旋转中的角度计算问题、线段上的动点计算问题专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学上册

旋转中的角度计算问题、线段上的动点计算问题专项训练 旋转中的角度计算问题、线段上的动点计算问题专项训练 考点目录 旋转中的角度计算问题 线段上的动点计算问题 考点一 旋转中的角度计算问题 例1．（25-26七年级上·内蒙古包头·期末）（1）如图1，把一副三角尺拼接在一起，其中与直线重合，，，则的度数为_____； （2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，当平分时，求出时间的值； （3）如图3，若三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺同时也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）；（3）存在，的值为21或25 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）当边平分时， ， ， 旋转角为：， ； （3）存在，    理由是：当在左侧时， 根据旋转可知：， ， ， ， 解得：； 当在右侧时，   ， ， ， ， ； 综上：的值为21或25． 例2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）点A，O，B依次在直线上，如图1，现将射线绕点O顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕着点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为t秒． (1)在旋转过程中，当时，的度数是______． (2)在旋转过程中，当或是某一个角（小于）的角平分线时，的值为______． 【答案】(1) (2)t的值为或或9或 【详解】（1）解：∵现将射线绕点O顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕着点O按逆时针方向以每秒的速度旋转， ∴当时，， 所以； 故答案为：； （2）解：∵现将射线绕点O顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕着点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，设旋转时间为t秒， ∴， ①当是的角平分线时， 那么， ∵， ∴， 解得； ②同理，当是的角平分线时，， 解得； ③当是的角平分线时，如图， ，平分， ， ，， ， ∴； ④当是的角平分线时，如图， ，平分， ， ∵， ， ∴； 综上所述，当或是某个角的角平分线时，t的值为或或9或． 例3．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒， ①当旋转_______秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图所示，当旋转时，则的度数为_______． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， =， ． 的度数为． （2）∵从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为， ∵ 与第一次重合的时间为：()； 故答案为：． ②，， 与第一次从相遇到分开所经历的时间为：()． （3）旋转时，，， ， ， ． 则的度数为 故答案为：． 例4．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）【操作拼图】 已知一副直角三角板先按图中的方式拼接在一起，其中与直线重合，，．    （1）在上述所拼图形中，的度数为_____°． 【问题探究】 （2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒3°的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值． 【拓展延伸】 （3）在按照[操作拼图]要求拼好图后，让三角板绕着点O以每秒3°的速度顺时针方向旋转的同时，三角板也绕着点O以每秒2°的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角板均在直线的上方，且当三角板AOB停止旋转时，三角板也停止旋转．设三角板的旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻使三条边中一边是另外两边所成角的角平分线？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）75；（2）15秒或秒；（3）9秒或秒或27秒 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：75． （2）当在外部，且时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当在内部，且时， ∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，旋转时间t的值为15秒或秒； （3）存在， 由得， ∴当时，与重合，此时三角板停止旋转， 当平分时，则，    ∴， 解得； 当平分时，则，    ∴， 解得； 当平分时，则：，    ∴， 解得：； 综上所述，或或． 变式1．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图1，点O为线段上一点，过点O作射线，使得，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在线段的下方． (1)将图（1）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转，使落在射线上（如图2），则线段由图1位置转动到图2位置，转动的角度为_____度； (2)继续将图（2）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转，使在的内部（如图3）．试求与度数的差? (3)若图（1）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转一周，在此过程中：设直角三角板绕点O按每秒的速度旋转，当直角边所在直线恰好平分时，直接写出三角板绕点O旋转时间t的值． 【答案】(1)90 (2) (3)或 【详解】（1）解：由图可知，转动的角为， 由题意可知，， 故答案为：； （2）解：由题意，可知，， ∴， ∴， 由图可知，，， ∴； （3）解：分两种情况讨论： 第一种：记初始位置为射线，当的延长线平分时，示意图如下， ∴， ∴， ∴， ， 故此时旋转时间； 第二种：记初始位置为射线，当平分时，示意图如下， 由第一种可知， ∴， 故旋转的角度为， ， 故此时旋转时间， 综上，三角板绕点O的旋转时间或． 变式2．（24-25七年级上·江苏南京·月考）如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为 ； (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部，试探究与之间满足的数量关系； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕 点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平 分，当射线，重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在，第二次相遇前，当时直接写出旋转时间为 秒． 【答案】(1) (2)当在外部时， 当在内部时， (3)秒或秒或60秒或70秒 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴三角板旋转的角：， 故答案为：； （2）解：当在外部时，， ∵，， ∴，， ∴； 当在内部时，， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴旋转前与的夹角为， ∴与第一次相遇的时间为（秒）， 此时旋转的角度为， ∴此时与的夹角为， 与第二次相遇的时间为（秒）， 设在与第二次相遇前，当时，需要的旋转时间为，根据题意得： ①， 解得：， 故（秒）； ②， 解得：， 故（秒）； ③， 解得：（秒）； ④， 解得：（秒）； 综上，在与第二次相遇前，旋转时间为秒或秒或60秒或70秒， 故答案为：秒或秒或60秒或70秒． 变式3．（25-26七年级上·云南昭通·期末）校园数学实践课上，学生们开展角的旋转探究活动．如图，在的内部作射线，使与互补，将射线，同时绕点分别以每秒，每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线，分别记为，，设旋转时间为秒()，且． (1)______°； (2)在旋转的过程中，当时，求的值． 【答案】(1)； (2)当时，的值为或． 【详解】（1）解：∵与互补， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，射线在内部，射线在内部， 由题意，得， ， 解得； 当时，射线在外部(含边界)，射线在内部(含边界)， 由题意，得， 解得， 综上，当时，的值为或． 变式4．（24-25七年级上·四川巴中·期末）【知识链接】旋转是运动学中的一个概念，指的是一个物体绕着一个固定的点或者轴旋转，使得物体或者点在平面上或者空间中呈现出旋转的运动状态．旋转也是一种常见的物理现象，也广泛应用于各个领域中，比如机械工程、航空航天、数学、物理、计算机图形学等．在数学中，旋转则是研究对称性和变形的重要工具，可用于研究复杂的几何图形等．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角． 【问题解决】如图1，直角三角尺的一个顶点O在直线上，且，一边在射线上，另一边在直线的上方，将直角三角尺在平面内绕点O顺时针旋转（时钟指针运动的方向），且平分平分，如图2，当时，求的度数； 【灵活运用】在图1中的直角三角尺旋转过程中，若平分平分，设，且，求的度数； 【拓展迁移】三角形的一个顶点O在直线上，一边在射线上，将三角形绕点O顺时针方向旋转（时钟指针运动的方向）（如图3），且旋转角的度数在到之间，平分平分，请通过计算找出与的数量关系． 【答案】问题解决：；灵活运用：；拓展迁移 【详解】解：问题解决：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴，， ∴； 灵活运用：当在上方时，如图所示： ∵平分平分， ∴， ， ∴； 当在下方时，如图所示： ∵平分平分， ∴， ， ∴； 综上分析可知：； 拓展迁移：当在上方时，如图所示： ∵平分平分， ∴， ， ∴； ； 当在下方时，如图所示： ∵平分平分， ∴， ， ∴； ； 综上分析可知：． 考点二 线段上的动点计算问题 例1．（25-26七年级上·广东广州·月考）动点从点出发以每秒3个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿的路径，以每秒个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒． (1)线段的长度为_______； (2)动点在数轴上对应的数为________；（用含t的代数式表示） (3)用含的代数式表示线段的长度； (4)当为何值时，点为线段的中点？ 【答案】(1)24 (2) (3)用含的代数式表示线段的长度为；；； (4)当的值为时，点为线段的中点． 【详解】（1）解：∵点、在数轴上分别对应和， ∴线段的长度为， 故答案为：． （2）解：∵点在数轴上对应，且动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动， ∴动点在数轴上对应的数为， 故答案为：． （3）解：由题意可知，动点从点出发运动到点所需时间为秒，动点从点运动到点所需时间为秒，从点运动到点所需时间为秒， ①当时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为， 若点与点相遇，即，解得，即此时点与点不可能相遇， 则线段的长度为； ②当时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为， 若点与点相遇，即，解得，即此时点与点不可能相遇， 则线段的长度为； ③当时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为6， 则线段的长度为； 综上，当时，线段的长度为；当时，线段的长度为；当时，线段的长度为． （4）解：①当时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为， ∵点为线段的中点， ∴， 解得，不符合题设，舍去； ②当时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为， ∵点为线段的中点， ∴， 解得，符合题设； ③当时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为6， ∵点为线段的中点， ∴， 解得，不符合题设，舍去； 综上，当为时，点为线段的中点． 例2．（24-25七年级上·江西九江·月考）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    例3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，7． (1)点A到点B的距离______，点B到点C的距离______； (2)若动点M，N分别从点B、点C出发，以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，点M，N，P同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点M，N，P表示的数分别为______，______，______（用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，动点M是线段的中点？ ③探究的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【答案】(1)6，11． (2)①，，．②．③的值不变，为30． 【详解】（1）解：∵A，B，C，表示的数分别是，，7， ∴． 故答案为：6，11． （2）①∵点B表示的数是，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动， ∴t秒后，点M表示的数为， ∵点C表示的数是7，动点N从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动， ∴t秒后，N表示的数为， ∵点A表示的数是，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动， ∴t秒后，P表示的数为． 故答案为：，，． ②∵点M，N，P分别表示的数是，，，且点P在点M的左边，点N在点M的右边， ∴， 当动点M是线段的中点时，， ∴， 解得． 答：当时，动点M是线段的中点． ③∵， ∴ ． 答：的值不变，为30． 例4．（25-26七年级上·吉林·期末）如图，点C是线段 上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿直线向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线向右运动，当点Q再次回到点B时，动点P，Q同时停止运动．设运动时间为t秒． ①当t为何值时，点 P与点Q 重合？ ②当t为何值时，？ 【答案】(1)，； (2)①当为4或时，点与点重合；②的值为3或5或时， 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴． （2）解：①由题意可知，，点与点重合有两种情况：点从到向左运动时、点到达点后掉头向右运动时， 当点向左运动时，，解得； 当点向右运动时，，解得； 答：当或时，点与点重合． ②当动点没有相遇时，两点相距5时， ，解得； 当动点第一次相遇后，向右运动，向左运动，两点相距5时， ，解得， ， 此时点Q正好到达点A； 因此当动点第一次相遇后，向右运动，刚开始向右运动时，两点相距5； 当动点第二次相遇后，向右运动，向右运动两点相距5时， ， 解得； 综上所述，的值为3或5或时，． 变式1．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知． (1)求的值； (2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，，． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次多项式，二次项的系数为b， ，， ， ， ， ， ， ，，． （2）设点P的出发时间为t秒， 由题意得：，，，，， 当时，如图1， ， ， ∴； 当时，此时点Q与点A重合，如图2， 此时，点F对应的数值为，点P在点O的右侧， ， 点E对应的值为， ， ， ， ； 综上，的值是定值，值是2． 变式2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设点C运动时间为t秒． (1)①两点之间的距离为_______，线段的中点表示的数为_______． ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为_______，点D表示的数为_________． (2)当时，描述C、D 两点的位置关系． (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1)①12，1；②， (2)C、D 两点重合，理由见解析； (3)不随着时间t的变化而变化，理由见解析． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为7， ，两点间的距离等于，线段的中点表示的数为； 故答案为：，； ②t秒后，点C表示的数为；点D表示的数为； 故答案为：，； （2）解：当时， 点所表示的数为， 点所表示的数为， 则C、D 两点重合； （3）解：点C运动4秒后，点E表示的数为， ∴， ∴． ∴的值不随着时间t的变化而变化． 变式3．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）（1）根据下图作法， 填空： 已知线段，，作射线； 在射线上依次截取； 在射线上截取；结论：如图，线段即为所求．此时 （用含，的式子表示）    （2）在（1）的作图基础上，若， ， 点为线段的中点， 点为的中点，求的长． （3）数轴是初中数学的一个重要工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．     在数学学科活动月中，七年级数学兴趣小组开展了数轴拓展探究活动、兴趣小组对（1）中的图进行了改变，把（1）中的图放在了数轴上（如图2），数轴上点表示的数为，原点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．并将数轴在点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”（如图3）；规定：把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的求知距离，例如：点和点在折线数轴上的求知距离为个单位长度，并表示为．动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度，沿着“折线数轴”向其负方向运动，点到达点后返回、动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度，沿着“折线数轴”向其正方向运动，到达点停止．点和点同时出发，且点停止运动时点也随之停止（“折线数轴”上的动点从点到点时，速度变为初始速度的 从点到点时，速度变为初始速度的两倍，过了即恢复初始速度）．设点的运动时间为，当时，请求出的值．    【答案】 （1） （2）的长为． （3）当时，的值为或或． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∵ ， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴． ∴的长为．    （3）解：由运动过程可得， 点从到的时间为，从到的时间为，从到的时间为， 点从到的时间为，从到的时间为，从到的时间为，从到的时间为， 当到达点时，点表示的数为， 根据题意可知，运动时间为， 当点到达点时，点对应的数为， 点和点从出发到相遇的时间为， 当时， 、相遇前，， 解得， 、相遇后点P未到达A前，， 解得； 、相遇后点P从A返回，， 解得， ∴当时，的值为或或． 变式4．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点B表示的数 ；点P表示的数 （用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好又等于2？ (4)若M为的中点，N为的中点，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】(1)， (2)2.25或2.75秒 (3)9或11秒 (4)图见解析，线段MN的长度不发生变化，其值为10 【详解】（1）解：数轴上点B表示的数：， 点P表示的数：， 故答案为：，； （2）解：若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况： ①点P、Q相遇之前， 由题意得，解得； ②点P、Q相遇之后， 由题意得，解得． 答：若点P、Q同时出发，2.25或2.75秒时P、Q之间的距离恰好等于2； （3）解：设点P运动秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况： ①点P、Q相遇之前， 则， 解得：， ②点P、Q相遇之后， 则， 解得：， 答：若点P、Q同时出发，9或11秒时P、Q之间的距离恰好又等于2； （4）解：线段的长度不发生变化，都等于10；理由如下： ①当点P在点A、B两点之间运动时： ， ②当点P运动到点B的左侧时： ， ∴线段的长度不发生变化，其值为10． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $旋转中的角度计算问题、线段上的动点计算问题专项训练 旋转中的角度计算问题、线段上的动点计算问题专项训练 考点目录 旋转中的角度计算问题 线段上的动点计算问题 考点一 旋转中的角度计算问题 例1．（25-26七年级上·内蒙古包头·期末）（1）如图1，把一副三角尺拼接在一起，其中与直线重合，，，则的度数为_____； （2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，当平分时，求出时间的值； （3）如图3，若三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺同时也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．    例2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）点A，O，B依次在直线上，如图1，现将射线绕点O顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕着点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为t秒． (1)在旋转过程中，当时，的度数是______． (2)在旋转过程中，当或是某一个角（小于）的角平分线时，的值为______． 例3．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒， ①当旋转_______秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图所示，当旋转时，则的度数为_______． 例4．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）【操作拼图】 已知一副直角三角板先按图中的方式拼接在一起，其中与直线重合，，．    （1）在上述所拼图形中，的度数为_____°． 【问题探究】 （2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒3°的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值． 【拓展延伸】 （3）在按照[操作拼图]要求拼好图后，让三角板绕着点O以每秒3°的速度顺时针方向旋转的同时，三角板也绕着点O以每秒2°的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角板均在直线的上方，且当三角板AOB停止旋转时，三角板也停止旋转．设三角板的旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻使三条边中一边是另外两边所成角的角平分线？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图1，点O为线段上一点，过点O作射线，使得，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在线段的下方． (1)将图（1）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转，使落在射线上（如图2），则线段由图1位置转动到图2位置，转动的角度为_____度； (2)继续将图（2）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转，使在的内部（如图3）．试求与度数的差? (3)若图（1）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转一周，在此过程中：设直角三角板绕点O按每秒的速度旋转，当直角边所在直线恰好平分时，直接写出三角板绕点O旋转时间t的值． 变式2．（24-25七年级上·江苏南京·月考）如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为 ； (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部，试探究与之间满足的数量关系； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕 点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平 分，当射线，重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在，第二次相遇前，当时直接写出旋转时间为 秒． 变式3．（25-26七年级上·云南昭通·期末）校园数学实践课上，学生们开展角的旋转探究活动．如图，在的内部作射线，使与互补，将射线，同时绕点分别以每秒，每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线，分别记为，，设旋转时间为秒()，且． (1)______°； (2)在旋转的过程中，当时，求的值． 变式4．（24-25七年级上·四川巴中·期末）【知识链接】旋转是运动学中的一个概念，指的是一个物体绕着一个固定的点或者轴旋转，使得物体或者点在平面上或者空间中呈现出旋转的运动状态．旋转也是一种常见的物理现象，也广泛应用于各个领域中，比如机械工程、航空航天、数学、物理、计算机图形学等．在数学中，旋转则是研究对称性和变形的重要工具，可用于研究复杂的几何图形等．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角． 【问题解决】如图1，直角三角尺的一个顶点O在直线上，且，一边在射线上，另一边在直线的上方，将直角三角尺在平面内绕点O顺时针旋转（时钟指针运动的方向），且平分平分，如图2，当时，求的度数； 【灵活运用】在图1中的直角三角尺旋转过程中，若平分平分，设，且，求的度数； 【拓展迁移】三角形的一个顶点O在直线上，一边在射线上，将三角形绕点O顺时针方向旋转（时钟指针运动的方向）（如图3），且旋转角的度数在到之间，平分平分，请通过计算找出与的数量关系． 考点二 线段上的动点计算问题 例1．（25-26七年级上·广东广州·月考）动点从点出发以每秒3个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿的路径，以每秒个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒． (1)线段的长度为_______； (2)动点在数轴上对应的数为________；（用含t的代数式表示） (3)用含的代数式表示线段的长度； (4)当为何值时，点为线段的中点？ 例2．（24-25七年级上·江西九江·月考）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 例3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，7． (1)点A到点B的距离______，点B到点C的距离______； (2)若动点M，N分别从点B、点C出发，以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，点M，N，P同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点M，N，P表示的数分别为______，______，______（用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，动点M是线段的中点？ ③探究的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 例4．（25-26七年级上·吉林·期末）如图，点C是线段 上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿直线向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线向右运动，当点Q再次回到点B时，动点P，Q同时停止运动．设运动时间为t秒． ①当t为何值时，点 P与点Q 重合？ ②当t为何值时，？ 变式1．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知． (1)求的值； (2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由． 变式2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设点C运动时间为t秒． (1)①两点之间的距离为_______，线段的中点表示的数为_______． ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为_______，点D表示的数为_________． (2)当时，描述C、D 两点的位置关系． (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由． 变式3．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）（1）根据下图作法， 填空： 已知线段，，作射线； 在射线上依次截取； 在射线上截取；结论：如图，线段即为所求．此时 （用含，的式子表示）    （2）在（1）的作图基础上，若， ， 点为线段的中点， 点为的中点，求的长． （3）数轴是初中数学的一个重要工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．     在数学学科活动月中，七年级数学兴趣小组开展了数轴拓展探究活动、兴趣小组对（1）中的图进行了改变，把（1）中的图放在了数轴上（如图2），数轴上点表示的数为，原点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．并将数轴在点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”（如图3）；规定：把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的求知距离，例如：点和点在折线数轴上的求知距离为个单位长度，并表示为．动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度，沿着“折线数轴”向其负方向运动，点到达点后返回、动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度，沿着“折线数轴”向其正方向运动，到达点停止．点和点同时出发，且点停止运动时点也随之停止（“折线数轴”上的动点从点到点时，速度变为初始速度的 从点到点时，速度变为初始速度的两倍，过了即恢复初始速度）．设点的运动时间为，当时，请求出的值．    变式4．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点B表示的数 ；点P表示的数 （用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好又等于2？ (4)若M为的中点，N为的中点，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $