 2．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）已知角的终边在第二象限，且终边上有一点，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据任意角的三角函数定义求出即可求出，再根据角的终边在第二象限即可求出. 【详解】由题意可得，得或， 因角的终边在第二象限，则. 故选：A 3．（25-26高一上·河南·月考）已知角的终边经过点，且，则的值是 ． 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数定义和正切值得到的方程，求解即可. 【详解】因为角的终边经过点，所以，又， 所以，解得. 故答案为：. 4．（25-26高一上·云南文山·月考）已知角的终边经过点，且，则的值是 . 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】由终边上的点坐标和求得，由终边上的点坐标求得的值. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 5．（2025高一上·江苏·专题练习）设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，则= ；= . 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】先求得，然后由三角函数定义求得. 【详解】依题意，为第四象限角，其终边上的一个点是，则， ，解得，则 所以， . 故答案为:，. 6．（25-26高一上·吉林·期末）点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据的大小以及三角函数的概念，求点的坐标即可. 【详解】设，由题意可知，且点在第二象限， 所以，， 所以， 故答案为： 7．（25-26高一上·甘肃武威·开学考试）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与轴正半轴的夹角为，如果，，那么点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】在直角坐标系内作示意图，由正弦函数定义得到线段间关系，从而求得坐标. 【详解】如图，过点作轴，垂足为，在中，，， ∴， ∴， ∴点坐标为． 故答案为：. 题型五 画已知角三角函数线 1．（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线. (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】画三角函数线 【分析】根据三角函数线概念，结合单位圆和三角函数概念画图即可. 【详解】（1）如图，有向线段DP，OD，AT分别表示的正弦线、余弦线、正切线. （2）如图，有向线段DP，OD，AT分别表示的正弦线、余弦线、正切线. 2．（24-25高一上·上海·课前预习）请作出下列各角的正弦线： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】画三角函数线 【分析】根据正弦线的作法即可作出（1）（2）的正弦线； （3）在上，和终边相同的角是，再作出正弦线即可. 【详解】（1）如图所示，正弦线为 （2）如图所示，正弦线为 （3）因为，所以的正弦线和的正弦线一样，如图所示，正弦线为 题型一   已知角（范围）确定三角函数式的符号 1．（多选）（2025高一上·江苏无锡·专题练习）已知是第二象限角，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据三角函数在各个象限的符号进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 所以，A选项正确. 当时，，B选项错误. 因为①， 所以，C选项正确. 由①得，当时，时， 此时，D选项错误. 故选：AC 2．（多选）（25-26高一上·广东·期末）（多选）若为第二象限角，则下列正确的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据三角函数的符号规律直接判断即可. 【详解】若为第二象限角，则，，． 所以，为第二象限角，则或或． 故选：BC． 3．（多选）（22-23高一下·四川广安·期中）给出下列各三角函数值，其中符号为负的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据角所在的象限判断各选项即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由于，为第二象限角， 则，故B正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 题型二 由三角函数式的符号确定角的范围或象限 1．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）已知角的终边过点，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据题意，得到为第二象限角，求得，进而得到答案. 【详解】因为角的终边过点，所以为第二象限角，所以， 所以位于第四象限. 故选：D. 2．（20-21高一下·陕西咸阳·月考），则(     ) A．，可能是二，四象限 B．，可能是一三象限角 C．，可能是三，四象限角的 D．，可能是二，四象限角 【答案】A 【知识点】由三角函数值的正负判断其他三角函数值的正负、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】题目考察任意角三角函数的定义，由各个象限角三角函数的正负即可判断 【详解】由可得，与异号，所以，根据任意角三角函数的定义可知，角为第一象限角时，，，不符合题意；角为第二象限角时，，，符合题意；角为第三象限角时，，，不符合题意；角为第一象限角时，，，符合题意；综上，角为第二、四象限角 故选：A 3．（25-26高一上·上海·月考）若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（   ） A．第二象限角或第三象限角 B．第二象限角或第四象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角、第三象限角或第四象限角 【答案】A 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据题意，分别讨论四个象限时的符号进行判断即可． 【详解】当角的终边在第一象限时，， 又， ，故，不符合题意； 当角的终边在第二象限时，， 又， ，故，符合题意； 当角的终边在第三象限时，， 又， ，故，符合题意； 当角的终边在第四象限时，， 又， ，故，不符合题意； 综上，角的终边在第二象限或第三象限． 故选：A． 4．（2023高一上·江苏·专题练习）已知点在第一象限，在内，求的取值范围． 【答案】 【知识点】三角函数线的应用 【分析】根据三角函数符号，结合三角函数线分析可得. 【详解】由题意知，即， 由，可得或， 又，如图，由三角函数线可知，，    综上，或. 即的取值范围为. 题型一   三角函数线的应用 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数线的应用、画三角函数线 【分析】画出三角函数线，结合扇形面积公式，数形结合得解. 【详解】画出的三角函数线，如图所示，则， 设扇形的面积为，则， 又，故. 故选：C. 2．（22-23高一下·江西吉安·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数线的应用、特殊角的三角函数值、求对数型复合函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据题意得出，即，然后利用单位圆分析即可得出答案. 【详解】由题意知，即得， 在单位圆中分别画出不等式①②的解集对应的区域P与Q， 则区域P的解集为， 区域Q的解集为， 其公共区域为不等式组的解即为， 故函数的定义域为. 故选：B. 3．（21-22高一下·陕西咸阳·月考）已知，且，，，则a，b，c的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】三角函数定义的其他应用、由单位圆求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义即可结合图形关系求解. 【详解】如图：作出的终边与单位圆的交点分别为, 由于，且， 所以，且，故，，， 故， 故答案为： 4．（24-25高一上·江苏盐城·月考）若，且，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、三角函数线的应用、三角函数定义的其他应用 【分析】原不等式等价于，据此可求不等式的解. 【详解】题设不等式等价于， 故， 所以， 故， 而， 故，故. 又因为，故的取值范围是. 故答案为:. 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围． (1)； (2)， 【答案】(1) (2) 【知识点】单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质、由单位圆求三角函数值 【分析】根据正余弦的函数值，在单位圆中画出对应角的范围即可知α的集合. 【详解】（1）如图①，过点作x轴的平行线交单位圆于两点，则，， 故α的范围是．    （2）如图②，过点作x轴的垂线与单位圆交于两点，则， 故α的范围是． 6．（2024高一·上海·专题练习）若，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】三角函数线的应用 【分析】（1）利用正切线与余弦线的定义，结合三角形两边之和大于第三边即可得证； （2）利用三角函数线的定义，结合三角形与扇形的面积大小即可得证. 【详解】（1）如图，在平面直角坐标系中作出角，角的正弦线和余弦线.    由，为直角三角形，且，，， 在中，，所以. （2）如图，，分别为角的正弦线和正切线，连结，    由，显然有， 而，， ， 所以，即. 题型二   三角函数定义的综合应用 1．（25-26高一上·浙江杭州·月考）如图，一质点在半径为1的圆上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，时到达点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用定义求某角的三角函数值 【分析】设单位圆与轴正半轴的交点为，根据条件求得，进一步可得时到达点时，求出，利用三角函数的定义可求得． 【详解】设单位圆与轴正半轴的交点为， 因为，则， 由于在第一象限，不妨取， 因为按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，设经过5后，质点到达点， ， 于是. 故选：B． 2．（25-26高一上·安徽黄山·期末）折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图，其平面图如图的扇形，已知该扇形面积，其圆心角为，在直角坐标系中，以为的顶点，轴正半轴为的始边，此时终边与单位圆交点，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】先根据正切函数定义可得，然后利用扇形面积公式求得，进而代入弧长公式求解即可. 【详解】因为终边与单位圆交于点，所以， 因为，所以， 设扇形的半径为，则，解得， 所以该扇形的弧长为． 故选：C． 3.（多选）（21-22高一下·辽宁朝阳·期中）已知点在第一象限，则在内的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】由三角函数值的正负判断其他三角函数值的正负、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】由题知位于第一象限或者第三象限，且满足，再分别讨论求解即可. 【详解】解：因为点在第一象限， 所以，即位于第一象限或者第三象限且，且满足， 所以，当位于第一象限时，时，； 当位于第三象限时，时，. 故选：AB 4．（多选）（23-24高三上·山东威海·期末）质点和同时出发，在以原点为圆心，半径为的上逆时针作匀速圆周运动.的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】单位圆与周期性、由单位圆求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】确定点的初始位置，由题意列出重合时刻的表达式，进而可得点的坐标，通过赋值对比选项即可得解. 【详解】依题意，点的起始位置，点的起始位置， 则，设当与重合时，用的时间为， 于是，即， 则，所以， 对于A，若，则或，， 解得，或，因为，这样的不存在，故A错误； 对于B，当时，，即，故B正确； 对于C，若，则或，， 解得，或，因为，这样的不存在，故C错误； 对于D，当时，，即，故D正确； 故选：BD. 5．（多选）（2024·全国·模拟预测）质点A和B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发，A的起点在射线和圆O的交点处，A的角速度为，B的起点为圆O与x轴正半轴的交点，B的角速度为，则下列说法正确的是（    ） A．在1s末时，点A的坐标为 B．在2s末时，点B的坐标为 C．在2s末时，劣弧的长为 D．当A与B重合时，点A的坐标可以为 【答案】CD 【知识点】三角函数定义的其他应用、由单位圆求三角函数值 【分析】根据题意结合任意角的三角函数值的定义逐项分析判断. 【详解】由题意可知点A的起点所对的角，点B的起点所对的角， 在1s末时，点A所对的角， 所以点A的坐标为，故A错误； 在2s末时，点B所对的角， 所以点B的坐标为，故B错误； 在2s末时，点A所对的角， 则劣弧所对的角为，所以劣弧的长为，故C正确； 当A与B重合时，则，解得 可得， 则， 点A的坐标为，故D正确； 故选：CD. 6．（多选）（24-25高一上·河南郑州·期末）如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动.点的起始位置坐标为，角速度为，点的起始位置坐标为，角速度为，则（    ） A．在末，点的坐标为 B．在末，点在单位圆上第一次重合 C．在末，扇形的弧长为 D．面积的最大值为 【答案】BD 【知识点】三角函数定义的其他应用、弧长的有关计算、找出终边相同的角 【详解】由题设，秒末的坐标为， 的坐标为， 对于A，在末，的坐标为，故A错误； 对于B，若重合，则，故， 故，故在末，点在单位圆上第一次重合，故B正确； 对于C，在末，在的终边上，在的终边上， 故扇形的弧长为，故C错误； 对于D，的面积为， 当且仅当即时等号成立， 故D正确； 故选：BD. 7．（24-25高二下·上海·开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时120秒，当时，某盛水筒位于点，经过秒后运动到点，则当筒车旋转40秒时，此盛水筒对应的点的纵坐标为 ． 【答案】 【知识点】利用定义求某角的三角函数值 【分析】利用角速度得出40秒盛水筒旋转角度，结合初始位置即可得最终位置. 【详解】因，则，, 每旋转一周用时120秒，则筒车旋转40秒时共旋转， 则此时点所在角的终边为， 则点的纵坐标为. 故答案为： . 8．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在 （填入坐标）    【答案】 【知识点】由单位圆求三角函数值、利用定义求某角的三角函数值、弧长的有关计算 【分析】由题意依次分析前24秒的运动情况，发现其是周期性地运动，得到规律即可得出答案. 【详解】由题知：第1秒末：珍珍，花花， 第2秒末：珍珍，花花，此时第1次相遇， 第3秒末：珍珍，花花， 第4秒末：珍珍，花花， 第5秒末：珍珍，花花， 第6秒末：珍珍，花花，此时第2次相遇， 第7秒末：珍珍，花花， 第8秒末：珍珍，花花，此时第3次相遇， 第9秒末：珍珍，花花， 第10秒末：珍珍，花花， 第11秒末：珍珍，花花， 第12秒末：珍珍，花花，此时第4次相遇， 第13秒末：珍珍，花花， 第14秒末：珍珍，花花，此时第5次相遇， 第15秒末：珍珍，花花， 第16秒末：珍珍，花花， 第17秒末：珍珍，花花， 第18秒末：珍珍，花花，此时第6次相遇， 第19秒末：珍珍，花花， 第20秒末：珍珍，花花，此时第7次相遇， 第21秒末：珍珍，花花， 第22秒末：珍珍，花花， 第23秒末：珍珍，花花， 第24秒末：珍珍，花花，此时第8次相遇， 此后二人的走向与最开始一致，由此可知相遇的坐标顺序为，，，， ，，，，，如此循环往复， 而，所以2025次相遇在， 故答案为：. 9．（22-23高一下·江苏常州·期中）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与圆O的交点．当P与Q第二次重合时，P的坐标为 ；当P与Q第三次重合时，点P相对于其起点的位移的大小是 【答案】 （或写作） 【知识点】单位圆与周期性、由单位圆求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数、特殊角的三角函数值 【分析】由题意解出重合时刻t的值，进而可得P点位置，可求坐标. 【详解】设时P与Q第二次重合，则有，解得，此时点P是单位圆与角终边的交点，所以P的坐标为； 设时P与Q第二次重合，则有，解得，此时点P是单位圆与角终边的交点，所以P的坐标为， 由起点坐标为，则点P相对于其起点的位移的大小为. 故答案为：；. 10．（22-23高一·全国·课后作业）已知，试判断的符号． 【答案】负 【知识点】由三角函数值的正负判断其他三角函数值的正负 【分析】分、、与讨论即可求解. 【详解】由题意可得， 若,则； 若，则，符合题意； 若，则； 若，则，符合题意. 故或. 所以. 所以的符号为负. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.1&7.2.2 三角函数的定义&单位圆与三角函数线 题型一 利用定义求某角的三角函数值 1．（25-26高一上·全国·课前预习）由三角函数的定义知， ， ． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各角的正弦、余弦和正切． (1)0； (2)； (3)； (4)． 题型二 已知终边上的点求三角函数（式）值 1．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建龙岩·月考）已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（20-21高一·全国·单元测试）若角的终边上有一点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则 . 题型三 已知终边求三角函数值 1．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）在平面直角坐标系xOy中，角α和角β的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于x轴对称．若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一上·江苏·专题练习）已知直线与以原点为圆心的单位圆交于两点，点在轴的上方，是坐标原点，则以射线为终边的角的正切值为 3．（2025高一上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则 题型四 已知三角函数值求终边上的点或参数 1．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知角的终边经过点，且，则的值是（    ） A． B． C． D．4 2．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）已知角的终边在第二象限，且终边上有一点，，则（    ） A． B． C．2 D． 3．（25-26高一上·河南·月考）已知角的终边经过点，且，则的值是 ． 4．（25-26高一上·云南文山·月考）已知角的终边经过点，且，则的值是 . 5．（2025高一上·江苏·专题练习）设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，则= ；= . 6．（25-26高一上·吉林·期末）点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为 ． 7．（25-26高一上·甘肃武威·开学考试）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与轴正半轴的夹角为，如果，，那么点的坐标为 ． 题型五 画已知角三角函数线 1．（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线. (1)； (2). 2．（24-25高一上·上海·课前预习）请作出下列各角的正弦线： (1)； (2)； (3). 题型一   已知角（范围）确定三角函数式的符号 1．（多选）（2025高一上·江苏无锡·专题练习）已知是第二象限角，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一上·广东·期末）（多选）若为第二象限角，则下列正确的有（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（多选）（22-23高一下·四川广安·期中）给出下列各三角函数值，其中符号为负的是（ ） A． B． C． D． 题型二 由三角函数式的符号确定角的范围或象限 1．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）已知角的终边过点，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（20-21高一下·陕西咸阳·月考），则(     ) A．，可能是二，四象限 B．，可能是一三象限角 C．，可能是三，四象限角的 D．，可能是二，四象限角 3．（25-26高一上·上海·月考）若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（   ） A．第二象限角或第三象限角 B．第二象限角或第四象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角、第三象限角或第四象限角 4．（2023高一上·江苏·专题练习）已知点在第一象限，在内，求的取值范围． 题型一   三角函数线的应用 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·江西吉安·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一下·陕西咸阳·月考）已知，且，，，则a，b，c的大小关系为 ． 4．（24-25高一上·江苏盐城·月考）若，且，则的取值范围为 . 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围． (1)； (2)， 6．（2024高一·上海·专题练习）若，证明： (1)； (2). 题型二   三角函数定义的综合应用 1．（25-26高一上·浙江杭州·月考）如图，一质点在半径为1的圆上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，时到达点，则（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽黄山·期末）折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图，其平面图如图的扇形，已知该扇形面积，其圆心角为，在直角坐标系中，以为的顶点，轴正半轴为的始边，此时终边与单位圆交点，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 3.（多选）（21-22高一下·辽宁朝阳·期中）已知点在第一象限，则在内的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高三上·山东威海·期末）质点和同时出发，在以原点为圆心，半径为的上逆时针作匀速圆周运动.的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2024·全国·模拟预测）质点A和B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发，A的起点在射线和圆O的交点处，A的角速度为，B的起点为圆O与x轴正半轴的交点，B的角速度为，则下列说法正确的是（    ） A．在1s末时，点A的坐标为 B．在2s末时，点B的坐标为 C．在2s末时，劣弧的长为 D．当A与B重合时，点A的坐标可以为 6．（多选）（24-25高一上·河南郑州·期末）如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动.点的起始位置坐标为，角速度为，点的起始位置坐标为，角速度为，则（    ） A．在末，点的坐标为 B．在末，点在单位圆上第一次重合 C．在末，扇形的弧长为 D．面积的最大值为 7．（24-25高二下·上海·开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时120秒，当时，某盛水筒位于点，经过秒后运动到点，则当筒车旋转40秒时，此盛水筒对应的点的纵坐标为 ． 8．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在 （填入坐标）    9．（22-23高一下·江苏常州·期中）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与圆O的交点．当P与Q第二次重合时，P的坐标为 ；当P与Q第三次重合时，点P相对于其起点的位移的大小是 10．（22-23高一·全国·课后作业）已知，试判断的符号． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $