考点01 相交线与垂线（11种题型）（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

考点01相交线与垂线 考点一：邻补角与对顶角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180° 【补充说明】 1）对顶角的特征：1）有公共顶点；2）两个角的两边互为反向延长线. 2）若两个角互为对顶角，则它们一定相等，但两个角相等，则它们不一定为对顶角. 3）邻补角与补角的区别： ①互补的两个角只有数量关系，没有位置关系，只要这两个角的和等于180°即可. ②邻补角不但有数量上的关系，还有位置上的关系. 考点二：垂线 定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 示例：如图所示，直线AB，CD互相重直，记作:“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”).如果垂是是0，记作“AB⊥CD,乘足为0”. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【注意】 1）已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条. 2）必须强调在同一平面内，若是在空间中，则经过一点与已知直线垂直的直线有无数条. 垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO⊥m，垂足为0，称PO为点P到直线m的垂线段. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【注意】 1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误； 2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的. 题型一：对顶角与邻补角的识别 判断对顶角和邻补角，首先是看两个角两边涉及的直线是否只有两条，其次还应注意对顶角没有公共边，邻补角有公共边，两条直线相交形成的四个角中，共有两对对顶角，四对邻补角. 1．（24-25七年级下·广东广州·期末）下列日常使用的工具或学具中，没有应用到对顶角及其相关知识的是（    ） A．B．C．D． 2．（23-24七年级下·广西柳州·期中）下列各图中，和是邻补角的是（   ） A．B．C．D． 3．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，直线，，相交于点O． (1)请写出的对顶角； (2)请写出的邻补角． 题型二：利用对顶角、邻补角的性质求解 1）对顶角性质：对顶角相等。若两个角是对顶角，直接利用“∠1=∠2”列等式计算。 2）邻补角性质：邻补角之和为180°（互补）。若两个角是邻补角，利用“∠1+∠2=180°”列等式计算。 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）若与是对顶角，且，则的补角是 ． 5．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点平分，则 ． 6．（24-25七年级下·云南普洱·期末）如图，与相交于点，，，平分． (1)求的度数． (2)求钝角的度数． 7．（24-25七年级下·云南丽江·期末）如图，点A，O，B在一条直线上，平分，是内部的一条射线． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数． 题型三：利用方程的思想求解（相交线） 1）设未知数：根据题目中的数量关系，设关键未知量为x（如角度、线段长度等）。 2）列方程：结合几何性质（如对顶角相等、邻补角互补、线段和差等），将已知条件转化为含未知数的等式。 3）解方程：求解方程得到未知量的值，进而得到题目所求结果。 1）设未知数时混淆变量含义，导致列错方程； 2）忽略几何量的实际范围（如角度为正、线段长度为正），得到不合理解后未验证。 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB与CD相交于点O，，，OE平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·四川南充·月考）已知直线与射线构成，，且，则（      ）． A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·山东菏泽·月考）如图，为平角，且，则的度数是 ．    11．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线，相交于点O，射线、分别在、的内部，已知，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 12．（25-26七年级上·云南昆明·期末）如图，已知点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）的条件下，过点作射线，使得，求的度数； (3)在的内部作一条射线，使得，若，求的值． 题型四：利用整体法求角（相交线） 13．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）如图，直线相交于点，若平分平分，，求的度数． 14．（24-25七年级下·吉林白城·月考）如图，直线、相交于点O，把分成两部分． (1)写出图中的对顶角：__________，的邻补角：__________； (2)若且，求的度数． 15．（24-25七年级下·云南丽江·期末）点是直线上一点，射线平分． (1)如图①所示，射线在内部，，若，求的度数； (2)如图②所示，射线在直线下方，，求的度数． 题型五：分类讨论求角（相交线） 1）遗漏分类场景（如忽略射线在角外部的情况），导致结果不完整； 2）不同分类下混淆角的位置关系，导致计算错误； 3）未结合图形验证结果的合理性（如角度为负、超出实际范围）。 16．（24-25七年级下·上海松江·期末）直线、相交于点，，那么直线、的夹角为 ． 17．（24-25七年级下·全国·单元测试）若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则 ． 18．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点A，O，B在同一直线上，射线平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在内部作射线，，射线平分，若，则的度数为______； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线，使，若，求的度数． 题型六：画垂线 19．（24-25七年级下·广东韶关·期末）利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A．B．C． D． 20．（24-25七年级下·河北张家口·期中）已知三角形，用直角三角板过点作直线的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（   ） A．B．C．D． 21．（24-25七年级下·北京大兴·期末）如图，点，点在内部．根据下列语句画图并完成填空： (1)画射线，交于点； (2)过点画边上的垂线，垂足为； (3)连接； (4)在线段中，最短的线段是________，依据是________． 题型七：利用数学语言解释生活中的实际现象 22．（24-25七年级下·四川德阳·期中）运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 23．（21-22七年级下·贵州毕节·期中）如图，要把水渠中的水引到点，在渠岸的（   ）处开沟，才能使沟最短 A．点 B．点 C．点 D．点 24．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离．如图，这是李明同学在体育课上立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·福建福州·期末）数学来源于生活又应用于生活．下列现象中能用“点到直线的距离”来解释的是（    ） A． B．C．D． 题型八：利用垂线的性质求解 1）若已知垂线，直接利用90∘的角，结合对顶角、邻补角、角平分线等性质，计算目标角的度数； 2）若需证明垂直，通过角的和差推导夹角为90°。 26．（24-25七年级下·全国·期末）如图，直线相交于点O，射线平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25七年级下·广东汕头·期末）如图，点A，B，C在一条直线上，已知，，则与的位置关系是 ． 28．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）图为《天工开物》记载用于春（）捣谷物的工具“碓（）”的平面结构示意图，与水平线相交于点，于点，于点，．若，则的大小为 度． 29．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，直线，相交于点O，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 30．（24-25七年级下·广东广州·月考）如图，直线，相交于点O，过点O作，且平分，已知．求的度数． 题型九：利用方程的思想求角（垂线） 31．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，直线与直线相交于点，，且平分，若，则的度数为 度． 32．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）如图，直线，相交于点，，于点，的度数为 ． 33．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，直线与相交于点O，，平分． (1)如果，则______； (2)如果，则______（用含n的代数式表示）； (3)如果比大，求的度数． 题型十：利用整体的方法求角（垂线） 34．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 35．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，直线，，交于点O． (1)若，，求的度数； (2)若，，过点O作，求的度数． 36．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点，射线、在内，平分，已知，．则与垂直吗？为什么？ 题型十一：利用分类讨论的思想求角（垂线） 37．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）点在直线上，平分，，，则 ． 38．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）已知，直线经过点且度，则 ． 39．（24-25七年级下·山东聊城·期中）已知如图，直线，相交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，过点作，请直接写出的度数是_____度． 40．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）阅读理解：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”． 如图，点O在直线上，、在直线上方，且，射线是的“分补线”． (1)若，且在内部，则 ， ； (2)若平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请直接写出与的数量关系： ． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为 ． 4．（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，直线、相交于O，且于O，则 ①与互为 角； ②与叫 角； ③与互为 角．    5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 6．（北京市燕山教育集团2025—2026学年上学期七年级期末考试数学试卷）如图，点A，O，B在同一条直线上，射线在直线的同侧，且．作的平分线，的平分线． (1)如图1，当射线重合时，依题意补全图形，并求出的度数； (2)如图2，，用等式表示与的数量关系，并说明理由． 7．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）． (1)如图，为直线上一点，于点，于点，的垂角是________，的垂角是________； (2)在（1）的条件下，若的垂角比大40°，求的度数． 9．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】如图，点在直线上，射线在上方，且．    【问题再现】（1）如图1，若，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，在内部从左到右依次作射线、，使得，平分，若，求的度数；（用含的代数式表示，并化为最简） 【拓展提升】（3）如图3，在（2）的条件下，过点作的平分线，若，求的值． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01相交线与垂线 考点一：邻补角与对顶角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180° 【补充说明】 1）对顶角的特征：1）有公共顶点；2）两个角的两边互为反向延长线. 2）若两个角互为对顶角，则它们一定相等，但两个角相等，则它们不一定为对顶角. 3）邻补角与补角的区别： ①互补的两个角只有数量关系，没有位置关系，只要这两个角的和等于180°即可. ②邻补角不但有数量上的关系，还有位置上的关系. 考点二：垂线 定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 示例：如图所示，直线AB，CD互相重直，记作:“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”).如果垂是是0，记作“AB⊥CD,乘足为0”. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【注意】 1）已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条. 2）必须强调在同一平面内，若是在空间中，则经过一点与已知直线垂直的直线有无数条. 垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO⊥m，垂足为0，称PO为点P到直线m的垂线段. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【注意】 1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误； 2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的. 题型一：对顶角与邻补角的识别 判断对顶角和邻补角，首先是看两个角两边涉及的直线是否只有两条，其次还应注意对顶角没有公共边，邻补角有公共边，两条直线相交形成的四个角中，共有两对对顶角，四对邻补角. 1．（24-25七年级下·广东广州·期末）下列日常使用的工具或学具中，没有应用到对顶角及其相关知识的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角．根据对顶角的定义以及画一条线段等于已知线段进行判断即可． 【详解】解：选项A，选项B，选项C中的工具，利用了对顶角相等， 而选项D利用的是“画一条线段等于已知线段”， 故选：D． 2．（23-24七年级下·广西柳州·期中）下列各图中，和是邻补角的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查邻补角的定义，正确把握定义：有公共顶点，一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．根据邻补角的定义判断即可． 【详解】解：A．没有公共顶点，不是邻补角，故A不符合题意； B．没有公共顶点，不是邻补角，故B不符合题意． C．没有公共顶点，不是邻补角，故C不符合题意； D．符合邻补角的定义，故D符合题意； 故选D． 3．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，直线，，相交于点O． (1)请写出的对顶角； (2)请写出的邻补角． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查对顶角和邻补角的概念． （1）如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角． （2）两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做互为邻补角． 【详解】（1）根据对顶角的概念可得：的对顶角是， （2）根据邻补角的概念可得：的邻补角是，． 题型二：利用对顶角、邻补角的性质求解 1）对顶角性质：对顶角相等。若两个角是对顶角，直接利用“∠1=∠2”列等式计算。 2）邻补角性质：邻补角之和为180°（互补）。若两个角是邻补角，利用“∠1+∠2=180°”列等式计算。 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）若与是对顶角，且，则的补角是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查的是对顶角的性质和补角的定义，掌握对顶角的性质和补角的定义是解题的关键．由对顶角的性质可知，然后根据补角的定义计算即可． 【详解】解：∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴的补角． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，解决本题的关键是要熟练运用角平分线的定义和邻补角的性质进行计算，根据角平分线定义求出，再根据邻补角互补即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 6．（24-25七年级下·云南普洱·期末）如图，与相交于点，，，平分． (1)求的度数． (2)求钝角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角度求解，解题的关键是掌握对顶角的性质，垂直的性质，以及角平分线的性质． （1）根据得出，即可求出的度数； （2）先根据对顶角相等求出的度数，再由角平分线的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 7．（24-25七年级下·云南丽江·期末）如图，点A，O，B在一条直线上，平分，是内部的一条射线． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义可得，进而根据，即可求解； （2）根据已知得出，进而可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型三：利用方程的思想求解（相交线） 1）设未知数：根据题目中的数量关系，设关键未知量为x（如角度、线段长度等）。 2）列方程：结合几何性质（如对顶角相等、邻补角互补、线段和差等），将已知条件转化为含未知数的等式。 3）解方程：求解方程得到未知量的值，进而得到题目所求结果。 1）设未知数时混淆变量含义，导致列错方程； 2）忽略几何量的实际范围（如角度为正、线段长度为正），得到不合理解后未验证。 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB与CD相交于点O，，，OE平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和是是解题的关键． 设，根据邻补角的概念用表示出，根据角平分线的定义求出，根据题意列式求出，根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：设，则， ∴， ． 平分， ． ， ，即， 解得，则， ． 9．（24-25七年级下·四川南充·月考）已知直线与射线构成，，且，则（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的倍数关系，邻补角的性质等内容．设，则，再利用邻补角的性质列式计算求得，据此求出即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 10．（25-26七年级上·山东菏泽·月考）如图，为平角，且，则的度数是 ．    【答案】/140度 【分析】本题考查了角的计算．根据列式计算即可得出正确答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线，相交于点O，射线、分别在、的内部，已知，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对顶角相等，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键． （1）根据对顶角的性质得到，进而证得，运用一个角与它的补角之和为进行计算求解即可； （2）根据，可假设，，结合角之间的关系后进行计算求解即可． 【详解】（1）解：，， 答：的度数为； （2）解：， 设，则 ． 答：的度数为． 12．（25-26七年级上·云南昆明·期末）如图，已知点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）的条件下，过点作射线，使得，求的度数； (3)在的内部作一条射线，使得，若，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)7 【分析】本题考查了角平分线的性质、角的和与差、邻补角，根据题意画出图形是解题的关键． （1）根据平分得到，利用周角的性质求出的即可； （2）在（1）的条件下，分别讨论在下方和上方时的情况，分别求出的度数即可； （3）由，设，用x表示，设，则，由，用x表示，再分别用x表示，求出比值即可． 【详解】（1）解：由已知，平分，， ∴， ∴ ； （2）当在下方时，， ∴， 当在上方时，， ∴， 的度数是或． （3）由， ∴设， ∴ ， 若， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴ ， ∴． 题型四：利用整体法求角（相交线） 13．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）如图，直线相交于点，若平分平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查图形中求角度，涉及平角定义、角平分线定义等知识，数形结合，准确表示出相关角是解决问题的关键． 先由，结合，求出，再由角平分线的定义得到，，进而数形结合，表示出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 14．（24-25七年级下·吉林白城·月考）如图，直线、相交于点O，把分成两部分． (1)写出图中的对顶角：__________，的邻补角：__________； (2)若且，求的度数． 【答案】(1)，与 (2) 【分析】（1）根据对顶角和邻补角的定义即可得解； （2）由对顶角的性质可得，由可得，由邻补角的定义可得，最后再根据即可得解． 本题主要考查了对顶角、邻补角的性质以及角的和差的计算．熟练掌握对顶角、邻补角的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：的对顶角是， 的邻补角是与， 故答案为：，与 （2）解：∵，且， ∴， 又∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·云南丽江·期末）点是直线上一点，射线平分． (1)如图①所示，射线在内部，，若，求的度数； (2)如图②所示，射线在直线下方，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义及平角的定义，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设，则，利用角平分线的定义求得，再利用平角的定义列式计算求得，据此求解即可； （2）由题意设，，，利用角平分线的定义求得，再利用平角的定义列式计算求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：设，则． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， 设，，， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 题型五：分类讨论求角（相交线） 1）遗漏分类场景（如忽略射线在角外部的情况），导致结果不完整； 2）不同分类下混淆角的位置关系，导致计算错误； 3）未结合图形验证结果的合理性（如角度为负、超出实际范围）。 16．（24-25七年级下·上海松江·期末）直线、相交于点，，那么直线、的夹角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查邻补角，画出相应的图形进行解答即可． 【详解】解：如图，直线、相交于点O，， 那么直线、的夹角为或， 故答案为：或． 17．（24-25七年级下·全国·单元测试）若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则 ． 【答案】40或80/80或40 【分析】此题考查了两条直线相交所成角的关系，一元一次方程的应用，正确理解两条直线相交所成角的关系是解题的关键． 由两条直线相交所成的四个角中，有邻补角有对顶角，由此列方程解答． 【详解】解：当两个角是对顶角时，，解得； 当两个角是邻补角时，，解得， 故答案为：40或80． 18．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点A，O，B在同一直线上，射线平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在内部作射线，，射线平分，若，则的度数为______； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线，使，若，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查角平分线性质，平角定义，利用角度比计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）根据角平分线性质和平角定义求解即可； （2）设，，根据角平分线性质列方程求解即可； （3）由（2）可得，由得，即可求解． 【详解】（1）解：∵射线平分，， ∴， ∵点A，O，B在同一直线上， ∴； （2）解：设，， ∵射线平分，射线平分， ∴，，， ∵，即， ∴， ∴； （3）解：如图： 由（2）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为或． 题型六：画垂线 19．（24-25七年级下·广东韶关·期末）利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 20．（24-25七年级下·河北张家口·期中）已知三角形，用直角三角板过点作直线的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查作垂线，根据过点作已知直线的垂线方法进行判断即可． 【详解】解：选项A中三角板过点A，但不垂直，故不符合题意； 选项B中三角板过点A，且垂直 ，故符合题意； 选项C中三角板不过点A，故不符合题意； 选项D中三角板过点A，但不垂直，故不符合题意， 故选：B． 21．（24-25七年级下·北京大兴·期末）如图，点，点在内部．根据下列语句画图并完成填空： (1)画射线，交于点； (2)过点画边上的垂线，垂足为； (3)连接； (4)在线段中，最短的线段是________，依据是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了画直线，画射线，画垂线，垂线段最短，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据射线的画法画图即可； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据线段的画法画图即可； （4）根据垂线段最短可得最短的线段是． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：在线段中，最短的线段是，依据是垂线段最短． 题型七：利用数学语言解释生活中的实际现象 22．（24-25七年级下·四川德阳·期中）运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短的实际应用，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 23．（21-22七年级下·贵州毕节·期中）如图，要把水渠中的水引到点，在渠岸的（   ）处开沟，才能使沟最短 A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段的性质（直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短），解题的关键是将“引水到C点使沟最短”的实际问题转化为“找直线上到点C的垂线段的垂足”的几何问题． 要使沟最短，需依据垂线段最短的性质，找到直线上与点C连接形成垂线段的点；由题意知E是点C到直线的垂足，即为垂线段，故在E处开沟最短． 【详解】解：点E是点C到直线的垂足，连接的线段是垂线段，根据“垂线段最短”，在此处开沟最短； 故选：B． 24．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离．如图，这是李明同学在体育课上立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点到直线的距离，根据跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离求解即可． 【详解】解：∵跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离， ∴过沙坑中留下最近着地点A向起跳线作垂线，则的长就是跳远成绩， 由图可得， ∴他的成绩是． 故选：A 25．（24-25七年级下·福建福州·期末）数学来源于生活又应用于生活．下列现象中能用“点到直线的距离”来解释的是（    ） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断． 【详解】解：A、能用“两点之间线段最短”来解释，不能用“点到直线的距离”来解释，故A不符合题意； B、可以用“点到直线的距离”来解释，故B符合题意； C、D中的现象可以用“两点确定一条直线“来解释，不能用“点到直线的距离“来解释． 故选：B． 题型八：利用垂线的性质求解 1）若已知垂线，直接利用90∘的角，结合对顶角、邻补角、角平分线等性质，计算目标角的度数； 2）若需证明垂直，通过角的和差推导夹角为90°。 26．（24-25七年级下·全国·期末）如图，直线相交于点O，射线平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的定义及角平分线的定义，对顶角的性质．熟练掌握相应定义并准确应用是解题的关键．直接利用垂线的定义结合角平分线的定义得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 27．（24-25七年级下·广东汕头·期末）如图，点A，B，C在一条直线上，已知，，则与的位置关系是 ． 【答案】互相垂直 【分析】本题考查垂直的定义，正确求得是解题的关键．根据题意可得，进而求得，即可得出答案． 【详解】解：∵A、B、C三点在一直线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即与的位置关系是垂直关系， 故答案为：互相垂直． 28．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）图为《天工开物》记载用于春（）捣谷物的工具“碓（）”的平面结构示意图，与水平线相交于点，于点，于点，．若，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用四边形内角和是进行计算，即可求解，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：∵于点，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 29．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，直线，相交于点O，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先根据对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义可得； （2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义求出，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 30．（24-25七年级下·广东广州·月考）如图，直线，相交于点O，过点O作，且平分，已知．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平角的定义、角平分线的定义、垂直的定义等关于角的计算知识，熟知相关定义并根据图形灵活应用是解题关键． 根据平角定义可得，再结合角平分线的定义得到，从而再根据垂线的定义及角的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型九：利用方程的思想求角（垂线） 31．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，直线与直线相交于点，，且平分，若，则的度数为 度． 【答案】50 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，几何图形中角度的计算．设，根据题意得出，根据角平分线的定义，对顶角相等，得出，根据平角的定义列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵，平分， 则， ∴ 即 解得：， 故答案为：50． 32．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）如图，直线，相交于点，，于点，的度数为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了垂线和角度计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据平角定义可得，从而可得，再根据垂直定义可得，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 33．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，直线与相交于点O，，平分． (1)如果，则______； (2)如果，则______（用含n的代数式表示）； (3)如果比大，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可； （2）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可； （3）设，则，由角平分线的定义得，根据列方程并解方程，再由邻补角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：根据对顶角相等得， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型十：利用整体的方法求角（垂线） 34．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的计算，角平分线定义，掌握角的计算，角平分线定义是解题的关键． 根据题意，可设，由，即可得出，求出x的值，即可得出的度数，进而得出的度数，再根据平分平分，由角平分线定义可得出：，，最后由进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 又∵平分平分， ∴，， ∴． 故选：A． 35．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，直线，，交于点O． (1)若，，求的度数； (2)若，，过点O作，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对顶角相等、垂线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用对顶角相等可得，再结合图形计算即可得解； （2）利用对顶角相等并结合题意可得，求出，再由垂线的定义可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 36．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点，射线、在内，平分，已知，．则与垂直吗？为什么？ 【答案】垂直，理由见解析 【分析】本题考查了平角的定义，角平分线的定义，垂直的判定，对顶角相等． 先由平角的定义结合求出，再根据对顶角相等得到，根据角平分线的定义可知，即可求出，可知． 【详解】解：垂直，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十一：利用分类讨论的思想求角（垂线） 37．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）点在直线上，平分，，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的计算，平角、垂线的定义，数形结合是解题的关键．首先根据题意画出图形，有两种情况：当在上方时；当在下方时．根据得，根据，得，再根据平角的定义即可求解． 【详解】解：分以下两种情况： 如图，当在上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 38．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）已知，直线经过点且度，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了垂直的定义、几何图形中的角度的计算，正确分两种情况讨论是解题关键．分两种情况：①当在的内部时，②当在的外部时，先根据垂直的定义可得，再根据角的和差求解即可得． 【详解】解：①如图1，当在的内部时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当在的外部时， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 39．（24-25七年级下·山东聊城·期中）已知如图，直线，相交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，过点作，请直接写出的度数是_____度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了余角和补角的计算，角的和差，对顶角相等， （1）根据得出答案； （2）先根据求出，进而求出，然后结合得出结论； （3）分两种情况讨论，画出图形，直接根据或可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴， ∴； 如图， ∵， ∴， ∴； 故答案为：或． 40．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）阅读理解：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”． 如图，点O在直线上，、在直线上方，且，射线是的“分补线”． (1)若，且在内部，则 ， ； (2)若平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请直接写出与的数量关系： ． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了角平分线的定义、补角的定义、垂线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由“分补线”的定义结合即可得出，再由垂线的定义可得，即可得解； （2）由“分补线”的定义结合即可得出，结合角平分线的定义可得，再由垂线的定义可得，求出，即可得解； （3）分两种情况：当时；当时；分别计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，射线是的“分补线”，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图： ∵射线是的“分补线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时， ∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，此情况、重合， 同理可得：， ∴； 综上所述：与的数量关系为：或． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得到，通过角度的和差关系可得到，根据对顶角相等可得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数．也可以根据可得到，通过角度的和差关系得到，再根据邻补角的定义得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵OE平分， ∴． 一题多解法∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵OE平分， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线，利用邻补角的定义和角平分线的定义是解题的关键． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】先明确 “垂线段最短”、“两点之间线段最短” 的区别，再逐一分析每个说法对应的数学知识：“垂线段最短”：直线外一点到直线的所有线段中，垂线段长度最短；“两点之间线段最短”：两点之间的所有连线中，线段最短． 【详解】解：①把弯曲的河道改成直道，缩短航程，运用的是 “两点之间线段最短”，不是 “垂线段最短”； ②在渠岸边上找使，沿挖水沟最短，运用的是 “垂线段最短”（到直线的垂线段最短）； ③∵ ，∴ 是点 到直线的垂线段，根据 “垂线段最短”，，两车速度相同，甲车路程更短，所以甲车先到城，运用的是 “垂线段最短”． 因此，运用 “垂线段最短” 的是②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了 “垂线段最短” 与 “两点之间线段最短” 的概念，解题关键是区分两种性质的适用场景：“两点之间线段最短” 适用于两点间的连线，“垂线段最短” 适用于直线外一点到直线的线段． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题的关键． 由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：如图， 由量角器可知，， ∴， 即所量内角的度数为， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，直线、相交于O，且于O，则 ①与互为 角； ②与叫 角； ③与互为 角．    【答案】 补 对顶 余 【分析】本题主要考查了补角，余角，对顶角，根据各自的定义一一判定即可． 【详解】解：∵直线、相交于O，且于O， ∴，，， ∴①与互为补角，②与叫对顶角，③与互为余角， 故答案为：补；对顶；余． 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了对顶角性质、角平分线定义、垂线定义、余角和补角的知识，解题关键是熟练掌握相关概念和性质，准确分析角之间的关系．利用对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义以及余角、补角的概念，对每个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴的补角不是，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 6．（北京市燕山教育集团2025—2026学年上学期七年级期末考试数学试卷）如图，点A，O，B在同一条直线上，射线在直线的同侧，且．作的平分线，的平分线． (1)如图1，当射线重合时，依题意补全图形，并求出的度数； (2)如图2，，用等式表示与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)补全图形见解析， (2)；理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，熟练掌握角平分线的定义与角的和差关系得到角与角之间的关系是解本题的关键． （1）依题意补全图形，根据题意得到，求出，再根据角平分线的定义即可求解； （2）设，则，根据角平分线的定义即可解答． 【详解】（1）解：依题意补全图形如图；   ∵， ∴， ∴． ∵为的平分线，为的平分线， ∴， ∴． （2）解：；理由如下： 如图，设， ∵， ∴． ∵为的平分线，为的平分线， ∴， ∴， 即． 7．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解角度之间的和差关系． （1）先由角平分线求出，即可求解，再结合垂直的定义求解即可； （2）由题意可设，则，则，然后表示出，再由垂直的定义建立方程求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）． (1)如图，为直线上一点，于点，于点，的垂角是________，的垂角是________； (2)在（1）的条件下，若的垂角比大40°，求的度数． 【答案】(1)  ， (2) 【分析】本题考查了角的相关定义以及角度计算，一元一次方程求解等知识点，解题的关键是准确理解垂角的定义，并根据题目条件列出一元一次方程来求解角度． （1）根据垂角定义两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，即可求得； （2）设的度数为，则的度数为，根据的垂角比大40°，列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：；，． ， ， ，即的垂角是． ，即的垂角是． ， ， ，即的垂角是． ∴的垂角是，的垂角是和． （2）解：设的度数为，则的度数为． 的垂角比大40°， ， 解得，则的度数是． 9．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】如图，点在直线上，射线在上方，且．    【问题再现】（1）如图1，若，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，在内部从左到右依次作射线、，使得，平分，若，求的度数；（用含的代数式表示，并化为最简） 【拓展提升】（3）如图3，在（2）的条件下，过点作的平分线，若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据平角的定义计算求值即可； （2）根据平角的定义可得，根据角平分线的定义可得，再根据角的和差关系求解即可； （3）根据角的和差关系和角平分线的定义求出，进而求出，然后结合求解即可． 本题主要考查了平角，角平分线的定义等知识，运用数形结合思想是解题关键． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ； （3）解：， ， 平分， ， ， ， ， ． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $