专题15 圆相关解答题&圆与其他知识综合题（10种类型60道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题15 圆相关解答题&圆与其他知识综合题 （10种类型60道） 考点01 垂径定理相关解答题 考点02 切线的性质 考点03 切线的判定 考点04 圆与三角形综合 考点05 圆与四边形综合 考点06 圆相关最值问题 考点07 圆相关动点问题 考点08 求阴影部分面积 考点09 四点共圆问题 考点10 圆与相似综合 考点01 垂径定理相关解答题 1．如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 2．如图，、是的两条弦，， 过点O作交于点 E， 交于点G，延长交于点 F． (1)求证：； (2)若，， 求的半径． 3．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 4．如图，是的直径，，点，在上，连结，，取，的中点，，连结，． (1)若，求的长． (2)若，，求的长． (3)若，，请用的代数式表示的长． 5．如图，在中，是直径，是弦，于点E，连接，． (1)证明：； (2)当，时，求的半径． 6．如图，是的外接圆，是的直径，半径，垂足为点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 考点02 切线的性质 7．如图1，在中，和互余，点D是上一点，以为直径作切于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，与交于点F，点F是的中点，，求的半径． 8．如图，为的直径，C为上一点，过点C的切线交延长线于点E，过点A作于点D，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 9．如图1，中，，以为直径的分别与边和相交于点E和F，过点E作的切线交边于点H． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，求的半径． 10．如图，四边形内接于，，过点D作的切线与延长线交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，，求半径长． 11．已知在中，弦与直径交于点． (1)如图①，若，，求的度数． (2)如图②，过点作的切线交的延长线于点．若，，求的度数． 12．如图，是的直径，弦，过点D作的切线交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点03 切线的判定 13．如图，是的直径，点，，是上三点，连接，，，，过点作，与的延长线相交于点． (1)如图，求证：是的切线； (2)如图，若是的中点，与相交于点，当半径为，时，求的长． 14．如图，在中，，平分交边于点D，在上取点O，使经过点A、点D，与交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，则的长是______． 15．如图，是的直径，点在半径上，过点作，连接与交于点，点在线段上，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若点是的中点，，求的长． 16．如图，内接于，是直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由 (2)若，，求的长． 17．如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 18．如图，内接于，为直径，的平分线交于点，交于，连接，，过点作交延长线于，作于，交于点，交于． (1)求证：为切线； (2)若，，求． 考点04 圆与三角形综合 19．如图，，是中相等的两条弦，过点O分别作于点F，于点G． (1)求证：； (2)延长交于点D，连接交的延长线于点E．若，，求的半径． 20．如图，在等边三角形中，以为直径的半圆O与边交于点D，于E． (1)求证：是半圆O的切线； (2)延长，相交于点G，求的值． 21．如图，为的直径，为上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点，垂足为点． (1)求证：为的中点； (2)若，，求的长． 22．如图，已知是的直径，与相切于点B，弦，连接并延长，交的延长线于点A． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 23．如图，在中，，以为直径作圆，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求圆的半径及的长． 24．如图，是的直径，是切线，切点是A，是弦，连接、，交于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)连接，，求证：； (3)若，求的值． 考点05 圆与四边形综合 25．如图1，在矩形中，，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动，两点同时出发，设运动时间为，是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与边的位置关系是 ． (2)连接，则长的取值范围是 ． (3)如图2，连接，当与线段相切时，求t的值． 26．已知四边形内接于，过C、D分别作的切线，，若，为的一条直径，设与交于P点 (1)判断线段、、的数量关系，并证明 (2)若也是的一条直径，连接、，设，求的值 27．已知是的直径，于点E，连接． (1)如图1，延长交于点F，连接并延长交的延长线于点P，求证：； (2)如图2，过点B作，垂足为点G，交于点H，连接，且点O和点A均在的左侧．若，，． ①求的半径； ②求的度数． 28．如图，菱形中，，以为直径作，交于点E，过点E作于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长． (3)在（2）的条件下，若点G是上的一个动点，则线段CG的取值范围是什么？ 29．已知四边形是的内接四边形，是直径，，垂足为． (1)如图1，延长交于点，延长，交点，求证：； (2)如图2，过点作，交于点，垂足为，点和点都在的左侧，且． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，，求，的大小． 30．如图，在矩形中，G为的中点，的外接圆交于点F． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 考点06 圆相关最值问题 31．问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 32．（1）如图1，在平面直角坐标系中，的半径为2，，C是上的一个动点． ①求的最小值； ②求最小值． （2）如图2，在平面直角坐标系中，，P是第一象限的一个动点，，求最小值． 33．如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 34．如图，为等边的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接，，． (1)求证：是的平分线； (2)设线段的长为x，请你通过计算用含x的代数式表示四边形的面积S； (3)若点M，N分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点D的运动，的周长的最小值也会发生变化，则在周长的所有最小值中的最大值为___________． 35．问题解决： (1)如图，半圆的直径，点是半圆上的一个动点，则的面积最大值是 ． (2)如图，在扇形中，，，点分别在和上，且，是的中点，点在弧上．连接，四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． (3)如图，四边形中，，，，四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 36．如图，为的外接圆，是直径， ，，点是上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求的半径； (2)连接，，当时，求四边形的面积； (3)连接，，当四边形面积最大值，求的长； (4)连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，直接写出的最大值． 考点07 圆相关动点问题 37．如图，在直角梯形中，，，，，，为的直径，动点从点开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从点、同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)当为何值时，与相切？ 38．已知：如图1，中，，，动点从点出发沿线段以的速度向点运动，同时动点从点出发沿线段以的速度向点运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止，设运动时间为（单位：），以点为圆心，长为半径的圆与射线，线段分别交于点，．    (1)当是等腰三角形时，求t的值； (2)设，求与的函数解析式，且写出的取值范围； (3)如图2，连接，直接写出当为何值时，线段与相切？ 39．如图，半圆O与直线相切于点，为半圆O的直径，．P为直线上的一动点，过点P作射线，，射线随点P的移动而平移． (1)如图1，移动点P，使得射线与半圆O交于点D，E，连接，．当时，求的长． (2)如图2，移动点，使得射线经过点C，射线与半圆O交于另一点F，求的长． 40．如图，在中，为直径，点，点P是上的一个动点．        (1)如图1，点P是弧上的一个动点，连接分别交直径于点F、 ①如果，则______ ， ______ 填“>”或“<”或“=”； ②求证： (2)如图2，点P是弧上的一个动点，连接交直径于点 E 作射线交的延长线于点图中有和相等的线段吗？如果有请写出并证明，如果没有请说明理由； (3)如图1，点P是弧上的一个动点，连接分别交直径于点F、设的半径为r，，，求出的长（用含m，n，r的代数式表示） 41．已知：如图1，中，，，动点P从点C出发沿线段以的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段以的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t，以点Q为圆心，长为半径的圆Q与射线、线段分别交于点D、E． 尝试：当是等腰三角形时，求t的值； 探究：设，求与t的函数解析式，且写出t的取值范围； 拓展：如图2，连接，当t为何值时，线段与相切？ 延伸：如图2，若与线段只有一个公共点，求t的取值范围．    42． (1).【问题情境】（1）点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为2，且，则点P到点A的最长距离为 ； (2).【直接运用】（2）如图2，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是弧上的一个动点，连接，求的最小值； (3).【灵活运用】（3）如图3，的直径为8，弦，点C为优弧上的一动点，，交直线于点M，求面积的最大值． 考点08 求阴影部分面积 43．如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得到扇形，若，交于点． (1)连接，求的度数； (2)请直接写出阴影部分面积与扇形的面积、三角形的面积的数量关系；并求出阴影部分的面积． 44．如图，四边形内接于，为直径，过点作于点，，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求、与弧围成阴影面积部分的面积． 45．如图，、是的切线，、是切点，是的直径，连接，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积； (3)若，且，求切线的长． 46．如图，在半径是4的⊙O中，点Q为优弧MN的中点，圆心角∠MON=60°，在弧NQ上有一动点P，且点P到弦MN的距离为x．    （1）当M、O、P三点共线时，求阴影部分的面积； （2）试求阴影部分面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）试比较阴影部分面积y与扇形MON的面积大小． 47．如图，PA是的切线，切点为A，AC是的直径，连接OP交于D．过点C作，连接AB交OP于点E． （1）求证：PB是的切线； （2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是，求阴影部分的面积； （3）若且，求AB的长度． 48．如图，在□ABCD中，AD=，□ABCD的面积是，⊙O与□ABCD的三条边分别相切于点D、E、F，交AD于点G，DG=3AG． （1） 求⊙O的半径的长； （2） 求阴影部分的面积（保留π）． 考点09 四点共圆问题 49．【综合与实践】九年级同学小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”的数学活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．继续探究如下： 【提出问题】 如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究证明过程展示： 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则（依据1）． ∵， ∴， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（依据2）， ∴点B，D在点A，C，E所确定的上． ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 【反思归纳】 （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2“分别是指什么？ 依据1：；依据2：． 【拓展延伸】 （2）如图3，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点D，连接．小明发现，旋转过程中，点D始终为的中点，为验证这结论，判断A，D，B，C四点共圆后可得出结论． 请你帮小明完成探究过程： ①证明：A，D，B，C四点共圆； ②证明： 50．阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若，则四点共圆；或若，则四点共圆． (1)如图1，已知，，则_____； (2)如图2，若为等腰的边上一点，且，求的长； (3)如图3，正方形的边长为4，等边内接于此正方形，且，，分别在边，，上，若，求的长． 51．定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，那么我们把这称为四点共圆． (1)下列几何图形的四个顶点构成四点共圆的有　 　．（填序号）①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤等腰梯形． (2)已知△ABC中，∠A＝40°，如图1，平面上一点D，使得A、B、C、D四点共圆，试求∠BDC的度数． (3)若△ABC的外接圆为⊙O，半径为r，平面上有两点E、F，分别与△ABC的三个顶点构成四点共圆（E在AB的左侧，F点在AC的右侧），如图2．①试判断∠E+∠F﹣∠BAC的值是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由；②若BC弦的长度与⊙O的半径r之比为：1，并且边AB经过圆心O，如图3，试求五边形AEBCF的最大面积（用含r的式子表示）． 52．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1，中，．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：A，E，B，D四点共圆； (2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线． 53．综合与实践 【问题提出】 在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题： 如图1，中，，．点是边上的一动点（点不与，重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接． 【初步感知】 （1）求证：A，，，四点共圆； 【深入探究】 （2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线； 【延伸探究】 （3）已知，，点是边的中点，此时是四边形的外接圆，求出圆心与点距离的最小值． 54．【模型呈现：材料阅读】 如图①，在四边形中，对角线，相交于点P，若，则可判定A，B，C，D四点共圆． （1）在图①中，若有，，，则 ， ； 【模型改编：问题解决】 （2）如图②，和均为等边三角形，连接，交于点F，交于点M，连接．求证：A，B，C，F四点共圆； 【模型拓广：问题延伸】 （3）如图③，在中，，将绕着点C顺时针旋转得到，连接，，直线与直线交于点F． ①若，，则的长为 ； ②若，，当时，的长为 ． 考点10 圆与相似综合 55．如图①，半圆的直径，和是它的两条切线，与半圆相切于点，并与，分别相交于，两点． (1)请直接写出的度数； (2)求的值； (3)如图②，连接并延长交于点，连接，试判断能否与 相似？若能相似，请求的值；若不能相似，请说明理由． 56．如图，是的外接圆，是直径，是过点的切线，，垂足为点． (1)求证：平分； (2)与相似吗？如果不相似，请说明理由；如果相似，请写出对应线段的比例式． 57．如图，在中，，，，是三角形的角平分线；是边上的动点，于，交于，、分别交于、．    (1)如果是等腰三角形，求的长； (2)以为圆心、长为半径作，再以为圆心、为半径作．如果与相切，求的长； (3)在点的运动过程中，是否可能与相似？如果能相似，求此时的长；如果不能相似，请说明理由． 58．如图，在中，，平分交于，是的外接圆． (1)求证：是的切线； (2)与相似吗？如果不相似，说明理由；如果相似，写出对应的比例式． (3)求证：． 59．在边长为1的正方形中，以点为圆心，为半径作弧，为上的一动点，过点作⊙的切线交于点，交于点，交的延长线于点． (1)当时，求证：点为线段的中点； (2)设长为x，长为y，求y关于x的函数关系式； (3)将△沿直线翻折后得△，当时，△与△是否相似？如果相似，请加以证明；如果不相似，写出理由． 60．约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“优美三角形”． (1)在图2中的中，若，则______（填“是”或“不是”）关于边的“优美三角形”； (2)如图3，已知为关于边的“优美三角形”，点是边的中点，以为直径的恰好经过点．求证：直线与相切； (3)已知为关于边的“优美三角形”，，，求的面积． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题15圆相关解答题&圆与其他知识综合题 (10种类型60道) 考点归纳 考点01 垂径定理相关解答题 考点02 切线的性质 考点03 切线的判定 考点04 圆与三角形综合 考点05 圆与四边形综合 考点06 圆相关最值问题 考点07 圆相关动点问题 考点08 求阴影部分面积 考点09 四点共圆问题 考点10圆与相似综合 考点专练 考点01垂径定理相关解答题 1.如图所示，AB是O0的一条弦，OD⊥AB,垂足为C,交O0于点D,点E在⊙0上. (1)若∠A0D=64°，求∠DEB的度数； (2)若OC=6,OA=10,求AB的长. 【答案】(1)32° (2)16 【分析】(1)由垂径定理得AD=BD,由圆周角定理推论得∠DEB=)∠AOD,解答即可； 2 (2)由垂径定理得AC=BC,应用勾股定理即可计算。 本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键， 【详解】(1)解：0D1AB, 1/111 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AD=BD, ∠DEB=∠AOD: :∠A0D=64°， ∠DEB=32°. (2)解：0D⊥AB, 8c-48, .OC=6.OA=10, AC=V042-0C2=8, AB=2AC=16. 2.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，ABIICD,过点O作OE⊥AB交OO于点E,交AB于点G,延长 EO交CD于点F. A B G D (1)求证：AC=BD; (2)若CD=6, EF=9, 求00的半径， 【答案】(1)证明见解析 (25 【分析】(1)连接AD,由平行线的性质可得，∠BAD=∠ADC,由圆周角定理可得，AC=BD; (2)连接0C,设00的半径为，根据垂径定理可得，CF=CD=3。在直角△0CF中，使用勾聚定害 构造方程，解方程即可。 【详解】(1)证明：如图，连接AD, ABI CD, ∠BAD=∠ADC, :AC=BD (2)解：连接0C,设00的半径为r, 2/111 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E A B G :OE⊥AB,ABII CD, .EF⊥CD, CFCD3 :EF=9, 0F=9-r, 在直角△OCF中，OC2=OF2+CF2, r2=(9-r2+32, 解得，r=5, 00的半径为5. 【点晴】本题考查平行线的性质，圆周角定理，垂径定理和勾股定理，掌握好圆的基本性质是关键。 3.如图，OA=OB,AB交O0于点C,D,OE是半径，且OE⊥AB于点F. B (1)求证：AC=BD; (2)若CD=8,EF=1,求⊙0的半径. 【答案】(1)见解析 唱 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握垂径定理和等腰三角形的 性质是解题的关键 (1)由垂径定理得到CF=DF,由等腰三角形的性质得到AF=BF,再根据线段的和差即可证明结论； 图：连接0C,设O0的半径是r则0F=r-1,由垂径定理得到CF=DF)CD三4，惠 股定理列方程求解即可。 【详解】(1)证明：0E⊥AB, .CF =DF, 3/111 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0A=0B,OE⊥AB, :AF =BF, .AF-CF=BF -DF, :AC BD. (2)解：如图：连接0C, B 设⊙0的半径是r,则0F=r-1, OE⊥AB, CF-DF-CD=4. :C02=CF2+OF2, 产2=4+(-2，解得：r= 2 800的半径是7 4.如图，AB是O0的直径，AB=10,点C,D在⊙0上，连结CD,BD,取CD,BD的中点E,F, 连结OE,OF. D B (1)若CD=4,求OE的长. (2)若BD‖OC,BD=6,求CD的长. (3)若∠A0C=60°，CD=2k,请用k的代数式表示0F的长. 【答案】(1)√21 (2)25 B)5k+25-k 2 【分析】(1)根据垂径定理可知CE=2,OE⊥CD,利用勾股定理求出OE的长度； (2)过点D作DM⊥OC,可知四边形OFDM是矩形，根据矩形的性质可知OM=3,DM=4,利用勾股 定理即可求出CD的长度； 4/111 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)根据∠A0C=60°，可知LB0C=120°，过点O作0N⊥BC,即可求出BC=5√5，连结EF,根据三 角形中位线定理可知EF-)5,根据垂径定理可知∠EOF=60,过点E作EH⊥0F,根据直角三角形的 性质可知0H0E,6m=5。 E,在RtEFH中，利用勾股定理可得OF与k的关系. 2 【详解】(1)解：：AB是⊙0的直径，AB=10, 1 1 .OA=OB=OC=5AB=5×10=5, 2 2 :CD=4,点E为CD的中点， CE-CD-2.OELCD. 0E=V0C2-CE2=V52-22=V2ī： (2)解：如下图所示，过点D作DM⊥OC, :BD=6,点F是BD的中点， :DF=BF=BD=3,OF⊥BD, 2 0F=√0B2-BF2=V52-32=4, .BD‖OC, :L0FD=∠DM0=∠F0C=90°， :四边形OFDM是矩形， :.OM DF=3, CM=0C-0M=5-3=2,DM=0F=4, :CD=VDM2+CM2=V42+22=25; (3)解：如下图所示，连结BC、EF、OD,过点O作ON⊥BC,过点E作EH⊥OF, :∠A0C=60°， ∠B0C=120°， 0C=0B, .∠0CB=∠0BC=30°， .ON -10C-5 5/111 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :Cw=0c-0N-5, BC=2CN=55, :点E、F分别是CD、BD的中点， EFIBC,EF=BC=5,∠BOD=)∠COD,∠F0D=)∠B0D, ∠B0F=∠B0D+∠O0D=∠C0D+∠B0D=∠B0C=60, EH⊥OF, :∠0EH=30°， 0H=0E,H=50E, 2 CD=2k,0D=5, :.DE=ICD=k, 2 :0E=V0D2-ED2=√25-k, .FH-OF-OH-OF-OE. 在Rta EFH中，EH2+FH'=EF2, or(or-tor- (9s-jor-as-g 整理得：OF-}V25--5k,(负值舍去) 解得：0F3k+)V25-正 2 B 【点晴】本题主要考查了圆的基本性质、勾股定理、圆周角定理、三角形的中位线定理、垂径定理、直角 三角形的性质，解决本题的关键是添加辅助线构造直角三角形，用勾股定理找边之间的关系， 5.如图，在OO中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E,连接AC,AD. 6/111 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D 官 (1)证明：∠ACD=∠ADC; (2)当AE=9,CD=6时，求00的半径. 【答案】(1)见解析 (25 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键， (1)由垂径定理可得AC=AD,再由圆周角定理即可得证； (2)连接OC,设的半径为r,由垂径定理可得CE=DE=3,从而得出OE=9-r,再由勾股定理计算即可. 【详解】(1)解：：在⊙0中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD :AC=AD :∠ACD=∠ADC (2)解：由(1)可知CE=DE=3 连接0C, D 设半径r,则OE=9-r 在Rta0CE中，32+(9-r2=r2 9+81-18r=0, 解得r=5 6.如图，⊙0是ABC的外接圆，AB是OO的直径，半径OD⊥AC,垂足为点E,连接BD D 7/111 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：BD平分∠ABC; (2)若AC=8,DE=2,求⊙0的半径. 【答案】(1)见解析； (2)5. 【详解】(1)证明：“0D⊥AC, CD=AD, ∴∠CBD=∠ABD, .BD平分∠ABC: (2)解：0D⊥AC,AC=8, AE=4C=4, 设O0的半径为r,则OD=r,OE=0D-DE=r-2, 在Rt△A0E中，由勾股定理得OE2+AE2=OA2, 即(r-2)2+42=r2, 解得：r=5. 考点02切线的性质 7.如图1，在ABC中，∠ABC和∠C互余，点D是BC上一点，以BD为直径作OO切AC于点E,连接 BE. 图1 图2 (1)若∠C=40°，求∠ABE的度数； (2)如图2，AB与⊙0交于点F,点F是BE的中点，AB=3,求O0的半径. 【答案】(1)∠ABE的度数是25°： (2)00的半径是2. 【详解】(1)解：如图，连接OE, D 8/111 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则0E=0B, ∠OBE=∠BEO, :∠ABC和∠C互余， ∠ABC+∠C=90°， :∠C=40°， .∠ABC=90°-∠C=90°-40°=50° :⊙0切AC于点E, .AC⊥OE, .L0EC=LA=90°， .OE∥AB, 1 1 ∠CBE=∠OEB=∠ABE=∠ABC=5×50°=25°， ·∠ABE的度数是25°. (2)解：如图，连接OE、0F. “点F是BE的中点， BF=EF, 由(1)得∠CBE=∠ABE, :ED=EF, BF=EF=DE, ÷∠B0F=∠F0E=∠E0C=x180°=60°， 0B=OF ∴∠0BF=∠0FB=-×(180°-60)=60°， :∠ABC和∠C互余 ∠C=90°-∠0BF=30°，∠A=90° AB=3, BC=2AB=6,0C=20E=20B, .0B+20B=6, 0B=2, 9/111 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :00的半径是2. 8.如图，AB为⊙O的直径，C为OO上一点，过点C的切线交AB延长线于点E,过点A作AD⊥CE于点 D,连接AC. D (1)求证：AC平分∠DAB; (2)若AC=CE,BE=6,求O0的半径. 【答案】(1)见解析 (2)半径为6 【分析】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切 点的半径是解题的关键 (1)根据切线的性质得到OC⊥CE,进而证明OC∥AD,根据平行线的性质、等腰三角形的性质得出 ∠DAC=∠CAO,证明结论： (2)根据题意得∠E=∠C4E,推出在4DE中，3∠E=90,得∠E=30,推出0C=0E,甲可以得到 OC=BE,即可求解， 【详解】(1)证明：如图，连接0C D B :直线CE与⊙0相切于点C, .0C⊥CE, .∠0CE=90°， :AD⊥CE于点D, ∠D=90°， ∠0CE=∠D, .0C∥AD, .∠DAC=∠OCA, :0A=0C, 10/111