微专题02 构造等腰三角形的方法（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题02构造等腰三角形的方法 作平行线 作垂直 构造等腰三角形的方法 利用模型补全图形 倍长中线法 截长补短法 微点破 题型1作平行线 嫦方法 作平行线：通过构造平行线转移角度或长度，形成全等三角形，适用于等腰三角形或线段和差问题。 1.原理：平行线导致同位角、内错角相等，结合已知边角条件构造全等。 2.步骤： (1)过某点作己知边的平行线，交另一条边于新点。 (2)利用平行线性质转移角或边的关系。 (3)结合截长补短或等量代换证明全等。 3.基本模型 如图，已知在△ABC中，AB=AC,D为线段AB上一点，延长AC,在延长线上取一点F,使得 CF=BD,连接D,F,交BC于点E,求证DE=FE 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E 过点D作DGI AF,交BC于点G,则 B G .DGI AF ∴.∠DGB=∠ACB,∠CFE=∠GDE .AB=AC ∴.∠ABC=∠ACB ∴.∠DGB=∠DBG ..DB=DG CF =BD ..DG=FC [∠FEC=∠DEG 在△CFE和△GDE中， ∠CFE=∠GDE CF=GD ∴.△CFE≌△GDE(AAS) :FE=DE 1.(2025黑龙江·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD=4 ,CE=3,连接DE,点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN,则MN的长度为() / 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A. B号 C.2 13 2.(24-25九年级上·浙江杭州月考)如图：ABC中，BF与CE交于点G,AE=EB=AF=2,FC=1,则 FG:GB= E G B≤ 3.(25-26八年级上·福建福州期中)如图，在ABC中，AD是BC边上的高，点C与点C关于直线AB对 称，点E是线段BC'上的点，AE=AC, E E 备用图 (I)求证：∠EAC+∠EBC=180°； (2)连接CE,过点D作DF⊥AB于点F,交CE于点G. ①依题意补全图形： ②用等式表示线段CG与EG的数量关系，并证明. 4.(24-25八年级上·安徽准南期中)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，在△ABC(AB≠AC)中，点D,E在BC上，且DE=EC,过点D作DFI‖BA交AE于点F,若 DF=AC,求证：AE平分∠BAC. 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D G ① ② ③ 思路分析：当题目中出现“中点“中线等条件，可考虑用倍长法构造全等三角形，把分散的己知条件和 所求证的结论集中到同一个三角形之中， 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解题思路： 思路1：考虑倍长FE,如图②，延长FE至点G,使GE=FE,连接CG; 思路2：考虑倍长AE,如图③，延长AE至点G,使GE=AE,连接DG. (1)请挑选其中一种解题思路，给出证明 (2)如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形，已知 ∠BAE=∠CAF=90°，AE=AB,AC=AF,AD=3,求EF的长. B 5.(24-25九年级上江苏扬州月考)【感知】如图①，在口ABCD中，点E为CD的中点，连接BE并延长 AD的延长线于点F,求证：点D是AF的中点； 【应用】如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠BAD=90°，AB=8,AD=6,E是CD的中点， BE⊥CD,BE、AD的延长线相交于点F,求AF的长。 【扩展】如图③，在6ABC中，点D是4C的中点， :-,0、CE相交于点K,求瓷的能。 EC 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 图① 图② 图③ 题型2作垂直 煤方法 作垂线：利用垂直关系构造直角三角形，通过角平分线性质证明全等 1.原理：角平分线上的点到两边距离相等；垂直线段可形成全等的直角三角形。 2.步骤： (1)从角平分线上的点向两边作垂线，形成相等距离。 (2)结合已知边角条件，利用SAS证明两个直角三角形全等。 3.基本模型 如图，己知OC平分∠AOB,为点D射线OC上一点，过点D作DE⊥OA,垂足为E,DE=3,OF=3 ,求SAODF A E D B 过点D分别作DG⊥OB,垂足为G 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A E D G B :OC平分LA0B,DE⊥OA,DG⊥OB .DE=DG=3 5m-号0r-0G=0rDE=33-9 2 1.(24-25八年级下·辽宁铁岭月考)如图，在ABC中，AB=4,∠ABC=60°，以AC为边，在ABC外 作等边△ACD,作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,连接BD,若BE=7,则BD的长为 2.(23-24八年级上陕西西安月考)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4,AC=6,点D为AC中点， 点P为AB上的动点，将点P绕点D逆时针旋转90°得到点Q,连接CQ,当线段CQ的最小时，则 DP= 3.(25-26七年级上山东泰安期末)如图，在平面直角坐标系中，M(3,3),A为y轴正半轴上一点，连接 MA,作MB⊥MA交x轴正半轴于点B,求OA+OB. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y M(3,3) A 4.(24-25八年级下·上海黄浦期末)如图，已知梯形ABCD,AD∥BC,∠C=45°，点E、F分别是边 BC和CD上的动点（点E不与点B重合，点F不与点D重合），且∠BAF=90°，AE=AF=AB,联结 EF. (I)若DF=2,则点F到AD的距离是」 (2)判断△CEF的形状并加以证明； (3)若EF=4,设DF=x,AB=y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域. 题型3利用模型补全图形 啸方法 补全图形法：当题目中存在公共边或对称点时，通过连接已知点构造公共边或对称轴，形成全等三角形。 或者利用几何模型通过添加辅助线帮助证明。 1原理：利用公共边或对称性，通过SSS、SAS等判定条件证明全等。 2.步骤： (1)观察图形中是否存在未连接的已知点（如对称点或线段端点）： (2)连接这些点形成公共边或对称线段； (3)利用已知条件（如边相等、角相等）证明全等。 3.基本模型 如图，已知在四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC,求证：∠B=∠D 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如图，连接AC，则 (AB=AD 在△ABC与△ADC中， BC=DC AC=AC ∴.△ABC≌△ADC(SSS) .∠B=∠D 1.(24-25八年级上河南南阳期末)如图所示，ABC与△ACD均为直角三角形，且∠ACB=∠CAD=90°， AD=2BC=6,AB:BC=5:3,E是BD的中点，则AE的长为() A D A B.3 2 D.5 2.(25-26八年级上·江苏连云港·期中)如图，AD是等边ABC的高，点E、F分别为线段AD,AB上的 动点，且AE=BF,若BC=√5，则BE+CF的最小值为· 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D 3.(24-25九年级上湖北武汉·期中)【问题背景】如图1，ABC和ADE都是等边三角形，求证： BD=CE; 【尝试运用】如图2，在ABC中，AB=AC,∠BAC=150°，边AC绕点C逆时针旋转90°到DC,E 为边BC上不与点C重合的点，且DE=DC,M为BE的中点，连接AM,DM.求∠DAM的度数； 【拓展创新】如图3，在ABC和ADE中，LABC=LADE=90°，BA=BC=a,DA=DE=b,连接 BD,CE,点F,G分别为CE,BD的中点，若∠CAE=30°，请直接写出线段FG的长（用含a和b 的式子表示). E B 图1 图2 图3 4.(24-25八年级上辽宁辽阳·期中)(1)阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E是BC的 中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB,AD,CD之间的等量关系. 解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F,易证△AEB≌△FEC,得到AB=CF, 从而把AB,AD,CD转化在一个三角形中即可判断：AB,AD,CD之间的等量关系为一； (2)如图②，在ABC中，∠B=90°，AB=1,AD是ABC的中线，CE⊥BC,CE=3,且 ∠ADE=90°，求AE的长； A D E B D F 图① 图② 5.(25-26九年级上·重庆期中)在ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点E是平面内一点，连接AE,将 高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线段AE绕点A逆时针旋转90°得到AD,连接DE,CD, 图1 图2 图3 (1)如图1，若点E为AC的中点，AB=2√2，求点A到CD的距离： (2)如图2，若点E在ABC的内部，延长DE交AB于点F,当F为AB中点时，求证： CD=AD+2EF: (3)如图3，在第(1)问的条件下，点M是直线CD上一点，连接AM,将△ADM沿AM翻折得到 ADM,点P是直线AB上一点，连接CP,将CP绕点P顺时针旋转60°得到PQ,连接CO,DQ, DP,当DQ的值最小时，直接写出△APD的面积. 题型4倍长中线法 妹方法 倍长中线法：“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，则对应角 对应边都对应相等。这一方法常用于构造全等三角形。倍长中线法多用于构造全等三角形，从而证明边与 边之间的关系（通常用“SAS”证明） 【基本模型】如图，在△ABC中，AC=5,BC=3,求中线CD的取值范围。 延长CD至点E,使得DE=CD,连接BC学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题02构造等腰三角形的方法 作平行线 作垂直 构造等腰三角形的方法 利用模型补全图形 倍长中线法 截长补短法 微点破 题型1作平行线 嫦方法 作平行线：通过构造平行线转移角度或长度，形成全等三角形，适用于等腰三角形或线段和差问题。 1.原理：平行线导致同位角、内错角相等，结合已知边角条件构造全等。 2.步骤： (1)过某点作己知边的平行线，交另一条边于新点。 (2)利用平行线性质转移角或边的关系。 (3)结合截长补短或等量代换证明全等。 3.基本模型 如图，已知在△ABC中，AB=AC,D为线段AB上一点，延长AC,在延长线上取一点F,使得 CF=BD,连接D,F,交BC于点E,求证DE=FE 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E 过点D作DGI AF,交BC于点G,则 B G .DGI AF ∴.∠DGB=∠ACB,∠CFE=∠GDE .AB=AC ∴.∠ABC=∠ACB ∴.∠DGB=∠DBG ..DB=DG CF =BD ..DG=FC [∠FEC=∠DEG 在△CFE和△GDE中， ∠CFE=∠GDE CF=GD ∴.△CFE≌△GDE(AAS) :FE=DE 1.(2025黑龙江·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD=4 ,CE=3,连接DE,点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN,则MN的长度为() / 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D M E 12 C.2 D. 13 5 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模 型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键 过点C作CG∥AD,连接DM并延长交CG于点G,连接EG,可证aGMC≌DMA(ASA,可得 CG=AD=4,GM=DM,再根据平行线的性质得LGCE=90°，即得GE=VCG+CE2=5,最后根据 三角形中位线的性质解答即可求解， 【详解】解：如图，过点C作CG∥AD,连接DM并延长交CG于点G,连接EG, D M G B :ZGCM ZA, :点M是AC的中点， :CM =AM, 又：∠GMC=∠DMA, △GMC≌△DMA(ASA, .CG=AD=4,GM=DM, :CG∥AD,∠B=90°， .∠GCE=180°-∠C=90°， 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CE=3, GE=VCG2+CE2=V42+32=5, :GM=DM,点N是DE的中点， .MN是△DEG中位线， MN-GE 5 故选：A. 2.(24-25九年级上·浙江杭州月考)如图：ABC中，BF与CE交于点G,AE=EB=AF=2,FC=1,则 FG:GB= E B 【答案】1：3 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定及性质，过E作 EH∥AC交BF于H,由相似三角形的判定方法得△BEH∽△BAF,由相似三角形的性质得 BEE-B,由三角形中位线定理得HE-)4F=1,由AS可判定：GEHg:GCF,由全等三角形 BA AF BF 的性质得GH=GF,即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定 及性质，能构建全等三角形是解题的关键。 【详解】解：过E作EH∥AC交BF于H, ∠GEH=LGCF, △BEH∽△BAF, BE EH BH BA AF BF AE=EB=AF=2, EH BH 1 AF=BF2 :HE=AF=1,BH=IBF, 2 2 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BH =FH, :.HE=FC, BF =2FH, 在△GEH和aGCF中 ∠GEH=∠GCF ∠EGH=∠CGF, HE=FC :△GEH≌AGCF(AAS), :GH=GF, :FH=2FG, :BF =4FG, .GB=3FG, FG:GB =FG:3FG =1:3； 故答案为：1：3 3.(25-26八年级上福建福州·期中)如图，在ABC中，AD是BC边上的高，点C与点C关于直线AB对 称，点E是线段BC'上的点，AE=AC E 备用图 (I)求证：∠EAC+∠EBC=180°； (2)连接CE,过点D作DF⊥AB于点F,交CE于点G. ①依题意补全图形： ②用等式表示线段CG与EG的数量关系，并证明. 【答案】(1)见解析 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)①图见解析，②EG=CG. 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质.解题关键是 利用对称和全等转化线段关系从而证明结论， (1)连接AC',结合对称可得AE=AC=AC',进而证明∠AEC'=∠ACB,可得∠ACB+LAEB=180°， 由四边形内角和等于180°即可得出结论， (2)①按要求作图即可，②延长DF交BC'于N,连接AN,过点E作EM‖BC交FN于点M,证明 △BFN≌△BFD(AAS),得出BN=BD,LBNF=∠BDF,进而证明△ABN≌△ABD(SAS),可得AN=AD ,进而证明Rt△ANE≌RtAADC(HL),再证明∠BDG=∠EMN=∠ENM,利用等角对等边证明 EM=EN=CD,从而证明△EMG≌CDG(ASA),由此得出结论. 【详解】(1)证明：连接AC', B D 由对称可知：AC=AC',∠ACB=∠ACB, :AE=AC, :AE AC', LAEC'=∠ACB, .∠AEC'=∠ACB, 又：∠AEC'+LAEB=180°， ∠ACB+LAEB=180°， 又：∠EAC+∠EBC+LACB+∠AEB=360°， ,∠EAC+∠EBC=180°， (2)①如图， 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②延长DF交BC'于N,连接AN,过点E作EM∥BC交DN于点M, :DF⊥AB, .∠BFN=LBFD=90°， 又：∠ABC'=∠ABC,BF=BF, ,:△BFN≌△BFD(AAS) .BN=BD,∠BNF=∠BDF, 又AB=AB,∠ABN=LABD, △ABN≌△ABD(SAS), .∠ANE=∠ABD=∠ADC=90°，AN=AD, 又：AE=AC, ∴.Rt△ANE≌Rt△ADC(HL), :EN =CD, :EM∥BC, .LMEG=∠DCG,LBDG=LEMN,∠EMG=∠GDC, ∴.∠BDG=LEMN=LENM, :EN =EM, .EM =CD, △EMG≌CDG(ASA), .EG=CG. 4.(24-25八年级上·安徽淮南期中)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，在△ABC(AB≠AC)中，点D,E在BC上，且DE=EC,过点D作DF I BA交AE于点F.若 DF=AC,求证：AE平分∠BAC. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D H ① ② ③ 思路分析：当题目中出现“中点“中线等条件，可考虑用倍长法构造全等三角形，把分散的己知条件和 所求证的结论集中到同一个三角形之中， 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解题思路： 思路1：考虑倍长FE,如图②，延长FE至点G,使GE=FE,连接CG; 思路2：考虑倍长AE,如图③，延长AE至点G,使GE=AE,连接DG, (1)请挑选其中一种解题思路，给出证明 (2)如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形，已知 ∠BAE=∠CAF=90°，AE=AB,AC=AF,AD=3,求EF的长. 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及四边形内角和，等腰三角形的判 定和性质，利用倍长法作辅助线构造全等三角形是解题关键， (1)思路I:延长FE至点G,使GE=FE,连接CG,证明aDFE≌△CGE(SAS),得到DF=CG, LDFE=∠G,再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出LBAE=CAG,即可证明；思路2：延长 AE至点G,使GE=AE,连接DG,证明△ACE≌aGDE(SAS),得到AC=DG,∠CAE=∠G,再根 据等边对等角的性质和平行线的性质，得出∠BAE=CAG,即可证明； 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)延长AD至点G,使GD=AD,连接BG,证明△ACD≌△GBD(SAS),得到BG=AC, LACD=LGBD,进而推出BG=AF,∠EAF=∠ABG,再证明△AEF≌△BAG(SAS),得到EF=AG=2AD ” 即可求出EF的长。 【详解】(1)解：思路1：如图，延长FE至点G,使GE=FE,连接CG, D E 在△DFE和aCGE中， DE=CE ∠DEF=∠CEG, EF=EG :△DFE≌ACGE(SAS, DF=CG,LDFE=∠G, DF=AC, :CG=AC, ∠CAG=LG, DF∥AB, ∴.∠BAE=∠DFE, ,∠BAE=CAG, :AE平分∠BAC; 思路2：如图，延长AE至点G,使GE=AE,连接DG, D G 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在△ACE和△GDE中， AE=GE ∠AEC=∠GED, CE=DE △ACE≌aGDE(SAS), AC=DG,LCAE=∠G, DF=AC, :DG=DF, ∠DFG=∠G, :DF∥AB, :ZDFG ZBAE, ∠BAE=CAE, :AE平分∠BAC; (2)解：如图，延长AD至点G,使GD=AD,连接BG, ·AD是BC边上的中线， B D G :BD =CD, 在△ACD和△GBD中， CD=BD ∠ADC=∠GDB, AD=GD △ACD≌△GBD(SAS), BG=AC,∠ACD=∠GBD, AC=AF, :BG=AF,