1.4线段的垂直平分线第1课时（教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

1.4 线段的垂直平分线 第一章 三角形的证明及其应用 第1课时 学 习 目 标 1. 学会综合法证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.（重点） 2.通过探索、发现、猜测、证明等过程，发展学生的推理证明的能力、规范证明的书写格式.（难点） 知识回顾 1.全等的判定方法有：①SSS,②SAS,③ASA,④AAS,⑤ . HL 2.下列判断一定正确的是（ ） A.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 B.有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等 C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 D.有两边对应相等,且有一个角为30°的两个等腰三角形全等 A 情境引入 问题：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？ A B C 应建在C处. 你能说说你的理由吗？ 新知探究 探究一：线段垂直平分线的性质定理 我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流. 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点. 求证：PA=PB． A C B P M N 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）； ∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）． 如果点P与点C重合，那么结论显然成立. 新知探究 线段垂直平分线的性质定理： 知识归纳 线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等. 注意：这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. P A B ∟ 几何语言： ∵P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB. 新知探究 1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长为(　　)A.6 B.5 C.4 D.3 B 解析:∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB=PA. ∵PA=5, ∴PB=5.故选B. 新知探究 探究二：线段垂直平分线的判定定理 逆命题：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明． (1)你能写出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等”的逆命题吗？ 新知探究 B P A 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上． 证明：（方法一）过点P作已知线段AB的垂线PC， ∵PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）， ∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上． C 新知探究 A C B P . （方法二）把线段AB的中点记为C,连接PC. ∵C为AB的中点， ∴AC=BC. ∵PA=PB,PC=PC， ∴△APC≌△BPC(SSS)， ∴∠PCA=∠PCB=90°， ∴PC⊥AB， 即P在AB的垂直平分线上. 新知探究 线段垂直平分线的判定定理： 知识归纳 A B P 注意：这个结论经常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一． 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 几何语言： 如图,∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上). 新知探究 2.如图所示，AC=AD，BC=BD，则(　　)A.CD垂直平分线段AB B.AB垂直平分线段CDC.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB B 解析:∵AC=AD, ∴点A在线段CD的垂直平分线上. ∵BC=BD, ∴点B在线段CD的垂直平分线上, ∴AB垂直平分线段CD.故选B. 典例分析 已知：如图 ，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC. 例1 证明：∵ AB ＝ AC， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上). 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线). 还有其他证法吗？ 典例分析 方法2： 证明：延长 AO 交 BC 于点 D， ∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO(SSS). ∴∠BAO＝∠CAO， ∵AB＝AC，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD(SAS). ∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°. 即直线 AO 垂直平分线段 BC. 典例分析 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数． 例2 解:（1）证明：连接AE， ∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点， ∴AD垂直平分CE， ∴AC＝AE， ∵EF垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴BE＝AC； 典例分析 （2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数． （2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°， ∴∠BAE＝∠B＝35°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°， ∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°， ∵AC＝AE， ∴∠AED＝∠C， ∵∠AED+∠EAD＝∠C+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠EAD＝20°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝55°+20°＝75°． 巩固练习 1.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E，若AE＝3，△BCD的周长为8，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．11 C．14 D．18 2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若△ACE的周长为12，AC＝5，则BC的长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 C A 巩固练习 3.如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 4.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，连接BE．若BE平分∠ABC，且∠A＝72°，则∠CED的度数为（　　） A．72° B．64° C．54° D．36° C C 巩固练习 6.如图所示，在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以点A,C为圆心,大于AC的一半的长度为半径画弧,四弧交于两点M,N,作直线MN,交AC于点D,交BC于点E.已知∠C=32°,则∠BAE的度数为　　 . 5.有下列说法:①若直线PE是线段AB的垂直平分线,则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB;③若PA=PB,则P必是线段AB的垂直平分线上的点;④若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线段AB.其中正确的是　　　　　　.(填序号) 26° ①②③ 8.如图，AB=AC,AB 的垂直平分线MN交 AC于点 D,若∠C=65°则∠DBC的度数是 . 巩固练习 7.如图，BD是线段AC的垂直平分线．若AB＝5，CD＝4，则四边形ABCD的周长为　     　． 18 15° 巩固练习 9.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上的一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F. 求证:点E在AF的垂直平分线上. 证明: ∵E是BD的垂直平分线上一点, ∴EB=ED,∴∠B=∠D. ∵∠ACB=90°, ∴∠A=90°-∠B,∠CFD=90°-∠D, ∴∠CFD=∠A.又∵∠AFE=∠CFD, ∴∠AFE=∠A, ∴EF=EA, ∴点E在AF的垂直平分线上. 巩固练习 10.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点. 求证：PB=PC. P B D C A 证明：∵AB=AC， ∴A在线段BC的垂直平分线上. ∵BD=CD， ∴ D在线段BC的垂直平分线上. ∴ AD是线段BC的垂直平分线. ∵P是AD上一点 ， ∴PB=PC. 课堂小结 线段的垂直平分线1 性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等. 判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 作业布置 1.必做题：习题1.4第3，5题。 2.探究性作业：习题1.4第6题。 感谢聆听! $