4.1 函数 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

这是一份初中数学八年级上册第四章“一次函数”第一节的同步教学课件，共37页。内容以函数概念为核心，通过摩天轮高度变化、圆柱形物体堆放等实例导入，结合表格、关系式、图象三种表示方法，辅以例题解析和随堂练习，构建完整的学习支架。 资料注重核心素养培养，以现实情境（如星体位置变化、温度与海拔关系）引导学生用数学眼光观察世界，通过问题链（如“给定时间t，高度h是否确定”）发展数学思维，借助三种表示方法对比表格、关系式、图象的优缺点，强化数学语言表达。实例丰富如蛇体温变化图象分析，帮助学生直观理解函数关系，为教师提供清晰的教学路径，提升课堂效率。 八年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，本资料通过生活化实例和阶梯式问题设计，帮助学生逐步建立函数概念，培养变量意识，为后续一次函数的深入学习及数学建模能力打下基础。

数学·八年级(上册) 1 函数 1 函数 北师版 第四章 一次函数 学习目标 (1) 理解掌握函数概念，了解函数的三种表示方法。 (2) 根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，会求出另一个量的值。 新课导入 新课导入 星体位置随着时间的变化而变化。 温度随着海拔高度的变化而变化。 探索新知 探索新知 思考：如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离地面的高度是如何变化的？ 由低变高，再由高变低。 函数的概念 知识点一 重点 右图反映了一个摩天轮上某一点离地面的高度 h(单位：m）与旋转时间 t（单位：min）之间的关系。 (1) 根据右图填写下表。 t/min 0 1 2 3 4 5 … h/m … 3 13 37 47 37 13 (2) 对于给定的时间 t，相应的高度 h 确定吗？ 确定 1. 圆柱形物体常常像下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 层数 n 1 2 3 4 5 … 物体总数 y … 请填写下表。 1 3 6 10 15 对于给定任意层数 n，相应的物体总数 y 确定吗?有几个 y 值和它对应? 操作·思考 2.一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到 -273.15 ℃，则气体的压强为零。因此，物理学中把 -273.15 ℃ 作为热力学温度的零度。热力学温度 T（单位：K）与摄氏温度 t（单位：℃）之间有如下数量关系：T＝t+273.15，T≥0。 （1）当 t 分别为 -43 ℃，-27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的热力学 温度 T 是多少？ （2）给定一个大于 -273.15 ℃的 t 值，你都能求出相应的T 值吗？ （2）给定一个大于 -273.15 ℃的 t 值，你都能求出相应的T 值吗？ 解：当t＝ -43 ℃时，T＝ -43＋273.15＝230.15（K）； 数量关系：T＝t + 273.15，T≥0 当t＝ -27 ℃时，T＝ -27＋273.15＝246.15（K）； 当t＝0 ℃时，T＝0＋273.15＝273.15（K）； 当t＝18 ℃时，T＝18＋273.15＝291.15（K）。 解：能，因为t＞-273.15时，T＞0，满足条件且T是唯一确定。 （1）当 t 分别为 -43 ℃，-27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的热力学 温度 T 是多少？ 都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值。 上面三个问题都研究了两个变量之间的关系，它们有什么相同点和不同点？与同伴进行交流。 思考·交流 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量。 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 注意！ 函数的概念 下列各式：①y= 2x－3;②y =x+2z;③y =± ( x ≥0) ;④y=|x| .其中 y 一定是 x 的函数的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 C 例 1 判断一个关系是不是函数关系的方法: (1)看是否在一个变化过程中; (2)看是否存在两个变量; (3)看其中一个变量每取一个确定的值,另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应. 若同时满足以上三个条件,则是函数关系. 方法总结 某店铺购进了一批花布,销售时要在进价的基础上 适当加价,其销售数量:x(m)与销售额y(元)的对应关系如下表: 例 2 下列用销售数量 x 表示销售额 y 的关系式中正确的是( ) A . y = 8x+0.3 B . y = (8+0.3 )x C . y = 8+0.3x D. y = 8+0.3+x B 销售数量x/m 1 2 3 4 ··· 销售额y/m 8+0.3 16+0.6 24+0.9 32+1.2 ··· 表示函数的方式一般有哪些? 思考 ①表格 ②关系式 ③图象 函数的表示方法 知识点二 重点 方式 概念 优点 缺点 表格 把自变量的一系列值和对应另一个变量的值列成表格来表示两个变量之间函数关系的方式 能清晰显示自变量的每一个值和与它对应的另一个变量的值 列出的对应值有限，不能反映出函数变化的全貌 关系式 用含自变量的代数式表示函数的方式 能准确地反映整个变化过程中两个变量的对应关系，便于计算 不易直观看出函数的变化趋势，且有些函数关系不能用关系式表示 图象 用图象来表示两个变量之间的函数关系的方式 能直观、形象地反映出函数关系的变化趋势和某些性质 所画的图形是近似的、局部的，因此不够精确 表格、关系式、图象是函数的三种表示方式。 （1）函数的三种表示方式有时可以相互转化。在实际应用中，应根据具体情况，选择适当的表示方式，或者把三种方式结合起来使用。 （2）并不是所有函数都可以用三种方式表示，如某地某天的气温变化与时间的关系就很难用关系式进行表示。 特别提醒 蛇的体温随外部环境温条的变化而变化，如图是一条蛇在某两天体温的变化情况。 例 3 根据图中信息回答下列问题： （1）第一天，蛇的体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多长时间？ 解：蛇的体温变化范围是 25~31 ℃，它的体温从最低上升到最高需要16－4=12（h）。 （2）若用x(单位：h)表示时间，y（单位：℃）表示蛇的体温，将相应数据填入下表： x/h 4 12 20 28 32 40 48 y/℃ 25 30 30 25 28 31 26 （3）y 是 x 的函数吗？ y 是 x 的函数 函数自变量的取值范围与函数值 知识点三 重点 上述的三个问题中，自变量能取哪些值? 自变量 t 的取值范围: _________________ t ＞0 尝试·思考 填写下表： 自变量 n 的取值范围:________________ n 取正整数 圆柱形物体常常像下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 层数 n 1 2 3 4 5 … 物体总数 y … 1 3 6 10 15 自变量 t 的取值范围：_________________ t ≥ -237.15 一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到 -273.15 ℃，则气体的压强为零.因此，物理学中把 -273.15 ℃ 作为热力学温度的零度.热力学温度 T（单位：K）与摄氏温度 t（单位：℃）之间有如下数量关系：T＝t+273.15，T≥0. 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a 时的函数值。 函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值。 注意！ 函数值： 即：如果y是x的函数， 当x=a时，y=b， 那么b称为当x=a时的函数值。 分别写出下列问题中的函数关系式及自变量的取值范围: (1)某市用电收费标准为每度 0.50 元,电费 y (元)与用电度数 x之间的关系; (2)已知等腰三角形的面积为 20 cm2,底边上的高 y (cm)与底边长 x (cm)之间的关系; (3)在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r cm的同心圆,得到一个圆环,圆环的面积S(cm2)与r(cm)之间的关系. 例 4 解:(1)函数关系式为 y=0.50x ,自变量的取值范围为 x≥0; (2)函数关系式为y= ,自变量的取值范围为 x>0; (3)函数关系式为S=100π－πr2,自变量的取值范围为0<r<10. 类型 特点 自变量的取值范围 举例 整式型 等式右边是关于自变量的整式 全体实数 分母型 等式右边的自变量在分母的位置上 使分母不为0的实数 根式型 等式右边是开平方的式子 使被开方数不小于0的实数 零次幂、负整数次幂型 等式右边是关于自变量的零次幂或负整数次幂 使底数不为0的实数 复合型 含有上述两种或多种形式 使各部分都有意义的实数的公共部分 常见函数自变量取值范围的确定： 已知函数y=4x－2. (1)当x =2,3,－3时,求对应的函数值; (2)当x取什么值时,函数值为0? 例 5 解:(1)当x=2时, y=4×2－2=6; 当x=3时, y =4×3－2=10; 当x= -3时, y=4×(-3)－2= -14. (2)令y=0,则4x－2=0, 解得x = 故当x= 时,函数值为0. 随堂练习 随堂练习 （1）现将500本笔记本捐助给贫困学生，每人5本，写出余下的笔记本数 y 和学生数 x（名）之间的关系式________________________________________， （2）自变量 x 的取值范围_______________________. y = 500－ 5x （且 x 为整数） （1）北京市某天气温的变化情况如图所示； 【教材 P77 随堂练习】 下列各题中分别有几个变量？其中某个变量能看成另一个变量的函数吗？若能，请写出自变量的取值范围. 2. 解：有气温和时间两个变量，可将气温T看成时间t的函数，0＜t ≤24； 在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍会滑行 s m，一般地，有经验公式 s＝ ，其中 v 表示刹车前汽车的速度（单位：km/h）； （2） 解：有滑行距离s和刹车前汽车的速度v两个变量，可将s看成v的函数，v>0； 在国内，将质量在100 g以内的普通信函投寄到外埠，应付邮资见下表： （3） 信件质量m/g 0＜m≤20 20＜m≤40 40＜m≤60 60＜m≤80 80＜m≤100 邮资y/元 1.20 2.40 3.60 4.80 6.00 解：有信件质量m和邮资y两个变量，可将y看成m的函数，0<m≤100。 课堂小结 课堂小结 函数 概念 表示方式 自变量的取值范围 函数值 ①表格 ②关系式 ③图象 $