九年级数学上学期第二次月考·培优卷（湘教版，举一反三，测试范围：九上第1章 反比例函数～九下第2章 圆）

九年级数学上学期第二次月考·培优卷 【湘教版】 测试范围：九上第1章 反比例函数~九下第2章 圆 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共26题，单选10题，填空8题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若成立，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆·期末）已知抛物线的顶点在第四象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）若点，，均在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 6．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图， 的半径， 以A为圆心，为半径的弧交于B，C两点， 则弦的长度为（　　） A． B． C．8 D． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 8．如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，抛物线经过点，l是其对称轴，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，四边形是的内接四边形，，对角线、相交于点，是直径，于点,．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）用配方法解方程时，配方后得到，则 ． 12．如图，在中， 分别以点和为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点作直线分别交点和点若则的长为 ．    13．（2025·海南三亚·二模）视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度（度）与车速成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为时，视野角度为 度． 14．（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 15．（2025·宁夏银川·一模）如图，正五边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为 ． 16．（2025·广东汕头·一模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 17．（2025·河南·一模）如图，点在反比例函数图象上，且，是第三象限内反比例函数的图象上一个动点．过点作轴于点，过点作轴于点，连接．若四边形的面积为6，则点的坐标为 ． 18．（2025·上海·模拟预测）在半圆中作矩形，点C、D在圆弧上，点E在上，点F在上．连接交于点G，连接．若，则半圆的半径长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分） 19．（6分）（2025·宁夏·模拟预测）如图，在网格中，点A，B，C，O都在格点上，用无刻度直尺作图并保留作图痕迹． (1)以O为位似中心，在网格中作，且与的相似比为． (2)在线段BC上作点P，使． 20．（6分）（2024·江苏宿迁·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 21．（8分）（2024·山东淄博·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． (1)求、的值及反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 22．（8分）（2024·安徽·二模）如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 23．（9分）（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 24．（9分）（2025·陕西西安·模拟预测）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． (1)小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． (2)小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 25．（10分）（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形中，，垂足为E． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径． 26．（10分）（2025·广东·一模）如图所示，抛物线交轴于两点，将在轴下方部分翻折得到抛物线，将抛物线与整体视作曲线，以下设问均不考虑抛物线在轴下方的部分． 【知识技能】 （1）直接写出抛物线的解析式； 【数学理解】 （2）记曲线交轴于点，连接，点为在上方且在曲线上的一个动点，连接，求面积的最大值； 【拓展探究】 （3）设平面内存在动直线 ①讨论并直接写出动直线与曲线的交点个数； ②若动直线与曲线有四个交点，记这四个交点的横坐标从左往右分别为，问是否存在这样的动直线，使满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第二次月考·培优卷 【湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若成立，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的基本性质，能够灵活对一个比例式进行变形是解题的关键．由比例和分式的基本性质，针对选项进行各种演变，逐一判定即可． 【详解】解：A、由已知得到，故选项符合题意； B、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； C、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； D、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·重庆·期末）已知抛物线的顶点在第四象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，点的坐标特征，由题意可得抛物线的顶点坐标为，再根据点的坐标特征即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在第四象限， ∴，， 故选：B． 3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，先根据定义确定的约数条件，再利用判别式求出范围即可． 【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得： 方程是一元二次方程， 二次项系数， 综上所述，且． 故选：D． 4．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）若点，，均在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特点，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图像所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴、B两点在第四象限，C点在第二象限， ∴． 故选：D． 5．如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 根据正切函数的定义，可得答案． 【详解】解：如图： 在中，，，， ， 故选D． 6．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图， 的半径， 以A为圆心，为半径的弧交于B，C两点， 则弦的长度为（　　） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理、解直角三角形、等边三角形的判定与性质等知识点，推出并掌握解直角三角形是解答本题的关键．如图：连接，记的交点为，根据题意可知，继而即可推出，再根据解直角三角形以及垂径定理即可解答． 【详解】解：如图：连接，，记的交点为， ∵的半径为，以A为圆心，为半径的弧交于，两点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质． 根据正方形的性质可得，由，可设，则，证明，根据相似三角形的性质表示出，证明得到，求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， 设，则， ， ， ， 由 ∵， ， ，即， ， ， ， ，即， 解得：， ， 故选：B． 8．如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握直角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等． 连接，由圆周角定理得到，再由圆周角定理得到，以及，然后直角三角形锐角互余求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，抛物线经过点，l是其对称轴，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 本题由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由时可判断②，由抛物线对称轴的位置可判断③，由，，可判断④，然后即可求解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在y轴右侧， ， ， 抛物线与y轴交点在x轴下方， ， ，①正确； 时，，故②正确； 抛物线对称轴为直线， ∴由图象可得，， ∴，即，故③错误； 由图象得，当时，， ， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有3个． 故选：C． 10．如图，四边形是的内接四边形，，对角线、相交于点，是直径，于点,．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的弦、弧、圆心角的关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据在同圆中，等弦所对的弧相等可得，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，根据两角分别相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例可得，根据垂直于弦的直径平分这条弦可得，推得，即可得出，，根据在同圆中，同弧所对的圆周角相等可得，根据两角分别相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， 则，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）用配方法解方程时，配方后得到，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． 先对配方，然后与对比求得a、b的值，最后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，在中， 分别以点和为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点作直线分别交点和点若则的长为 ．    【答案】 【分析】由 可得出可知垂直平分在中，解直角三角形即可求出． 【详解】解： 由作法得垂直平分 在中， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性这些质，解直角三角形，熟练掌握这些性质是解此题的关键． 13．（2025·海南三亚·二模）视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度（度）与车速成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为时，视野角度为 度． 【答案】40 【分析】题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例关系的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 首先根据题意，可得视野角度（度）与车速成反比例函数关系，用待定系数法可得反比例函数的关系式；代入进一步求解可得答案． 【详解】解：设视野角度（度）与车速的函数关系式为， 把点代入得：， 解得：， ∴视野角度（度）与车速的函数关系式为， 当时，， 即当车速为时，视野角度为40度． 故答案为：40 14．（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据二次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，有最小值为； 故答案为： 15．（2025·宁夏银川·一模）如图，正五边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，正多边形和圆，连接，由题意可知为等边三角形，得到，再根据五边形为正五边形，可得，进而根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2025·广东汕头·一模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 过点D作交于H，根据平行线分线段成比例定理推出，计算即可． 【详解】解：过点D作交于H， ∴，， ∵D是的中点，，， ∴，， ∴1，4， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：． 17．（2025·河南·一模）如图，点在反比例函数图象上，且，是第三象限内反比例函数的图象上一个动点．过点作轴于点，过点作轴于点，连接．若四边形的面积为6，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是通过反比例函数图象上点的坐标表示面积，构建方程解决问题． 连接，由反比例函数的性质可知，可求，求出A点坐标，设B点坐标，表示面积列方程即可． 【详解】解：连接，延长交于点E，设B点坐标为， 点在反比例函数图象上，且， 代入得，， A点坐标为， ∵轴，轴， ∴， ， ， ∵四边形的面积为6， ∴， ， 解得，， 经检验，是原方程的解， 代入得，， B点坐标为． 故答案为： 18．（2025·上海·模拟预测）在半圆中作矩形，点C、D在圆弧上，点E在上，点F在上．连接交于点G，连接．若，则半圆的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形和全等三角形的判定与性质综合，垂径定理的推论等知识点，连接，证，得；；再证，推出，，；由题易知：，可推出，，即可求解； 【详解】解：连接，如图所示： ∵ ∴； ∵， ∴； ∴；； ∵， ∴； ∵ ∴； ∴，， ∴； 作，如图所示： 则； ∵， ∴四边形矩形， ∴； 同理可得：； ∴； ∴，，， ∴ 即， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，满分66分） 19．（6分）（2025·宁夏·模拟预测）如图，在网格中，点A，B，C，O都在格点上，用无刻度直尺作图并保留作图痕迹． (1)以O为位似中心，在网格中作，且与的相似比为． (2)在线段BC上作点P，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——位似变换，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）延长到使，延长到使，延长到使，则满足条件； （2）点向右4格的点与点向左2格点连接起来与交点即为点P，此时根据平行可得，即得到． 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：如图，点P即为所求． 20．（6分）（2024·江苏宿迁·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，在中，求出即可解决问题； （2）延长交与点，可得，在中，求出即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，    由题意可知，四边形是矩形， ，， 在中， ， ， ， 支柱的高为 ． （2）延长交与点，可得，    由题意可知，四边形是矩形， ， ． ， 在中， ， ， ， 顶棚处离地面的高度约为 ． 21．（8分）（2024·山东淄博·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． (1)求、的值及反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据函数图象上点的坐标特征，将点，代入一次函数，求出、的值，再将点代入反比例函数，求出，即可得到反比例函数的表达式； （2）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出的值，再由即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，点，在一次函数的图象上， ，， ，， ，， 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：直线向下平移个单位， 平移后的函数解析式为， 联立， 整理得：， 直线与反比例函数的图象有唯一交点， ， 解得：或， ， 不符合题意，舍去， ． 22．（8分）（2024·安徽·二模）如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质可得，然后利用三线合一得出，证明，求出即可； （2）先根据直角三角形斜边中线的性质求出，再根据垂径定理和勾股定理求出，然后计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：如图，设与交于点E， ∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，垂径定理和勾股定理等知识点，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 23．（9分）（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上内容是解题的关键． （）平分，故，因为，则，由，可得，又，，故，可得； （）由平行线的性质可得，，又平分，则有，证明，，即可得结论； （）证明，即可得，又由可得，从而，由，可得． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又由（）可得， ∴， 由（）知， ∴． 24．（9分）（2025·陕西西安·模拟预测）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． (1)小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． (2)小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求解即可． （2）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求出解析式，再令，即可求解． 【详解】（1）解：∵米，灯带的最低点距离钢丝米， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． （2）解：∵米，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同）， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． 令，则， ∴O与C的距离是． 25．（10分）（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形中，，垂足为E． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据垂径定理的推论证明即可； （2）连接，首先得到，然后得到，推出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是5． 【点睛】此题考查了垂径定理的推论，角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 26．（10分）（2025·广东·一模）如图所示，抛物线交轴于两点，将在轴下方部分翻折得到抛物线，将抛物线与整体视作曲线，以下设问均不考虑抛物线在轴下方的部分． 【知识技能】 （1）直接写出抛物线的解析式； 【数学理解】 （2）记曲线交轴于点，连接，点为在上方且在曲线上的一个动点，连接，求面积的最大值； 【拓展探究】 （3）设平面内存在动直线 ①讨论并直接写出动直线与曲线的交点个数； ②若动直线与曲线有四个交点，记这四个交点的横坐标从左往右分别为，问是否存在这样的动直线，使满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）①当或时有2个交点；当时有4个交点；当时有3个交点 ②不存在这样的，理由见解析 【分析】（1）先求出的顶点是，结合即可求解； （2）作交于点Q，求出，设，则，可得，记边上的高为，则，记边上的高为，则，根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）①根据函数图象解答即可； ②令，可求得，令，可求得，代入求出n的值，结合n的取值范围即可求解． 【详解】（1）∵ ∴的顶点是 ∴的顶点是 （2）作交于点Q，如图所示 设     依题可知 则     解得        ∴ 设，则 ∴ 记边上的高为，则，记边上的高为，则 ∴ 可知为关于的二次函数，其最大值在对称轴处取得 ∴最大值为 （3）①当或时有2个交点   当时有4个交点 当时有3个交点   ②令，即 解得 同理令，即     解得 若，即 即，即     ∴ 由①可知，若动直线与曲线有四个交点，则有     ∴不存在这样的使得 【点睛】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与几何综合，二次函数与一元二次方程的关系，数形结合是解答本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $