微专题04 将军饮马模型求最值（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题04将军饮马问题求最值 两定一动 一定两动 定两动（垂线段最短） 将军饮马模型求最值 两定两动 将军遛马 造桥选址 德点量成 题型1两定一动 煤方法 【基本模型】己知直线1同侧的两定点A和B,在直线1上找一动点P,使得AP+PB最短 B 如上图所示，作点A关于直线1的对称点A',则PA=PA',根据两点之间线段最短，连接点B,A'。 此时AP+PB最短，AP+PB=A'P+PB=A'B。 1.(25-26八年级上江苏扬州·期中)“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》 里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题. 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 m A 。 图1 图2 图3 图4 (I)线段AB=3,CA⊥AB于点A且CA=1,DB⊥AB于点B且DB=3,点P为线段AB上任意一点，则图1 中PC+PD最小值为；图2中PC+PD最小值为 (2)如图3，ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=2,点D是AC边的中点，点P是AB边上任意一点，则 PC+PD的最小值是； (3)如图4，ABC中，∠BAC=90°且AB=AC=√2，作AD⊥BC于点D,过A点的射线m始终平行于 BC,点E是高AD上任意一点，点F是射线m上一点，点G是线段AB上一点，且始终保持 AF=EA=BG,则BE+DF的最小值为；则BE+DG的最小值为· 2.(24-25七年级下·黑龙江大庆期末)如图1，已知直线1与x轴交于点A1,0),与y轴交于点B(0,3),以 A为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△ABC,其中∠BAC=90°，AB=AC. B B B A A 图1 图2 备用图 (1)求直线1的解析式和点C的坐标； (2)如图2，点M是BC的中点，点P是直线I上一动点，连接PM、PC,求PM+PC的最小值，并求出 当PM+PC取最小值时点P的坐标； 3在(2)的条件下，当PM+PC取最小值时，直线PM上存在一点Q,使SA。0SA,求Q点坐 标.（直接写出答案） 3.(24-25八年级下·重庆开州开学考试)如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，AB=10,BE=6,射 线CD⊥BC,垂足为点C,点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当PF取得最小值时， 此时PF的长为；当EP+FP取最小值时，则此时BF的长为一· 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 4.(23-24八年级上·天津河西·期末)如图，在ABC中，∠B=60°，BC=12.点M在BC边上，且 MC=二BC,射线CD⊥BC于点C,点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点. D (1)线段MP+NP是否存在最小值？ ·（用“是”或“否”填空) (2)如果线段MP+NP存在最小值，请直接写出BN的长，如果不存在，请说明理由 5.(24-25八年级上·辽宁大连期中)【课题回顾】 在学习《13.4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮 马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题。 【问题探究】 如图1，在等边ABC中，点D为BC中点，点P,Q分别为AC,BC上的点，AP=CQ=2,DQ=1, 点M是线段AD上的动点，连接MP,MQ,求MP+MQ的最小值. (1)小明提出的探究思路如下：如图2，作点Q关于直线AD的对称点Q,连接PQ交AD于点M, 连接M但，根据“两点之间，线段最短”，可知此时MP+MQ的值最小. ①请你运用小明的探究思路，证明此时MP+MQ的值最小； ②求MP+MQ的最小值. 【类比探究】 (2)如图3，在平面直角坐标系中，点A坐标为(4,0)，点B为y轴正半轴上一点，连接AB, ∠ABO=30°，点C为AB中点，OD平分∠AOB交边AB于点D,点P为边OB上的一个动点.若点M在 线段OD上，连接MC,MP,当MC+MP的值最小时，请直接写出点P的坐标· 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D M M R DO B O'D O 图1 图2 图3 6.(24-25八年级上·四川成都·期末)如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A,直线y=+b与x轴交于点 直线y=x+1与直线y=x+b交于点C1,2) (I)求四边形AOBC的面积； (2)若动点M在x轴上，当MA+MC为最小值时，求这个最小值及直线AM的表达式： (3)在平面内直线BC的右侧是否存在点P,使得以点P、B、C为顶点的三角形是以BC为腰的等腰直角 三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 7.(2025八年级上·全国专题练习)如图1，在平面直角坐标系中，已知直线1与y轴交于点A(08),与x 轴交于点B(6,0),以B为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形ABC,其中∠ABC=90°，BA=BC. B 图1 图2 备用图 (I)直线1对应的函数表达式是，点C的坐标是 (2)如图2，点D是AC的中点，点M是直线1上的一个动点，连接MD、MC,求MD+MC的最小值， 并求出MD+MC取最小值时点M的坐标； (3)点H在直线1上，x轴上是否存在点P,使得△PHA是等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条 件的点H的个数；并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型2一定两动 妹方法 【基本模型】己知在∠AOB的内侧有一定点M,在射线OA,OB上有两动点P,Q,在射线OA,OB上各确 定一点P,Q,使得MP+MQ+PQ最短. M A B Q M 如上图所示，分别作点M关于∠AOB的两条边射线OA,OB的对称点M',M",则 PM'=PM,PQ'=PQ,根据两点之间线段最短，连接点M',M",分别交射线OA,OB于点P,Q'。此 时MP+MQ+PQ最短，MP+MQ+PQ=M'P'+M"Q'+P'Q'=M'M" 1.(23-24八年级上·天津滨海新期末)如图，∠FAB内部有一定点D,AD=2,若点C,E分别是射线 AF,AB上异于点A的动点.(1)在射线AF,AB上（填“是”或“否”）存在点C,E,使△CDE的 周长有最小值；(2)当aCDE周长的最小值是2时，则∠FAB的度数是°. 2.(24-25八年级上·重庆九龙坡期末)问题：如图1，∠A0B=50°，点P是∠A0B内的一定点，点P、M 、N不在同一直线上，当△PMN的周长最小时，此问题是轴对称求最值问题的典型应用，己知点P关于 直线OA的对称点C,PC交OA于点R.请按以下要求依次完成(1)(2)问： 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B P R M C 图1 图2 (I)尺规作图：请在图2中作出点P关于直线OB的对称点D,连接CD交OA、OB分别于点M、N,连 接PD交OB于点T (2)综合(1)的作图，将下列解答过程补充完整.。 :点P关于OA、OB的对称点分别为点C、D, .OA垂直平分PC,OB垂直平分PD, .CM=PM,① .PM +MN +PN CM +MN DN ∵② 当点C、M、N、D在同一直线上时，PM+MN+PN的值最小. 即aPMN的周长最小， CM=PM,DN=PN, .∠CPM=∠PCM,③ 由作图得∠0RP=90°，∠0TP=90°， .在四边形0TPR中，∠RPT+∠T0R=360°-90°-90°=180°， ∠A0B=50°， .∠RPT=130°， :在△CPD中，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°， .∠PCD+∠PDC=50°， ∠CPM+LDPN=④. LMPN=LRPT-(LCPM+∠DPN)=⑤°. 3.(25-26八年级上全国期末)【几何模型】 条件：如图①，A、B是直线1同旁的两个定点. 问题：在直线1上确定一点P,使PA+PB的值最小. 方法：作点A关于直线1的对称点A',连结A'B交1于点P,则PA+PB=A'B的值最小（不必证明）. 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【模型应用】 (1)如图②，角是大家喜爱的一种轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是对称轴.现在有∠A0C=90° ,OA=3,OB=4,P为∠AOC的平分线上一动点，请求出AP+PB的最小值： B B 0 P B 图① 图② 图③ 图④ (2)①如图③，∠A0B=30°，P是∠A0B内一点，P0=10,Q、R分别是OA、OB上的动点，请直接写 出△PQR周长的最小值 ②如图④，∠A0B=20°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=ON=2,点P、Q分别在OB、OB 上，则MP+PQ+QN的最小值是 4.(25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中)【问题初探】 (1)如图1，在等边三角形ABC中，若E是AB的中点，P为高AD上一点，AD=3,连接BP、PE, 求BP+PE的最小值； E R B B D 图1 图2 图3 【变式探究】 (2)如图2，在等边三角形ABC中，若P为高CE上一点，高CE=3,求BP+。CP的最小值， 【拓展延伸】 (3)如图3，∠A0B=30°，P是∠A0B内一定点，Q,R分别是OA,OB上的动点，当△PRQ周长的 最小值为5时，求OP的长 5.(25-26八年级上山东青岛月考)几何模型： 条件：如图，A、B是直线1同旁的两个定点 问题：在直线1上确定一点P,使PA+PB的值最小. 方法：作点A关于直线1的对称点A,连接AB交1于点P,则PA+PB=A'B的值最小（不必证明）. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 模型应用： R P A D 图1 图2 (I)如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点.连接BD,由正方形对称性 可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是_； (2)在等边三角形ABC中，AB=2,点E是AB的中点，AD是高，在ADAD上找一点P,使BP+PE的 最小值为 (3)如图2，∠A0B=45°，P是∠A0B内一点，P0=10,Q、R分别是0A、OB上的动点，求aPQR周长 的最小值。 (提示：分别作点P关于OA和OB的对称点PP,连接PP,PP) 6.(24-25八年级上山东滨州期中)“如图，∠A0B=30°，点P为∠A0B内一点，OP=8,点M、N分别是 射线OA、OB上的动点，求aPMN周长的最小值？”根据图中作图方法可以求得：△PMN周长的最小值 为 B 题型3一定两动（垂线段最短) 妹方法 【基本模型】已知在∠AOB的内侧有一定点M,在射线OA,OB上有两动点P,Q,在射线OA,OB上各确 定一点P,Q,使得MP+PQ最短. 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P M 0 O' B 如上图所示，作点M关于射线OA的对称点M',则PM'=PM,根据点到之间距离垂线段最短，过 M'作M'Q'⊥OB,垂线段交射线OA于点P',在射线OB上的垂足为Q'。此时MP+PQ最短， MP+PO=M'P'+P'O'=M'O' 1.(24-25八年级上·天津西青期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=2,AB=√3，点 P是边AB上一个动点，连接CP, B P 《I)是否存在长度等于4P的线段？ ·(填“存在”或“不存在”)。 ()若存在，求出CP+4P的最小值：若不存在，诗光明理由。 2.(25-26七年级上·山东东营·期中)如图，在等边ABC中，BC边上的高AD=10,E是高AD上的一个动 点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，EB+EF存在最小值，则这个最小值是 E D 3.(25-26八年级上·重庆期中)如图，在ABC中，AB=AC,AC的垂直平分线分别交AB、AC于点M ,N,D是BC的中点，P是MN上任意一点，连接PC,PD,若BC=4,S△ABc=10,则△PCD的周 长的最小值是 ;若∠B=,当△PCD的周长取最小值时，∠PCD=(用含o的代 数式表示) 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D 4.(24-25七年级下·山东青岛·期末)转化是数学的重要策略，线段最值问题中“线段和最小”与“线段差（绝 对值)最大”经常借助轴对称进行转化，再根据“两点之间，线段最短”予以解决. B A A。 a a B 图① 图② 图③ 图④ 【模型建立】 (1)如图①，点A、B在直线同侧，请在直线a上作一点P,使得PA+PB最小；（请用直尺和圆规作 出点P) (2)如图②，在网格中，点A、B在直线Q异侧，请在直线a上作一点P,使得PB-PA最大；（请用直 尺作出点P) 【模型应用】 (3)如图③，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,射线CD在∠ACB内部，∠ACD=15°，点P是射 线CD上一点，连接PA和PB,则PB-PA的最大值为一· (4)如图④，在ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=3,点D为AB中点，点P为AC上一点， 连接PB和PD,求PB+PD的最小值. 5.(25-26八年级上江西南昌·期中)综合与实践 材料一：将军饮马问题是一个经典的几何最值问题，源于古希腊时期，数学家海伦利用轴对称的知识成 功的解决了这个问题，体现了早期数学家对路径优化的探索 材料二：如图1，己知直线1上方A,B两个定点，在直线1上找一个点C,使得AC+CB最小.小军同学 微专题04 将军饮马问题求最值 题型1 两定一动 【基本模型】已知直线l同侧的两定点A和B，在直线l上找一动点P，使得最短. 如上图所示，作点A关于直线l的对称点，则，根据两点之间线段最短，连接点。此时最短，。 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)线段于点且于点且，点为线段上任意一点，则图1中最小值为______；图2中最小值为______： (2)如图3，中，，点是边的中点，点是边上任意一点，则的最小值是______； (3)如图4，中，且，作于点，过点的射线始终平行于，点是高上任意一点，点是射线上一点，点是线段上一点，且始终保持，则的最小值为______；则的最小值为______． 【答案】(1)5；5 (2) (3)； 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，图形对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作点关于直线的对称点转化边的关系，以及作辅助线构造全等三角形． （1）连接交于点P，由点D，点P，点C三点共线时，最小，结合勾股定理即可求解；作点C关于的对称点，连接交于点P，连接，根据图形的对称性可知，当点，点P，点D三点共线时，最小，由此求解即可； （2）作点C关于的对称点，连接交于点P，连接，根据图形的对称性可得，即当点，点P，点D三点共线时，最小，由此求解即可； （3）先由边角边的证明方法证明与全等，即可得，再由由图形的对称性可知，当点，点F，点C三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可；做辅助线构造全等三角形，由此可得，再由点K，点，点D三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接交于点P，过点C作交的延长线于点H，如图， ∵， ∴当点D，点P，点C三点共线时，最小， ∵，， 由勾股定理可得，， ∴最小值为5； 作点C关于的对称点，连接交于点P，连接，如图， 由图形的对称性可知，， ∵， ∴当点，点P，点D三点共线时，最小， 同理可求， ∴最小值为5； 故答案为：5；5； （2）解：作点C关于的对称点，连接交于点P，连接， 过点D作交于点H，连接，如图， 由图形的对称性可知，，， ∴当点，点P，点D三点共线时，最小， 即， ∵在中，， 有勾股定理可得， ∵点是边的中点， ∴， ∴为等腰三角形，且， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴则的最小值是； 故答案为：； （3）解：连接，作点D关于射线的对称点， 连接交射线于点，连接，如图， ∵中，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， 且， ∵， ∴为的角平分线，即， ∵射线， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 由图形的对称性可知，，， ∴当点，点F，点C三点共线时，最小， 即， ∴， 又， ∴， 在中，， ∴最小值为； 作，使，连接，连接交于点，如图， ∵， ∴， 又，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴当点K，点，点D三点共线时，最小， 即， ∵，， 由， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：；． 2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图1，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为直角顶点在第一象限内作等腰，其中． (1)求直线的解析式和点的坐标； (2)如图2，点是的中点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当取最小值时．直线上存在一点，使，求点坐标．（直接写出答案） 【答案】(1)； (2)5； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴，则，证明，得到，则，即可得到点的坐标； （2）延长至，使得，即点为的中点，当点在直线上时，即直线与直线相交，联立解析式即可求出答案； （3）分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）， ， 设直线的解析式为， 将，，代入得， ， 解得：， ， 过点作轴，则， ， ， 又， ， ， ， 则点的坐标为； （2）由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点是的中点， 点的坐标为，即：， 延长至，使得，即点为的中点， 点的坐标为，即， ， 垂直平分， 连接，则， ，当点在直线上时取等号， 由勾股定理可得：， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 直线的解析式为：， 当点在直线上时，即直线与直线相交， 得，解得：， 即此时点的坐标为， 综上，的最小值为5，此时点的坐标为； （3）， 则， 过点作轴交直线于， 此时，则，即， ，则， 当点在点右侧时，， ， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 当点在点、点之间时，，不符合题意； 当点在点左侧时，， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 综上，存在点的坐标为或时，． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，理解一次函数的图象，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线的方法，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 3．（24-25八年级下·重庆开州·开学考试）如图，点在等边三角形的边上，，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取得最小值时，此时的长为______；当取最小值时，则此时的长为______． 【答案】 5 7 【分析】当取得最小值时，则点与点重合时，记为，过点作，连接，结合等边三角形的性质以及30度所对的直角边是斜边的一半，得出当取得最小值时，此时的长为5，作点关于的对称点，连接，则当，，三点共线，且时，此时的值最小，由题意可得，则，再设，，可得，然后结合，解得，即可作答． 【详解】解：依题意，点是射线上一动点，点是线段上一动点， ∴当取得最小值时，则点与点重合时，记为，过点作，连接， 如图所示， ∵等边三角形的边上，， ∴， ∴在中，， 即当取得最小值时，此时的长为； 如图，作点关于的对称点，连接， ， ， 当，，三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， 设， ， ，， ， ∵， ∴解得：， ， ∴ 故答案为：，7． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），根据成轴对称图形的特征进行求解，垂线段最短，等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形的性质，线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）是解题的关键． 4．（23-24八年级上·天津河西·期末）如图，在中，，．点在边上，且，射线于点，点是射线上一动点，点是线段上一动点． （1）线段是否存在最小值？__________．（用“是”或“否”填空） （2）如果线段存在最小值，请直接写出的长，如果不存在，请说明理由__________． 【答案】 是 【分析】本题考查了对称的性质，含的直角三角形，垂线段最短．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）如图，作关于直线的对称点，过作于，交于，连接，由对称的性质，垂线段最短可知最小，即存在最小值； （2）由（1）可得时，存在最小值，，，，进而可求的值． 【详解】解：（1）如图，作关于直线的对称点，过作于，交于，连接 由对称的性质可知， ∵ ∴的长度最小 ∴最小，即存在最小值 故答案为：是． （2）由（1）可得时，存在最小值 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的长为． 故答案为： 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）【课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 【答案】（1）①证明见解析；②最小值为；（） 【分析】（1）①在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，，则，，在中，根据三角形的三边关系即可得证；②先证，，再证是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得解； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小，证和都是等腰直角三角形，得，再证，得，进而求得，从而得，即可得解． 【详解】解：（1）①证明∶∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴垂直平分， 如图，在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴即是的最小值； ②解∶∵是等边三角形，点为中点， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小， ∴，， ∴， 由题意可得， ∵平分 ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质，等边对等角，角平分线的定义，熟练掌握两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质是解题的关键． 6．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线交于点． (1)求四边形的面积； (2)若动点在轴上，当为最小值时，求这个最小值及直线的表达式； (3)在平面内直线的右侧是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最小值为，直线的表达式 (3)存在，点的坐标为或 【分析】一次函数与几何的综合应用，勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质； （1）先求得点，连接，根据，即可求解； （2）先求得点关于轴的对称点，根据轴对称的性质可得的最小值为的长，进而得出的坐标，根据，的坐标，待定系数法求解析式，即可求解； （3）分两种情况讨论当时，当时，根据全等三角形的性质，求得点的坐标． 【详解】（1）直线与轴交于点， 当时， ∴ 连接，如图， ∵，， ∴四边形的面积 （2）把点，代入得： 解得： ∴ 当时，， 设直线交轴于点，则 ∴关于轴对称的点为， ∴，当在上且在轴上，则重合， ∴， ∴的最小值为， 设直线的表达式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的表达式为 （3）解：如图，当时，过点作轴，，垂足分别为， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 如图，当时，过点作轴，轴，垂足分别为， 同理点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l与y轴交于点，与x轴交于点，以B为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形，其中，． (1)直线l对应的函数表达式是______，点C的坐标是______； (2)如图2，点D是的中点，点M是直线l上的一个动点，连接，求的最小值，并求出取最小值时点M的坐标； (3)点H在直线l上，x轴上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点H的个数；并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，有6个满足条件的点H，或或 【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式，再构造一线三垂直全等可得点坐标； （2）作点关于直线对称点，再求出直线的解析式，进而可得点的坐标和点的长度； （3）根据点和点的位置关系，分类讨论画出图形，利用一线三垂直全等求解即可． 【详解】（1）解：设直线解析式为，将点，点代入得， ， 解得， 直线的解析式为； 如图，过作轴于点， 则， ， ， ， ，， ； 故答案为：；； （2）解：点是的中点， ， 作点关于直线对称的点， 则， 设直线解析式为， 可得，解得， 由点和点坐标可知直线解析式：， 联立直线与的解析式得， 解得：， 即时，取最小值， 此时的最小值为； （3）解：存在，有6个满足条件的点，或或，理由如下， 由题可知，直线的解析式：； 若以为直角顶点，，，有以下①②两种情况： ①如图， 则△△， ，，， ， ； ②如图，①情况下不动，点移动到下方，与①情况中的关于对称的位置，也符合题意； 若以为直角顶点，即，，有以下③④两种情况： ③如右所示，在直线左侧，设，， 则△△， ，，， ， 代入得：， 解得：， ； ④如图所示，在直线右侧，设，， 则△△， ，，， ， 代入得：， 解得：， ； 若以为直角顶点，即，，有两种情况： ⑤即情况③的点位置不动，过作，此时点坐标同③， ⑥即情况④的点位置不动，过作，此时点坐标同④， 综上所述，有6个满足条件的点，3个满足条件的点，分别是或或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、一次函数解析式、直线交点问题、全等三角形的判定和性质等内容，分类讨论及构造三垂直全等是解题的关键． 题型2 一定两动 【基本模型】已知在的内侧有一定点M，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，分别作点M关于的两条边射线的对称点，则，根据两点之间线段最短，连接点，分别交射线于点。此时最短，. 1．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）如图，内部有一定点，，若点，分别是射线，上异于点的动点．（1）在射线，上______（填“是”或“否”）存在点，使的周长有最小值；（2）当周长的最小值是2时，则的度数是______． 【答案】 是 30 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题． （1）作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，利用轴对称的性质得，利用两点之间线段最短判断此时周长最小为； （2）由（1）可得是等边三角形，进而可得的度数． 【详解】解：（1）在射线上存在点，，使的周长有最小值；作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，连接，，此时周长最小为． 故答案为：是； （2）如图，∵周长最小为， 根据轴对称的性质，得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， 故答案为：30． 2．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）问题：如图1，，点P是内的一定点，点P、M、N不在同一直线上，当的周长最小时，此问题是轴对称求最值问题的典型应用，已知点P关于直线的对称点C，交于点R．请按以下要求依次完成（1）（2）问： (1)尺规作图：请在图2中作出点P关于直线的对称点D，连接交、分别于点M、N，连接交于点T (2)综合（1）的作图，将下列解答过程补充完整． ∵点P关于、的对称点分别为点C、D， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，①_______， ∴． ∵②_______， ∴当点C、M、N、D在同一直线上时，的值最小． 即的周长最小， ∵，， ∴，③_______， 由作图得，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴④_______°． ∴⑤_______°． 【答案】(1)见解析； (2)；②点M、N分别在、上移动；③；④50；⑤80． 【分析】（1）过点P作的垂线，交于点T，以点T为圆心，的长为半径画弧，交垂线于点D，连接，交、分别于点M、N，连接、即可． （2）根据线段垂直平分线的性质、轴对称的性质填空即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：∵点P关于、的对称点分别为点C、D， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，①， ∴． ∵②点M、N分别在、上移动， ∴当点C、M、N、D在同一直线上时，的值最小． 即的周长最小， ∵，， ∴，③， 由作图得，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴④． ∴⑤． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换、线段垂直平分线的性质、轴对称﹣最短路线问题，四边形的内角和定理的应用，熟练掌握轴对称的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 3．（25-26八年级上·全国·期末）【几何模型】 条件：如图①，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结交l于点P，则的值最小（不必证明）． 【模型应用】 (1)如图②，角是大家喜爱的一种轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是对称轴．现在有，，，P为的平分线上一动点，请求出的最小值； (2)①如图③，，P是内一点，，Q、R分别是、上的动点，请直接写出周长的最小值___________； ②如图④，，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在、上，则的最小值是___________． 【答案】(1)5 (2)①10，②2 【分析】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题． （1）为的平分线，作交于点，连结交于点，连结，利用题中模型得到，最短，此时，利用对称的性质得到，然后利用勾股定理计算出即可； （2）①作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，利用对称的性质得到周长为的长，根据两点之间线段最短可判断此时周长最小，最小值为的长，再证明为等边三角形，得到，从而获解； ②作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，同样方法判断此时的值最小，最小值为，再证明为等边三角形，得到，从而得到的值最小值． 【详解】（1）解：如答图①，为的平分线，作交于点，连结交于点，连结，如答图①，则最短，此时． 平分， ． 在中，， 即的最小值为5． （2）解：①作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，如答图②， 则， 周长， 此时周长最小，最小值为的长． ， ， ， 为等边三角形， ， 即周长的最小值为10， 故答案为：10． ②作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，如答图③， 则， ， 此时的值最小，最小值为． ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 即的值最小为2， 故答案为：2． 4．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）【问题初探】 （1）如图1，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接、，求的最小值； 【变式探究】 （2）如图2，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． 【拓展延伸】 （3）如图3，，是内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为5时，求的长． 【答案】（1）3；（2）3；（3）5 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明垂直平分，，则，据此可证明当C、P、E三点共线时有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，求出线段的长即可得到答案； （2）过点P作于H，由三线合一定理得到，则，即可得到，则当B、P、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此可得答案； （3）分别作点P关于射线的对称点G和H，连接，可证明当G、R、Q、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长，则；证明是等边三角形，可得． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在等边三角形中，是的高，是的中点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴当C、P、E三点共线时有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵都是等边三角形的高， ∴， ∴的最小值为3； （2）解：如图所示，过点P作于H， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当B、P、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵此时， ∴为的高， ∴， ∴的最小值为3； （3）如图所示，分别作点P关于射线的对称点G和H，连接， 由轴对称的性质可得， ， ∴的周长， ∴当G、R、Q、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长， ∵周长的最小值为5， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 5．（25-26八年级上·山东青岛·月考）几何模型： 条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小（不必证明）． 模型应用： (1)如图1，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接，由正方形对称性可知，B与D关于直线对称．连接交于P，则的最小值是_； (2)在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在AD上找一点P，使的最小值为_ (3)如图2，，P是内一点，，Q、R分别是上的动点，求周长的最小值． （提示：分别作点P关于和的对称点，连接） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确作出辅助线和熟知轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质可得，则可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）连接，可证明垂直平分，得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）分别作点P关于和的对称点，连接，，可推出当四点共线时， 有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长；证明，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵B与D关于直线对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； ∵为的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为； （2）解：如图所示，连接， ∵是等边三角形，是高， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，分别作点P关于和的对称点，连接，， ∴，， ， ∴的周长， ∴当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长； ∵， ∴， ∴的周长的最小值为． 6．（24-25八年级上·山东滨州·期中）“如图，，点为内一点，，点分别是射线上的动点，求周长的最小值？”根据图中作图方法可以求得：周长的最小值为______． 【答案】8 【分析】作点关于、的对称点、，连接，根据轴对称的性质可得，从而可得周长，再根据两点之间线段最短可得当点四点共线时，的值最小，最小值为的长，然后根据等腰三角形的三线合一可得，，从而可得，最后根据等边三角形的判定与性质可得，由此即可得． 【详解】解：作点关于、的对称点、，连接， 则垂直平分，垂直平分， ， 周长为， 由两点之间线段最短可知，当点四点共线时，的值最小，最小值为的长， ， （等腰三角形的三线合一）， 同理可得：， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 的最小值是8， 周长的最小值是8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识点，正确找出使得的周长最小时，点的位置是解题关键． 题型3 一定两动（垂线段最短） 【基本模型】已知在的内侧有一定点M，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，作点M关于射线的对称点，则，根据点到之间距离垂线段最短，过作，垂线段交射线于点，在射线上的垂足为。此时最短，. 1．（24-25八年级上·天津西青·期末）如图，在中，，点是边上一个动点，连接． （Ⅰ）是否存在长度等于的线段？______．（填“存在”或“不存在”）。 （Ⅱ）若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．______ 【答案】 存在 【分析】此题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识， （1）依题意过点作于D，，根据含度角的直角三角形的性质得出，即存在长度等于的线段 （2）如图所示作辅助线，先证明，然后得，当与共线时，为最小值，再由勾股定理求即可． 【详解】解：（1）存在长度等于的线段； 如图所示，过P点作于D， ∵在中， ∴ 故答案为：存在． （2）如图所示，在中，， 过P点作于D，延长至E，使，连接， ∴ 垂直平分线段， ， ， ， ， 当与共线时，为最小值， 此时，， ， ， 故的最小值为； 故答案为：． 2．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，在等边中，边上的高是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．先连接，再根据，则，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值． 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，是边上的中线，F是边的中点， ∴垂直平分，垂直平分，， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当C、F、E三点共线时，， 即的最小值为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，，若，，则的周长的最小值是____________；若，当的周长取最小值时，______（用含的代数式表示） 【答案】 7 【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及最短路径问题，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质将转化为，进而结合等腰三角形的性质求解． （1）连接，利用线段垂直平分线的性质将转化为，结合等腰三角形三线合一求出和的长度，进而在当、、在同一直线上时，求出周长的最小值； （2）根据等腰三角形的性质和直角三角形两个锐角互余，结合角的关系求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵点D是的中点，， ，， ∵， ， ， ∵垂直平分， ， ， 当、、在同一直线上时， 最小，最小值为， ∴周长最小值； ∵，点是边的中点， ， ， ， ∵， ， 在中，， 故答案为：7；． 4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）转化是数学的重要策略，线段最值问题中“线段和最小”与“线段差（绝对值）最大”经常借助轴对称进行转化，再根据“两点之间，线段最短”予以解决． 【模型建立】 （1）如图①，点、在直线同侧，请在直线上作一点，使得最小；（请用直尺和圆规作出点） （2）如图②，在网格中，点、在直线异侧，请在直线上作一点，使得最大；（请用直尺作出点） 【模型应用】 （3）如图③，在中，，射线在内部，，点是射线上一点，连接和，则的最大值为_____． （4）如图④，在中，，，，点为中点，点为上一点，连接和，求的最小值． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）4（4）3 【分析】本题考查的是轴对称的应用，根据轴对称的性质解决问题是解题关键， （1）作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求作； （2）作点A关于直线的对称点，连接并延长交直线于点P，则，则点P即为所求作； （3）作点A关于射线的对称点，连接并延长交射线于点P，则，则点P即为所求，求出最大值即可； （4）作点B关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求，求出的最小值即可． 【详解】解：（1）如下图点即为所求作； （2）如下图点即为所求作； （3）作点A关于射线的对称点，连接并延长交射线于点P，则点P即为所求； 在中，，， 由对称性可知，， 则， 是等边三角形， ； 则的最大值为4； （4）作点B关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求， 连接， 在中，，，， 是等边三角形，， ， ， 点为中点， ， ， 则的最小值为3． 5．（25-26八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 材料一：将军饮马问题是一个经典的几何最值问题，源于古希腊时期，数学家海伦利用轴对称的知识成功的解决了这个问题，体现了早期数学家对路径优化的探索． 材料二：如图1，已知直线上方，两个定点，在直线上找一个点，使得最小．小军同学给出以下解答：如图2，作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，此时最小．证明过程如图3，在直线上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． ∵点与点关于直线对称，∴直线是的垂直平分线， ∴___________，________， ∴_=_； ∵在中，， ∴，即最小． 任务一：完成材料二的填空． 任务二：如图4，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，求周长的最小值． 任务三：如图5，在（2）的条件下，已知点，，分别是，，上的点，若，则周长的最小值为___________． 【答案】任务一：，，，；任务二：；任务三： 【分析】本题主要考查最短路径问题，轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质，解决此题的关键熟练运用将军饮马问题的模型； （1）根据三边关系即可证明； （2）变成将军饮马的模型解决问题； （3）运用两次对称，得到等边三角形，进而得到答案 【详解】解：（1）有对称性可知：，，， （2）如图4，当点运动到直线与的交点时，周长最小， 周长， ∵，， ∴的周长为． （3）如图5，过点作，垂足为点，过点分别作，的对称点，，连接，交于点，交于点，则的周长最小， 有对称性可知：,, ∵， ∴， ∴是等边三角形, ∴, ∴的周长， 如图6，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴周长的最小值为． 6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如果四边形的某条对角线垂直平分另一条对角线，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”． 【问题发现】（1）如图①，四边形是“对称四边形”，对角线，交于点O，是“对称线”，若，，则四边形的面积是______． 【问题探究】（2）如图②，四边形是“对称四边形”．是“对称线”，，，，P，Q分别为线段，上的动点．求的最小值． 【问题解决】（3）如图③，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，过A作射线轴，交y轴于点P，E为射线上的动点（不与点A重合），G、F分别为线段和x轴正半轴上的动点，连接，，点M是线段与的交点，并且四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”．请问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值以及此时所在直线的表达式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）60；（2）；（3）存在；；； 【分析】（1）由“对称线”的定义可知，再根据求解即可． （2）在上取一点，使得，过点B作于点H，连接交于点O，由线段垂直平分线的性质设，由含30度直角三角形的性质可得出，，由，进而可求出m，由勾股定理进一步得出，证明，由全等三角形的性质得出，最后根据求解即可． （3）过点E作轴于点H， 由线段垂直平分线的性质可得出，，，由可知当时，点H和点F重合，的值最小，最小值为，进而可求出的面积的最小值，再求出点E的坐标，最后利用待定系数法求出所在直线的表达式即可． 【详解】解：∵是“对称线”， ∴垂直平分线段， ∴， ∴ （2）如图，在上取一点，使得，过点B作于点H，连接交于点O， ∵是“对称线”， ∴垂直平分线段， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， 则， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； (3)存在，理由∶过点E作轴于点H， ∵，， ∴， ∵四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”， ∴，，， ∴， ∴当时，点H和点F重合，的值最小，最小值为， ∴的面积的最小值为， 此时， 设所在直线的表达式为：， 把代入：， 解得：， 故所在直线的表达式为：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形综合，勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 题型4 两定两动 【基本模型】已知在的内侧有两定点，在射线上有两动点，在射线上各确定一点，使得最短. 如上图所示，作点M关于射线的对称点，则；作点N关于射线的对称点。由于为定点，所以线段为定值。因此，若使最短，只需令最短即可。根据点到之间距离垂线段最短，连接点，线段分别交射线于点。此时，四点共线，能够使得最短， 1．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，，若点M、N分别在边，上，当四边形的周长最小时，则这个最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点P关于的对称点，点Q关于的对称点，连接交于M，交于N，此时四边形的周长最小，过点P作于H，由勾股定理求出，推出，得出，再求出，过点作于K，在中，求出可得结论． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点，点Q关于的对称点，连接交于M，交于N，此时四边形的周长最小，过点P作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点作于K， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴四边形的周长的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短问题、勾股定理、含角的直角三角形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，由直角三角形解决问题． 2．（22-23八年级下·重庆北碚·开学考试）如图，凸四边形中，若点M、N分别为边上的动点，，，，，，则的周长最小值为（    ）    A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】如图，连接，由勾股定理得，，由，可得，，由角平分线的性质定理得，，如图，作关于的对称点为，作关于的对称点为，连接，交与，交于，交于，连接，，则，，，，则是的垂直平分线，，，，则，由勾股定理得，，则，由的周长为，可知当四点共线时，的周长最小，为，然后作答即可． 【详解】解：如图，连接，    由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 如图，作关于的对称点为，作关于的对称点为，连接，交与，交于，交于，连接，，则，，，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴，， ∵的周长为， ∴当四点共线时，的周长最小，为，即为6， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，含的直角三角形，折叠的性质，角平分线的性质，垂直平分线的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．（23-24八年级上·湖南株洲·月考）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如下图，作B关于直线l的对称点，连接AB与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如下图，在直线l上另取任一点，连接，，， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴______=______． 在中，∵， ∴即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在与l的交点上，即A、C、三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【简单应用】 （1）如下图，在等边中，，，E是AC的中点，M是上的一点，求的最小值； （2）如下图，在四边形中，，，在上分别找一点M、N当周长最小时，求的值． 【拓展应用】 如下图，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，，千米，千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠岸C处装货，再停靠岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．（注：在直角三角形中有直角边的平方和等于斜边的平方，如图即在直角中，有 ） 【答案】简单应用：（1）6；（2）；拓展应用：千米 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，等边三角形的性质等等，正确理解题意利用轴对称的性质构造最短路径是解题的关键． 简单应用：（1）根据等边三角形的性质可得垂直平分线，则，故当三点共线且时，最小，即此时最小，则此时都是等边的高，即，故的最小值为6； （2）如图5所示，作A关于和的对称点，连接，连接，由轴对称的性质可得，故当四点共线时，的值最小，即此时的周长的周长最小，由三角形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形外角的性质可得； 拓展应用：如图6所示，分别作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，当四点共线时，的值最小，即此时货船行驶的水路长最小， 由轴对称的性质可得，则，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：简单应用：（1）∵是等边三角形，， ∴垂直平分线， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，最小，即此时最小， ∵， ∴都是等边的高， ∴， ∴的最小值为6； （2）如图5所示，作A关于和的对称点，连接，连接， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∴当四点共线时，的值最小，即此时的周长的周长最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴；    拓展应用：如图6所示，分别作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可得， ∴货船行驶的水路长， ∴当四点共线时，的值最小，即此时货船行驶的水路长最小， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴货船行驶的水路最短路程为千米． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）【问题发现】（1）如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边l饮马，再去河岸同侧的军营B开会，为了方便，将军给自己制定了方案，找到了饮马的最佳位置点C （1）请在图1中找出将军饮马的最佳位置点C 【问题探究】（2）如图2，在正方形中，，E是边上的一点，且，F是上的一个动点，求周长的最小值． 【问题解决】（3）如图3，在长方形中，，，P是边上一点，且，点E是线段上的任一点，连接，以为直角边在上方作等腰直角三角形，为斜边．连接，边上存在一个点M，且，连接，的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）12；（3） 【分析】（1）作关于直线的对称点，连接与直线交于，点就是所求位置；由轴对称的性质可得．则，根据两点之间线段最短可得的最小值是； （2）连接，，利用正方形的性质、勾股定理可得出A、C关于对称，，，则周长=，当E、F、C三点共线时，周长最小，即可求解； （3）如图，过点F作于G，交于K，过点P作于H，交于O，过M作于N，交于，根据矩形的性质和勾股定理可求出，，证明四边形是矩形，得出，，结合是等腰直角三角形，可证明，得出，可求出，证明是等腰直角三角形，得出，根据勾股定理可求出，则可判断垂直平分，得出，则，当P、F、N三点共线时，最小，最小值为，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：（1）作关于直线的对称点，连接与直线交于，点就是所求位置； （2）如图所示，连接，， ∵在正方形中，， ∴，，A、C关于对称， ∴； ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∵周长， ∴当E、F、C三点共线时，的周长最小，最小值为； （3）如图，过点F作于G，延长交于K，过点P作于H，延长交于O，过点M作于N，交于， 在长方形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴，，， ∴，； ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当P、F、N三点共线时，最小，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， 又∵的周长为， ∴的周长最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的化简，全等三角形的性质与判定等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 5．（24-25八年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． (1)求证：； (2)求点D的坐标； (3)如图，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是的中点，D、E分别是直线，y轴上的动点，请直接写出周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据可证明； （2）先求出，根据可得，设，则点D的坐标为，再由点D在直线上，可得，即可求解； （3）求出点，点，作点关于轴的对称点为，作点关于直线轴的对称点为，交于点H，连接交直线于点，交轴于点，则周长最小值，设点N的坐标为，则点H的坐标为，点H在直线上得到，则点N的坐标为，求出点N的坐标，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴， ， ，， ， 在与中， ， ； （2）解：直线， 令，； 令，， 此时， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则点D的坐标为， ∵点D在直线上， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； （3）解：对于直线， 当时， 当时，，解得， ∴点， ∵点C是的中点， ∴点； 作点关于轴的对称点为，作点关于直线轴的对称点为，连接交于点H， 连接交直线于点，交轴于点， 则此时周长最小值， 过点N作轴于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 设点N的坐标为，则点H的坐标为， ∵点H在直线上， ∴， 整理得到， ， ∴点N的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴点N的坐标为， ∴， ∴的最小值为， 即周长的最小值为． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征、三角形全等的判定与性质，勾股定理、轴对称求最值等知识，熟练掌握一次函数的性质和勾股定理是解题的关键． 题型5 将军遛马 【基本模型】已知直线l同侧的两定点A和B，在直线l上有一条线段。试确定线段在直线l上的位置，使得最短. 如上图所示，作点A关于直线l的对称点，则。过点作一条平行线，并在点的右侧在平行线上作一点使得。此时，由于四边形为，因此。由于线段为定值，因此若要使最短，只需令最短即可。根据两点之间线段最短，连接点交直线l为点。此时最短，。 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）按照下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点，在直线同侧，在直线上求作一点，使最短； (2)【“一定两动”型】如图，内有一点，分别在，边上各取一点，使的周长最小； (3)【“两定两动”型（异侧）】如图，，是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） (4)【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线上分别取点，，使，连接，，当最小时，求点，的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称性质、最短路径问题； （1）作点关于的对称点，连接，交与点，则点即为所求； （2）点即为所求分别作点关于射线，的对称点，，连接分别交，于点，此时的周长，为最小． （3）过作河的垂线，要使最短，直线，，连接即可得出，作出即可． （4）过作使得，作点关于的对称点，连接与的交点即为，过作交为，点，即为所求． 【详解】（1）解：点位置如图①②所示．（任选一种即可） （2）如图③所示，点即为所求分别作点关于射线，的对称点，，连接分别交，于点，此时的周长，为最小． （3）如图④，即为所求的桥． 根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b）， 只要最短就行， 即过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥． （4）解：过A作使得，作点C关于l的对称点D，连接与l的交点即为F，过A作交l为E，点E，F即为所求．点，的位置如图⑤所示． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点C关于l的对称点D， ∴，， ∴，， ∵为定值， ∴要求的最小值，只需求， ∴点B、F、D共线时，最小． 2．（23-24八年级上·重庆渝中·月考）如图所示，在直角坐标系中，，，线段在轴上平移，且满足，连接、、．    (1)当时，__________； (2)当四边形的周长取得最小值时，求出此时点的坐标及四边形的最小周长； 【答案】(1)12 (2)点的坐标为，四边形的最小周长为； 【分析】（1）根据直角三角形的性质，即可求解； （2）作点C关于y轴的对称点E，连接，将沿y轴平移至点B交于点F，连接，则点，，，根据平移的性质可得当点E，B，F三点共线时，四边形的周长取得最小值，再求出直线的解析式，即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：12 （2）解：如图，作点C关于y轴的对称点E，连接，将沿y轴平移至点B交于点F，连接，则点，，，    ∵，， ∴轴，， ∴， ∴， ∴， 即当点E，B，F三点共线时，四边形的周长取得最小值， ∵，， ∴， ∴点F的坐标为， ∴， ∴四边形的周长的最小值为； 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点B的坐标为； 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）问题发现： (1)在平面直角坐标系中，已知点和点，则线段AB的长为_____； (2)问题探究：为迎接国庆节，西安市园林绿化部门准备在一块正方形的空地OABC上用鲜花摆放一个四边形的图案．设计员小华将其置于如图所示的平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上，绿化部门计划在正方形内围成一个如图所示的四边形AMNP，在其内部摆放花卉图案，其余地方种植草坪．要求在边上，在上，且．请问是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，请求出最小值？如不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)存在，四边形周长最小为 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，利用轴对称求周长最小，遇到动线段问题需要先平移变换再进行对称求解． （1）根据两点之间距离公式计算即可； （2）将向上平移个单位长度，点与点重合，点到点，四边形周长为，其中，，故最小时周长最小，作关于对称点，连接，则，故当三点共线时，最小，计算即可解答． 【详解】（1）； （2）存在；如图 ，将向上平移个单位长度，点与点重合，点到点，    ∵，四边形是正方形， ∴，，． ∵， ∴，， 四边形周长为，其中，，故最小时周长最小， 作关于对称点即点，连接，则， 故当三点共线时，最小， ∴最小值为 ； 则四边形周长最小为． 4．（24-25八年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，与x轴交于点C，直线l上有一点B的横坐标为，点A是的中点． (1)求直线的函数表达式； (2)在射线上有两动点P，Q（P点在Q点下方），且，当四边形的周长最小时，求四边形周长的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的解析式为，与x轴交于点C．直线上有一点B的横坐标为，点A是的中点，得到，运用待定系数法解答即可． （2）过点A作点A关于直线的对称点，将点沿方向平移4个单位得到点，连接交于点Q，将点Q沿方向平移4个单位得到，再连接，此时四边形的周长最小，先证明为等边三角形，则，找出，，证明四边形为平行四边形，故此时四边形的周长为最小，再运用勾股定理算出，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线的解析式为，与x轴交于点C． 令，则，解得， ∴ ∴ ∵点A是的中点， ∴， ∵直线上有一点B的横坐标为， 把代入，得 ∴， 设直线的函数表达式， 故， 解得， 故直线的函数表达式． （2）解：过点A作点A关于直线的对称点，将点沿方向平移4个单位得到点，连接交于点Q，将点Q沿方向平移4个单位得到，再连接，此时四边形的周长最小，如图所示： ∵， ∴， ∴， 故为等边三角形， ∵， ∴令时，，则 即， ∵， ∴， 在直角中， 即， ∵ 则， 故， ∵轴对称性质， ∴， 故为等边三角形， 则， ∵， ∴轴， 故点； 将点沿方向平移4个单位，相当于沿x轴负半轴方向平移个单位，向上平移2个单位，故点， 由点A的平移知，且， ∴四边形为平行四边形，故 此时，四边形的周长为最小， ∵ ∴ 即． 5．（23-24八年级上·陕西西安·月考）(1)问题发现： 如图①，在平面直角坐标系中，已知点和点则线段的长为______； (2)问题探究： 如图②，在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，点A在第一象限，点在线段上，点M，N分别是边，上两点，求周长的最小值． （提示：在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．） (3)问题解决： 为迎接国庆节，西安市园林绿化部门准备在一块正方形的空地上用鲜花摆放一个四边形的图案．设计员小华将其置于如图③所示的平面直角坐标系中，已知点，点A，C在坐标轴上，绿化部门计划在正方形内围成一个如图所示的四边形，在其内部摆放花卉图案，其余地方种植草坪．要求N，P在边上，M在上，且．请问是否存在点P，N，使得四边形的周长最小？若存在，请求出最小值？如不存在，请说明理由．      【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据两点之间距离公式计算即可； （2）作分别关于、的对称点和，根据对称的性质的，当四点共线时，周长最小，最小值为的长，求出的长即可； （3）将向上平移个单位长度，点与点重合，点到点，四边形周长为，其中，，故最小时周长最小，作关于对称点，连接，则，故当三点共线时，最小，计算即可解答； 【详解】（1）； （2）如图1所示，求分别关于、的对称点和，    由对称性质得， 则的周长为 ， 当四点共线时，周长最小，最小值为的长， ∵在等边中，，过作， 且 ， 在 中，， 如图 2 ，过点作，则 ，    在 中，， 则 ， ∴的周长最小为； （3）存在；如图 3 ，将向上平移个单位长度，点与点重合，点到点，    四边形周长为，其中，，故最小时周长最小， 关于对称点，连接， 则，故当三点共线时，最小， ∴最小值为 ； 则四边形周长最小为． 【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，利用轴对称求周长最小，遇到动线段问题需要先平移变换再进行对称求解． 题型6 造桥选址 【基本模型】已知有两条平行直线，在直线异侧有两定点A和B，有一条线段，且。试确定线段在直线上的位置，使得最短. 如上图所示，过点A作直线l的垂线，在点的下侧在垂线上作一点使得。此时，由于四边形为，因此。由于线段为定值，因此若要使最短，只需令最短即可。根据两点之间线段最短，连接点交直线为点。此时最短，。 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，要在一条河上架一座桥（河的两岸互相平行，桥与河岸垂直），在如下四种方案中，使得，两地的路程最短的是（   ）       A．与河岸垂直 B．，，共线 C． D．与河岸垂直 【答案】C 【分析】本题考查最短路径中的造桥问题，熟练掌握平行四边形的判定与性质，以及两点之间线段最短．根据是河的宽最短，即直线（或直线），只要最短即可． 【详解】解：如图，过点作，且等于河宽，连接交直线与，作即可．    ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∴， ∴，，三点共线，，最短． ∴． 故选：C． 2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，直线、表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（    ）．    方案一   ①将点A向上平移得到； ②连接交于点M； ③过点M作，交于点N，即桥的位置． 方案二   ①连接交于点M； ②过点M作，交于点N，即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 【答案】A 【分析】本题考查两点之间线段最短，平移的性质，因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可，可利用平移解决问题． 【详解】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可． 垂直于河岸，， 连接，与另一条河岸相交于M，作直线， 由平移的性质，知，且， 根据“两点之间线段最短”，最短，即最短． 故方案一符合题意，方案二不是最短， 故选：A． 3．（24-25九年级上·重庆·开学考试）重庆是一座桥都，如图所示，嘉陵江在处直角转弯，河宽相同，都为0.5公里，从处到达处（到的水平距离是4.5公里，到的竖直距离是3.5公里），须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设嘉陵江以及两座桥都是东西、南北走向的，造的两座桥可使从到的路程最短，处到处的最短路径长为________公里． 【答案】6 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，平行四边形的性质，勾股定理等知识， 过A作，且等于河宽，过B作，且等于河宽，连接，与河岸相交于、．作、即为桥，根据平行四边形的性质得到，，然后得到处到处的最短路径长即为的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过A作，且等于河宽，过B作，且等于河宽，连接，与河岸相交于、．作、即为桥． 由作图可知，，， 则四边形为平行四边形， ， 同理，， ∴ ∴处到处的最短路径长即为的长度 ∵到的水平距离是4.5公里，到的竖直距离是3.5公里，河宽相同，都为0.5公里 ∴（公里） ∴（公里） ∴（公里） ∴处到处的最短路径长为6公里． 故答案为：6． 4．（23-24八年级下·福建漳州·期中）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方案如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸，于F，G．在上取，连接，交于D．在D处作到对岸的垂线，那么就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明．    【答案】见解析． 【分析】本题考查轴对称-最短问题，解题的关键是学会利用轴对称以及平行四边形的性质解决最短问题． 证明四边形为平行四边形得，可得，进而可说明方案可行． 【详解】解：，， ． ， ， 四边形为平行四边形， ． 根据两点之间线段最短可知， ． 与河岸垂直，为定值， 当时，路径最短． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？    【答案】见解析 【分析】根据桥垂直于河的两岸可得桥的长度为定值，将点A向下平移至点C，使的长等于河宽，连接，与河岸相交于点N，过点N作于点M，连接．利用平行四边形的性质可得为所建桥的位置． 【详解】解：如图，将点A向下平移至点C，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点N，过点N作于点M，连接．则为所建桥的位置．    ∵桥垂直于河的两岸， ∴可得桥的长度为定值， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点与点之间线段最短，为定值， ∴最短，即从A地到B地的路程最短， ∴为所建桥的位置． 【点睛】此题考查了平移及最短路径问题及平行四边形得判定与性质，主要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 6．（2025·江苏南京·模拟预测）架桥通常会考虑多种因素，其中一个就是路线规划，确保桥两边A，B两地间的路程尽量短，以减少通行时间和成本． (1)如图①，河l的宽度忽略不计，即桥的宽度忽略不计，请你在l上画出表示桥的位置的点P，使从A地经过桥到B地的路程最短． (2)如图②，河岸m和n之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间画出表示桥的位置的线段，使桥与河岸垂直，并且从A地经过桥到B地的路程最短． (3)如图③，河岸m和n，p和q之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间、p和q之间分别画出表示桥的位置的线段和，使每座桥与相应的河岸垂直，并且从A地经过2座桥到B地的路程最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，线段的性质：两点之间线段最短． （1）连接交直线l于点P，点P即为所求； （2）作直线m，使得河宽，连接交直线n于点C，作直线m于点D，连接，线段即为所求； （3）作直线m，使得河宽，直线p，使得河宽，连接交直线n于点C，交直线q于点E，作直线m于点D，作直线p于点F，连接，，线段，即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，点P即为所求； （2）解：如图②中，线段即为所求； （3）解：如图③中，线段，即为所求． / 学科网（北京）股份有限公司 $