第10讲 一次函数的图像与性质（复习讲义，5考点14题型5重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦一次函数的图像与性质，覆盖概念、图像性质、平移、表达式确定及与方程不等式关系等中考核心考点，通过考情剖析、知识导航、考点解析构建知识网络，结合命题洞悉的题型分类和真题训练，形成“梳理-解析-突破-提升”的系统复习流程。 亮点在于分层练习设计与重难突破策略，如通过“一次函数与规律探索”典例培养抽象能力和几何直观，利用“待定系数法”步骤分解强化运算能力。特设基础到新趋势三级训练，配合5分钟限时测试，助力学生高效掌握考点，教师可依此精准把控复习节奏，提升应考能力。

第三章 函数 第10讲 一次函数的图像与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 15 命题点一 一次函数与正比例函数的概念 题型01正比例函数的概念 题型02一次函数的概念 命题点二 一次函数的图像与性质 题型01 正比例函数的图像与性质 题型02 一次函数的图像与系数之间的关系 题型03 一次函数的性质与系数之间的关系 题型04 利用一次函数的性质(增减性)比较函数值（或自变量）的大小 题型05 待定系数法求函数解析式 题型06 一次函数与图形变换 题型07 一次函数最值问题 命题点三 一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系 题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 题型02 一次函数与一元一次方程 题型03 一次函数与二元一次方程(组) 题型04 一次函数与不等式（组） 题型05 求直线围成的图形面积 05·重难突破·思维进阶难 51 突破一 一次函数与规律探索问题 突破二 一次函数与新定义问题 突破三 与一次函数性质有关的开放性问题 突破四 一次函数与图形变换综合 突破五 一次函数与几何综合 06·优题精选·练能提分 82 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 一次函数与正比例函数的概念 / / 理解一次函数（含正比例函数）的定义，能根据实际问题识别一次函数关系。 一次函数的图像与性质 / 长沙市卷 T7 掌握一次函数的图象特征（直线）、增减性、与坐标轴交点，并能根据解析式判断图象位置。 一次函数的平移 / / 理解函数图象平移规律（左加右减自变量，上加下减常数项），并能应用于点的坐标变换。 一次函数不等式的确定 / / 掌握用待定系数法确定一次函数表达式；能根据两点坐标或一组对应值求解析式。 一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系 长沙市卷 T24 / 理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系；能用函数观点看方程与不等式，解决实际应用问题。 命题预测 2026年湖南中考中，一次函数模块将延续“基础性强、综合度高、贴近实际”的命题风格，重点考查：概念理解与建模：结合生活、科技、经济等背景，考查函数关系的建立。图像性质与平移：通过图像判断函数特征，或结合几何变换考查平移规律。表达式确定：可能结合新定义、几何图形或实际情境，要求学生确定函数解析式。与方程、不等式的综合：常作为应用题或综合题出现，考查函数与方程、不等式之间的转化与求解能力。 备考建议 备考时应重点训练： 1.图象与性质：熟记 k>0、k<0 时函数的增减性、图象所经象限，会判断给定解析式的图象特征。 2.平移规律：掌握“左加右减自变量，上加下减常数项”，能灵活应用于点坐标变换与函数解析式变换。 3.与方程、不等式结合：训练通过函数图象解一元一次不等式，能将实际问题转化为一次函数或二元一次方程组求解。 考点一 一次函数与正比例函数的概念 1.正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 2一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.当b=0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 【小技巧】判断一个函数是不是一次函数，就是判定它能不能化成的形式，其特征为：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 【注意】一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 1.（2025·湖南长沙·模拟）下列函数中，y是x的正比例函数的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数进行分析即可． k叫做比例系数，据此解答即可． 【解答】解：A、y=2x+1是一次函数，故此选项不符合题意； B、 是二次函数，故此选项不符合题意； C、y=x是正比例函数，故此选项符合题意； D、 是反比例函数，故此选项不符合题意； 故答案为：C． 2.（2025·湖南岳阳·模拟）若函数是正比例函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义是解答此题的关键．一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，据此解答即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴，且， ∴． 故选：B． 3.（2025·湖南长沙·模拟）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义，判断每个选项是否符合（、为常数，，自变量次数为 ）的形式． 本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数（、为常数，，自变量次数为 ）的形式是解题的关键． 【详解】解：，自变量的次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故A项不符合题意； ，符合一次函数（，，自变量次数为 ）的形式，故B项符合题意； 可写成，自变量的次数是，不是，不符合一次函数定义，故C项不符合题意； ，自变量的最高次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故D项不符合题意． 故选：B． 4.（2025·湖南长沙·模拟）已知函数是一次函数，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如，的函数叫做一次函数”得，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故选A． 考点二 一次函数的图像与性质 k＞0 k＜0 图像 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 拓展 1）直线与直线平行 2）直线与直线垂直 【补充说明】一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关. 1.（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 2.（2025·湖南邵阳·三模）已知点在正比例函数的图象上，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质解答即可求解，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的值随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 3.（2025·湖南湘西·模拟预测）一次函数（k为常数）的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】此题考查一次函数的性质，解题关键在于掌握其性质. 根据k，b的符号确定一次函数的图象经过的象限. 【详解】解：，图象过一三象限，，图象过第二象限， ∴直线经过一、二、三象限，不经过第四象限. 故选D. 4.（2025·湖南长沙·模拟预测）若点在第二象限，则函数的图象大致是（   ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数的关系，第二象限内的点的坐标特点，第二象限内的点，横坐标为负，纵坐标为正，则，对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴函数的图象经过第一、二、四象限， ∴四个选项中，只有B选项的函数图象符合题意， 故选：B． 5.（2025·湖南长沙·模拟预测）一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，根据一次函数的图象经过的象限得到，，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得， 故选：C． 考点三 一次函数的平移 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 平移口诀：x左加有减（只改变x），y上加下减（只改变y）. 【总结】一次函数图象平移后，k值不变因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用待定系数法即可求出平移后的解析式. 1.（2025·湖南长沙·二模）直线向上平移4个单位长度得到的直线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数图象的平移，根据函数图象的平移法则：左加右减、上加下减直接求解即可得到答案．熟记函数图象的平移法则：左加右减、上加下减是解决问题的关键． 【详解】解：直线向上平移4个单位得到的直线的表达式为， 即， 故选：D 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）若将直线平移，使其经过点，则平移后所得的直线表达式为 ． 【答案】 【分析】根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为，然后将点代入即可得出直线的函数解析式． 【详解】解：设平移后直线的解析式为． 把代入直线解析式得， 解得 ． 所以平移后直线的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换及待定系数法求函数的解析式，掌握直线平移时k的值不变是解题的关键． 3.（2025·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心、为半径画，把直线：平移后成为的切线，下列平移方法正确的是（   ） A．向下平移2个单位 B．向上平移1.5个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1.5个单位 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的平移及直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，若直线和相交；直线和相切；直线和相离．根据直线与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：如图， 当直线向下平移过点C时，可得， 所以此时直线是的切线， 此时直线与轴交于点， 所以把直线：向下平移2个单位后成为的切线， 故选：A． 考点四 一次函数表达式的确定 一、确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 二、用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 1.（2025·湖南武陵·模拟）若直线平行于直线，且经过点，则直线的解析式为　 　． 【答案】 【知识点】待定系数法求一次函数解析式 【分析】先根据两直线平行得出k的值，再将点代入解析式即可得出答案. 【解答】解：设直线m的解析式为y=kx+b， ∵直线平行于直线， ∴k=4， ∵直线经过点， ∴把点（1，-1）代入y=4x+b得，b=-5， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 2.（2025九上·湖南衡阳·开学考） 已知一次函数的图象经过点，，与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求一次函数的表达式及的面积； （2）将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过，则m的值为　 　． 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换 【分析】(1)利用待定系数法求解析式，然后分别求出点A和点B坐标，进一步求△AOB的面积即可； (2)将点(-2，-3)代入平移后的解析式y = 2x-3+m，即可求出m的值. 【答案】（1）解：设一次函数表达式为y = kx+b(k≠0)， ∵一次函数的图象经过点(1，-1)， (2，1)， 解得 ∴一次函数表达式为y =2x-3； 当y=0时， 2x-3=0， 解得 当x =0时， y = 2x-3 = - 3， ∴B(0，-3)， ∴OB=3， ∴△OAB的面积 (2)解：一次函数的图象平移后的解析式为y =2x-3+m， 将点(-2，-3)代入， 得-4-3+m=-3， 解得m=4， 故答案为：4. 3.（2025·湖南武陵·模拟）如图，直线：与直线：交于点，点的坐标为，。 （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；坐标系中的两点距离公式；数形结合 【解析】【分析】（1）先求出点P的坐标，再求出点A的坐标，最后根据待定系数法即可得出答案； （2）由（1）中点的坐标可得的边上的高，再根据三角形的面积公式即可得出答案．【答案】（1）解：由图可知，点A的坐标为（3，0）， ∵点P的坐标为（1，m），经过直线l1， ∴将点P（1，m）代入直线l1得：m=2×1=2， ∴点P的坐标为（1，2）， 将点P、点A代入直线l2得，， 解得：， ∴直线的解析式为. （2）解：由（1）可知，点P的坐标为（1，2）， ∴点P到x轴的距离为2，即△OAP的边OA的上的高为2， ∵OA=3， ∴S△OAP=×3×2=3. 考点五 一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系 图示 与一次方程的关系 方程的解直线与x轴交点的横坐标. 与二元一次方程组的关系 方程组​​的解直线与直线的交点坐标. 与一元一次不等式的关系 1）不等式的解集直线位于x轴上方的部分对应的x的取值范围； 2）不等式的解集直线位于x轴下方的部分对应的x的取值范围； 3）不等式的解集直线位于直线上方的部分 对应的x的取值范围. 1.（2024·湖南湘潭·一模）如图，一次函数的图象经过点，当时，的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质，观察函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键． 由一次函数图象与轴的交点坐标结合函数图象，即可得出：当时，，此题得解． 【详解】解：观察函数图象，可知：当时，． 故选：A． 2.（2025·湖南长沙·模拟）如图，已知函数和的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组）的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．将代入，可求得a的值，再根据一次函数与二元一次方程（组）的关系即可解答． 【详解】解：把点代入得：， 所以关于x，y的方程组的解是． 故选A． 3.（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，直线和直线相交于，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式，根据图象法，求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，的解集为； 故答案为：． 命题点一 一次函数与正比例函数的概念 ►题型01 正比例函数的概念 1.一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例函数，其中k叫正比例系数． 2.其结构特征为： ①k≠0， ②x的次数是1； ③常数b=0. 【典例】（2025·湖南湘西·模拟）下列选项中，y是关于x的正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数定义来判断即可． 【详解】解：A、，是正比例函数，符合题意； B、，不是正比例函数，不符合题意； C、，不是正比例函数，不符合题意； D、，不是正比例函数，不符合题意． 故选：A． 【变式1-1-1】（2025·湖南岳阳湘阴·模拟）已知函数是正比例函数，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．根据正比例函数的定义，可得，且，由此即可求出的值． 【详解】解：函数是正比例函数， ，且， 解得：， 故答案为：． 【变式1-1-2】（2025·湖南长沙·模拟）已知是关于的正比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义：形如的函数称为正比例函数是解题的关键．根据正比例函数的定义即可求解． 【详解】解：∵是关于的正比例函数， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式1-1-3】（2025·湖南长沙师大附中·模拟）下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　） A．正方形的面积S随边长x的变化而变化 B．面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化 C．正方形的周长C随着边长x的变化而变化 D．水箱以的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：）的变化而变化 【答案】C 【分析】先依据题意列出函数关系式，然后依据正比例函数的定义：一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、不是正比例函数，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、是正比例函数，故此选项符合题意； D、设水箱有水，则，不是正比例函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． ►题型02 一次函数的概念 1.一般地，函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)叫做一次函数． 特别地，当一次函数y=kx+b(k≠0)中的b=0时，即y=kx（k≠0），这时 y叫做x的正比例函数． 2.一次函数的一般形式为y=kx+b(，其中k，b为常数，且k≠0．其结构特征为： ①k≠0， ②x的次数是1； ③常数b可以为任意实数. 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟）下列函数：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（、为常数，且）的函数为一次函数，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义，逐一判断各函数是否符合该定义即可． 【详解】解：可整理为，其中，，符合一次函数定义，故①符合题意； 直接满足的形式，，，符合一次函数定义，故②符合题意； 不符合一次函数中次数为1的要求，故不是一次函数，故③不符合题意； 不符合一次函数中次数为1的要求，故不是一次函数，故④不符合题意； 综上，①和②为一次函数，共2个． 故选：B． 【变式1-2-1】（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知函数是一次函数，则的值为（    ） A．1 B． C．0或 D．1或 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义即可求出答案. 【详解】由题意可知：，解得：m=−1故选B． 【点睛】本题考查绝对值和一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握绝对值和一次函数的定义. 【变式1-2-2】（2025·湖南·模拟预测）若是一次函数，则a的值是（   ） A．－2 B．2 C．±2 D．± 【答案】A 【分析】根据形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数可得a2-3=1，且a-2≠0，再解即可． 【详解】解：由题意得：a2-3=1，且a-2≠0， 解得：a=-2， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数），一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． 命题点二 一次函数的图像与性质 ►题型01 正比例函数的图像与性质 对于正比例函数，只要知道比例系数k的正负，不需画出图像就能判断其图像的大致位置以及函数的增减性.反之，若知道正比例函数的增减性，也可以推断出函数的比例系数k的正负. 【典例】（2025·湖南邵阳·三模）已知点在正比例函数的图象上，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质解答即可求解，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的值随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 【变式2-1-1】（2024·湖南衡阳·三模）已知函数是正比例函数，且随的增大而增大，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数，且随的增大而增大， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数中，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【变式2-1-2】（2025·湖南永州·模拟）若函数的图象过，则关于此函数的叙述不正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B． C．函数图象经过原点 D．函数图象过二、四象限 【答案】A 【分析】将（2，-3）代入一次函数解析式中，求出一次函数解析式，根据解析式得出一次函数图像与性质即可得出答案． 【详解】将（2，-3）代入中 2k=-3，解得 ∴一次函数的解析式为： A：根据解析式可得y随x的增大而减小，故A选项错误，符合题意； B：，故B选项正确，不符合题意； C：为正比例函数，图像经过原点，故C选项正确，不符合题意； D：根据解析式可得函数图像经过二、四象限，故D选项正确，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式以及根据一次函数解析式判断函数的图像与性质． 【变式2-1-3】（2024·湖南株洲·二模）如图，点，，当直线与线段有交点时，的取值范围是(    ) A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】分别求出直线和直线的比例系数k，即可求解． 【详解】解：将代入中得：， 解得， 当直线刚好过点B时，将代入中得：， 解得， ∴当直线与线段有交点时，k的取值范围为：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正比例函数图象与系数的关系，正比例函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法求出临界值是解题的关键． ►题型02 一次函数的图像与系数之间的关系 1. 如果k＞0，那么图像过第一、三象限；如果k＜0，那么图像过第二、四象限。 2. b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上。 【典例】（2025·湖南长沙·三模）一次函数的图象如图所示，则点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】本题考查了根据一次函数的图象判断系数的符号，判断点所在的象限，解题关键是根据一次函数的图象判断系数的符号． 先根据一次函数的图象判断系数的符号，再确定点所在的象限． 【详解】解：∵一次函数的图象， ∴，， ∴点在第二象限， 故选：B． 【变式2-2-1】（2025·湖南长沙·一模）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“的图象在一、二、四象限”是解题的关键． 根据一次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴． 故选：D． 【变式2-2-2】（2025·湖南长沙·模拟预测）下列函数的图象经过第一、二、四象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图像与性质，熟记函数表达式中系数与图像的关系是解决问题的关键．根据一次函数图像与性质，对选项中的一次函数表达式逐个分析即可得到答案． 【详解】解：A、，由一次函数图像与性质可知，图像经过一、三、四象限，不符合题意； B、，由一次函数图像与性质可知，图像经过二、三、四象限，不符合题意； C、，由一次函数图像与性质可知，图像经过一、二、三象限，不符合题意； D、，由一次函数图像与性质可知，图像经过一、二、四象限，符合题意． 故选：D． 【变式2-2-3】（2025·湖南株洲·三模）如果从，0，2三个数中任取一个数作为，则直线不经过第四象限的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式以及一次函数的性质，先根据题意列表得出所有等可能的结果与所得一次函的图象不经过第四象限的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：列表如下： k 0 2 由表知，共有3种等可能结果，其中一次函数的图象不经过第四象限的有以及有2种结果， 所以直线不经过第四象限的概率是． 故答案为：． ►题型03 一次函数的性质与系数之间的关系 k>0，从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大；k<0，从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少。 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解： y随x的增大而增大， ， 解得：， 的取值范围． 故选：C． 【变式2-3-1】（2025·湖南永州·二模）已知的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而增大即可确定结论． 【详解】解：A、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而减小，选项A不符合题意； B、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而减小，选项B不符合题意； C、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而减小，选项C不符合题意； D、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而增大，选项D符合题意； 故选：D． 【变式2-3-2】（2025·湖南长沙·模拟预测）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向下平移4个单位长度得的图象 D．函数值随自变量的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．根据一次函数中的即可判断选项A正确；根据函数的图象与轴的交点坐标是即可判断选项B错误；根据一次函数图象的平移即可判断选项C正确；根据一次函数的增减性即可判断选项D正确． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，则选项A正确； 当时，， ∴函数的图象与轴的交点坐标是，则选项B错误； 函数的图象向下平移4个单位长度得到函数，即的图象，则选项C正确； ∵在一次函数中，， ∴函数值随自变量的增大而减小，则选项D正确； 故选：B． 【变式2-3-3】（2025·湖南衡阳·一模）如果一次函数（k是常数，）的图象经过点，那么y的值随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，掌握对于一次函数，当时， y随x的增大而增大，当时， y随x的增大而增减小是解题的关键．先由待定系数法求出一次函数的解析式，再根据的符号判断增减性． 【详解】解：∵一次函数（k是常数，）的图象经过点， ∴， 解得：， ∴y的值随x的增大而减小， 故答案为：减小． ►题型04 利用一次函数的性质(增减性)比较函数值（或自变量）的大小 k>0，从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大；k<0，从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少。 【典例】（2025·湖南长沙·一模）已知一次函数的图象经过点，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数的，得出随的增大而增大，再结合，得出，即可作答． 【详解】解：，依题意，一次函数的， ∴随的增大而增大， ∵点在一次函数的图象上，且， ∴， 故选：A． 【变式2-4-1】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知是一次函数图象上的两点，则m 和n 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的增减性即可判断，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一次函数中y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：D． 【变式2-4-2】（2025·湖南武冈·模拟）平面直角坐标系中，过点的直线l经过一、二、三象限，若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线l经过第一、二、三象限且过点，得出y随x的增大而增大，则，再根据点在直线l上，得出，即可解答． 【详解】解：∵直线l经过第一、二、三象限且过点， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴， ∴A、B、C均错； ∵点在直线l上， ∴． 故选D． 【变式2-4-3】（24-25八年级下·湖南永州·期末）若点，，在一次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：， 随x的增大而减小， 又点，，在一次函数的图象上，且， ． 故选：A． 【变式2-4-4】（2025·湖南衡阳·模拟）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点． 则；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（   ） A．①② B．①③④ C．①④⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质、利用两直线的交点坐标确定不等式的解集． 根据一次函数过一、二、四象限，可得、，则，故①符合题意；由，可得y随x增大而减小，故②不符合题意；当，，即，故③符合题意；由函数图象可得，两函数的交点的横坐标为3，当时，，即，故④符合题意；由函数图象可得：当时，可得，故⑤不符合题意，即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数过一、二、四象限， ∴、， ∴，故①符合题意； ∵， ∴y随x增大而减小， ∵，是直线上不重合的两点， 当，则，则；当，则，则，故②不符合题意； 由函数图象可得：当时，， ∴，故③符合题意； 由函数图象可得，两函数的交点的横坐标为3， ∴当时，，即，故④符合题意； 由函数图象可得：当时，，故⑤不符合题意； 综上，①③④符合题意． 故选：B． ►题型05 待定系数法求函数解析式 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 【典例】（2025九年级上·湖南长沙·月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标为的坐标为． (1)请直接写出平行四边形的中心的坐标___ (2)求出直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质、求一次函数解析式： （1）利用平行四边形的性质先求出点C的坐标，点P为点C和点A的中点，由此可解． （2）利用待定系数法求解． 【详解】（1）解：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：设直线的解析式为， 则有， ， 直线的解析式为． 【变式2-5-1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，先求出该正比例函数解析式，再逐个判断即可． 【详解】解：设正比例函数解析式为， 将代入得：， ∴正比例函数解析式为， 当时，，故不在该正比例函数图象上，不符合题意； 当时，，故不在该正比例函数图象上，不符合题意； 当时，，故不在该正比例函数图象上，不符合题意； 当时，，故在该正比例函数图象上，符合题意； 故选：D． 【变式2-5-2】（2025九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，一次函数：的图象与x轴交于点D，一次函数：的图象与x轴交于点A，且经过点，两函数图象交于点． (1)求一次函数：的解析式； (2)根据图象，直接写出的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求一次函数解析式． （1）把点C的坐标代入直线的解析式求出m的值，根据点B、C的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据图象写出的函数值大于1且直线在直线上方时对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）∵点在直线：上， ∴， 解得； ∵点、在直线上， ∴， 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）由图象可得，不等式组的解集为． 【变式2-5-3】（2025·湖南娄底·一模）已知如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求点、点的坐标，并直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)，或 (3)4 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合应用，正确求出表达式是解题的关键． （1）先求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，将A、B坐标代入求出a、b的值即可； （2）根据一次函数解析式求出点C、D的坐标即可；根据函数图象求出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围即可； （3）根据求出的C、D点的坐标，结合函数图象，求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点和点， ∴ ， 解得：， ∴， 解得：， ∴ 解得； （2）解：关于直线，当时，；当时，， ∴点C的坐标为， 点D的坐标为， 观察图形得：一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为或． （3）解： ． ►题型06 一次函数与图形变换综合 1）平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y） 2) 翻折口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 【典例】（2024·湖南长沙·模拟预测）直线沿轴向下平移个单位后与轴的交点坐标是，以下各点在直线上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像与几何变换，一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据“上加下减”的原则求解即可．熟知函数图像上点的坐标满足解析式是解题的关键． 【详解】解：直线沿轴向下平移个单位后与轴的交点坐标是， 将，代入中， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， A．当时，，故此选项不符合题意； B．当时，，故此选项不符合题意； C．当时，，故此选项符合题意； D．当时，，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2-6-1】（2025·湖南湘潭·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向上平移6个单位长度后，与轴交于点，若点与关于原点对称，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据y轴上点的坐标特征求得A、的坐标，由题意可知，解得． 【详解】解：∵直线（为常数）与y轴交于点A， 当时，， ∴， 将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，得到， ∵将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，与y轴交于点， ∴， ∵点与A关于原点O对称， ∴， 解得， 故选：A． 【变式2-6-2】（2024·湖南株洲·二模）根据物理学知识可知：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜a上，被a反射后的光线为，则入射光线，反射光线与平面镜a所夹的角相等，即，若按如图建立平面直角坐标系，并设入射光线和反射光线所在直线的解析式分别为，，则下列关于，的关系说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，取直线在第二象限内的一点，过点A作轴交直线于C，分别过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为B、D，可证明，进而推出，把代入中得，则，由，可得． 【详解】解：如图所示，取直线在第二象限内的一点，过点A作轴交直线于C，分别过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为B、D，则， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入中得， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2-6-3】（2025·湖南常德·三模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图像只有一个交点？ 【答案】(1)， (2)1或9 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数过点，，得，，再运用待定系数法求解即可； （2）设出平移后直线的解析式得，故，结合一元二次方程的根的判别式解答即可； 【详解】（1）解：∵反比例函数过点，， ∴， 解得：，， 反比例函数解析式为：，点， ∵一次函数解析式过点，， ∴， 解得：． ∴一次函数解析式为：； （2）解： 设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点， 则平移后的解析式为， 联立两个函数得：， 整理得：， ， ∴，或， ∴直线向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点． ►题型07 一次函数最值问题 求一次函数的最值时，首先求出一次函数表达式及其自变量的取值范围，根据一次函数在自变量的取值范围内取最大值和最小值. 【典例】（2025·湖南长沙·一模）如图，两座城市和在平面直角坐标系中的坐标为、，铁路所在的直线为，计划在铁路上修建一个站点，使站点到两城市的距离和最小，则站点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，求两直线的交点坐标，两点之间，线段最短等．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．先确定点关于直线对称的点的坐标，连接与直线的交点即为点，再求出直线的解析式，联立方程组，求出两直线的交点坐标即可． 【详解】解：作点关于直线对称的点，连接，如图： ∵点与点关于直线对称， ∴， 故， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为线段的长， 即点是与直线的交点； ∵点关于直线对称点坐标为， ∴点 关于直线对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 将， 代入解析式，得， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵点是直线与直线的交点， 故联立方程组， 解得：， 即点的坐标为． 故答案为：． 【变式2-7-1】（2025·湖南湘潭·模拟）若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（    ） A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小 C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：当时， 当时， 当时，随的增大而增大 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 当时，随的增大而减小 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 故选：． 【变式2-7-2】（2025·湖南·模拟预测）已知，则的最大值与最小值的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的性质，二次根式的性质，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，然后得到数轴上点x到和5的距离之和等于6，然后得到，然后根据一次函数的性质求出最大值和最小值，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即数轴上点x到和5的距离之和等于6， ∴， ∵函数中， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为； 当时，y有最大值，最大值为； ∴的最大值与最小值的和是． 故选：D． 【变式2-7-3】（2025·湖南湘西·模拟）已知，其中，，那么的最小值为(    ) A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，化简绝对值；先化简绝对值，合并同类项后得到一次函数表达式，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】已知函数为 ，其中 且 ， ∴，，， ∴ ∵， ∴当，取最大值时，取得最小值： 故选：C． 命题点三 一次函数与方程(组)、不等式(组)的关系 ►题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 1.一次函数y＝kx＋b与x轴交点的横坐标－是方程kx＋b＝0的解 2.一次函数y＝kx＋b与y轴交点的横坐标等于0，纵坐标等于b. 【典例】（2025·湖南张家界·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 【变式3-1-1】（2025·湖南怀化·二模）如图，一次函数为常数，的图象与轴、轴的交点分别为，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程，根据图象法得到当时，，即：，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：当时，，即：， ∴方程的解为； 故选D． 【变式3-1-2】（2025·湖南·一模）若直线经过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数与轴交点的横坐标即为其所对应的一元一次方程的解是解题的关键．利用一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：由直线经过点，即与轴交点坐标为， 则直线对应的一元一次方程的解是， 故选：C． 【变式3-1-3】（2025·甘肃·模拟预测）若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质与一元一次方程，一次函数与轴的交点问题，由直线与x轴交点的横坐标为1，得到，将代入中，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线与x轴交点的横坐标为1， ∴， ∴， 将代入中，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A． ►题型02 一次函数与一元一次方程 【典例】（2025·湖南怀化·模拟）如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 由的函数图象与函数的图象相交交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与函数的图象相交的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 故选：A． 【变式3-2-1】（2025·湖南郴州·模拟）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先将点代入一次函数可得，从而可得点的坐标为，再将点代入一次函数可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，将点代入一次函数得：，解得， ∴点的坐标为， ∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴关于的方程的解是， 故选：A． 【变式3-2-2】（2024·湖南常德·二模）如图，已知直线（为常数，），则关于的方程的解是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次方程的综合应用，正确解得直线函数解析式是解题关键．首先根据待定系数法解得直线解析式，再令，解得的值，即可获得答案． 【详解】解：由图像可知，直线经过点，， 将点，代入， 可得，解得， ∴该直线解析式为， 令，可得， 解得， ∴关于的方程的解是． 故选：A． ►题型03 一次函数与二元一次方程（组） 【典例】（2024·湖南株洲·模拟）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两个函数的交点坐标同时满足两个函数解析式，从而可得方程组的解. 【详解】解：∵函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P的坐标为（-4，-2）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是． 故选B． 【点睛】本题考查的是利用函数的交点坐标确定方程组的解，明确交点坐标的含义与掌握数形结合的方法解题是关键. 【变式3-3-1】（2025·湖南永州·模拟）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 【变式3-3-2】（2024·湖南张家界·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确； ②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确； ③．由图象可知：当时，，故选项③错误； ④．由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项④正确； 故正确的有①②④共三个， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． ►题型04 一次函数与不等式（组） 【典例】（2025·湖南湘潭·一模）已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于可由向左平移3个单位长度而得到，此时由题意知，直线与x轴的交点横坐标为，结合函数图象即可求得不等式的解集． 【详解】解：由于可由向左平移3个单位长度而得到， ∵直线与x轴交点横坐标为2， ∴直线与x轴的交点横坐标为， ∴函数的图象如下 观察图象知，不等式的解集是， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象的平移、利用函数图象求一元一次不等式的解集等知识，得到平移后的一次函数解析式及与x轴的交点坐标是关键． 【变式3-4-1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，直线和直线相交于，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式，根据图象法，求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，的解集为； 故答案为：． 【变式3-4-2】（2025·湖南长沙·模拟）一次函数与的图象如图所示，则以下结论：①；②；③当时，；④关于x的方程的解是．其中正确的有 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，比较简单，熟悉交点横坐标就是方程的解是解题的关键．本题的难点在于根据函数图象的走势和与轴的交点来判断各个函数，的值．根据与的图象可知：，，所以当时，相应的的值，图象均高于的图象．根据交点横坐标的值也就是满足函数解析式组成方程的解，所以方程的解也就是交点的横坐标． 【详解】解：∵的函数图象与y轴负半轴有交点， ∴，故①正确； ∵的图象经过一、二、四象限， ∴，， ∴，故②错误； 当时，相应的的值，图象均低于的图象， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵一次函数与的图象交点横坐标为， ∴方程的解是， 即的解是，故④正确． 综上分析可知：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 【变式3-4-3】（2025·湖南湘西·模拟）如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点、，两直线交于点，已知点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是_____，关于的不等式的解集是_____． (2)若点坐标为，关于的不等式的解集是_____． (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程，数形结合思想是解题的关键． （1）由题意可知，从而求得；观察图象可知，当时，的图象在轴的下方，从而求得不等式的解集； （2）利用图象即可求出答案； （3）利用根据三角形面积公式求出答案． 【详解】（1）解：∵一次函数与轴交于点， ， ∴关于的方程的解是， 观察图象可知，当时，的图象在轴的下方，即， 关于的不等式的解集是； 故答案为：，； （2）解：由题意可知，两直线交于点，观察图象可知，当时，一次函数的图象在的图象的上方， ∴不等式的解集是； （3）解：∵点, 点， ， 坐标为， ∴. ►题型05 求直线围成的图形面积 【典例】（2025·湖南·模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值； (2)请根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题为一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，利用图象解一元一次不等式，面积问题等．掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）将代入求解即可； （2）由（1）得，结合函数图象即可得出结果； （3）根据题意确定，得出，结合图象根据求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得， ∴； （2）由（1）得， 根据图象得：当时，的图象在下方，即此时， ∴的取值范围是． （3）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，；当时，； ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴． 【变式3-5-1】（2025九年级上·湖南长沙·开学考试）已知一次函数的图象经过和两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键． （1）根据待定系数法求得即可； （2）根据点的坐标特征求得直线与坐标轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）设这个一次函数的表达式为， ∵一次函数的图象经过和两点， ∴， 解得：， 所以这个一次函数为； （2）令，则， ∴直线与y轴的交点为； 令，则， ∴直线与x轴的交点为． ∴一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积． 【变式3-5-2】（2025·湖南邵阳·三模）如图，直线与双曲线(m为常数，)交于、B两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点A坐标分别代入反比例函数及一次函数解析式进行计算即可． （2）令直线与x轴的交点为C，用的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】（1）解：依题意，将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为 将代入得，， ∴双曲线的解析式为 （2）解：依题意，由得， 解得，， 经检验：，是原分式方程的解， ∴，， 依题意，将代入得，， ∴点B坐标为 令直线与x轴的交点为C， 将代入得， ∴， ∴点C的坐标为， 则 【变式3-5-3】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，且与反比例函数的图象交于点C，轴于点D，． (1)求直线的函数表达式． (2)当反比例函数的函数值时，请根据函数图象直接写出自变量x的取值范围． (3)设点P是x轴上的点，若的面积等于15，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、求一次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积公式，熟练 以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出点C的横坐标为2，代入得出，再利用待定系数法求解即可； （2）在中，当时，，解得，再结合图象即可得出答案； （3）求出，设点P的坐标为，根据得出，从而即可得出点的横坐标，即可得解． 【详解】（1）解：∵轴于点D， ， ∴点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴， 设直线的函数表达式为， 将点，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：在中，当时，，解得， 由图象可得：当反比例函数的函数值时，自变量x的取值范围为； （3）解：当时，，解得， ∴， ∵点P是x轴上的点， ∴设点P的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或． 突破一 一次函数与规律探索问题 【典例】正方形，，按如图的方式放置，…和点…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质和一次函数图象上点的坐标特点，找到规律是解题的关键. 根据一次函数图象上点的坐标特点和正方形的性质依次求出，，，找到规律，可得点的坐标是，即可求解. 【详解】解：对于直线，当时，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，即， 当时，， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，即，即， 当时，， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，即，即， 以此类推，可得点的坐标是； 点的坐标是； 故选：A. 【变式1】《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，观察分析所得数据并找出数据之间的规律是解题的关键． 根据题意求出点坐标，得长即值，求出点、坐标，得长即得出，进而得出，把代入求值即可判断． 【详解】解：把代入：得， ∴， ∴，即， ∵过点A作x轴的平行线交直线于点，把代入得， ∴， ∵过点作轴的平行线交直线于点，把代入得， ∴， ∴，即， 同理可得，， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时得到：， 故选：． 【变式2】如图所示，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……，依次进行下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标变换的规律，熟练掌握一次函数图象上的坐标特征是解题的关键，根据坐标的变化规律得到，，，，按此规律结合，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵，在直线上， ∴在中，当时，，则， ∵在直线上， ∴在中，当时，，则， 同理可得：，，，，，， ∴，，，（为自然数）， ∵， ∴的坐标为，即， 故选：D． 【变式3】观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法．由可得：，，则可得，则可得 ，再利用 ，进行计算即可． 【详解】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点； ∴令，可得：纵坐标为， 纵坐标为， ，， ． ， ． 故选：D． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征，旋转性质，勾股定理，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点，求出点，由，，则，，则有，由勾股定理得，由旋转性质可知，，所以，故有，即的纵坐标为，同理的纵坐标为，由，可判断在直线上，所以的纵坐标为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点， 由直线得，当时，， ∴点， ∴， ∵，， ∴，，由勾股定理得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴，即的纵坐标为， 同理的纵坐标为， ∵， ∴在直线上， ∴的纵坐标为， 故答案为：． 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的解析式可得点的坐标是，设点的坐标是，根据正方形的四条边都相等可得，从而求出正方形的边长为，根据正方形的对边相互平行，可知，根据相似三角形的性质求出，从而可得，利用三角形的面积公式可以求出，同理可以求出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，且相似比为，根据规律可得． 【详解】解：当时，， 点的坐标是， 点在直线上， 设点的坐标是， 则点的坐标是，点的坐标是， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， 的坐标是， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； 设点的坐标为， 则点的坐标是，点的坐标是， ， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， ， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 的坐标是，的坐标是， ， 的坐标是，点的坐标是， ， ，， ， 又四边形和均为正方形， 轴，轴， ， ， ，且相似比为， ， 当时，， 同理可证，且相似比为， 则， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、图形的规律与探索，解决本题的关键是分别计算出和的面积，根据这两个三角形的形状与面积之间的关系找出规律，根据规律得出结果． 突破二 一次函数与新定义问题 【典例】若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查新定义展开，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可； 根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可. 【详解】解：①设函数上点坐标轴为 ， ∵关于轴对称 ∴点坐标为 若点或点的纵坐标称相等， ∴解得：， 则存在这样的点，使得他们关于轴对称， ∴函数与函数具有“对偶关系” 所以①错误；故不符合题意； ②当时，则，解得；，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意； ③当时，则，解得； 因为是函数与函数的“对偶值”， 所以函数的，代入得： ，解得，所以③正确，故符合题意； ④设点坐标为，则点坐标为  ， ∵横坐标是相反数关系，纵坐标相等 ∴，整理得， ∵，对于函数，y随m的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴，而不是，所以④错误，故不符合题意； 故选：B. 【变式1】定义，在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标互为相反数的点，我们称之为“零和点”．下列关于“零和点”的说法中错误的是（   ） A．函数图象上的“零和点”就是原点 B．函数图象上“零和点”的横坐标为是2 C．函数图象上至少有一个“零和点” D．函数图象上有且只有一个“零和点” 【答案】C 【分析】本题考查相反数的应用，解题的关键是正确理解“零和点”． 根据“零和点”的定义，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】A、联立和，得，解得，对应，即原点，故选项A不符合题意， B、联立和，得，解得，故选项B不符合题意， C、联立 和，得，整理为，无实数解，故无零和点，故选项C符合题意， D、联立和，得，解得，唯一解，故选项D不符合题意， 故选：C． 【变式2】对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则称这个函数是有界函数．其中，的最小值称为这个函数的边界值．若函数（，且）中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】根据可知函数的随的增大而增大，再根据函数增减性可知当时函数值为边界值，然后由边界值小于3列关于的不等式求解即可． 【详解】解： 函数的随的增大而增大 当时，函数的函数值为边界值， 边界值小于3 ，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了阅读理解、一次函数的增减性、解不等式等知识点，理解“边界值”的定义成为解答本题的关键． 【变式3】问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （4）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，； （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴； （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． 突破三 一次函数与图形变换综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答． 【详解】解：令则， ∴， 即， 令，则， 即， ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得， ∴， 则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ②令则， 解得， 即经过点， 令，则 即经过点， 连接，如图所示： ∵，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称， 故沿函数的图像翻折过点， ∴②符合题意； ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点； 过程如下： ∴， 此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点， 故③不符合题意； ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式2】如图，已知，，将线段平移到第一象限得线段，点的横坐标为，若作直线交轴于点． (1)求线段所在直线的解析式； (2)直线上一点，求出、之间的数量关系； (3)若点在轴上，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法，函数图象与点的平移，轴对称的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）将点P的坐标代入直线的解析式即可解答； （3）求出直线后的直线的解析式为，进而求出，根据点A与点的坐标变化得到平移方式，从而得到点．作点关于轴的对称点，连接，交轴于，此时，最小为的长，根据两点间距离公式求出，即可解答． 【详解】（1）解：设线段所在直线的解析式为， 将，代入中，， ， 线段所在直线的解析式为； （2）解：点在直线上， ； （3）解：设直线平移后的直线的解析式为， 点在直线上， ， ， 直线的解析式为， 点的横坐标为， ∴把代入函数，得 ∴， ， 点是点向右移动个单位，再向上平移个单位所得， 点也是由点B向右移动7个单位，再向上平移个单位所得， ， ， 作点关于轴的对称点， 连接，交轴于，此时，最小，为， ． 【变式3】如图1，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，其中，直线经过点，且与线段所夹的锐角为．已知． (1)点的坐标为_____________，直线的表达式为_____________． (2)将直线向下平移个单位长度，平移后的直线交线段于点，交线段于点，将矩形沿直线折叠，点的对应点分别为． ①如图2，当点和点重合时，请通过推理判断的形状，并求出此时的值． ②在直线平移的过程中，当四边形与矩形重叠部分（例如图3中的阴影部分）是四边形，且该四边形满足“一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角”时，请直接写出直线的表达式． 【答案】(1)； (2)①等腰三角形，；②直线的表达式为或． 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，一次函数与几何图形综合，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定； （1）根据坐标系与矩形的性质求得的坐标，进而根据与线段所夹的锐角为．，得出点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解； （2）①由折叠的性质，得．进而先证得是等腰三角形，过点作于点，则四边形是矩形，，由勾股定理，得，求出的值，即可求解； ②分两种情况讨论，根据折叠的性质得出，结合，根据解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：如图，设直线与交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入 解得： ∴的解析式为： 故答案为： ；． （2）①由折叠的性质，得． ， ， 是等腰三角形．     如图，过点作于点，则四边形是矩形，， ， ， ． 由勾股定理，得， ， 解得． ②解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，， 设交与点，当时， ∴ 设，则 ∴ ∵折叠， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 解得： ∴即 由（1）可得直线的表达式为，代入 ∴直线的表达式为 如图，过点作于点，则四边形是矩形，设与交于点，当时， 设，则， 同理可得，， ∵ ∴ ∴ ∴，则 ∵，， ∴ 解得： ∴ ∴ ∴直线的表达式为 综上所述，直线的表达式为或． 突破四 一次函数与几何综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，，直线交于点C． (1)求直线的解析式； (2)P是x轴上的一个动点，当的面积为，求P的坐标； (3)将沿着直线平移，记平移过程中为，其中点O的对应点为，点A对的应点为，点C的对应点为，直线与x轴交于点M，在平移过程中，若要使以点，M，A为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）先根据题意求出A、B坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案； （3）分解析中图3-1，图3-2，图3-3，图3-4共四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：∵的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或； （3）解：联立，解得， ∴； 在中，， ∵， ∴点C为线段的中点， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 如图3-1所示，当时， 由平移的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； 如图3-2所示，当时， 则， ∵， ∴此种情况不存在； 如图3-3所示，当时，过点作于K，过点作于L， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； 如图3-4所示，当时，过点作于T， 同理可得， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式2】如图一，⊙O与坐标轴相交于点，点，过两点作直线． (1)①请分别写出、关于直线的对称点坐标 ， ； ②若C是平面内一点，且，则C点横坐标的最大值为 ． (2)如图二，若P是外一点，已知圆上一点，连接PA和PM，且直线和中一条经过点O，另一条是的切线，求点P的坐标． (3)如图三，已知点，，对于线段上一点F，存在的弦，连接，，使得直线和中一条经过点O，另一条是切线，记的长为t，当点F在线段上运动时，求出t的取值范围． 【答案】(1)①，；②4 (2)， (3)或 【分析】（1）①根据轴对称的性质画图，即可得到坐标； ②根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半，需要画出以线段为弦的两个圆，并且所对的圆心角是，画出如图，即可得到答案； （2）根据题意分两种情况讨论，即可解决问题； （3）此小问要想求出t的取值范围，需要充分理解题意，可以设G为切点也可以是H为切点都是一样的，我们不妨设G为切点，再进行讨论点F的位置，即可求得答案； 【详解】（1）①由轴对称的性质可作图，即可得到、关于直线的对称点坐标，； 故答案为：，； ②如图，要使，点C是两个圆上优弧上任意一点（除A、B之外），即可得到横坐标最大值为4， 故答案为∶4． （2）解：由题意分以下两种情况讨论： ①如图，若为切线，则点P是直线与直线的交点．此时． ②如图，若为切线，则，点P是直线（y轴）与直线的交点． 易得的解析式为．此时 综上所述，，． （3）解：不妨设G为切点，和为直线与的两个交点，且为短弦，为长弦 共有2种临界情况，分别位于点D和经过点O的的垂线上． ①    当F位于点时，为的切线，连结，，， ， ，； ②    当F位于经过点O的的垂线上时， 如图： ，， ， ， ∴， 由题易得：， ， ， 在直角三角形中， ∴ 解的：， 在两种情况下，最小值在内，最大值在， 综上所述，t的取值范围为或 【点睛】本题主要考查了轴对称的定义，图形与坐标，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，解决此题的关键是要充分理解题意，读懂题意． 【变式3】（23-24八年级下·湖南长沙·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．    (1)求出点A的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在x轴的上方是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】（1）根据，解方程组得，得； （2）根据得到，根据点D是直线上一点，设，根据，确定点D坐标，设解析式解答即可； （3）分是正方形的一边和一条对角线两种情形，结合正方形的性质解答即可． 【详解】（1）根据题意，得， 解方程组，得， 故点； （2）∵， ∴， ∵点D是直线上一点， 设， 根据题意，得， 解得或， ∵点D在线段上， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴解析式为． （3）∵，，设， ∵四边形是正方形， 当是正方形的一边时， ∵， ∴且． ∴点一定位于x轴上， ∴． 解得， ∴， 根据正方形的性质，得；    当是正方形的对角线时， ∵， ∴其中点坐标为． ∴点一定位于直线， ∴． 解得， ∴， 根据正方形的对称性质，得； 综上所述，符合题意的点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正方形的性质，中点坐标公式，熟练掌握待定系数法，正方形的性质是解题的关键． 1.（2025·湖南长沙·模拟）下列有关一次函数的说法中，正确的是（　　） A．的值随着值的增大而减小 B．函数图象与轴的交点坐标为 C．当时， D．函数图象经过第一、二、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质．根据一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、，的值随着值的增大而增大，本选项不符合题意； B、当时，，函数图象与轴的交点坐标为，本选项不符合题意； C、当时，，且，则当时，，本选项符合题意； D、，，函数图象经过第一、三、四象限，本选项不符合题意； 故选：C． 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）已知点A，B均在一次函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数性质，根据一次函数增减性求解，即可解题． 【详解】解：一次函数中， 即函数值随的增大而减小， ， ， 故选：A． 3.（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质等知识点，熟练掌握相关函数的性质是解题的关键． 由题意可知，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此判断即可． 【详解】解：由题意可知，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的， 函数的图象在二四象限，不满足条件， 故选：． 4.（2024·湖南·模拟预测）对于某个一次函数，两位同学探究了它的图象和性质．上图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个一次函数的解析式为，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵函数图象经过点， ∴， 即，故D选项正确，不符合题意； ∵函数图象不经过第二象限， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项错误，符合题意； 故选：C 5.（2025·湖南岳阳·模拟预测）将一次函数向上平移6个单位，得到的新函数的表达式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”．据此解答即可． 【详解】解：将一次函数向上平移6个单位，得到的新函数的表达式为， 故答案为：． 6.（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，将绕着点A顺时针旋转得到，则点B的对应点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形变化—旋转，先根据一次函数解析式得到，则，再由旋转的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴，即， 故答案为：． 7.（2025·湖南永州·模拟预测）如图所示，一次函数与反比例函数交，两点，点在轴上，连接． (1)求一次函数的解析式； (2)当，求的值． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2) 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用；勾股定理的应用，一元二次方程的解法； （1）把，代入，再建立方程组求解即可； （2）设，利用勾股定理求解，，，结合求解，再进一步求解即可. 【详解】（1）解： ∵一次函数与反比例函数交，两点， ∴， 解得： ∴一次函数的表达式为． （2）解：设，而，， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴. 8.（2025·湖南长沙·一模）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为，，． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，画出平移后的；（点，，的对应点分别为点，，） (2)在（）的条件下，画出经过点，的直线，求直线的解析式． 【答案】(1)画图见解析； (2)直线的解析式为． 【分析】本题考查了平移作图，求一次函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，找到，，，然后连接各点即可； （）先求出，然后用待定系数法求解析式即可． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求； （2）解：∵先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，， ∴， 如图，连接，设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为． 9.（2025·湖南娄底·一模）如图，点是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限．，，． (1)求点的坐标； (2)点P是轴上的一个动点，当点处于何位置时，的值最小？ 【答案】(1) (2)当点P运动到这个位置时，的值最小 【分析】（1）过点C作轴交x轴于点E，证明，得出，解直角三角形得出， ，求出，即可得出答案； （2）作点B关于y轴的对称点为D，则，连接，与y轴交于点P，连接，根据两点之间线段最短，得出此时点P即为所求作的点，先求出直线 ，然后求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：过点C作轴交x轴于点E，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴点C的坐标为； （2）解：如图，作点B关于y轴的对称点为D，则，连接，与y轴交于点P，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴此时点P即为所求作的点， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ∴ 当时， ∴当点P运动到这个位置时，的值最小． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，解直角三角形的相关计算，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握待定系数法，作出辅助线． 10.（2025·湖南衡阳·三模）在平面直角坐标系中，若，则称为点的“斜值”．如图，边长为2的正方形的四条边分别与坐标轴平行，点的坐标为，点是正方形边上的动点．下列说法错误的是（　　） A．点的“斜值”为 B．点在边上时，点的“斜值”随着的增大而增大 C．点在边上时，点的“斜值”随着的增大而增大 D．点的“斜值”的最大值为 【答案】B 【分析】题目主要考查一次函数的应用，坐标与图形，理解新定义是解题关键． 根据新定义及一次函数的性质依次判断即可． 【详解】解：根据题意得：若，则称为点（a，b）的“斜值”， ∴． ∵点的坐标为， ∴点的“斜值”为，故选项正确，不符合题意； 点在边上时，则，点的“斜值”随着的增大而减小，故B选项错误，符合题意； 点在边上时，则点，点的“斜值”随着的增大而增大，故C选项正确，不符合题意； 当点在点D位置时，“斜值”最大，且“斜值”，故D选项正确，不符合题意， 故选：B． 11.（24-25九年级上·湖南长沙·期中）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界为3；函数是有上界函数，其上确界是2． (1)请判断下列函数是否为有上界函数，在后面括号内打“√”或“×” ①（   ）     ②（   ） ③（   ） (2)一次函数是有上界函数，上确界为4，求实数的值． (3)如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 【答案】(1)√；×；√ (2)或 (3) 【分析】（1）根据有上界函数的定义结合一次函数和二次函数的性质判断即可得解； （2）分两种情况：当，随增大而增大；当，随增大而减小；分别得出方程，求解即可； （3）分两种情况：当时，函数随着增大而增大， 当时，函数有上确界；当时，时，函数有上确界，分别计算即可得解． 【详解】（1）解：①中，当时，有最大值，故为有上界函数，√； ②，当时，有最小值，故不为有上界函数，×； ③，当时，有最大值，故为有上界函数，√； （2）解：一次函数是有上界函数，上确界为， 分两种情况：当，随增大而增大， 当时，函数有最大值， ∴； 当，随增大而减小， 当时，函数有最大值， ∴； 综上可知：或； （3）解：当时，函数随着增大而增大， 当时，函数有上确界， 故， ， ， 解得：， 当时，时，函数有上确界， 故， 解得：（舍），（舍）， 综上可知，． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、有上界函数的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 12.（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】（1）根据“1阶近轴点”的定义，结合函数的性质逐个分析判断即可得出结论； （2）设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，根据题意列出不等式组，进而得出关于的不等式组有解，列出关于的不等式，即可求解； （3）设“2阶完美点”的坐标为，由题意得，得出“2阶完美点”在函数上，分析可知函数与函数只有一个交点，设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，根据函数与轴的交点个数分情况讨论，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：经过点，点是“1阶近轴点”，故①符合题意； 设存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为， 由题意得，， ∴不等式组无解， ∴图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意； ∵， ∴函数的最小值为2， ∴函数图像上的点到轴的距离大于等于2， ∴函数不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意； ∴函数图像上存在“1阶近轴点”的是①； 故答案为：①； （2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为， 由题意得，， 解得：， ∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”， ∴关于的不等式组有解， ∴或或， 解得：或或，即， ∴实数的取值范围为； （3）解：设“2阶完美点”的坐标为， 由题意得，， ∴“2阶完美点”在函数上， ∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”， ∴函数与函数只有一个交点， 令，整理得， 设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足， 当时，， 若函数与轴有2个交点，则当时，有， ∴， 解得：； 若函数与轴只有1个交点，则， 整理得：， 解得：或， 当时，则与轴的交点的横坐标为， ∵， ∴符合题意； 当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去； 综上所述，实数的取值范围为或． 【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质，理解“阶近轴点”和“阶完美点”的定义是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的理解应用和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 1.（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意； B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意； C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意； D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意； 故答案为：D． 2.（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 3.（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 4.（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴时， 时， 故选： ． 5.（2025·广西·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值． 【详解】解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得： ， 解得：， 故选：D． 6.（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点，，求出这条直线的解析式为，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为，再将每个选项进行验证，即可作答． 【详解】解：设过点，的直线解析式为， 把点，分别代入， 得， ∴， ∴， ∵过点，的直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 当时，则， 即在直线上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故D选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故C选项不符合题意； 故选：B 7.（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 8.（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系． 明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式， 即方程组的解为点A的坐标． 故答案为：． 9.（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ． 【答案】 【分析】方法一：本题考查了坐标与图形，角平分线的作法，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，过点作轴于点G，根据题意可得平分，易证是等腰直角三角形，得到，再证明，易证，推出，即，求出，即可得到点F的坐标． 方法二：本题考查了一次函数解析式的求解、角平分线的性质以及两直线交点的求法．用到了函数与方程的思想，解题关键是确定所在直线的解析式为，易错点是联立方程求解时计算出错． 首先，利用直线上两点和，用待定系数法求出直线的解析式．然后，根据作图步骤可知是的角平分线，因为，所以所在直线的解析式为．最后，求直线与的交点，联立它们的解析式，解方程组得到交点坐标，也就是点F的坐标． 【详解】解法一：解：如图，过点作轴于点G， 根据题意得平分，， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 故答案为：． 解法二：解：∵，，设直线的解析式为：, ∴， 解得：， 直线的解析式为：, 是的角平分线，， 所在直线的解析式为． 联立方程组： 将代入中，得到： ， 解得． ， ． 所以，直线与的交点F的坐标为． 故答案为：． 10.（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 11.（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 12.（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； （2）解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 13.（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】 （1） （2）① ② (a)(b) 【分析】（1）根据“左加右减”的原则写出新函数解析式，由解析式求得平移后的图象与轴交点的坐标． （2）由题意平移后的函数解析式为，则， ①若，则，利用二次函数的增减性即可求解； ②求得线段的两个端点，分两种情况讨论，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：（1）由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为， 令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为． 故答案为；； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为， 则平移后得到的顶点为， 平移后的函数解析式为， 当时，与轴交点的纵坐标， ①若，则， 是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线， 时，，时，， 当时，的取值范围是； ②函数的图象与轴、轴的交点分别为，， ，， 当时，， ， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 随的增大而减小， 当时，， ， 对称轴为直线， ， 随的增大而增大， 故可能的序号是(a)(b)． 故答案为：(a)(b)． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，一次函数性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 14.（2025·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，对于图上或内部有一点（不与原点重合），及平面内一点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图上或内部，则称点是图的“映射点”． (1)如图1，已知图：线段，，．在，中，__________是图的“映射点”； (2)如图2，已知图：正方形，，，，．若直线：上存在点是图的“映射点”，求的最大值； (3)如图3，已知图：，圆心为，半径为．若轴上存在点是图的“映射点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，切线长定理的应用，一次函数与结合图形，熟练掌握轴对称的性质，找到临界值是解题的关键； （1）根据定义，观察，，经过对称后，判断对称点是否在上，即可求解； （2）根据正方形的顶点到的距离为，则对称之前的点到原点的距离为，进而求得的最大值，将代入得，，即可求解； （3）根据新定义，找到临界值，即为的切线时的情形，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，当重合时，关于的对称点为，在线段上 ∴是图的“映射点”； 而关于的对称点不在上，则不是图的“映射点”； 故答案为：． （2）解：依题意，正方形的顶点到的距离为， ∴当上存在点是图的“映射点”，则点到的距离为 ∴当经过点时，的值最大， 将代入得， 解得：， ∴的最大值； （3）解：如图，分别为的切线， 当为的“映射点”， ∴， 又∵， 设，则 ∴ ∴ 解得： ∴， ∵， ∴, 当减小时，关于的“映射点”，在即的内部，符合题意， ∴ 当时，根据对称性可得 综上所述，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第10讲 一次函数的图像与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 一次函数与正比例函数的概念 题型01正比例函数的概念 题型02一次函数的概念 命题点二 一次函数的图像与性质 题型01 正比例函数的图像与性质 题型02 一次函数的图像与系数之间的关系 题型03 一次函数的性质与系数之间的关系 题型04 利用一次函数的性质(增减性)比较函数值（或自变量）的大小 题型05 待定系数法求函数解析式 题型06 一次函数与图形变换 题型07 一次函数最值问题 命题点三 一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系 题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 题型02 一次函数与一元一次方程 题型03 一次函数与二元一次方程(组) 题型04 一次函数与不等式（组） 题型05 求直线围成的图形面积 05·重难突破·思维进阶难 23 突破一 一次函数与规律探索问题 突破二 一次函数与新定义问题 突破三 与一次函数性质有关的开放性问题 突破四 一次函数与图形变换综合 突破五 一次函数与几何综合 06·优题精选·练能提分 30 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 一次函数与正比例函数的概念 / / 理解一次函数（含正比例函数）的定义，能根据实际问题识别一次函数关系。 一次函数的图像与性质 / 长沙市卷 T7 掌握一次函数的图象特征（直线）、增减性、与坐标轴交点，并能根据解析式判断图象位置。 一次函数的平移 / / 理解函数图象平移规律（左加右减自变量，上加下减常数项），并能应用于点的坐标变换。 一次函数不等式的确定 / / 掌握用待定系数法确定一次函数表达式；能根据两点坐标或一组对应值求解析式。 一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系 长沙市卷 T24 / 理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系；能用函数观点看方程与不等式，解决实际应用问题。 命题预测 2026年湖南中考中，一次函数模块将延续“基础性强、综合度高、贴近实际”的命题风格，重点考查：概念理解与建模：结合生活、科技、经济等背景，考查函数关系的建立。图像性质与平移：通过图像判断函数特征，或结合几何变换考查平移规律。表达式确定：可能结合新定义、几何图形或实际情境，要求学生确定函数解析式。与方程、不等式的综合：常作为应用题或综合题出现，考查函数与方程、不等式之间的转化与求解能力。 备考建议 备考时应重点训练： 1.图象与性质：熟记 k>0、k<0 时函数的增减性、图象所经象限，会判断给定解析式的图象特征。 2.平移规律：掌握“左加右减自变量，上加下减常数项”，能灵活应用于点坐标变换与函数解析式变换。 3.与方程、不等式结合：训练通过函数图象解一元一次不等式，能将实际问题转化为一次函数或二元一次方程组求解。 考点一 一次函数与正比例函数的概念 1.正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 2一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.当b=0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 【小技巧】判断一个函数是不是一次函数，就是判定它能不能化成的形式，其特征为：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 【注意】一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 1.（2025·湖南长沙·模拟）下列函数中，y是x的正比例函数的是(　　) A． B． C． D． 2.（2025·湖南岳阳·模拟）若函数是正比例函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3.（2025·湖南长沙·模拟）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 4.（2025·湖南长沙·模拟）已知函数是一次函数，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 考点二 一次函数的图像与性质 k＞0 k＜0 图像 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 拓展 1）直线与直线平行 2）直线与直线垂直 【补充说明】一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关. 1.（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 2.（2025·湖南邵阳·三模）已知点在正比例函数的图象上，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南湘西·模拟预测）一次函数（k为常数）的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.（2025·湖南长沙·模拟预测）若点在第二象限，则函数的图象大致是（   ） A．B． C．D． 5.（2025·湖南长沙·模拟预测）一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三 一次函数的平移 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 平移口诀：x左加有减（只改变x），y上加下减（只改变y）. 【总结】一次函数图象平移后，k值不变因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用待定系数法即可求出平移后的解析式. 1.（2025·湖南长沙·二模）直线向上平移4个单位长度得到的直线的表达式为（　　） A． B． C． D． 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）若将直线平移，使其经过点，则平移后所得的直线表达式为 ． 3.（2025·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心、为半径画，把直线：平移后成为的切线，下列平移方法正确的是（   ） A．向下平移2个单位 B．向上平移1.5个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1.5个单位 考点四 一次函数表达式的确定 一、确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 二、用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 1.（2025·湖南武陵·模拟）若直线平行于直线，且经过点，则直线的解析式为　 　． 2.（2025九上·湖南衡阳·开学考） 已知一次函数的图象经过点，，与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求一次函数的表达式及的面积； （2）将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过，则m的值为　 　． 3.（2025·湖南武陵·模拟）如图，直线：与直线：交于点，点的坐标为，。 （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 考点五 一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系 图示 与一次方程的关系 方程的解直线与x轴交点的横坐标. 与二元一次方程组的关系 方程组​​的解直线与直线的交点坐标. 与一元一次不等式的关系 1）不等式的解集直线位于x轴上方的部分对应的x的取值范围； 2）不等式的解集直线位于x轴下方的部分对应的x的取值范围； 3）不等式的解集直线位于直线上方的部分 对应的x的取值范围. 1.（2024·湖南湘潭·一模）如图，一次函数的图象经过点，当时，的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 2.（2025·湖南长沙·模拟）如图，已知函数和的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（　　）． A． B． C． D． 3.（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，直线和直线相交于，则关于x的不等式的解集为 ． 命题点一 一次函数与正比例函数的概念 ►题型01 正比例函数的概念 1.一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例函数，其中k叫正比例系数． 2.其结构特征为： ①k≠0， ②x的次数是1； ③常数b=0. 【典例】（2025·湖南湘西·模拟）下列选项中，y是关于x的正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1-1】（2025·湖南岳阳湘阴·模拟）已知函数是正比例函数，那么的值是 ． 【变式1-1-2】（2025·湖南长沙·模拟）已知是关于的正比例函数，则 ． 【变式1-1-3】（2025·湖南长沙师大附中·模拟）下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　） A．正方形的面积S随边长x的变化而变化 B．面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化 C．正方形的周长C随着边长x的变化而变化 D．水箱以的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：）的变化而变化 ►题型02 一次函数的概念 1.一般地，函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)叫做一次函数． 特别地，当一次函数y=kx+b(k≠0)中的b=0时，即y=kx（k≠0），这时 y叫做x的正比例函数． 2.一次函数的一般形式为y=kx+b(，其中k，b为常数，且k≠0．其结构特征为： ①k≠0， ②x的次数是1； ③常数b可以为任意实数. 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟）下列函数：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2-1】（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知函数是一次函数，则的值为（    ） A．1 B． C．0或 D．1或 【变式1-2-2】（2025·湖南·模拟预测）若是一次函数，则a的值是（   ） A．－2 B．2 C．±2 D．± 命题点二 一次函数的图像与性质 ►题型01 正比例函数的图像与性质 对于正比例函数，只要知道比例系数k的正负，不需画出图像就能判断其图像的大致位置以及函数的增减性.反之，若知道正比例函数的增减性，也可以推断出函数的比例系数k的正负. 【典例】（2025·湖南邵阳·三模）已知点在正比例函数的图象上，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1-1】（2024·湖南衡阳·三模）已知函数是正比例函数，且随的增大而增大，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1-2】（2025·湖南永州·模拟）若函数的图象过，则关于此函数的叙述不正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B． C．函数图象经过原点 D．函数图象过二、四象限 【变式2-1-3】（2024·湖南株洲·二模）如图，点，，当直线与线段有交点时，的取值范围是(    ) A． B． C．或 D． ►题型02 一次函数的图像与系数之间的关系 1. 如果k＞0，那么图像过第一、三象限；如果k＜0，那么图像过第二、四象限。 2. b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上。 【典例】（2025·湖南长沙·三模）一次函数的图象如图所示，则点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式2-2-1】（2025·湖南长沙·一模）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2-2】（2025·湖南长沙·模拟预测）下列函数的图象经过第一、二、四象限的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2-3】（2025·湖南株洲·三模）如果从，0，2三个数中任取一个数作为，则直线不经过第四象限的概率是 ． ►题型03 一次函数的性质与系数之间的关系 k>0，从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大；k<0，从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少。 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3-1】（2025·湖南永州·二模）已知的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3-2】（2025·湖南长沙·模拟预测）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向下平移4个单位长度得的图象 D．函数值随自变量的增大而减小 【变式2-3-3】（2025·湖南衡阳·一模）如果一次函数（k是常数，）的图象经过点，那么y的值随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） ►题型04 利用一次函数的性质(增减性)比较函数值（或自变量）的大小 k>0，从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大；k<0，从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少。 【典例】（2025·湖南长沙·一模）已知一次函数的图象经过点，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-4-1】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知是一次函数图象上的两点，则m 和n 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4-2】（2025·湖南武冈·模拟）平面直角坐标系中，过点的直线l经过一、二、三象限，若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4-3】（24-25八年级下·湖南永州·期末）若点，，在一次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式2-4-4】（2025·湖南衡阳·模拟）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点． 则；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（   ） A．①② B．①③④ C．①④⑤ D．③④⑤ ►题型05 待定系数法求函数解析式 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 【典例】（2025九年级上·湖南长沙·月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标为的坐标为． (1)请直接写出平行四边形的中心的坐标___ (2)求出直线的解析式． 【变式2-5-1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【变式2-5-2】（2025九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，一次函数：的图象与x轴交于点D，一次函数：的图象与x轴交于点A，且经过点，两函数图象交于点． (1)求一次函数：的解析式； (2)根据图象，直接写出的解集． 【变式2-5-3】（2025·湖南娄底·一模）已知如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求点、点的坐标，并直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围； (3)求的面积． ►题型06 一次函数与图形变换综合 1）平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y） 2) 翻折口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 【典例】（2024·湖南长沙·模拟预测）直线沿轴向下平移个单位后与轴的交点坐标是，以下各点在直线上的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-6-1】（2025·湖南湘潭·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向上平移6个单位长度后，与轴交于点，若点与关于原点对称，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式2-6-2】（2024·湖南株洲·二模）根据物理学知识可知：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜a上，被a反射后的光线为，则入射光线，反射光线与平面镜a所夹的角相等，即，若按如图建立平面直角坐标系，并设入射光线和反射光线所在直线的解析式分别为，，则下列关于，的关系说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-6-3】（2025·湖南常德·三模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图像只有一个交点？ ►题型07 一次函数最值问题 求一次函数的最值时，首先求出一次函数表达式及其自变量的取值范围，根据一次函数在自变量的取值范围内取最大值和最小值. 【典例】（2025·湖南长沙·一模）如图，两座城市和在平面直角坐标系中的坐标为、，铁路所在的直线为，计划在铁路上修建一个站点，使站点到两城市的距离和最小，则站点的坐标为 ． 【变式2-7-1】（2025·湖南湘潭·模拟）若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（    ） A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小 C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为 【变式2-7-2】（2025·湖南·模拟预测）已知，则的最大值与最小值的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-7-3】（2025·湖南湘西·模拟）已知，其中，，那么的最小值为(    ) A．40 B．30 C．20 D．10 命题点三 一次函数与方程(组)、不等式(组)的关系 ►题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 1.一次函数y＝kx＋b与x轴交点的横坐标－是方程kx＋b＝0的解 2.一次函数y＝kx＋b与y轴交点的横坐标等于0，纵坐标等于b. 【典例】（2025·湖南张家界·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1-1】（2025·湖南怀化·二模）如图，一次函数为常数，的图象与轴、轴的交点分别为，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1-2】（2025·湖南·一模）若直线经过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1-3】（2025·甘肃·模拟预测）若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． ►题型02 一次函数与一元一次方程 【典例】（2025·湖南怀化·模拟）如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2-1】（2025·湖南郴州·模拟）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2-2】（2024·湖南常德·二模）如图，已知直线（为常数，），则关于的方程的解是（    ） A． B． C．0 D． ►题型03 一次函数与二元一次方程（组） 【典例】（2024·湖南株洲·模拟）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3-1】（2025·湖南永州·模拟）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【变式3-3-2】（2024·湖南张家界·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ►题型04 一次函数与不等式（组） 【典例】（2025·湖南湘潭·一模）已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式3-4-1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，直线和直线相交于，则关于x的不等式的解集为 ． 【变式3-4-2】（2025·湖南长沙·模拟）一次函数与的图象如图所示，则以下结论：①；②；③当时，；④关于x的方程的解是．其中正确的有 ． 【变式3-4-3】（2025·湖南湘西·模拟）如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点、，两直线交于点，已知点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是_____，关于的不等式的解集是_____． (2)若点坐标为，关于的不等式的解集是_____． (3)在（2）的条件下，求的面积． ►题型05 求直线围成的图形面积 【典例】（2025·湖南·模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值； (2)请根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 【变式3-5-1】（2025九年级上·湖南长沙·开学考试）已知一次函数的图象经过和两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积． 【变式3-5-2】（2025·湖南邵阳·三模）如图，直线与双曲线(m为常数，)交于、B两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)求的面积． 【变式3-5-3】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，且与反比例函数的图象交于点C，轴于点D，． (1)求直线的函数表达式． (2)当反比例函数的函数值时，请根据函数图象直接写出自变量x的取值范围． (3)设点P是x轴上的点，若的面积等于15，请求出点P的坐标． 突破一 一次函数与规律探索问题 【典例】正方形，，按如图的方式放置，…和点…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……，依次进行下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是 ． 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则 ． 突破二 一次函数与新定义问题 【典例】若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【变式1】定义，在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标互为相反数的点，我们称之为“零和点”．下列关于“零和点”的说法中错误的是（   ） A．函数图象上的“零和点”就是原点 B．函数图象上“零和点”的横坐标为是2 C．函数图象上至少有一个“零和点” D．函数图象上有且只有一个“零和点” 【变式2】对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则称这个函数是有界函数．其中，的最小值称为这个函数的边界值．若函数（，且）中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是 ． 【变式3】问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 突破三 一次函数与图形变换综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】如图，已知，，将线段平移到第一象限得线段，点的横坐标为，若作直线交轴于点． (1)求线段所在直线的解析式； (2)直线上一点，求出、之间的数量关系； (3)若点在轴上，求的取值范围． 【变式3】如图1，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，其中，直线经过点，且与线段所夹的锐角为．已知． (1)点的坐标为_____________，直线的表达式为_____________． (2)将直线向下平移个单位长度，平移后的直线交线段于点，交线段于点，将矩形沿直线折叠，点的对应点分别为． ①如图2，当点和点重合时，请通过推理判断的形状，并求出此时的值． ②在直线平移的过程中，当四边形与矩形重叠部分（例如图3中的阴影部分）是四边形，且该四边形满足“一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角”时，请直接写出直线的表达式． 突破四 一次函数与几何综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，，直线交于点C． (1)求直线的解析式； (2)P是x轴上的一个动点，当的面积为，求P的坐标； (3)将沿着直线平移，记平移过程中为，其中点O的对应点为，点A对的应点为，点C的对应点为，直线与x轴交于点M，在平移过程中，若要使以点，M，A为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有符合条件的点M的坐标． 【变式2】如图一，⊙O与坐标轴相交于点，点，过两点作直线． (1)①请分别写出、关于直线的对称点坐标 ， ； ②若C是平面内一点，且，则C点横坐标的最大值为 ． (2)如图二，若P是外一点，已知圆上一点，连接PA和PM，且直线和中一条经过点O，另一条是的切线，求点P的坐标． (3)如图三，已知点，，对于线段上一点F，存在的弦，连接，，使得直线和中一条经过点O，另一条是切线，记的长为t，当点F在线段上运动时，求出t的取值范围． 【变式3】7．（23-24八年级下·湖南长沙·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．    (1)求出点A的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在x轴的上方是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1.（2025·湖南长沙·模拟）下列有关一次函数的说法中，正确的是（　　） A．的值随着值的增大而减小 B．函数图象与轴的交点坐标为 C．当时， D．函数图象经过第一、二、四象限 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）已知点A，B均在一次函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（    ） A． B． C． D． 4.（2024·湖南·模拟预测）对于某个一次函数，两位同学探究了它的图象和性质．上图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个一次函数的解析式为，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 5.（2025·湖南岳阳·模拟预测）将一次函数向上平移6个单位，得到的新函数的表达式为 ． 6.（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，将绕着点A顺时针旋转得到，则点B的对应点D的坐标是 ． 7.（2025·湖南永州·模拟预测）如图所示，一次函数与反比例函数交，两点，点在轴上，连接． (1)求一次函数的解析式； (2)当，求的值． 8.（2025·湖南长沙·一模）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为，，． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，画出平移后的；（点，，的对应点分别为点，，） (2)在（）的条件下，画出经过点，的直线，求直线的解析式． 9.（2025·湖南娄底·一模）如图，点是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限．，，． (1)求点的坐标； (2)点P是轴上的一个动点，当点处于何位置时，的值最小？ 10.（2025·湖南衡阳·三模）在平面直角坐标系中，若，则称为点的“斜值”．如图，边长为2的正方形的四条边分别与坐标轴平行，点的坐标为，点是正方形边上的动点．下列说法错误的是（　　） A．点的“斜值”为 B．点在边上时，点的“斜值”随着的增大而增大 C．点在边上时，点的“斜值”随着的增大而增大 D．点的“斜值”的最大值为 11.（24-25九年级上·湖南长沙·期中）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界为3；函数是有上界函数，其上确界是2． (1)请判断下列函数是否为有上界函数，在后面括号内打“√”或“×” ①（   ）     ②（   ） ③（   ） (2)一次函数是有上界函数，上确界为4，求实数的值． (3)如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 12.（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 1.（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 4.（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.（2025·广西·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 6.（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 7.（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8.（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． 9.（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ． 10.（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 11.（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 12.（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 13.（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 14.（2025·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，对于图上或内部有一点（不与原点重合），及平面内一点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图上或内部，则称点是图的“映射点”． (1)如图1，已知图：线段，，．在，中，__________是图的“映射点”； (2)如图2，已知图：正方形，，，，．若直线：上存在点是图的“映射点”，求的最大值； (3)如图3，已知图：，圆心为，半径为．若轴上存在点是图的“映射点”，请直接写出的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $