微专题01 三角形中的倒角模型（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

微专题01 三角形中的倒角模型 题型1 A字模型及其扩展 A字模型 A字模型扩展：老鹰抓小鸡模型 图例 结论 1．（24-25八年级上·河北沧州·月考）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 【答案】 /90度 /45度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的特点， 首先证明出，得到，然后等量代换得到，即可求出；然后由得到． 【详解】解：如图所示， ∵由网格特点得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，． 2．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在中，，是的平分线，是的外角的平分线，是的外角的平分线，以下结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而根据等腰三角形的判定及角的关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，， ∵是的外角的平分线，， ∴， 由于题干并未给出，所以无法得到，也就无法得到； 故选D． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，中，平分，点在上，，若要求的度数，则只需知道（    ） A．的度数 B．的度数 C．的度数 D．的度数 【答案】B 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 在上截取，连接，设，，证明和全等得，，则，，由三角形外角性质得，则，进而得，由此得，据此即可得出答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 设，， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是的外角， ， ， 在中，， ， ， 即， 要求的度数，则只需知道的度数即可． 故选：B． 4．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，点在上，作于点，将绕点逆时针旋转至，点，分别落在，上．若，，则______． 【答案】 【分析】根据将绕点逆时针旋转至，，可得，，，即得，证明，可得，故，而，故：，可解得． 【详解】 将绕点逆时针旋转至． ，， 根据勾股定理可得： 在和中， ， 根据平行线分线段对应成比例可知： 即： 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质、平行线分线段对应成比例、勾股定理等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． 题型2 8字模型及其扩展 8字模型 8字模型扩展：角平分线模型 图例 结论 1．（24-25八年级上·吉林·月考）如图，，相交于点，，分别是，的平分线，，相交于点．直接写出与，之间的数量关系．（需写出证明过程） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识．由角平分线的定义可得：，，根据三角形的外角性质可得：，，即可求解． 【详解】，证明如下： ，分别是，的平分线， ，， 由题意得：，， ， 又，， ， ． 2．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． (1)如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： ______ ，分别是，的平分线 ， ______ 又， ______度． (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______． 【类比应用】 (3)如图3，的平分线与的平分线交于点． 已知：，，则______．（用、表示） 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． （1）由题意易得，，然后再两式相加后，再根据角平分线的定义进行化简，最后将、代入计算即可； （2）利用（1）的相关结论即可解答； （3）如图3，延长交于点F，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质可得，再代入进行化简可得,最后将、代入即可解答． 【详解】（1）解：如图2，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ， ∴ 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得，即 故答案为； （3）解：如图3，延长交于F， ∵， ∴， ∵平分，平分, ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴． 故答案为． 3．（24-25七年级下·吉林·期末）【课本再现】苏科新版七年级数学下册第章平面图形的认识二第页第题如下：如图，，点、分别在、上运动不与点重合，是的平分线，的反向延长线交的平分线于点． 【特殊探究】当时， ______； 【推理论证】随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； 【拓展探究】如图，在图的基础上分别作与的平分线，交于点，则 ______； 【拓展探究】如图，若将图中的“”拓展为一般情况，即，点是射线反向延长线上的一个动点，连接，与的平分线相交于点，延长交直线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】特殊探究：；推理论证：；拓展探究：；拓展探究：，详见解析 【分析】特殊探究：由三角形的外角性质得，再由角平分线定义得，，然后由三角形的外角性质即可得出结论； 推理论证：由三角形的外角性质得，再由角平分线定义得，，则，然后由三角形的外角性质得，即可得出结论； 拓展探究：由角平分线定义得，，，，则，再由【推理论证】可知，，然后由三角形的外角性质得，即可解决问题； 拓展探究：由角平分线定义得，，再由三角形的外角性质得，进而得，然后证明，即可得出结论． 【详解】解：特殊探究：，， ， 平分，平分， ，， 又， ， 故答案为：； 推理论证：的大小不会变，，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 即的大小不会变，； 拓展探究：如图，设与交于点， 平分，平分， ，， 平分，平分， ，， ， 由推理论证可知，， ， ， ， 故答案为：； 拓展探究：，理由如下： 平分，平分， ，， ，， ， ， ， 与的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了角平分线定义、三角形的外角性质以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握角平分线定义和三角形的外角性质是解题的关键，属于中考常考题型． 题型3 飞镖模型及其扩展 飞镖模型 飞镖模型扩展：角平分线模型 图例 平分，平分 结论 1．（23-24七年级下·河南南阳·月考）互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究． (1)已知：如图，在中，和的平分线相交于点P，试探究和的关系．请在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由成数学式）． 解：延长交于点D． ，（__________）， ． 和的平分线相交于点P， ，（角平分线定义）， ． （__________）， （等式的性质）， __________． (2)如图，在中，的平分线和外角的平分线相交于点P，试探究和的关系，并说明理由． (3)如图，的外角的平分线和的平分线相交于点P，若，则的度数为__________． 【答案】(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的内角和是； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了是角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握角平分线的定义和三角形的内角和定理； （1） 根据提供的信息，，，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，，在同一个三角形内，属于三角形内角和定理，然后根据等式的性质整理即可得到结论； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得，，再利用角平分线得定义得，， ，然后整理即可得到和的关系的关系； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出，，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）解：延长交于点D． ，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 和的平分线相交于点P， ，（角平分线定义）， ． （三角形的内角和是）， （等式的性质）， ． 故答案为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的内角和是；； （2）解：，， 的外角的平分线和的平分线相交于点P， ，， ， ， （3）， ， ，， 的外角的平分线和的平分线相交于点P， ，， ． 故答案为： 2．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，是内一点，延长交于点，连接． (1) 的大小关系是：___； (2)若，嘉嘉想求的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解． 思路一 先利用三角形内角和求出的度数，再利用三角形内角和求出的度数． 思路二 先利用三角形外角性质求出的度数，再利用三角形外角性质求出的度数． 【答案】(1) (2)选择思路一或思路二， 【分析】本题考查三角形中比较角的大小、求角度等知识，熟记三角形内角和定理、三角形外角性质是解决问题的关键． （1）由三角形外角性质逐个比较即可得到答案； （2）选择思路一，由三角形内角和定理求解即可得到答案；选择思路二，由三角形外角性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是的一个外角， ， 则； 是的一个外角， ， 则； ， 故答案为：； （2）解：选择思路一：在中，，则， ， ， 在中，； 选择思路二：是的一个外角， ， 是的一个外角， ． 3．（24-25八年级上·四川南充·期末）直线，垂足为点O，点A、B分别在射线、上运动，点A、B均不与点O重合． (1)如图1，平分，平分，若，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交射线于点D．在A、B两点运动的过程中，的度数是否发生变化?若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律． (3)如图3，已知点E在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点F、G，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出的度数． 【答案】(1) (2)的度数不变， (3)或 【分析】本题考查了垂直、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角性质等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据垂直的定义可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的外角性质求解即可得； （3）先根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后分四种情况：①，②，③和④，求出的度数，根据三角形的外角性质求出，根据角平分线的定义可得的度数，由此即可得． 【详解】（1）解：∵直线， ∴，， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． （2）解：的度数不变，求解过程如下： ∵直线， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）解：∵直线， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ①当时，则，符合题意， ∴， ∴， ∴； ②当时，则， ∴，不符合题意，舍去； ③当时， ∵， ∴，不符合题意，舍去； ④当时， ∵， ∴，符合题意， ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或． 题型4 双垂直模型 双垂直模型 图例 结论 1．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，，，，垂足分别为D、E． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握“两个三角形若有两个角分别相等且其中一组等角的对边相等，则这两个三角形全等”是解题的关键． （1）根据图形发现要证相等的两条线段和分别在与中，而这两个三角形已经有一组边，还有一组角，题目中出现了三个直角且顶点在同一条直线上，可以利用同角的余角相等再找一组角，证全等从而证线段相等． （2）利用全等三角形的对应边相等，先求出的长度，从而得到的长度． 【详解】（1）证明： ， ，，， ， 在与中， ， ， ． （2）解： ，， 由（1）可知， 又， ． 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）存在；理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）过点作交于点，同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作，交的延长线于点， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）存在， 理由如下：如图，过点作交于点， 由旋转得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，当在的延长线上（点在点的右侧）时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ， ； 当在的延长线上（点在点的左侧）时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ，， ， ； 综上：或． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段． 【问题探究】 （1）如图1，在中，平分交于点，，点在边上，且，连接，试说明：． 【综合研究】 （2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在中，米，校学生会在边、上分别取点、，使得点为的中点，于点，在线段上找点，使得米，为等腰直角三角形，，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道的长，请你帮助校学生会计算出的长． 【答案】（1）见解析；（2）米． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的性质等，熟练掌握一线三等角的全等模型和倍长中线的全等模型是解题的关键． （1）先证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点，根据等腰的性质证明，再根据倍长中线证明，最后通过等量代换求解即可． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）过点作，交的延长线于点，如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵米， ∴（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）． 4．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型建立】 （1）如图1，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到，进而得到__________，_________，我们把这个数学模型称为“K字”模型 【模型应用】 （2）在中，，将边绕点B顺时针旋转得到，连接并延长交边的延长线于点F，若，则的长为_________； 【模型拓展】 （3）如图3，在矩形中，，当点P在直线上运动，（点P不与点D、C重合），将绕点A顺时针旋转得到，连接，，当的面积等于5时，请直接写出的长。 【答案】（1） （2） （3）或5或2或 【分析】（1）根据全等三角形的性质，即可求解． （2）过点D作，设长度为x，先证，用含x的式子将表示出来，再证，根据列方程，即可求解． （3）设，根据点P在直线上的不同位置分为四种情况，分析每种情况，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G，证，用含y的式子将表示出来，再根据列方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ． （2）如图，过点D作，设长度为x， 由旋转可知， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， 故长度为． （3）设，根据点P在直线上的不同位置分为四种情况， ①如图，当点P在点D左侧且点Q在上方时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； ②如图，当点P在点D左侧且点Q在下方时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； ③如图，当点P在点两点之间时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； ④如图，当点P在点C右侧时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； 综上所述，的长度为或5或2或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的动点问题，旋转的性质，掌握相关知识点并做适当的辅助线构造全等是解题的关键． 题型5 高分线模型 高分模型 图例 平分 结论 1．（24-25七年级下·四川内江·月考）如图，在中，AE是的高． (1)如图1，若，，AD是的平分线，求的度数； (2)如图1，若，AD是的平分线，则=___________．（用含的代数式表示） (3)如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1)的度数为； (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，利用角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （2）根据三角形内角和定理求出，利用角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故的度数为； （2）解：由题意得， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：； （3）解：∵和的平分线交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． ∴的度数为． 【点睛】本题是三角形的高线，角平分线等知识的综合运用，考查了三角形角平分线的定义，三角形高线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识．理解和掌握三角形有关的线段，三角形有关的角的知识是解题的关键． 2．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，分别是它的高和角平分线，设，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，是的外角的平分线，交的延长线于点E，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和、角平分线的定义、三角形外角的性质、高线的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）先根据三角形内角和求出，再根据角平分线的定义得出，然后根据高线的定义即可求出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）根据三角形外角的性质和角平分线定义先得出，根据高线和三角形内角和定理得出，然后根据角的和差即可得出答案． 【详解】（1）证明：在中，由三角形内角和定理，得． ∵是的平分线， ∴， ∵是高线， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是的平分线，，， ∴， ∵是高线， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26七年级下·全国·期末）推理能力 如图①所示，在中，是高，是的平分线，． (1)求的度数． (2)当是的外角的平分线时，如图②所示，的度数是多少？设，用含的式子表示出结果，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是运用类比的方法分别求的度数和的度数． （1）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据角平分线的定义即可求出的度数，由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据代入数据即可得出结论； （2）同（1）的过程找出和的度数，二者相加即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，且， ， 又是的平分线， ． ， ∴， ， ． （2）解：．理由如下： ． 平分， ． ， ， 4．（24-25八年级上·陕西渭南·月考）如图，中，、分别是的高和角平分线，是的平分线，与交于，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的角平分线与高，三角形的内角和定理，三角形外角的性质． （1）先由三角形的内角和定理求出，再根据角平分线求出，根据三角形的高得到，从而在中求出，进而根据角的和差即可解答； （2）根据角平分线求出，，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ． （2）解：是的平分线，， ， 是的角平分线，， ， ． 题型6 双内角平分线模型 双内角平分线型 图例 平分，平分 结论 1．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点． （1）若，，则_____度，_____度； （2）与的数量关系为_____，并说明理由； 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于P，的外角平分线与的外角平分线相交于点 直接写出与的数量关系为__________． 【答案】探究：（1），；（2）；应用： 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键． 探究：（1）由三角形内角和定理进行计算即可； （2）由角平分线定义得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； 应用：由角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）．理由如下： ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 应用：解：．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与的外角平分线相交于点， ∴， ∴中，又∵， ∴ 故答案为：． 2．（25-26八年级上·吉林·月考）【问题再现】 （1）如图①，在中，、的平分线交于点，若，则_度，若，则_度，直接写出与的关系式_（用含有的式子表示） 【问题推广】 （2）如图②，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，若，求的度数； （3）如图③，在中，、的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，则_度． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的性质，折叠的性质，掌握以上知识，图形几何分析，构造合理的辅助线是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的性质可得，在中，根据三角形内角和定理可得，由此可得，代入计算即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，角平分线的性质可得，由此可得； （3）根据上述计算可得，根据折叠的性质可得，根据平角的性质可得，由此可得，结合三角形内角和定理可得，由此即可求解． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴ 当时，， 当时，， 故答案为：，，； （2）∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴； （3）∵的平分线交于点， ∴由（1）可得，， ∵将沿折叠，使得点与点重合， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·云南昆明·期中）（1）如图，在中，的平分线与的平分线交于点O，求证：； （2）如图，在中，E是边延长线上一点，的平分线与的平分线交于点O，求证：； （3）如图，在中，D是边延长线上一点，E是边延长线上一点，的平分线与的平分线交于点O．试探求与的数量关系并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理，外角的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，然后表示出，再根据三角形的内角和等于，列式整理即可解决问题； （2）根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质得出，列式整理即可解决问题； （3）根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得，，再根据三角形内角和的性质得出，进而可得出． 【详解】（1）证明：与的平分线相交于点O， ，， ， 在中， ． （2）证明：的平分线与的平分线相交于点O， ，， ． （3）解：，理由如下： 如图， 、分别是的外角、的角平分线， ，， ， 又， ． 题型7 双外角平分线模型 双外角平分线型 图例 平分，平分 结论 1．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在中，的平分线与外角的平分线的反向延长线相交于点E． （1）若，则_________． （2）若外角的平分线与的平分线相交于点F，且，则_________． 【答案】 /35度 /45度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，，等量代换可得答案； （2）由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，同（1）可得，，再根据，通过等量代换即可求解． 【详解】解： （1）平分，平分， ，， 是的外角，是的外角， ，， ， ； （2）平分，是的外角， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 2．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，的平分线与的平分线交于点M，作射线，有下列结论：①；②；③射线是的平分线；④，则其中正确的有____________．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】由角平分线的定义可知．再根据三角形外角的性质得出，即可确定，故①正确；过点M作于点F，于点G，于点H，由角平分线的性质定理可得出．即易证，得出，即说明射线是的角平分线，故③正确；利用反证法，假设，易证，即得出．由，可知，即说明不成立，故②错误；由，即得出．再根据角平分线的定义即得出，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判断④正确． 【详解】解：∵为的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴，故①正确； 如图，过点M作于点F，于点G，于点H， ∵为的平分线，为的平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴，即射线是的角平分线，故③正确； 假设， ∴． ∵为的平分线，是的角平分线， ∴，， ∴，即， ∴，即． ∵， ∴， ∴假设不成立，故②错误； ∵， ∴． ∵， ∴ ， ∴④正确． 综上可知所有正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质及三角形内角和的应用等知识．正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题关键． 题型8 内外角平分线模型 内外角平分线型 图例 平分，平分 结论 1．（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，已知是的外角，的平分线与的平分线相交于点，得；若的平分线与的平分线相交于点，得，…，的平分线与的平分线相交于点，得， _____ (用含α的式子表示)． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，由三角形外角的性质可得，再由角平分线的定义可得，据此可推出，则可总结规律，据此可得答案． 【详解】解：由三角形外角的性质可得， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ， ……， 以此类推可知，（n为正整数）， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·山西晋城·期末）综合与探究 提出问题： 小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，的平分线与外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系． 解决问题： （1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入的特殊角度，然后根据结果猜想与之间的数量关系． ①若，则________；若，则________； ②通过上面的计算，请猜测与之间的数量关系，并说明理由； 应用拓展： （2）如图2，将改成四边形，的平分线及一个外角的平分线相交于点F．若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若E是延长线上一动点，连接，与的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）①30，45；②，见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）①根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可解答；②由①即可解答； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】解：（1）①∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若，则； 若，则； 故答案为：，； ②由①得； 故答案为：； （2）的平分线及一个外角的平分线相交于点， ，． ， ． ， ． ， ． ． ； （3），理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题01三角形中的倒角模型 A字模型及其扩展 8字模型及其扩展 飞镖模型及其扩展 双垂直模型 三角形中的倒角模型 高分线模型 双内角平分线模型 双外角平分线模型 内外角平分线模型 德点鱼破 题型1A字模型及其扩展 嫩方法 A字模型 A字模型扩展：老鹰抓小鸡模型 图例 0 结论 ∠DBC+∠BCE=180°+∠A ∠DBO+∠ECO=∠A+∠O 1.(24-25八年级上·河北沧州·月考)如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 均为格点，则∠ABC的度数为 :LBAD+∠BCD度数为 B 2.(25-26八年级上·河南周口·期中)如图，在ABC中，∠ABC=LACB,BD是∠ABC的平分线，AD是 ABC的外角∠EAC的平分线，CD是ABC的外角∠ACF的平分线，以下结论不正确的是() E B A.AD∥BCB.∠ACB=2 ZADB C.AB=AD D.CD∥AB 3.(24-25七年级下，江苏南京·期末)如图，ABC中，PC平分∠ACB,点D在AC上，PB=PD,若要求 ∠PCB的度数，则只需知道() A.∠ABP的度数B.∠BPD的度数C.∠CPD的度数D.∠PBC的度数 4.(23-24九年级上·浙江温州期末)如图，在ABC中，∠C=90°，点D在AB上，作DE⊥BC于点E, 将ABDE绕点D逆时针旋转至△FDG,点G,F分别落在AB,AC上.若DG=2,FG=3,则CE= 题型28字模型及其扩展 / 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 啸方法 8字模型 8字模型扩展：角平分线模型 B B A A 0 图例 0 D AP平分∠BAD,PC平分∠BCD 结论 ∠A+∠B=∠C+∠D ∠P=LB+LD) 2 1.(24-25八年级上·吉林月考)如图，AC,BD相交于点O,BP,CP分别是∠ABD,∠ACD的平分线， BP,CP相交于点P,直接写出∠P与∠A,∠D之间的数量关系.（需写出证明过程） D F A 2.(23-24八年级上辽宁丹东·期末)【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成.如图1， AD,BC交于0点，根据“三角形内角和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：① ∠D0C=∠AOB(对顶角相等)；②∠D+∠C=∠A+LB. D D D E B B 图1 图2 图3 【提出问题】分别作出∠BAD和LBCD的平分线，两条角平分线交于点E,如图2，∠E与∠D,∠B 之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究.己知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于 点E. 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图2，∠D=30°，∠B=50°，则∠E的度数是多少呢？ 易证∠D+∠1=LE+∠3，∠B+∠4=∠E+∠2 请你完成后续的推理过程： ∠D+∠1+∠B+L4= :CE,AE分别是∠BCD,∠BAD的平分线 .∠1=∠2，∠3=∠4 ∴2∠E= 又：∠D=30°，∠B=50 .∠E=度 (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出∠E与∠D,∠B之间的数量关系是： 【类比应用】 (3)如图3，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E. 已知：∠D=a,∠B=B,(a<B)则∠E=·(用、B表示) 3.(24-25七年级下·吉林期末)【课本再现】苏科新版七年级数学下册第7章平面图形的认识（二）第43页 第21题如下：如图1，∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），BC是∠ABN 的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D. M G A 图1 图2 图3 【特殊探究】当∠OAB=60°时，∠ADB= 【推理论证】随着点A、B的运动，∠ADB的大小会变吗？如果不会，求∠ADB的度数；如果会，请 说明理由； 【拓展探究1】如图2，在图1的基础上分别作∠DAO与∠DBO的平分线，交于点E,则∠AEB= 【拓展探究2】如图3，若将图1中的“∠MON=90°”拓展为一般情况，即∠MON=a,点P是射线OM反 向延长线上的一个动点，连接BP,∠OPB与∠OBP的平分线相交于点9，延长BQ交直线PM于点G, 试判断∠PQG与∠D的数量关系，并说明理由. 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型3飞镖模型及其扩展 啸方法 飞镖模型 飞镖模型扩展：角平分线模型 图例 E 0 D B B OB平分∠ABD,OC平分∠ACD ∠BDC=∠A+∠B+∠C 结论 AB+AC>BD+CD 0=∠A+D) 1.(23-24七年级下河南南阳·月考)互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究. (I)已知：如图，在ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点P,试探究∠BPC和∠A的关系.请在以下 解答过程的空白处填上适当的内容（理由成数学式）. 3 解：延长BP交AC于点D. :∠BPC=L2+∠3，∠3=∠1+∠A( ：∠BPC=∠2+∠1+∠A. :∠B和∠C的平分线相交于点P, :∠1=∠ABC,∠2=)∠4CB(角平分线定义)， 2 ∠BC-4c8+ABc+A-Bc+∠4c+zA :∠A+∠ABC+∠ACB=180°( 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠ABC+∠ACB=180°-∠A(等式的性质)， ∠BPc=l80-∠4+A= (2)如图，在ABC中，∠ABC的平分线和外角∠ACD的平分线相交于点P,试探究∠P和∠A的关系， 并说明理由. D (3)如图，ABC的外角∠CBD的平分线和∠BCE的平分线相交于点P,若LA=50°，则∠P的度数为 D 2.(25-26八年级上河北邢台·期中)如图，P是ABC内一点，延长BP交AC于点D,连接PC. 人3 B (1)∠1，∠2，∠A的大小关系是：_>>； (2)若∠3=25°，∠A=67°，∠4=40°，嘉嘉想求∠1的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完 成求解。 思路一 思路二 先利用三角形内角和 先利用三角形外角性 求出∠PBC+∠PCB的 质求出∠2的度数，再 度数，再利用三角形内 利用三角形外角性质 角和求出∠1的度数， 求出∠1的度数. 3.(2425八年级上四川南充期末)直线MN⊥PQ,垂足为点O,点A、B分别在射线00、OM上运动， 点A、B均不与点O重合. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M M B A P G 图1 图2 图3 (1)如图1，A平分LBA0,BI平分∠AB0,若∠BA0=40°，求∠AIB的度数： (2)如图2，平分∠BA0,BC平分∠ABM,BC的反向延长线交射线AⅡ于点D.在A、B两点运动的 过程中，∠D的度数是否发生变化？若不变，试求∠D的度数；若变化，请说明变化规律 (3)如图3，已知点E在BA的延长线上，LBA0的角平分线AⅡ、∠OAE的角平分线AG与∠BOP的角平 分线所在的直线分别相交于的点F、G,在△AFG中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出 ∠ABO的度数. 题型4双垂直模型 嫦方法 双垂直模型 图例 B D 结论 ∠B=∠DAC,∠C=∠BAD 1.(25-26八年级上·天津期中)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂 足分别为D、E. (I)求证：CD=BE; 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如果AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长. 2.(25-26九年级上辽宁沈阳·期末)问题情境：在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为直线 BC上任意一点，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED,连接BE. 图1 图2 备用图 尝试发现： (1)如图1，当点D在线段BC上时，求线段BE与CD的数量关系； 类比探究： (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，线段BE与CD是否存在(1)中的数量关系？如果存在， 写出BE与CD的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： (3)若AC=BC=1,CD=2,请直接写出CE的值. 3.(25-26八年级上陕西榆林·期末)【问题背景转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全 等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段， 【问题探究】 (1)如图1，在ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,∠C=2∠B,点K在边AB上，且AK=AC, 连接DK,试说明：AB=AC+CD. D 图1 图2 【综合研究】 (2)2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次 推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在ABC中， 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC=I00米，校学生会在边AB、AC上分别取点E、F,使得点E为AB的中点，EF⊥AC于点F, 在线段EF上找点G,使得EG=30米，△BCG为等腰直角三角形，∠BGC=90°，并沿其三条边搭建安 全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区.为了预算，需要知道C℉的长，请你帮助校学生 会计算出CF的长， 4.(25-26九年级上·辽宁大连期末)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 图1 图2 图3 【模型建立】 (I)如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE1AC于点E.由 ∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D.又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE,进而 得到AC= ，BC=，我们把这个数学模型称为K字”模型 【模型应用】 (2)在ABC中，∠C=90°，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到BD,连接AD并延长交边CB的延长 线于点F,若BD=DF,AC=2,则BC的长为 【模型拓展】 (3)如图3，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,当点P在直线DC上运动，（点P不与点D、C重合）， 将PA绕点A顺时针旋转90°得到OA,连接QP,QC,当△PQC的面积等于5时，请直接写出CP的长。 题型5高分线模型 妹方法 高分模型 图例 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OE平分∠BAC 结论 ZDAE=2C-LB例 1.(24-25七年级下.四川内江·月考)如图，在ABC中，AE是ABC的高 DE 图1 图2 (I)如图1，若∠B=40°，∠C=60°，AD是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数； (2)如图1，若LC-∠B=a°，AD是∠BAC的平分线，则∠DAE= .(用含a的代数式表示) (3)如图2，延长AC到点F,∠CAE和LBCF的平分线交于点G,求LG的度数 2.(25-26八年级上·安徽蚌埠期中)在ABC中，CD,CE分别是它的高和角平分线，设∠BAC=, ZB=B (a >B). B B D 图1 图2 (I)如图1，求证：∠DCE=a-E (2)如图2，CE是ABC的外角∠ACF的平分线，交BA的延长线于点E,且a-B=30°，求∠DCE的度 数 3.(25-26七年级下·全国期末)推理能力 如图①所示，在ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠ABC=40°，∠ACB=70°. F F B ED B D ① ② (I)求∠EAD的度数.