微专题03 三角形内的动点问题（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

微专题03 三角形内的动点问题 题型1 特殊三角形存在性问题 存在性问题：判断或求解动点位置使特定条件成立 定义：动点运动过程中，是否存在某一位置，使得形成的图形（如等腰三角形、直角三角形、全等三角形）满足题目给定的条件。 常见场景： 1. 等腰三角形存在性：动点运动过程中，是否存在点P，使得△PBC为等腰三角形（如PA＝PB、PA＝AB、PB＝AB）； 2. 直角三角形存在性：动点运动过程中，是否存在点P，使得△PBC为直角三角形（如∠P＝90°、∠B＝90°、∠C＝90°）； 3. 全等三角形存在性：两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使得两个三角形全等（如对应边相等、对应角相等）。 解题方法： 1. 分类讨论：根据等腰三角形的“腰”或直角三角形的“直角顶点”进行分类（如等腰三角形的三种情况：PA＝PB、PA＝AB、PB＝AB）； 2. 建立方程：利用勾股定理、全等三角形的性质建立方程，求解动点的位置（如时间t）； 3. 验证合理性：检查解是否在动点的运动范围内（如t≥0且不超过边的长度除以速度）。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线与轴、轴分别交于点，，． (1)求点的坐标和的值． (2)若是第一象限内的直线上的一个动点，当的面积是时，轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，的坐标为或或或． 【分析】（1）先求得直线与轴的交点，即可求出点的坐标，从而得到的长度；结合已知可得，进而求得点的坐标，将点的坐标代入解析式中，即可求得的值； （2）以、、分别是等腰三角形的顶角顶点分三种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 点的坐标为， ． ， ， 点的坐标为． 把代入，得， 解得． （2）解：存在． 由题意，得点的坐标为， ，解得，此时， 点的坐标为， 由勾股定理，得． 分以下三种情况讨论： ①当是等腰三角形的顶角顶点时，， 点的坐标为或； ②当是等腰三角形的顶角顶点时，，点与点关于过点且与轴垂直的直线对称， 点的坐标为； ③当是等腰三角形的顶角顶点时，． 设点的坐标为． ， 由勾股定理，得， 解得，则点的坐标为． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用、解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键． 2．（25-26八年级上·山东济南·期中）平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，a、b满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)在射线上是否存在点D，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点B、Q关于x轴对称，M为x轴上A点右侧一点，过点M作交直线于点N，是否存在点M，使，若存在，求点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，熟练运用坐标运算、分类讨论思想和相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）利用二次根式的被开方数非负性求出，的值，进而确定A、B两点的坐标； （2）设出点D的坐标，根据等腰三角形的三种分类（、、），结合两点间距离公式求解； （3）先求出直线的解析式，设出点M的坐标，通过证明三角形全等得到线段关系，再结合三角形面积公式列出方程求解． 【详解】（1）解：∵a、b满足， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：存在点D，使为等腰三角形． ∵，， ∴在中，由勾股定理可得， ∵在射线上存在点D，使为等腰三角形， ①若， ∴， ∵此时点D在轴负半轴， ∴； ②若，则点D与点重合， ∴； ③若，则， ∴； 综上所述，或或． （3）解：存在，理由如下： 过点作轴，交轴于点，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∵点、关于轴对称， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对称性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 3．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，其中点C，D分别为直线l：与x轴、y轴的交点． (1)求A点的坐标和k的值； (2)在直线l上存在一点P，使得求点P的坐标． (3)点M是直线l上的一个动点，那么在x轴上是否存在点N，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M以及对应的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点P坐标为或． (3)存在，①或，②或，③，或，； 【分析】本题主要考查一次函数与几何综合，等腰三角形的性质和判定； （1）求出点B坐标，根据，推出点A坐标，把代入直线即可解决问题． （2）设．分两种情形①当P在上方时，根据计算即可．②当P在下方，与C重合时，满足 （3）存在，分三种情形讨论即可：①作的平分线交于点M，易知，作交x轴于N，作于，则是等腰直角三角形；是等腰直角三角形．②当点M与D重合时，在x轴上截取，此时是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，③作平分交于M．易知，作轴于N，作交于，则是等腰直角三角形，是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：直线与y轴交于B点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入直线得到， ∴． ∴，． （2）解：如下图中，设． ①当P在上方时， ∵， ∴， 解得，此时点P坐标为． ②当P在下方，与C重合时， 满足， 此时点P坐标为． （3）解：存在．理由如下： ①如下图中，作的平分线交于点M，易知，作交x轴于N，作于． 则是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形，． ②如下图中，当点M与D重合时，在x轴上截取， 此时是等腰直角三角形，此时， 是等腰直角三角形，此时． ③如下图中，作平分交于M．易知，作轴于N，作交于． 则是等腰直角三角形，，； 是等腰直角三角形，，． 4．（25-26八年级上·广西柳州·期中）定义：我们将形如的函数称为一次函数的“伴随函数”，例如：是一次函数的“伴随函数”． (1)如图1，若一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，其中．求此一次函数的“伴随函数”表达式； (2)若（1）中“伴随函数”的图象交轴于点，取线段中点，过点作直线轴，在直线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标并说明理由； (3)在线段上取一点，使得的值最小．将点向右平移一个单位长度得到点，连接，在直线上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标并说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)存在，或或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题进行分类讨论是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求出一次函数表达式，再写出其“伴随函数”的表达式即可； （2）设直线l交x轴于点H，交于点K，根据中点坐标公式求出点N的坐标，证明后，根据的性质求出一个坐标，再根据轴对称的性质求另一种情况即可； （3）在x轴下方作，交y轴于点F，作于点T，连接，当A、P、T共线时，的最小值为的长，可得的最小值为的长，利用直角三角形的性质结合勾股定理可求得点P的坐标为，求出直线的解析式为，可得，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为， ∴此一次函数的“伴随函数”表达式为； （2）解：存在，理由如下： 设直线l交x轴于点H，交于点K， 令，则， ∴，即， ∵，取线段中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 作点M关于x轴的对称点，如图， 此时，， ∴， ∴； 综上，点M坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 在x轴下方作，交y轴于点F，作于点T，连接， ∴，即， 当A、P、T共线时，的最小值为的长， ∵， ∴的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵将点向右平移一个单位长度得到点， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴， ∵， ∴， 当即时， ∴，解得， ∴， ∴点Q的坐标为或； 当即时， ∴，解得或（舍）， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或或． 5．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那么我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)在中，，则___________“近直角三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，若是“近直角三角形”，，，则___________； (3)如图②，在中，，在的延长线上是否存在点，使得是“近直角三角形”？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是 (2) (3)存在，的长为3 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质等知识，正确的理解“近直角三角形”是解题的关键． （1）先根据三角形的内角和定理可得，再根据“近直角三角形”即可作判断； （2）根据“近直角三角形”的定义列等式即可解答； （3）根据是“近直角三角形”，由新定义可得两种情况：或，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ， 三角形是“近直角三角形”； 故答案为：是； （2）解：， 不可能是或， 当时，，，不成立； 当时，，，则， ； 故答案为：； （3）解：存在， 如图， ，，， ，，， 是“近直角三角形”， 或， ①当时，， ， ， ， ； ②当时，， ， ， ， ； 综上，． 6．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，函数的图象为直线，直线交轴于点，交直线于点． (1)求点的坐标和直线的函数表达式； (2)请判断是否为直角三角形？并说明理由； (3)直线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；直线的函数表达式为 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，两点间距离公式和勾股定理的逆定理，正确求出直线的函数表达式是解题的关键． （1）把点M的坐标代入正比例函数解析式中求出点M的坐标，再利用待定系数法求出直线的函数表达式，则可求出点C的坐标； （2）利用两点间距离公式求出的三边长的平方，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （3）求出的面积，则可得到的面积，根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入得，解得， ∴， 把代入得，解得， ∴直线的函数表达式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得，， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或． 题型2 动点求值问题 求值问题：计算具体的数量（如时间、长度、角度）： 定义：动点运动过程中，求某一时刻的时间、线段的长度或角度的大小。 常见场景： 1. 求时间：动点P从A出发沿AB运动，求某个三角形为等腰三角形时的时间t； 2. 求长度：动点P从A出发沿AB运动，求某条线段的长度（用含t的代数式表示）； 3. 求角度：动点P从A出发沿AB运动，求某个角的大小（用含t的代数式表示）。 解题方法： 1. 用t表示线段长度：根据动点的速度和时间，用含t的代数式表示线段长度； 2. 利用几何性质：利用三角形的内角和、勾股定理、全等三角形的性质建立方程，求解t或长度； 3. 代入计算：将t代入方程，计算出具体的长度或角度。 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值； 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）作，， ∵平分，则， ， ， ，， ， 解得：； 当点在点右侧时，， ，解得． （3），， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：，． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）【问题发现】如图，点为等边边上一动点，以为边作等边，连接，猜想与的数量关系为______，______． 【类比探究】和均为等腰直角三角形，，如图，若点为线段上一动点，试判断、、存在什么数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】在（2）的基础上，若点为线段延长线上一动点，如图，当，，则的值是______． 【答案】【问题发现】，；【类比探究】，理由见解析；【拓展延伸】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质结合角的等量代换可证得，由全等三角形的性质即可得出结论． （2）根据等腰直角三角形的性质结合角的等量代换可证得，可得，，从而可证得，在中，由勾股定理即可得出结论． （3）连接，根据等腰直角三角形的性质结合角的等量代换可证得，可得，，从而可证得，在中，由勾股定理即可得解． 【详解】解：【问题发现】和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，． 故答案为：，． 【类比探究】，理由如下： 和均为等腰直角三角形，， ，，，， 即， 在和中， ， ， ，； ； 在中，由勾股定理，得：， ； 【拓展延伸】如图所示，连接， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理，得：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，直线，平分，过点作交于点C．动点D，E同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为________； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1) (2)或4 (3)2或6 【分析】（1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题； （2）作于，于．由平分，推出，由，，，可得，解方程即可解决问题． （3）存在．由，，可知当时，，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2中， ①当在线段上时，作于，于． 平分， ， ，，， ， ； ②当点运动到延长线上，同法可得时，也满足条件， 当或4时，满足； （3）解：存在某个时间，使得与全等；理由如下： 由（1）知，， 是等腰直角三角形， ，， 当时，， ， ， 时， 当在延长线上时，， 解得：， 综上所述，满足条件的的值为2或6， 故答案为：2或6． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 4．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）综合与探究：在中，，点从点出发以的速度沿线段向点运动． (1)如图1，设点的运动时间为，当______时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，如果动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，求当为何值时，是直角三角形； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交点，且动点，都以的速度同时出发． ①设运动时间为，那么当为______时，是等腰三角形？ ②如图4，连接在点，的运动过程中，请证明和的面积始终相等． 【答案】(1) (2)当为或时，是直角三角形 (3)①；②见解析 【分析】（1）由题意可得是等边三角形，推出当为的中点时，，此时是直角三角形，得到，即可求解； （2）根据题意可得：，，进而得到，由是等边三角形，可得，分两种情况：当时，当时，根据含角的直角三角形的性质，列出关于的方程即可求解； （3）①根据三角形的外角性质可得，推出是等腰三角形，此时只能使，然后证明是直角三角形，再列出关于的方程即可求解；②过点作交于点，过点作于点，可得是等边三角形，推出，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：， 是等边三角形， 当为的中点时，，此时是直角三角形， ， ， 故答案为：； （2）根据题意可得：，， ， 是等边三角形， ， 当时，， ， ， ， 解得：； 当时，， ， ，即， 解得：； 综上所述，当为或时，是直角三角形； （3）①是等边三角形， ， ， 是等腰三角形，此时只能使， ，， ，， ， ， ， 解得：， 当为时，是等腰三角形， 故答案为：； ②证明：如图，过点作交于点，过点作于点， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 和的高均为， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 5．（24-25八年级上·河北唐山·月考）如图，射线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度在射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)的度数为________； (2)若，试求动点、的运动时间的值； (3)试问当动点、在运动过程中，存在某个时间，使得，直接写出的值． 【答案】(1) (2)当或12时， (3) 【分析】（1）根据，平分，得出，根据，得出； （2）分两种情况分别讨论，①当点在线段上时，②当点运动到点的右侧时； （3）先证明，得出，说明当在线段上，且时，，得出，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①当点在线段上时，过作于，于，如图所示： ∵平分， ∴， 由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点运动到点的右侧时， ， 解得：， 综上分析可知：当或12时，． （3）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当在线段上，且时，， ∴， 解得：， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，以及一元一次方程的应用，进行分类讨论是解答本题的关键． 6．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，为等腰三角形，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接、，设运动时间为，请解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)设的面积为，求与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，三角形的面积等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键. （1）根据等腰三角形三线合一的性质可得，再列方程即可解答； （2）过点作于， 过点作于， 过点作于， 根据即可解答； （3）分三种情况： ①如图，，过点作于， ②如图，③如图，，过点作于，根据列方程即可解答. 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ∴， 解得； （2）∵， ， ∴， 如图， 过点作于， 过点作于， 过点作于， ∴， 由题意得： ， ， ， 由（1）同理得： ， 在中，， 由勾股定理得：， ， ； （3）存在，分三种情况： ①如图，过点作于， ， 在中，， ， ∵， ， ； ②如图， ， ∵， ∴， ∴； ③如图，，过点作于， ∴， ∵，， ， ， ， ， ， ， 综上，的值是或或 题型3 定值问题 定值问题：证明或计算恒定不变的数量： 定义：动点运动过程中，某一数量（如角度、线段长度的比值）始终保持不变，证明其定值或计算其值。 常见场景： 1. 角度定值：动点P在BC上运动，证明两角和为定值（利用三角形内角和）； 2. 线段比值定值：动点P在BC上运动，证明两条线段比值为定值（利用整式的乘除进行化简）。 解题方法： 1. 寻找不变量：在动点运动过程中，某些量是不变的（如等边三角形的内角60°、等腰三角形的腰长）； 2. 利用几何定理：利用三角形内角和、全等三角形的性质证明定值； 3. 特殊值验证：取动点运动过程中的特殊位置（如中点、端点），计算定值，再推广到一般情况。 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），证明见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意得，和，即可证明，则有； （2）由题意得，，进一步得，结合等边三角形的性质即可证明，有； （3）作交于H，则，，，有为等边三角形，进一步得，即可证明，则． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立， 理由如下：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）， 理由如下：作交于H，如图， ∵为等边三角形，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)线段上是否存在点P，使得将的面积分为两部分．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)射线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或，理由见解析 (3)存在，或，理由见解析 【分析】（1）根据非负数的性质，解方程，求出a和b，再用待定系数法求直线的解析式； （2）设，由将的面积分为两部分，得到或，再列方程求解即可； （3）先进行分类讨论，当点M在y轴右侧时，在x正半轴上取点E，使得，连接，过点E作的垂线，交于点F，作轴，垂足为G，设点E坐标为，点F坐标为．不难得出，是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质，可以证出，由全等的性质，计算出点E的坐标，直线与的交点即为点M，利用一次函数计算即可．当点M在y轴左侧时，容易得出此时直线与直线关于y轴对称，利用对称性算出点M的坐标． 【详解】（1）解：， ∴，， ，， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 设，则， ， ， 若将的面积分为两部分，则或， 即或， ∴或， ∴或， ∴或； （3）解：存在，理由如下： ①当点M在y轴右侧时， 如图，在x正半轴上取点E，使得，连接，过点E作的垂线，交于点F，作轴，垂足为G，设点E坐标为，点F坐标为． 由题意可知，直线与的交点即为所求的点M． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E坐标为，点F坐标为，点B坐标为 ∴，，，， ∴， 解得，， ∴点E坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入得， ， 解得，， ∴直线的函数解析式为， 联立方程， 解得，， ∴点M坐标为， ②当点M在y轴左侧时， 如图，作点E关于y轴的对称点H，连接， 由对称的性质可得，，点H坐标为， 由①可知，， ∴， ∴直线与与的交点即为所求的点M． 设直线的函数解析式为， 将，代入得， ， 解得，， ∴直线的函数解析式为， 联立方程， 解得，， ∴点M坐标为， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与角度相关的综合问题，一次函数与面积的相关问题，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，构造等腰直角三角形解题是关键． 3．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点为直线的动点，若，请求出点的坐标； (3)直线上是否存在一个点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)存在, 【分析】（1）将代入得出，进而根据、待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据得出或，分别代入的解析式为，求得纵坐标，即可求解； （3）先求得直线交轴于点，作点关于轴的对称点，连接，以为直角边向下方作等腰，使，过点作轴于，再证得，可求得，运用待定系数法求得直线和的解析式，联立的解析式即可求得点M的坐标． 【详解】（1）解：∵在上， ∴ 设， 将、代入表达式得 ，解得， 直线的解析式为； （2）解：设， ∵、 ∴ ∵ ∴ ∴或 当时， 当时， ∴点的坐标为或 （3）解：存在． 理由如下： 由（1）知直线的解析式为， 当时，，解得， ∴直线交轴于点， 作点关于轴的对称点，连接，以为直角边向下方作等腰，使，过点作轴于，如图所示： 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立得， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质、坐标系中求三角形面积、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，于点M，D是线段上的动点，F是线段上的动点（点D不与点M重合），运动过程中D始终为中点． (1)求证：； (2)将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)将“D是线段上的动点，F是线段上的动点（点D不与点M重合）”条件变为“D是线段上的动点，F是射线上的动点（点D不与点M重合）”，其余条件不变．在（2）的条件下，若直线与互相垂直，垂足为H．当时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)的值为或 【分析】（1）根据可得为等腰三角形，，再根据可得点M是中点，结合始终为中点，，即可证得； （2）延长至，使得，连接，，利用三角形中位线性质得到，且，利用旋转的性质得到，，证明，得到，利用等腰三角形三线合一即可说明与的位置关系； （3）根据D是线段上的动点，F是射线上的动点（点D不与点M重合），分以下两种情况讨论，①当F在左侧时，根据题意作交于点，②当F在右侧时，根据题意作交于点，连接，，，延长至，使得，连接，，由（2）同理可得，由①同理可得，根据这两种情况结合直角三角形性质，三角形外角性质和勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）证明：， 为等腰三角形，， ， 点M是中点， ， 始终为中点， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 延长至，使得，连接，， D始终为中点， ，且， 由旋转性质可知，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：①当F在左侧时， 根据题意作交于点， ， ，， ， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当F在右侧时， 根据题意作交于点， 连接，，，延长至，使得，连接，， 由（2）同理可得，由①同理可得， 由题可得， ，， ， 解得， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判断与性质，勾股定理，直角三角形性质，全等三角形的性质与判断，三角形外角性质，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理并灵活应用． 5．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接． (1)若点D在线段上时（如图①），则____（填“>”“<”或“=”），_____度； (2)设直线与直线的交点为O． ①当动点D在线段的延长线上时（如图②），试判断与的数量关系，并说明理由； ②当动点D在线段的延长线上时（如图②），求的度数； ③当动点D在直线上时，试判断是否为定值？若是，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)①，理由见解析；②；③为定值，理由见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形三边相等，三个角都是，以及全等三角形对应边相等，对应角相等． （1）根据等边三角形的性质可得，即可得出，根据即可证明，即可得出；根据“三线合一”即可求出的度数； （2）①用和（1）相同的方法，证明即可得出结论；②根据可得，在中，根据直角三角形两个锐角互余，即可得出结论；③分点D在线段上，点D在线段的延长线上，点D在线段的延长线上，三种情况讨论，同理②即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ∵线段为边上的中线，是等边三角形， ∴． 故答案为：=，． （2）解：①，理由见解析； ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵线段为边上的中线，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，； ③为定值，理由如下： 情况一：当点D在线段上时，如图： ∵线段为边上的中线，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 情况二：当点D在线段的延长线上时，由②知； 情况三，当点D在线段的延长线上时，如图： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∵线段为边上的中线，是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的值为定值，． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）已知为等边三角形的角平分线，动点E在直线上（不与点A重合），连接，以为一边在的下方作等边三角形，连接． (1)如图①，若点E在线段上，且，则_； (2)如图②，若点E在的反向延长线上，且直线相交于点M． ①求的度数； ②若的边长为8，P，Q为直线上的两个动点，且，连接，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②的面积是定值，定值为20 【分析】（1）利用等边三角形的性质得出角的度数，并判定出为等腰直角三角形，得出，利用角的和差进行求解即可； （2）①根据等边三角形的性质证明，得出，然后利用角的和差进行求解即可； ②过点B作于点H，利用含角的直角三角形的性质求出三角形的高，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形，平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①都是等边三角形， ， ， ， ． ∵为等边三角形，平分， ，， ， ． ， ； ②的面积是定值，定值为20．理由如下： 如图，过点B作于点H． 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 三角形内的动点问题 题型1 特殊三角形存在性问题 存在性问题：判断或求解动点位置使特定条件成立 定义：动点运动过程中，是否存在某一位置，使得形成的图形（如等腰三角形、直角三角形、全等三角形）满足题目给定的条件。 常见场景： 1. 等腰三角形存在性：动点运动过程中，是否存在点P，使得△PBC为等腰三角形（如PA＝PB、PA＝AB、PB＝AB）； 2. 直角三角形存在性：动点运动过程中，是否存在点P，使得△PBC为直角三角形（如∠P＝90°、∠B＝90°、∠C＝90°）； 3. 全等三角形存在性：两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使得两个三角形全等（如对应边相等、对应角相等）。 解题方法： 1. 分类讨论：根据等腰三角形的“腰”或直角三角形的“直角顶点”进行分类（如等腰三角形的三种情况：PA＝PB、PA＝AB、PB＝AB）； 2. 建立方程：利用勾股定理、全等三角形的性质建立方程，求解动点的位置（如时间t）； 3. 验证合理性：检查解是否在动点的运动范围内（如t≥0且不超过边的长度除以速度）。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线与轴、轴分别交于点，，． (1)求点的坐标和的值． (2)若是第一象限内的直线上的一个动点，当的面积是时，轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26八年级上·山东济南·期中）平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，a、b满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)在射线上是否存在点D，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点B、Q关于x轴对称，M为x轴上A点右侧一点，过点M作交直线于点N，是否存在点M，使，若存在，求点M的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，其中点C，D分别为直线l：与x轴、y轴的交点． (1)求A点的坐标和k的值； (2)在直线l上存在一点P，使得求点P的坐标． (3)点M是直线l上的一个动点，那么在x轴上是否存在点N，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M以及对应的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26八年级上·广西柳州·期中）定义：我们将形如的函数称为一次函数的“伴随函数”，例如：是一次函数的“伴随函数”． (1)如图1，若一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，其中．求此一次函数的“伴随函数”表达式； (2)若（1）中“伴随函数”的图象交轴于点，取线段中点，过点作直线轴，在直线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标并说明理由； (3)在线段上取一点，使得的值最小．将点向右平移一个单位长度得到点，连接，在直线上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标并说明理由． 5．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那么我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)在中，，则___________“近直角三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，若是“近直角三角形”，，，则___________； (3)如图②，在中，，在的延长线上是否存在点，使得是“近直角三角形”？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 6．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，函数的图象为直线，直线交轴于点，交直线于点． (1)求点的坐标和直线的函数表达式； (2)请判断是否为直角三角形？并说明理由； (3)直线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型2 动点求值问题 求值问题：计算具体的数量（如时间、长度、角度）： 定义：动点运动过程中，求某一时刻的时间、线段的长度或角度的大小。 常见场景： 1. 求时间：动点P从A出发沿AB运动，求某个三角形为等腰三角形时的时间t； 2. 求长度：动点P从A出发沿AB运动，求某条线段的长度（用含t的代数式表示）； 3. 求角度：动点P从A出发沿AB运动，求某个角的大小（用含t的代数式表示）。 解题方法： 1. 用t表示线段长度：根据动点的速度和时间，用含t的代数式表示线段长度； 2. 利用几何性质：利用三角形的内角和、勾股定理、全等三角形的性质建立方程，求解t或长度； 3. 代入计算：将t代入方程，计算出具体的长度或角度。 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）【问题发现】如图，点为等边边上一动点，以为边作等边，连接，猜想与的数量关系为______，______． 【类比探究】和均为等腰直角三角形，，如图，若点为线段上一动点，试判断、、存在什么数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】在（2）的基础上，若点为线段延长线上一动点，如图，当，，则的值是______． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，直线，平分，过点作交于点C．动点D，E同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为________； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由． 4．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）综合与探究：在中，，点从点出发以的速度沿线段向点运动． (1)如图1，设点的运动时间为，当______时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，如果动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，求当为何值时，是直角三角形； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交点，且动点，都以的速度同时出发． ①设运动时间为，那么当为______时，是等腰三角形？ ②如图4，连接在点，的运动过程中，请证明和的面积始终相等． 5．（24-25八年级上·河北唐山·月考）如图，射线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度在射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)的度数为________； (2)若，试求动点、的运动时间的值； (3)试问当动点、在运动过程中，存在某个时间，使得，直接写出的值． 6．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，为等腰三角形，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接、，设运动时间为，请解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)设的面积为，求与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 题型3 定值问题 定值问题：证明或计算恒定不变的数量： 定义：动点运动过程中，某一数量（如角度、线段长度的比值）始终保持不变，证明其定值或计算其值。 常见场景： 1. 角度定值：动点P在BC上运动，证明两角和为定值（利用三角形内角和）； 2. 线段比值定值：动点P在BC上运动，证明两条线段比值为定值（利用整式的乘除进行化简）。 解题方法： 1. 寻找不变量：在动点运动过程中，某些量是不变的（如等边三角形的内角60°、等腰三角形的腰长）； 2. 利用几何定理：利用三角形内角和、全等三角形的性质证明定值； 3. 特殊值验证：取动点运动过程中的特殊位置（如中点、端点），计算定值，再推广到一般情况。 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)线段上是否存在点P，使得将的面积分为两部分．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)射线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点为直线的动点，若，请求出点的坐标； (3)直线上是否存在一个点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，于点M，D是线段上的动点，F是线段上的动点（点D不与点M重合），运动过程中D始终为中点． (1)求证：； (2)将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)将“D是线段上的动点，F是线段上的动点（点D不与点M重合）”条件变为“D是线段上的动点，F是射线上的动点（点D不与点M重合）”，其余条件不变．在（2）的条件下，若直线与互相垂直，垂足为H．当时，求的值． 5．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接． (1)若点D在线段上时（如图①），则____（填“>”“<”或“=”），_____度； (2)设直线与直线的交点为O． ①当动点D在线段的延长线上时（如图②），试判断与的数量关系，并说明理由； ②当动点D在线段的延长线上时（如图②），求的度数； ③当动点D在直线上时，试判断是否为定值？若是，请直接写出的度数． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）已知为等边三角形的角平分线，动点E在直线上（不与点A重合），连接，以为一边在的下方作等边三角形，连接． (1)如图①，若点E在线段上，且，则_； (2)如图②，若点E在的反向延长线上，且直线相交于点M． ①求的度数； ②若的边长为8，P，Q为直线上的两个动点，且，连接，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $