7.2.2单位圆与三角函数线（教学课件，含交互动画）高一数学人教B版必修第三册

第2课时 单位圆与三角函数线 7.2 任意角的三角函数 第七章 三角函数 学 习 目 标 1 2 3 准确理解单位圆的定义 ()，并能运用转化思想，推导出角 的终边与单位圆交点坐标为 . 掌握正弦线、余弦线、正切线的几何定义，能规范作出任意角的三角函数线，并利用其求三角函数值 观察三角函数线的几何表示，建立“数”与“形”的直观联系，深化数形结合思想，发展几何直观与空间想象能力. 新课导入 已知若 是 终边上异于原点的点，，如何表示任意角的三角函数？ 任意角的三角函数 问题：如果选取 点满足 表达式如何简化？ 由 得 故 ， 这能带来什么直观意义？下面我们将进行探索. 新知探究 探究一：单位圆 如图，如果 ，则： , . 点到原点的距离如下： 因此 到原点 的距离为 1 一般地, 在平面直角坐标系中, 坐标满足 的点组成的集合称为单位圆. 单位圆与三角函数有什么联系？ 新知探究 探究二：正弦线与余弦线 如果角 的终边与单位圆的交点为 则 的坐标为 由, 可知： ①角 的余弦等于角 终边与单位圆交点的横坐标 ②角 的正弦等于角 终边与单位圆交点的纵坐标 单位圆与任意角的三角函数存在以下关系： 那么如何根据以上关系绘制三角函数线？ 新知探究 （1）过角 终边与单位圆的交点 作 轴的垂线, 垂足为 可表示为 ② 可表示为 由, 可知： 终边 即为余弦线 即为正弦线 （2）三角函数线的方向 ①的方向与轴正方向相同时， ②相反时， 利用角的正弦线和余弦线, 可以直观地看出角的正弦和余弦的信息. ③类似的，也可以得到正弦线的符号规则 知识小结 正弦线与余弦线 ①从点 向 轴​ 作垂线，垂足为 。 就叫做角 的正弦线. 几何表示：​ 的长度等于 ，其方向（正负）由 的指向决定. ②从点 向 轴​ 作垂线，垂足为 。就叫做角 的余弦线. 几何表示：​ 的长度等于 ，其方向（正负）由 的指向决定. 即时训练 1.如图，已知点A是单位圆与轴的交点，角的终边与单位圆的交点为，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线､余弦线分别是（ ） A．有向线段OM，AT B．有向线段OM，MP C．有向线段MP，AT D．有向线段MP，OM 【解析】由题图知：圆O为单位圆， 则，且， 故角的正弦线､余弦线分别是有向线段MP，OM. D 新知探究 如果 的终边不在 轴上，且 是 终边上异于原点的任意一点，则 . 如何给出正切的一个直观表示? 探究三：正切线的动态构造 1.作直线 2.作角的终边 3.难点突破：明确交点的两种情况： ①终边与直线 相交于点 (如)。 ②终边反向延长线与直线 相交于点(如)。 新知探究 正切线是角终边或其反向延长 线与直线的交点和连线构成的有向线段，纵坐标即为. 由此可以得出以下结论： 如图， 可以直观地表示 ，因此 称为角 的正切线. 下面我们一起来看看角α从第一象限旋转到第四象限的过程，观察正切线的变化，特别是如何通过反向延长线确保正切线的存在性. 课堂活动 点击右侧图标进入 知识小结 正切线 设直线与 轴的交点为 ,若角 的终边与直线交于点 , 则 有 向 线 段 称为角的正切线. 符号表示： 方向与符号： ①若 方向向上(点在 上方),则 ②若方向向下 (点在 下方),则 即时训练 2.作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线． （1）； （2） 解：（1）如图所示，正弦线为有向线段，余弦线为有向线段，正切线为有向线段； （2）如图所示，正弦线为有向线段，余弦线为有向线段，正切线为有向线段. 例题讲解 作出和的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切. 例1 【分析】如图所示，在平面直角坐标系中作出单位圆以及直线，单位圆与轴交于点.再根据三角函数线的定义画出相对应的线即可. 解： ①作的终边与单位圆的交点，过作轴的垂线，垂足为； 延长线段，交直线于 则的正弦线为，余弦线为，正切线为. 类似可得到的正弦线为，余弦线为，正切线为. 例题讲解 ②求值 在图中，根据直角三角形的知识可知， ，，，，， 所以 ，，； ，. 例题讲解 例2 将如图所示的摩天轮抽象成图所示的平面图形， 然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为轴，建立平面直角坐标系。设 到地面的高 为 m,点 为转轮边缘上任意一点，转轮半径 OP 为 m.记以 OP 为终边的角为 ,点 离地面的高度为 m,试用与 表示 【分析】利用正弦线来表示点的高度，高度 例题讲解 解：过点作轴的垂线,垂足为,则: 当的终边在第一、二象限或轴正半轴上时 ,此时 ; 当的终边在第三、四象限或轴负半轴上时 因为,所以 此时 ; 当的终边在轴上时, 此时 . 所以,不管的终边在何处,都有 h=. 新知探究 如果一个角大小为 且 , 那么 , , 都是实数. 请你给出 的一个具体值, 比较这 3 个实数的大小. ： 想一想, 你得到的大小关系是否对区间 上的任意 都成立. 新知探究 证明对任意 都成立（几何意义：面积法） 考虑单位圆（半径 ），作圆心角 （弧度，），过点 作圆的切线交 的延长线于 。 ① ② ③ 因此面积满足： 将以上不等式化简，最终得：在恒成立 点击可进行动态演示 巩固提升 1.已知角的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则的终边在（　　） A．第一象限的角平分线上 B．第四象限的角平分线上 C．第二、第四象限的角平分线上 D．第一、第三象限的角平分线上 【分析】由题意可知角终边上的点的纵坐标和横坐标互为相反数. 【详解】因为角的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等， 所以角终边上的点的纵坐标和横坐标互为相反数， 所以的终边在第二、第四象限的角平分线上. C 巩固提升 D 2.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】设的终边与单位圆相交于点 根据三角函数线的定义可知 ，，， 显然. 所以. 巩固提升 3.作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线． （1）； （2）； 【解析】（1）如图所示，正弦线为有向线段，余弦线为有向线段，正切线为有向线段； （2）如图所示，正弦线为有向线段，余弦线为有向线段，正切线为有向线段 巩固提升 在中，，所以. 4.若，证明：； 【分析】利用正切线与余弦线的定义，结合三角形两边之和大于第三边即可得证； 解：如图，在平面直角坐标系中作出角，角的正弦线和余弦线. 由，为直角三角形 且，， 课堂总结 点击上面图标，进入本节课的课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 要点回顾 感谢聆听! 单位圆与正切线 观察角 α 旋转时正切线的变化，理解反向延长线的几何意义。 角度 (Angle) 0° 0 rad 正切值 (tan α) 0.00 sin α 0.00 cos α 1.00 自动演示 手动旋转 拖动滑块 0° 90° 180° 270° 360° 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 观察重点 当角 α 在第一象限时，终边直接与正切线 x=1 相交。 单位圆 (r=1) 正切线 (x=1) 角 α 终边 反向延长线 ∑ 几何证明可视化 单位圆几何演示 拖动滑块改变角度 角度 x (弧度) 0.785 0 π2 内部三角形 △OAB S = 12sin x 扇形区域 扇形 OAB S = 12x 外部三角形 △OAC S = 12tan x 几何面积法证明 步骤 1: 计算面积 △OAB 面积: S1 = 12 · 1 · 1 · sin x = 12sin x 扇形 OAB 面积: S2 = 12 · 12 · x = 12x △OAC 面积: S3 = 12 · 1 · tan x = 12tan x 步骤 2: 比较大小 由图可知包含关系： △OAB ⊂ 扇形OAB ⊂ △OAC 因此面积满足： S1 < S2 < S3 步骤 3: 得出结论 12sin x < 12x < 12tan x 两边同时乘以 2 sin x < x < tan x (x ∈ (0, π2)) 实时数值监测 sin x 0.707 x (弧度) 0.785 tan x 1.000 课堂小结 单位圆与三角函数线 01 知识点回顾 02 易错点警示 03 解题技巧 人教B版 · 必修三 核心定义与公式 x y O α 的 终边 T β 的 终边 S A 1 1. 单位圆 在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度1为半径的圆。 2. 三角函数线（有向线段） 正弦线：设角 α 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，则向量 MP 为正弦线。 余弦线：向量 OM 为余弦线。 正切线：过点 A(1,0) 作单位圆的切线，与角 α 的终边（或其反向延长线）交于点 T，则向量 AT 为正切线。 易错点警示 误区一：混淆“长度”与“有向线段” 三角函数线是有向线段，其数值等于三角函数值，包含正负。不能只看长度，必须注意方向（坐标）。例如，当角 α 在第三象限时，正弦线 MP 的方向与 y 轴负方向相同，表示负值。 误区二：正切线的画法错误 画正切线时，切点必须是单位圆与 x 轴正半轴的交点 A(1,0)。切勿在 (-1,0) 处作切线，也不要忘记延长终边的反向延长线去寻找交点。 误区三：忽略正切线存在的条件 当角 α 的终边落在 y 轴上（即 α = kπ + π/2）时，终边与切线平行，无交点，此时正切线不存在，正切值也不存在。 解题技巧与模型 数形结合法 利用三角函数线将“数值大小”转化为“线段位置”进行比较。 典型应用：比较大小 例：比较 sin 1 与 sin 1.5 思路：在单位圆中分别作出 1 弧度和 1.5 弧度的正弦线，观察 MP 的纵坐标大小。显然 1.5 弧度更接近 π/2，其正弦线更长且为正。 区域判断法 利用三角函数线解三角不等式，将不等式转化为单位圆上的弧。 典型应用：解不等式 例：解 sin x > 1/2 思路： 1. 作直线 y = 1/2 交单位圆于两点。 2. 取直线上方的圆弧部分。 3. 写出对应角的范围：(π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ)。 💡 总结口诀 “正弦看纵，余弦看横，正切看切线交点。” “比较大小画个圆，线段长短一眼见。” $