河北省名校联盟2025-2026学年高二上学期1月期末教学质量监测数学试题

绝密★启用前 2025-2026学年度第一学期高二年级期末教学质量监测 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.以(-1，2)为圆心.3为半径的圆的方程为 2.在数列{an}中, 则 B.3 C. D.2 3.直线l:y= kx+3被圆C. 截得的弦长为 则k 的值为 A. 4.在三棱锥O-ABC中, 若点 M 在棱AB上,且AM=2MB,N 是OM中点,G 是CN 中点,则 等于 5.已知双曲线 的一条渐近线与直线 kx-y+2=0(k>0)垂直,离心率 则k= A. B. C.2 D.3 6.已知圆P 与圆Q; 交于A,B 两点,则四边形 PAQB 的面积为 A.2 B.4 C.6 D.8 7.已知椭圆 的左、右焦点分别为F₃，F₂，过F₁作直线l与椭圆相交于P、Q 两点,若QF₂⊥PF₂,且; 则椭圆的离心率为 D. A. 8.定义 为数列{an}的“均匀平均值”.若数列{an}的“均匀平均值”为1，设数列 的前n项和为 Tn，且 对任意的n∈N*恒成立，则实数k 的最小值为 A.3C. D.1 B.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知双曲线 则下列说法正确的是 A.双曲线实轴长为6 B.双曲线虚轴长为3 C.双曲线离心率为 D.双曲线的两渐近线夹角的正切值为 10.已知数列{an},{bn},记数列{an},{bn}的前n项和分别为 Sn，Tn，则下列说法正确的是 A.若 则 B.若 则 C.若 则数列{an}单调递增 D.若 则 11.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₂的棱长为1,向量 [0,1],E,F 分别为平面BCC₂B₂,平面A₁B₁C₁D₁的中心,则 与 共面 B.当a+b+c=1时,三棱锥M-B₁CD₁的体积为 C.当EF⊥AM时,a=c D.当 时，|MF|的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.抛物线 的准线方程为 . 13.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则上面6节的容积共 升. 14.若圆 与椭圆 至多有3个公共点，则b的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)已知直线 与直线 平行. (1)求a 的值; (2)若直线l 到l₁的距离与l到l₂的距离相等，求直线l的方程. 16.(本小题满分15分)已知数列{an}的前n项和为 Sn，且 (1)求证：数列{an}为等比数列； (2)设 求数列{cn}的前n项和 Tn. 17.(本小题满分15分)如图，已知平面四边形ABCP中，D 为PA 的中点， 且PA=CD=2AB=4.将此平面四边形ABCP 沿CD 折成直二面角P-DC-B,连接PA、PB,设点 E 是棱 PC上的一点. (1)若 证明:AP∥平面BDE; (2)若E 为PC 的中点，求直线 BE 与平面PAB 所成角的正弦值. 18.(本小题满分17分)已知椭圆E 的离心率为 ，椭圆的短轴端点与双曲线 的焦点重合. (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)若斜率为k 的直线l与椭圆E交于P,Q两点,线段 PQ的中点为M(1,m)(m>0),证明 (3)分别过椭圆E 的左焦点F₁，右焦点F₂作两条互相垂直的弦AC与BD，求 的最小值. 19.(本小题满分17分)过抛物线 的焦点F 的直线l 交抛物线于A，B两点，点A 在第一象限. (1)若点 M(2,0)且 ，求直线l 的方程； (2)过点 P(1,2)作直线PM,PN 交抛物线于M,N 两点,且. ,过点 P 作 交直线MN 于点H，是否存在定点 Q 使得|QH|是定值?如果存在，请求出点 Q 的坐标并写出|QH|的长度，如果不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学参考答案及解析 20G201 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 D D C A AD ACD ACD 1.D【解析】以（一1,2）为圆心，3为半径的圆的方程为(x+1)2+(y一2)2=9.故选D. 2.C【解折扪方法1：因为a1-0,a,=1,所以a:-a=1-片a,-a:=号方a,-a,= 1 11 专子a.4≥2.以上各项相加得a,=1+1-名+号号+…叶日2 11 n-1 n 上=9故选C. a≥2.因为a,=1也适合上式，所以a,=2-a∈N).所以am=2.8 方法2：由a4=a,十+日中得a+中-0，+只所以数列a,十之为密致列：又e1=1,所以 a.+日2所以aw+品2，即a。-2-。8放选C 3.D【解析】因为直线l:y=kx十3被圆C:(x一2)2十(y一3)2=4截得的弦长为23，所以圆心C(2,3)到直线L 的距离d=4-6=1,所以l233-2=1,解得太=土号放选D √k2+1√k2+1 4D【解折】=O示+0心)=o丽+号0心=(Oi+Ai)+号0心=Oi+号×号A+ 远=ai+日oi-0)+号0dC=i+o诚+号0，所以0花=立a+片b+2,故选D 5.C【得析】双前线C片-言-1a>06>0》的渐近线方程为y=士片，因为一条新近发与直线y= x十2>0垂直，可得k,又e=5,所以e2上4岁-1=5又>0，解得e a21 2.故选C 6.A【解析】x2+y2+2y=0①，x2+y2+4x=0②，①-②得2y一4x=0,即圆P与圆Q的公共弦所在的 直线方程是y=2.x,因为圆P的圆心为P(0,一1)，半径r1=1,所以圆心P到直线y=2x的距离为d= 启所以A1=2肩-子=2写-5.易知PQLAB,PQl=5,则圆边形PA0B的面积为 S-=2引A81PQ1=×5X后-2故选A 7.C【解析】设1F1Fzl=2C,因为3QF2|=4|PF2l,所以可设|QF2|=4t(t>0),则|PF2|=3t,又因为 QF2⊥PF2,所以在直角△PQF2中，1PQ12=1PF2|2+|QF212=252,所以|PQ|=5t,由椭圆定义可知 1PF,l=2a-3,1QF,I=2a-4,由|PF,|+|QF,I=|PQl,即4a-7t=5t,解得a=3t,所以|PF1|= 2a-3=3t=|PF2l,QFI=2a-4t=21,又IQF2|=4t,|PF2|=3t,|F,F2|=2c,在△PF,F2中，可得 os∠PF,P-在△QF,F:中，由余弦定理，可得o∠Q,R:=,因为∠PF,P十∠QF,R= 元，所以cos∠PFE2+cos∠QFE=0,即十2=0.解得c=5,又PF,1=PF=3L,所以 2ct a=31,所以椭圆离心率e=S=5 a=5.故选C 高二数学参考答案第1页（共6页） 8.B【解折】由题意知，十2u:十30十+0=1，即a1十2a十3a十+0，=n,所以当n≥2时， 11 a1+2a2十3a十…十(m-1)a-1=-1,两式相减得aw=1,即a.=(m≥2)，又因为a1=1满足上式， 所以a-a∈N,所以aa-十一号（中则工.-1-言+号+号 合++中+日中)=层中十》所以2江=-（片+汉 T.<气六c>0)对任意的∈N恒成立，即2T.<k-。对任意a∈N"恒成立，所以k-名≥号，又 >0,整理得(k-2k+号)≥0，解得k≥2，所以实数k的最小值为2，故选B 9.AD【解析】由双曲线方程可知，a2=9,b2=27,所以a=3,b=33,c2=a2+b2=36,所以c=6,所以实 轴长为2a=6,虚轴长为2b=63,离心率e=二=2，故A正确，B,C错误；双曲线渐近线方程为y= 0 士√3x,所以两渐近线的倾斜角分别为60°，120°，所以两渐近线夹角为60°，又tan60°=√3，故D正确.故 选AD. 0ACD【解折】对于A,因为Q,1十2三1，所以a,+=1一」三1二-1 1 an+2 1、1 an+1-1 an+l 1-1-1 =an,所以数列{an}是以3为周期的周期数列，所以a22s=a3x65+1=a1=2,所以A正确； 对于B,因为an=2”一n,所以Sn=a1十a2+…十an=21-1+22一2+…+2”-n=2l+22十…+2"- 1+2+…十)=2二2)_+10m=2+1-2-+1Dm=2+1-n+n+4,所以B错误：对于C, 1-2 2 2 2 1 a1aaa,=n中7当n≥2时a1a2aga-1=, 1 a,=86280=五 ”。一1n十1”一2，a1三2满 足上式，因此a,片-1一十a∈N),则数列a单调递增，所以C正确：对于D.因为a1= 22-所以2-日士+号即-0，+ 3an 1 an+1 3an 3 an ,所以6+1-1=36。-1)，又61一1= 。1-号，所以数列6。-1是以号为首项，号为公比的等比数列所以6.-1号·（兮》-导，所以 6,=号+1，所以T. -》 1-号 +n=n+1 一<十1，所以D正确放选ACD 11.ACD【解析】因为A,B=AB=D心=AC-AD,所以A1B,与AD,AC共面，故选项A正确； 在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D1中，建立如图所示的空间直角坐标系， ZA 高二数学参考答案第2页（共6页） 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),AC (1,1,1),BD=(-1,1,0),BA,=(-1,0,1),CB1=(0,-1,1),CD1=(-1,0,1),显然AC1·BD=0, AC,·BA,=0,即AC⊥BD,AC,⊥BA,所以向量AC,是平面A,BD的法向量，同理AC,是平面 B,CD1的法向量，而A1∈平面A1BD,A1:平面B1CD1,因此平面A1BD∥平面B1CD1,由AM= aAB+bAD十cAA1,且a+b十c=1,得点M∈平面A,BD,则点M到平面B,CD1的距离等于点A,到 平面B,CD,的距离，所以三棱锥M-B,CD,的体积Vw-m,=V-m=Vc-=×分×1X1X 1=合故选项B错误， 由题可知E(1,分号)，r(分，分，i=aA店+bò+cAA=(a6,c),萨-(-号0，号)，由EFL AM,得序，=-a十0Xb+分c=0,得a=C,故选项C正确：当a2+6十e-1时，AM=1,则点 M在以A为球心，1为半径的球面上运动，而A-√侣》+合》+1P-,因此1MF的最小值为 -一1，故选项D正确.故选ACD, 2 A D 12.【答案】y=-号 【解析】抛物线的标准方程为x2=y,焦点在y轴上，故其准线方程为y=一是。 18【答案】罗 【解析】设此等差数列为{an},首项为a1,公差为d,由题可知a1十a2十a3十a,=3,a,十as十a,=4,即 u十=3a,+2d=4联立解得e1—总d-品所以5，=6，+6学9&=6×是15×品-号 14.【答案】(1,2] 1(x-1)2+y2=r2, 【解析】联立 +茶. 消去y,整理得(1-b2)x2-2x十1+b2-r=0.（※) 若圆与椭圆有4个公共点，则方程（※）在（一1,1）上有两个不相等的实数根.令f(x)=(1一b2)x2一 4=4-4(1-b2)[1+b2-x2]>0,① f(1)=-r2<0,② 2x十1+b2-r2(b>1),则有f(-1)=4-r2<0,③ 由②③可知r2>4.由①可知r2< -16<1.0 2一6>1)，所以。二>4，即62≠2.由①可知11-b21>1,所以6<0（舍去）或62>2.因此，若圆与 b 椭圆有4个公共点，则6>2，即6>反.故若圆x-12+y=,2(>0)与椭圆x2+芳=16>1》至多有 3个公共点，则必有1<b≤2. 高二数学参考答案第3页（共6页） 15.【解】(1)因为直线1：ax-y+号=0与直线：2x-2y-9=0平行， 所以号≠解得a=1 (5分) (2)由(1)知直线1：x-y+号=0，即2x-2y+1=0, (7分) 设直线l:2x-2y+m=0, (8分) 因为直线1到1的距离与1到2的距离相等，所以m-L=m十9 ,解得m=一4， (10分) √22+2√22+22 故直线l:2x一2y一4=0，即直线l的方程为x一y一2=0. (13分) 16.【解】(1)证明：由题意可得，当n=1时，a2=2a1+2=6, (1分) 当n≥2时，am+1=2Sn十2，an=2Sm-1十2，两式相减得am+1=3am, (3分) 当n=1时，a2=3a1=6,满足上式， (4分) 所以数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列. (6分) 2a痴a,=2Xg,所以，品=n×付}广 (7分) 所以T.=1×(号)）'+2×（兮）+3×（得）+…+n×(付)”，① (9分) 所以gT.=1×(号)°+2x(号）)°+3×（得）‘++m-10x(号）》”+×兮）》”，® (10分) ①-©，得号.=（传》广+(）+传)++（传》”-x传》-3-2×传）》”-nx(传》"， (13分) 所以工.=-×传)》”-2×传)”=-（保+）传) (15分) 17.【解】解法1：折叠前，因为PA⊥AB,CD∥AB,所以PA⊥CD,所以PD⊥CD,AD⊥CD, (2分) 折叠后，PD⊥CD,AD⊥CD仍然成立， 又因为二面角P-DC-B为直二面角，所以PD⊥AD (3分) 建立如图所示的空间直角坐标系D-xy之， 由已知条件可知D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),P(0,0,2), (4分) 则AB=(0,2,0),DB=(2,2,0),AP=(-2,0,2), (5分) 1因为元-庞，所以E0,号，)，D成-(0，号，》， (6分) 设平面BDE的法向量为m=(x1y1之1) m·DB=2.x1+2y1=0, 则 m·D庞=号+号=0 令x1=1,则y1=-1,x1=1, 所以平面BDE的一个法向量为m=(1,一1,1)， (8分) 可得AP·m=-2×1+0×(-1)+2×1=0, (9分) 又因为AP庄平面BDE,所以AP平面BDE. (10分) 高二数学参考答案第4页（共6页） (2)因为E为PC的中点，所以E(0,2,1),BE=(-2,0,1), (11分) 设平面PAB的法向量为n=(x2,y2,之2)， 则n·A克--2x+2=0, (13分) n·AB=2y2=0, x2=1,得x2=1y2=0,所以n=(1,0,1), 设直线BE与平面PAB所成角为0， 所以sin0=losn,B21=BE·nl 1√10 IBEIIn5×2 10 所以直线BE与平面PAB所成角的正弦值是O (15分) 解法2：(1)连接AC交BD于点F,连接EF, 因为CD=2AB,CD∥AB,所以CF=2AF, (2分) 由题意可知，PC=3PE,所以CE=2PE,所以APEF, (4分) 又因为EFC平面BDE,AP中平面BDE,所以AP平面BDE. (5分) (2)同解法1. 18【解】1油题意知c=后-分所以e=三-= a2 所以a2=6, (1分) 线号一x21的焦点坐标为(0，士B),所以6=3，所 (2分) 所以装圆E的方程为号矿+苦-1 (3分) (2)证明：设P(x1y1),Q(x2y2), 则有+= 43 1.号+号-1.两式相减得4-1+4500十2-0， 4 3 X320-子即w=-子 (O为坐标原点)， (5分) (x1-x2）X2xM 4 即km=一 3 3 ,即k=一4 (6分) 因为点M(1mm>0在稀圆内，所以+弯<1，所以m∈(6,2》， (7分) 所以长一品(-0，一》，所以<一2 (8分) (3)设∠AF,F2=0, 当0=或0=0时，易求得1AC=3,BD1=4,或1AC=4,|BD=3, 所以|AC+|BD|=7. (10分) 根据椭圆的对称性，不妨设0<0<受，由ACLBD,可得∠BF,F,=乏-0， 因为AF2=F1F2-F,A,所以|AF212=|FF2I2-2F,F。·FA+|AF?, D2a-AFD2=42-2X2:X1 AF Icos0+AF,解得AP=。-cos0 (12分) b2 b2 同理可得1CF,l=。-coos(--a+Ccos0,所以1AC=AF,+|CFl= 2ab2 2-c2cos0' 同样可求得|BD|=|BF2I+IDF2I= 2ab2 (14分) a2-c2cos(5-0） 2ab2 所以AC1+|BD|=a-Cos0 2ab2 2×2×3 2×2×3 12 a-c"cosi(2-0) 4-cos20 4-cos(受-0) 4-c0s20+ 高二数学参考答案第5页（共6页） 12 84 84 4-sin0(4-cos20)(4-sin20) /4-cos20+4-sin02 9,当且仅当S血0=cs9,即0=子时取 等号 (16分) 由于9<7，故AC+BD的最小值为织 (17分) B 19.【解】(1)设A(x1y1),B(x2y2), 由题意知1=1叶宁号1=41=6，即y6,所以A(号)， (2分) 又抛物线的焦点为F(1,0), 所以k1=kF= 6-0=26, (4分) 3 21 所以直线1的方程为y=26(x-1),即26x-y一26=0. (6分) (2设直线MN:x=y+1,M(学)N(件)小且≠2≠2， 联立，消去整理得y一y一1=0， (8分) 则△=162+16t>0,可得y3+y4=41,y3y=-41, (10分) 因为Pi=(-1,y-2),Pm=(-1,4-2,PMLPN, 则Pi.p时=(-1(-1+-2)，-2》=0. 可得(y3十2)×(y4十2)+16=0，整理可得y3y:十2(y3十y)+20=0, 则一4t+8n+20=0,即t=21+5, (13分) 此时△=16m2+16(2m+5)=16[(n+1)2+4幻>0，符合题意， 则直线MN:x=ny+2m+5=n(y+2)+5,过定点D(5,一2)， (15分) 又因为PH⊥MN,所以点H在以PD为直径的圆上， 且线段PD的中点为Q(3,0),lPD|=42,则IHQ=21PD|=22, (16分) 所以存在定点Q使得|HQ|是定值，此时点Q(3,0),|HQ|=2√2. (17分) 高二数学参考答案第6页（共6页）