1.3直角三角形第2课时（教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

1.3 直角三角形 第一章 三角形的证明及其应用 第2课时 学 习 目 标 1.通过经历直角三角形全等的“HL”的判定定理探索过程，进一步体会证明的必要性，会运用“HL”定理解决实际问题，发展数学思维能力;(重、难点) 2.通过用尺规完成作图:已知一条直角边和斜边作直角三角形,发展动手操作能力. 知识回顾 2.判断：如图具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A′B′C′（其中∠C＝∠C′＝90°）是否全等，在（　）里填写理由；如果不全等，在（　）里打“×”： （1）AC＝A′C′,∠A＝A′ （ ） （2）AC＝A′C′，BC＝B′C′ （ ） （3）∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ （ ） （4）AC＝A′C′，AB＝A′B′　 （　 ） 1.判定一般三角形全等的条件有哪几种？ SSS、SAS、ASA 、 AAS. ASA SAS × ？ 情境引入 证明: 这是一个假命题, 只要举一个反例即可. 如图: A B C A′ B′ C′ A′ B′ C′ ) ) ) ① ② ③ 由图①和图②可知,这两个三角形全等; 由图①和图③可知,这两个三角形不全等; 因此, 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 问题(1)：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗? 问题(2)：如果其中一组等边的对角都是直角，那么这两个三角形全等吗？请你画一画，并与同伴进行交流. 新知探究 探究：直角三角形全等的判定 已知斜边和一条直角边，如何作出这个直角三角形呢? (1)假设满足条件的直角三角形已经作出，你能画出这个直角三角形的草图吗? 能，如图画一个直角三角形，标记为△ABC，其中 ∠C=90∘.标出直角符号在点 C 处. 设已知的斜边为c，已知的一条直角边为 a. 在草图上标注：斜边 AB=c，直角边 AC=a. C B A c a 新知探究 (2)你是按照怎样的步骤画这个草图的?先画一画，再用尺规试一试，并与同伴进行交流。 ①先定直角顶点： 先画一个直角，确定直角顶点 C 和两条直角边所在的射线。 ②截取已知直角边： 在其中一条射线上，用圆规截取已知长度的直角边（例如 BC=a），确定第二个顶点 B。 ③确定斜边端点： 以点 B 为圆心，以已知斜边长度 c 为半径画弧，这条弧会与另一条直角边所在的射线交于一点，这个点就是第三个顶点A。 ④连接成三角形： 连接 A、B 两点。 C B A c a 新知探究 梳理上述作图过程，请你总结“已知直角三角形的斜边和一条直角边用尺规作这个三角形”的方法和步骤。 如图，已知线段a，c（a<c） .用尺规作Rt △ABC，使∠C= 90°，AB=c，BC=a. c a 新知探究 请按照给出的作法作出相应的图形： 作法 图形 1.作射线CN. 2.过点C作射线CN的垂线CM. 3.在射线CM上截取CB=a. 4.以点B为圆心，以线段c的长为半径作弧，交射线 CN于点 A. 5.连接 AB. △ABC就是所要作的直角三角形. C N M B A 新知探究 把你作的三角形与同伴作的三角形进行比较、它们一定全等吗? 可以发现:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 请你尝试证明这一结论. 转化为几何语言 已知：如图, 在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=90°, AC=A′C ′, AB=A′B′. 求证：△ABC≌△A′B′C′ . B A C B′ A′ C′ 新知探究 证明：在△ABC中， ∵∠C=90°， ∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）. 同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2 . ∵AB=A′B′，AC=A′C′， ∴BC=B′C′. ∴ △ABC ≌ △A′B′C′（SSS）. B A C B′ A′ C′ 新知探究 “斜边、直角边”判定方法 知识归纳 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”. 几何语言： A B C A ′ B′ C ′ 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). AB=A′B′, BC=B′C′, ∵ 新知探究 1.如图，AC⊥BC于点 C，BD⊥AD于点D，要根据“HL”直接证明Rt△ABC 与Rt△BAD全等， 则还需要添加一个条件是（     ） A．∠CAB=∠DBA B. AB=BD C．∠ABC=∠BAD D．BC=AD D 如图，有两个长度相等的梯子，左边梯子竖直方向的高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相等，两个梯子的倾斜角 ∠CBA和∠EFD的大小有什么关系？ 例1 典例分析 解：根据题意，可知 ∠BAC= ∠EDF=90°， BC=EF，AC=DF， ∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL） ∴ ∠CBA= ∠DEF（全等三角形的对应角相等） ∵ ∠DEF+ ∠EFD=90°（直角三角形的两锐角互余） ∴ ∠CBA+ ∠EFD=90°. 如图，已知∠A＝∠D＝90°，E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE. 例2 典例分析 证明：∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE. ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABF与△DCE都为直角三角形． 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ∵ ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL). 巩固练习 1.如图所示,∠C=∠D=90°,若利用“HL”可以判定Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需要添加的条件是 (　　)A.∠BAC=∠BAD B.BC=BD或AC=ADC.∠ABC=∠ABD D.以上都不正确 B 2.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是 (　　)A.一个锐角和斜边分别相等B.两条直角边分别相等C.两个锐角分别相等D.斜边和一条直角边分别相等 C 巩固练习 3.如图，∠C=∠F=90°，要用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是( ) A. AC=DF，BC=EF C.∠A=∠D，AB=DE B. AC=DF，AB= DE D.∠B=∠E，BC=EF B 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AC上，点E在边BC上，DE=AD,DF⊥AB于点F，AF=CE，连接BD，若AB=10,CE=2，则线段BE的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 B 巩固练习 5.如下图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△______≌△______，其判定依据是_______， 还有△______≌△______，其判定依据是_____． ABC DCB HL ABO DCO AAS 6.如图，在Rt△ADB，∠C=90°，E是AB上一点，且BE=BC，DE⊥AB于点E，若AC=10，则AD+ DE的值为 . 10 巩固练习 7.如图所示，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O. 求证:OB=OC. 证明: 在Rt△ABC和Rt△DCB中, ∵ ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL), ∴∠ACB=∠DBC, ∴OB=OC. 巩固练习 8.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，若AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE. 证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，∴∠D＝∠F＝90°. 在Rt△ADC和Rt△AFE中， ∵ ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)， ∴CD＝EF. 在Rt△ABD和Rt△ABF中，∵ ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴BD＝BF， ∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE. 巩固练习 9.如图，BE⊥CD，垂足为E，DF交BE于A，AE=CE. (1)求证：BE=DE； (2)求∠CFD的度数． （2）解：∵Rt△BCE≌Rt△DAE， ∴∠B=∠D， ∵∠BEC=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∴∠D+∠C=90°， ∴∠CFD=180°−∠C−∠D=90°. （1）证明：∵BE⊥CD， ∴∠BEC=∠AED=90°， 在Rt△BCE和Rt△DAE中， AE=CE AD=BC， ∴Rt△BCE≌Rt△DAE(HL)， ∴BE=DE； ∵ 课堂小结 直角三角形2 HL 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 前提条件 在直角三角形中 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等） 作业布置 1.必做题：习题1.3第3~6题。 2.探究性作业：习题1.3第9题。 感谢聆听! $