精品解析：辽宁省沈阳市东北育才学校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

2025—2026学年度上学期期末考试高一年级数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题，本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 3. 样本数据13，10，14，14，15，20，22，24的75%分位数为（ ） A. 15 B. 20 C. 21 D. 22 4. 命题“，”的否定形式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，，则，，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，为函数的一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题，本大题共3个小题，每个小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，事件为“点数为偶数”，事件为“点数是或”，事件为“点数大于”，下列说法正确的是（ ） A. 和是互斥事件 B. 和是相互独立事件 C. D. 10. 已知向量，，，其中，，，且，则（ ） A. B. C. D. 与共线 11. 已知，，满足，给出下列四个结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题，本大题共3个小题，每小题5分，共15分 12. 若函数的图象恒过定点，且点在幂函数图象上，则_____. 13. 如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则_____. 14. 已知函数，关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为_____. 四、解答题，本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 设集合， （1）若，求实数的取值范围. （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 给出下面两个条件：①函数的图像与直线只有一个公共点； ②函数的两个零点的差的绝对值为2，在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数的解析式确定. 已知二次函数满足，且_____. （1）求的解析式 （2）若函数在有两个零点，求实数的取值范围 17. 少年强则国强，少年智则国智，中小学一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生的身体素质，比如：学校食堂计划提供营养餐试吃活动，需从学校学生中抽取一些学生去试吃.通过对学生的营养健康监测，在学校的3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图，如图所示： （1）根据图表，请估计出样本的众数、平均数 （2）已知体重在的学生中有6名男同学，其余为女同学，现从此体重区间的男同学和女同学中各选取一名同学去参加试吃活动，求男同学甲被选中且女同学乙没被选中的概率. （3）现用按比例分配的分层随机抽样的方法，从体重在区间和的学生中，共抽取5人，从这5人中，再抽取3人，求这3人中至少有1人体重在内的概率. 18. 已知函数，的图象关于原点对称. （1）求的值； （2）若在上不等式恒成立，求满足条件的最小整数. （3）若存在区间，使得在该区间上的值域为，求实数的取值范围. 19. 在函数、方程、不等式的问题中，总有任意存在性的问题，比如：函数，的定义域分别为，，对，，，即的值域是的值域的子集. （1）若函数，，且对，，使得，求实数的取值范围. （2）若定义在上的函数，，对，，，，，，求实数的取值范围. （3）若定义在上的函数，满足，当时，，且函数，若对，总，，，且互不相等，求正实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期末考试高一年级数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题，本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可化简集合A，集合B表示函数的定义域，然后由交集，补集定义可得答案. 【详解】因为或，则或， 集合B表示函数的定义域，则， 则或， 从而. 故选：A 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】由题意若，则，解得，故C正确. 故选：C. 3. 样本数据13，10，14，14，15，20，22，24的75%分位数为（ ） A. 15 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算. 【详解】将数据从小到大排列为，共8个数据， 因为，所以75%分位数为. 故选：C 4. 命题“，”的否定形式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用存在性量词命题的否定进行求解即可. 【详解】命题“，”的否定形式为“，”. 故选：B 5. 已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性和函数值的正负逐项判断即可. 【详解】由函数图象可知，为奇函数， 对于A，由可得，即函数定义域为，关于原点对称， 又，偶函数，故错误， 对于B：由可得，即函数定义域为，关于原点对称， 当时，，即，不符合，故错误， 对于D，由得即函数定义域为，关于原点对称， 又当时，，不符合，故错误， 对于C， 由可得，即函数定义域为，关于原点对称， 又，奇函数， 当时，，即， 当时，，即，图象符合， 故选：C 6. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，根据函数单调性可得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由，可知定义域为， 又， 即， 则， 所以， ， 因为在定义域内单调递增， 所以在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增， 因为在定义域内单调递增，在定义域内单调递增， 由复合函数单调性可知，在定义域内单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为，正实数，满足，， 若，则，不满足， 所以，故，即，所以， 则， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为， 故选：D 7. 已知，，，，则，，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数，指数函数，幂函数单调性，换底公式，基本不等式可比较大小. 【详解】注意到，则，从而； ，因，，则， 注意到， 又，从而； ，因， ，则， 从而； 综上可得：. 故选：A 8. 已知函数，，为函数的一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，得到，结合推出，判断的范围，结合构造函数，判断其单调性，求得，进而将代入，即可求得答案. 【详解】由题意知函数，，为函数的一个零点， 则，显然，则， 由于，故， 当时，，不符合题意， 当时，，则可化为， 令， 由于，则均在上单调递增，即得在上单调递增， 又， 故当时，，即得； 将代入得， 由于，故， 即的取值范围为， 故选：B 二、多项选择题，本大题共3个小题，每个小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，事件为“点数为偶数”，事件为“点数是或”，事件为“点数大于”，下列说法正确的是（ ） A. 和是互斥事件 B. 和是相互独立事件 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】求出样本空间，利用互斥事件定义即可判断A，利用独立事件的定义即可判断B，利用古典概型公式即可判断CD. 【详解】样本空间 对于A： ，所以和不是互斥事件，故A错误； 对于B：由 ，故B正确； 对于C.：由，故C错误； 对于D：由 ，故D正确. 故选：BD. 10. 已知向量，，，其中，，，且，则（ ） A. B. C. D. 与共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、判断A、B，进而确定三个向量构成一个直角三角形，再应用向量加减的几何意义、数量积的运算律判断C、D. 【详解】由题设，A对， 由，，， 所以，则，B错， 由上知且，，，，如下图， 显然三个向量构成一个直角三角形，且， 所以，D对， 由， 所以，C对. 故选：ACD 11. 已知，，满足，给出下列四个结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，利用基本不等式得到，计算得解；选项B，取特殊值，排除法得解； 选项C，取特殊值时，排除法得解；选项D，将的两边平方求出，由选项A可知，代入计算得解. 【详解】选项A，，， ，，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故选项A正确； 选项B，当时，成立，但，故选项B错误； 选项C，当时，由解得， 则， 即，故选项C错误； 选项D，将的两边平方得到， 即，即， 则，由选项A可知， 即，则有，，，即， 故，当且仅当时等号成立，故选项D正确. 故选：AD. 三、填空题，本大题共3个小题，每小题5分，共15分 12. 若函数的图象恒过定点，且点在幂函数图象上，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出的图象恒过定点，根据是幂函数设出，点在幂函数图象上，将点代入求出得到，从而求出. 【详解】，，的图象恒过定点， 是幂函数，， 在幂函数图象上，，，，. 故答案为：. 13. 如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用基底表示，利用算两次思想以及平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可得，， 因为三点共线，所以设， 则， 则， 由平面向量基本定理可得，，得. 故答案为： 14. 已知函数，关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，就的不同取值范围结合图象分别考虑内方程和外方程的根，分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】作出的简图，设，则； 方程有四个不同的实数根， 当时，由可得，显然不合题意； 当时，由可得或，此时，由图可知只有两个根，不合题意； 当时，由可得有三个解，不妨设， 此时，由图可知有一个根，有三个根，没有根，符合题意； 当时，由可得或，此时，由图可知只有两个根，不合题意； 当时，由可得有两个解，,, 不妨设，此时，由图可知有两个根，至多一个根，不合题意； 当时，由可得有两个解，不妨设， 此时，由图可知有两个根，也有两个根，符合题意； 当时，至多一个根，所以不可能有四个根. 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题，本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 设集合， （1）若，求实数的取值范围. （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式对应方程的判别式可得满足即可，可求出实数的取值范围. （2）依题意可得是的真子集，再对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ，有解， 因此可得， 得， 因此实数的取值范围为. 【小问2详解】 由题意可得是的真子集， ， ， 当时，，符合题意； 当，即时， （i）当时，， 因此，此情况无解； （ii）当时，， 所以， 综上，的取值范围是. 16. 给出下面两个条件：①函数的图像与直线只有一个公共点； ②函数的两个零点的差的绝对值为2，在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数的解析式确定. 已知二次函数满足，且_____. （1）求的解析式 （2）若函数在有两个零点，求实数的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选择条件①结合题干求解,代入顶点坐标求解析式， 选择条件②结合韦达定理和两零点关系，联立方程求解和解析式 （2）将零点问题转换为函数和图像交点问题，进而求范围. 【小问1详解】 选择条件① 因为 所以，，； 由题意知函数图象的顶点为， 而的顶点为， 故，解得， 所以. 选择条件② 因为 所以，，； 设函数的两个零点，，有2， 且由韦达定理得，， 所以， 所以，. 【小问2详解】 在有两个零点等价于 与直线的图象在有两个交点， 顶点坐标为，， 所以 17. 少年强则国强，少年智则国智，中小学一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生的身体素质，比如：学校食堂计划提供营养餐试吃活动，需从学校学生中抽取一些学生去试吃.通过对学生的营养健康监测，在学校的3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图，如图所示： （1）根据图表，请估计出样本的众数、平均数 （2）已知体重在的学生中有6名男同学，其余为女同学，现从此体重区间的男同学和女同学中各选取一名同学去参加试吃活动，求男同学甲被选中且女同学乙没被选中的概率. （3）现用按比例分配的分层随机抽样的方法，从体重在区间和的学生中，共抽取5人，从这5人中，再抽取3人，求这3人中至少有1人体重在内的概率. 【答案】（1）众数67.5，平均数66.75 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可得众数，根据平均数的求解方法可求得平均数； （2）根据独立事件的乘法公式，即可求得答案； （3）利用列举法，列举出总的事件空间的样本点以及“这3人中至少有1人体重在内”的样本点，根据古典概型公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知众数为67.5， 平均数为； 【小问2详解】 体重在的学生有人，男同学6人，女同学4人. 设“男同学甲被选中”为事件，“女同学乙没被选中”为事件， ， 男同学甲被选中且女同学乙没被选中的概率是 【小问3详解】 由题意可知体重在和的频率之比为， 在内抽取3人，设为，，， 在内抽取2人，设为， 设“这3人中至少有1人体重在内”为事件. 则总的事件空间的样本点为： ，，，，，，，，，，共10个 事件的样本点为：，，，，，，，，，共9个 故. 18. 已知函数，的图象关于原点对称. （1）求的值； （2）若在上不等式恒成立，求满足条件的最小整数. （3）若存在区间，使得在该区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质求参数值，并验证即可得； （2）问题化为在上恒成立，应用换元法及单调性求右侧的最大值，即可得； （3）由题设方程有两个不相等的实数解、，应用换元法及根与系数关系列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题意是定义域为的奇函数，，则，经检验，满足题意，故； 【小问2详解】 设，则，得，， 即的反函数， 现证在上恒成立，有 所以，由是增函数，得， 整理得，在上恒成立， 令，， 由在单调递减，则， 且，故最小整数； 【小问3详解】 在上单调递增，则，， 即方程有两个不相等的实数解、， 设，则方程变为，整理得， 所以有两个不相等的正实数根，，则， 解得，故. 19. 在函数、方程、不等式的问题中，总有任意存在性的问题，比如：函数，的定义域分别为，，对，，，即的值域是的值域的子集. （1）若函数，，且对，，使得，求实数的取值范围. （2）若定义在上的函数，，对，，，，，，求实数的取值范围. （3）若定义在上的函数，满足，当时，，且函数，若对，总，，，且互不相等，求正实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意分别求两函数值域，利用值域的包含关系求解关于的不等式即可； （2）求出的值域为，将问题转化为方程，实数根的个数问题，再根据的范围分类讨论二次函数的最值情况，进而分析求解满足题意的的范围即可； （3）根据利用对勾函数单调性，将问题转化为对于任意，在内至少有5个不同的实数解，进而求解的范围. 【小问1详解】 由题意，函数， 由函数单调递减，则其值域为； 函数， 由函数单调递增，则其值域为； 由题意知，值域为值域的子集，故， 则，解得， 故实数的取值范围. 【小问2详解】 的定义域为， ，，所以 ，即的值域为. 由题意，存在2个不同的实数，，使得，其中， 对，令，则， 所以方程在内至少有两个不同的实根. ， 当时，，在上单调递增， 则函数的值域为， 故对任意 ，方程在内恰有一个实数根； 因此，问题转化为：对任意，方程在上至少有一个实数根. 记， 设在上的值域为，则， 设函数在内的最大值与最小值分别为，则， ①当时，， 由函数在单调递减，则值域为，符合题意； ②当时，函数图象开口向上，对称轴， 其中，且， （i）当，即时， 则在上单调递减，上单调递增， 所以当时，， 故只需，即， 解得，或，又由，所以. 即符合题意； （ii）当，即时， 函数在上单调递减， 则，. 故只需，即，解得， 即符合题意； ③当时，函数图象开口向下，对称轴， 其中，且， 可知，当时，恒有，则任意，方程无解； 当时，函数单调递减，由且， 可知恰有1个实数根，符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 当时，； 当时，， 设函数， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，值域为，则， 即； 综上可知，的值域为. 因此，问题可转化为：对于任意，方程，至少有5个不同的实数根. 由，得， 故是周期函数，且周期为(). 当时，，故，且当，； 当时，则， 则， 可得； ①若，由，当时，由，解得； 当时，由，解得； 由函数在每一个周期内仅有个实数根； 故由函数的周期为，可得方程即的根为； 故要使方程，至少有5个不同的实数根， 则这个根应在区间内，即， 又由，解得； ②若时，当时，方程无实数根； 当时，由，即，解得， 故方程在有唯一实数根； 故方程在内有唯一实数根， 由函数的周期为，且在每一个周期内仅有个实数根， 故方程的根为； 故要使方程，至少有5个不同的实数根， 则由周期性可知，在区间内，从左起个实数根分别为：，只需， 故对任意，恒有成立，则， 由，则解得； 综上所述，正实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $