（易错笔记)第二单元 圆柱和圆锥（易错知识梳理+十三大易错考点讲练+优选真题拔尖练 共54题）-2025-2026学年苏教版数学六年级下册培优讲练

该小学数学讲义针对苏教版六年级下册“圆柱和圆锥”单元，通过梳理10个核心易错点构建知识体系，以列表形式呈现圆柱圆锥的特征、表面积体积计算等要点，清晰展现重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“易错考点讲练”设计，每个考点配典例精讲与变式训练，结合近年名校题和15道真题拔尖练，如“圆柱展开图选底面”题型培养空间观念，“圆柱圆锥体积关系”题强化推理意识。分层练习满足不同学生需求，助力教师精准把握易错点实施教学。

第二单元 圆柱和圆锥 【原卷版】 同学你好，该份讲义用于苏教版六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选15题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1.圆柱上、下两个底面是完全相同的两个圆，不是椭圆。 2.圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 3圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 4圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 5.圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 6.半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 7.求通风管、下水管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 8只有等底等高的圆柱和圆锥的体积才存在3倍的关系。 9.瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 10.当把一个物体完全浸没在一个盛水的容器中时（水未溢出），上升的水的体积就是这个物体的体积。反 之，取出时下降的水的体积就是这个物体的体积。同时，该体积是由水的变化算出的，与物体的形状无关。 易错考点一：圆柱的展开图 【典例精讲】（22-23六年级下·江苏南京·期中）用一个长12.56cm，宽9.42cm的长方形纸片当作侧面围成一个尽可能大的圆柱（不考虑接头处），下面哪个圆可以配上这个圆柱当底面？（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（22-23六年级下·江苏苏州·期中）把一个圆柱的侧面沿高剪开，展开后正好是一个正方形，那么这个圆柱的高是底面半径的( )倍。 【变式训练2】（22-23六年级下·江苏南通·期中）妈妈的茶杯平放在桌上。（如图）茶杯中部的一圈装饰是小明怕烫伤妈妈的手特意贴上的，这条装饰带宽5厘米，长至少有多少厘米？（接头处忽略不计） 易错考点二：圆柱的侧面积 【典例精讲】（24-25六年级下·江苏·课后作业） 给5根这样的柱子刷油漆，每平方米用油漆0.5千克，一共要用油漆多少千克？ 【变式训练1】（24-25六年级下·江苏·课后作业）一个圆柱形铁皮水桶，上面没有盖，高是6分米，底面半径是1.8分米。做这个水桶大约要用铁皮多少平方分米？ 【变式训练2】（25-26六年级·全国·随堂练习）在“飞夺独木桥”勇士大通关游戏环节中，有一根长1m、横截面直径是20cm的木头浮在水面上，它正好有一半露出水面。这根木头与水接触的面积是多少平方厘米？ 易错考点三：圆柱的表面积 【典例精讲】（23-24六年级下·河南平顶山·期中）一个圆柱的底面周长是18.84分米，高是5分米，它的侧面积是( )平方分米，表面积是( )平方分米。 【变式训练1】（23-24六年级下·安徽合肥·期中）下图中两个圆柱的底面直径和高都是10厘米，如图1、图2中这样分别被平均分成了两部分，请分别求出平分后圆柱一半的表面积。 【变式训练2】（23-24六年级下·江苏盐城·期中）为了参加“六一”儿童节的服装表演，张华同学准备自己动手用硬纸片做一顶礼帽（如图）。请你帮他计算一下，他至少要用硬纸片多少平方厘米？（单位：厘米） 易错考点四：组合体的表面积（圆柱） 【典例精讲】（2024六年级下·江苏·专题练习）求下面各图形的表面积。（单位：cm）                        【变式训练1】如下图的“博士帽”是用黑色卡纸做成，上面是边长30厘米的正方形，下面是底面直径20厘米，高10厘米的无底无盖的圆柱。制作20顶这样的“博士帽”，至少需要多少平方分米的黑色卡纸？   【变式训练2】如图，在一个棱长为5分米的正方体木块的前后、上下、左右各面的中心位置各挖去一个底面直径为2分米、高为2分米的圆柱，做成一个模型，这个模型的表面积是( )平方分米。 易错考点五：圆柱的体积 【典例精讲】（24-25六年级下·湖南邵阳·期中）把一个底面半径是4厘米，高是6厘米的圆锥形铁块放入装有水的圆柱形容器中，完全浸没。已知圆柱的内直径是20厘米，铁块放入后水面会上升几厘米？ 【变式训练1】（24-25六年级下·江苏盐城·期末）图中的蒙古包由一个近似的圆柱形和一个近似的圆锥形组成，圆柱与圆锥体积的比是( )。 【变式训练2】（25-26六年级·全国·随堂练习）在实践活动课上，老师要求把完全一样的圆柱形橡皮泥平均切成两块，且切成的不是圆柱。下面是乐乐和园园按要求切完后的形状，原来圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米？ 易错考点六：圆柱的容积 【典例精讲】（23-24六年级下·江苏·课后作业）做一个底面直径是4分米，高是6分米的圆柱形无盖铁皮水桶，至少用铁皮( )平方分米；这个水桶最多能盛水( )升。 【变式训练1】（23-24六年级下·江苏·课后作业）请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。 （1）你选择的材料是（    ）号和（    ）号。 （2）你选择的材料一共用了多少平方分米的铁皮？（接头处忽略不计） （3）你选择的材料做成的水桶最多能装水多少升？ 【变式训练2】（2025六年级下·全国·专题练习）小芳生病了，在医院要输液250毫升，输液瓶液面高度是10厘米（如图①）。护士给小芳设置了平均每分钟2.5毫升的输液速度，20分钟后，空的部分高度是6厘米（如图②）。 （1）这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？ （2）这个输液瓶的容积是多少毫升？ 易错考点七：立体图形的切拼（圆柱） 【典例精讲】（23-24六年级下·江苏·课后作业）把一个长、宽、高分别是16厘米、12厘米、8厘米的长方体削成一个体积最大的圆柱，这个圆柱的底面半径、高分别是多少厘米？ 【变式训练1】（23-24六年级下·江苏·期中）把一根长4米、横截面直径是40厘米的圆木沿直径和高锯成两半，表面积增加了( )平方米。 【变式训练2】（25-26六年级·全国·随堂练习）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动。冰球一般是用硬橡胶制成的圆柱体，厚为2.54cm，直径为7.62cm，重156g∼170g。如果将3个这样的冰球拼在一起，表面积比原来减少了（    ）cm²。 A．3.14×（7.62÷2）2×2.54 B．3.14×7.62×4 C．3.14×（7.62÷2）2×4 D．3.14×7.62×6 易错考点八：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥的体积相等，高也相等，已知圆锥的底面积是39平方厘米，那么圆柱的底面积是（    ）平方厘米。 A．39 B．13 C．117 D．156 【变式训练1】（24-25六年级下·江苏·假期作业）如图，先将圆锥形容器注满水，再将水倒入圆柱形容器中。这时，圆柱形容器中水的高度是( )厘米。 【变式训练2】观察下图，下列说法正确的是（    ）。 A．甲的体积与乙的体积比是3∶1 B．丁的体积与甲的体积相等 C．丙的体积是乙的 D．丁的体积是戊的3倍 易错考点九：圆锥的体积（容积） 【典例精讲】（24-25六年级下·江苏宿迁·期中）如图是一个直角三角形，如果以BC边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是( )立方厘米。 【变式训练1】（24-25六年级下·江苏宿迁·期中）一个圆锥和一个圆柱底面积相等，体积的比是1∶6。如果圆锥的高是4.2厘米，则圆柱的高是（    ）厘米。 A．2.1 B．8.4 C．12.6 D．25.2 【变式训练2】一个圆柱底面直径为2厘米，高是5厘米，把它浸没在一个盛有水的圆柱形玻璃容器中，量得水面上升了3厘米。再把一个底面直径为6厘米的圆锥浸没在水中，量得水面又上升了9厘米。求圆锥的体积。（容器中两次水都没有溢出） 易错考点十：体积的等积变形（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）一个圆柱形容器里盛有10cm深的水，它的底面直径是20cm。园园把一块铁块完全浸没在水中，容器内水面上升了3cm（如下图），且水未溢出。这块铁块的体积是多少立方厘米？ 【变式训练1】（23-24六年级下·河南平顶山·期中）将一堆底面直径是6米、高是1米的圆锥形沙子填入底面周长是12.56米的圆柱形坑里，正好填平。这个圆柱形坑的高度约是多少？ 【变式训练2】水平桌面上放着高度同为40厘米的两个圆柱形容器，在它们高度的一半处有一连通管相连（连通管容积忽略不计），容器A和B底面直径分别为32厘米和24厘米。先关闭连通管，将容器A注满，再打开连通管，容器B中水的高度最终是多少厘米？（π取3.14） 易错考点十一：立体图形的切拼（圆锥） 【典例精讲】（23-24六年级下·安徽蚌埠·期中）如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方厘米。 【变式训练1】（20-21六年级下·山西太原·期中）把一个底面直径是10cm的圆锥沿高切开后表面积增加了60cm2，这个圆锥的高是( )cm，体积是( )cm3。 【变式训练2】把一个底面周长是31.4厘米的圆锥体木料，沿底面直径割开，表面积增加了60平方厘米，这个圆锥体的体积是( ) 立方厘米。 易错考点十二：组合体的体积（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（2024·江苏·小升初模拟）2023年5月30日，我国长征二号运载火箭搭载神舟十六号载人飞船顺利升空并取得圆满成功。整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。某学校创客小组制作了运载火箭整流罩的模型（如图所示）。 （1）这个整流罩模型的体积是多少？ （2）创客小组打算装饰一下模型，在圆柱部分的侧面包上一层彩纸并写上文字介绍。需要多少平方分米的彩纸？（粘合处忽略不计） 【变式训练1】（22-23六年级下·江苏南通·期中）如图，四边形ABCD是一个直角梯形，以AB为轴并将这个梯形旋转一周，得到一个立体图形。它的体积是( )立方厘米。 【变式训练2】（2025六年级下·全国·专题练习）如图，分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周得到了甲、乙两个立体图形，它们的体积相比（    ）。 A．甲的体积较大 B．乙的体积较大 C．甲、乙体积一样大 易错考点十三：不规则物体的体积算法(圆柱、圆锥) 【典例精讲】（24-25六年级下·江苏南通·期中）在一个圆柱形储水桶里，把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材全部放入水中，这时水面上升9厘米。把这段钢材竖着拉出水面8厘米，水面下降4厘米。求这段钢材的体积。 【变式训练1】（2024·江苏连云港·小升初真题）学习需要动脑，也需要动手。某小组4名同学，测量一个不规则瓶子的容积，操作如下： ①用直尺测量出整个瓶子的高度是22厘米； ②用直尺测量出整个瓶子的内直径是6厘米； ③往瓶子里注入一些水，把瓶子正放时，用直尺量出水面的高是5厘米； ④把瓶子倒放时，无水部分是圆柱形，用直尺量出圆柱的高是15厘米。 （1）上面的操作中，第 步操作是不需要的。 （2）这个瓶子的容积是立方厘米？ 【变式训练2】（23-24六年级下·江苏镇江·期末）一个盖着瓶盖的瓶子里装着一些水（如下图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的体积是多少立方厘米？（瓶底面积10平方厘米） 1．（2025六年级下·江苏南通·竞赛）有一口煮盐的大锅，锅的形状近似圆锥。直径1.2米，厚2厘米，深0.3米，两锅可以炼出30千克盐，请问盐和盐水之比是（    ）。（用X比100的形式表示，1立方分米盐水＝1千克水） A．13∶100 B．16∶100 C．26∶100 D．53∶100 2．（23-24六年级下·江苏镇江·期末）下面说法正确的有（    ）句。          ①圆柱的侧面展开后一定是一个长方形。     ②9□□÷1□计算结果不可能是三位数。        ③如果两个质数的和仍然是质数，那么这两个质数的积一定是偶数。 ④2104年是闰年，与他相邻的前一个闰年是2100年。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25六年级下·江苏南通·期中）一个长方形长6厘米，宽2厘米，以它的长所在直线为轴旋转一周所得的圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．80π B．72π C．25π D．24π 4．（24-25六年级下·江苏常州·期中）把一根2米长的圆柱形木料截成3段，表面积增加了30.4平方厘米，这根木料的体积是( )立方厘米。 5．（24-25六年级下·江苏常州·期中）一个圆柱形钢锭的底面直径是10厘米，高是6厘米。它的侧面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。把它熔铸成一个底面积和体积不变的圆锥，圆锥的高是( )厘米。 6．（25-26六年级·全国·随堂练习）如图，把直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，得到的圆锥体积最大是( )cm3。 7．（21-22六年级下·广西防城港·阶段练习）把一个圆柱体橡皮泥捏成一个长方体后，体积变小了。( )（判断对错） 8．一个圆柱的底面周长与高相等，它的侧面沿高展开图是正方形。( )（判断对错） 9．（24-25六年级下·湖南邵阳·期中）计算下面图形的体积。 10．（24-25六年级下·江苏盐城·期中）一个塑料大棚，如图，长20米，横截面是半径3米的半圆形。 （1）搭建这个大棚需要塑料薄膜多少平方米？ （2）大棚内的空间大约有多少立方米？ 11．（24-25六年级下·江苏宿迁·期中）有一个高是12厘米，底面直径是6厘米的圆锥形钢块，如果把它熔铸成一个底面直径8厘米圆柱形钢块。熔铸成的圆柱形钢块的高是多少厘米？ 12．（24-25六年级下·江苏扬州·期末）一个近似于圆锥形的黄沙堆，底面半径是2米，高1.5米，如果每立方米黄沙约重5.8吨，这堆黄沙大约重多少吨？（得数保留整吨数） 13．（2024·江苏宿迁·小升初模拟）一个圆柱体油箱，从里面量直径是40厘米，高是60厘米。 （1）做这样一个油桶，至少需用铁皮多少平方分米？ （2）如果1升汽油重0.85千克，这个油桶可装汽油多少千克？（得数保留整千克数） 14．（23-24六年级下·山西太原·期末）一个立体组合图形从前面、右面和上面看到的图形及尺寸如图所示。它的体积是多少？（单位：厘米） 15．把一个底面直径是12厘米的圆锥形木块沿高切成两个形状、大小完全相同的小木块后，表面积比原来增加了96平方厘米，求原来这个圆锥形木块的体积。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 圆柱和圆锥 【解析版】 同学你好，该份讲义用于苏教版六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选15题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1.圆柱上、下两个底面是完全相同的两个圆，不是椭圆。 2.圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 3圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 4圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 5.圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 6.半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 7.求通风管、下水管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 8只有等底等高的圆柱和圆锥的体积才存在3倍的关系。 9.瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 10.当把一个物体完全浸没在一个盛水的容器中时（水未溢出），上升的水的体积就是这个物体的体积。反 之，取出时下降的水的体积就是这个物体的体积。同时，该体积是由水的变化算出的，与物体的形状无关。 易错考点一：圆柱的展开图 【典例精讲】（22-23六年级下·江苏南京·期中）用一个长12.56cm，宽9.42cm的长方形纸片当作侧面围成一个尽可能大的圆柱（不考虑接头处），下面哪个圆可以配上这个圆柱当底面？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【易错思路点拨】根据题意，长方形纸片的长或宽就是这个圆柱的底面周长。圆的周长＝πd＝2πr，据此分别以选项中的数为圆柱的底面直径或底面半径，求出相配的底面周长，看是否与长方形的长和宽相等，如果相等，则这个圆可以配上这个圆柱当底面，反之则不能。 【完整解答】A．3.14×4＝12.56（cm），周长等于长方形纸片的长，则这个圆可以配上这个圆柱当底面； B．3.14×6＝18.84（cm），这个圆不可以配上这个圆柱当底面； C．1.5×2×3.14＝9.42（cm），这个圆不可以配上这个圆柱当底面； D．4×2×3.14＝25.12（cm），这个圆不可以配上这个圆柱当底面。 故答案为：A 【变式训练1】（22-23六年级下·江苏苏州·期中）把一个圆柱的侧面沿高剪开，展开后正好是一个正方形，那么这个圆柱的高是底面半径的( )倍。 【答案】6.28 【易错思路点拨】根据题意可知，圆柱的侧面沿高剪开，展开后正好是一个正方形，则圆柱的底面周长＝圆柱的高；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2；即圆柱的高＝π×半径×2，根据等式的性质1，等式两边同时除以半径，进而得出圆柱的高÷半径＝2π，据此解答。 【完整解答】根据分析可知， 圆柱的高÷半径＝2π ＝2×3.14 ＝6.28 把一个圆柱的侧面沿高剪开，展开后正好是一个正方形，那么这个圆柱的高是底面半径的6.28倍。 【变式训练2】（22-23六年级下·江苏南通·期中）妈妈的茶杯平放在桌上。（如图）茶杯中部的一圈装饰是小明怕烫伤妈妈的手特意贴上的，这条装饰带宽5厘米，长至少有多少厘米？（接头处忽略不计） 【答案】18.84厘米 【易错思路点拨】根据图示可知，这个茶杯口的直径为6厘米，那么装饰带的长等于茶杯口的周长，根据圆的周长公式C＝πd列式解答即可。 【完整解答】3.14×6＝18.84（厘米） 答：长至少有18.84厘米。 易错考点二：圆柱的侧面积 【典例精讲】（24-25六年级下·江苏·课后作业） 给5根这样的柱子刷油漆，每平方米用油漆0.5千克，一共要用油漆多少千克？ 【答案】23.55千克 【易错思路点拨】刷油漆的部分是柱子的侧面积，根据圆柱侧面积＝底面周长×高，求出1根柱子的侧面积，乘5，即可求出刷油漆的总面积，总面积×每平方米用油漆质量＝要用的油漆总质量，据此列式解答。 【完整解答】3.14×3×5×0.5 ＝47.1×0.5 ＝23.55（千克） 答：一共要用油漆23.55千克。 【变式训练1】（24-25六年级下·江苏·课后作业）一个圆柱形铁皮水桶，上面没有盖，高是6分米，底面半径是1.8分米。做这个水桶大约要用铁皮多少平方分米？ 【答案】77.9976平方米 【易错思路点拨】这个圆柱形铁皮水桶是由圆柱的侧面和一个底面构成的，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高求出圆柱的侧面积，圆的底面积＝圆周率×半径的平方，求出圆柱的底面积，再把圆柱的侧面积和一个底面积相加即可解答。 【完整解答】2×3.14×1.8×6＋3.14× ＝6.28×1.8×6＋3.14×3.24 ＝11.304×6＋10.1736 ＝67.824＋10.1736 ＝77.9976（平方分米） 答：做这个水桶大约要用铁皮77.9976平方分米。 【变式训练2】（25-26六年级·全国·随堂练习）在“飞夺独木桥”勇士大通关游戏环节中，有一根长1m、横截面直径是20cm的木头浮在水面上，它正好有一半露出水面。这根木头与水接触的面积是多少平方厘米？ 【答案】 3454平方厘米 【易错思路点拨】由题意知，木头与水接触的侧面积是整个圆柱侧面积的一半。根据圆柱的侧面积公式（圆柱的横截面即为圆柱的底面积），圆的周长公式（d为圆的直径），用圆柱的侧面积除以2即可求出圆柱侧面积的一半；已知横截面直径是20cm，用直径除以2得到半径，再根据圆的面积公式（r为圆的半径）求出圆柱横截面的面积；与水面接触的侧面积加上圆柱的一个底面积即为木头与水面接触的面积。据此解答。 【完整解答】1m＝100cm （cm） （平方厘米） 答：这根木头与水接触的面积是3454平方厘米。 【考点再现】本题考查的是圆柱的表面积的计算及应用。 易错考点三：圆柱的表面积 【典例精讲】（23-24六年级下·河南平顶山·期中）一个圆柱的底面周长是18.84分米，高是5分米，它的侧面积是( )平方分米，表面积是( )平方分米。 【答案】 94.2 150.72 【易错思路点拨】根据圆柱的侧面积公式S侧＝Ch，求出它的侧面积； 已知一个圆柱的底面周长是18.84分米，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱的底面积；再根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，求出它的表面积。 【完整解答】圆柱的侧面积： 18.84×5＝94.2（平方分米） 圆柱的底面半径： 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（分米） 圆柱的底面积： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方分米） 圆柱的表面积： 94.2＋28.26×2 ＝94.2＋56.52 ＝150.72（平方分米） 它的侧面积是（94.2）平方分米，表面积是（150.72）平方分米。 【变式训练1】（23-24六年级下·安徽合肥·期中）下图中两个圆柱的底面直径和高都是10厘米，如图1、图2中这样分别被平均分成了两部分，请分别求出平分后圆柱一半的表面积。 【答案】335.5平方厘米；314平方厘米 【易错思路点拨】图1是沿着直径分成两个半圆柱，则每个图形的表面积＝侧面积＋1个圆面积＋长方形的面积，，，长方形的面积＝长×宽，其中长方形的长是10厘米，宽也是10厘米。 图2是沿着高分成两个圆柱，则每个图形的表面积＝侧面积＋2个圆面积，其中侧面积的高是圆柱高的。 【完整解答】图1 （平方厘米） 图2 （平方厘米） 答：沿着直径分成的一半的表面积是335.5平方厘米，沿着高分成一半的表面积是314平方厘米。 【变式训练2】（23-24六年级下·江苏盐城·期中）为了参加“六一”儿童节的服装表演，张华同学准备自己动手用硬纸片做一顶礼帽（如图）。请你帮他计算一下，他至少要用硬纸片多少平方厘米？（单位：厘米） 【答案】4082平方厘米 【易错思路点拨】帽子顶和帽檐合在一起就是一个大圆，先求出大圆的半径，然后根据圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的侧面积公式：S侧＝Ch，分别计算大圆的面积和帽顶部分的侧面积，最后将两者相加就是所需硬纸片的总面积。 【完整解答】20÷2＝10（厘米） 10＋20＝30（厘米） 3.14×30² ＝3.14×900 ＝2826（平方厘米） 3.14×20×20＝1256（平方厘米） 2826＋1256＝4082（平方厘米） 答：他至少要用硬纸片4082平方厘米。 【考点再现】本题关键是求出大圆的半径，明确帽檐的面积与帽顶的面积和等于大圆的面积。 易错考点四：组合体的表面积（圆柱） 【典例精讲】（2024六年级下·江苏·专题练习）求下面各图形的表面积。（单位：cm）                        【答案】112cm2；386.9cm2 【易错思路点拨】（1）观察图形可知，正方体与长方体有重合的部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面；这样长方体的表面积是6个面的面积之和，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积； 所以组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，代入数据计算求解。 （2）观察图形可知，组合图形的表面积＝圆柱侧面积的一半＋圆的面积＋长方形的面积，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算求解。 【完整解答】（1）4×4×6＋2×2×4 ＝96＋16 ＝112（cm2） 图形的表面积是112cm2。 （2）3.14×10×12÷2＋3.14×（10÷2）2＋10×12 ＝31.4×12÷2＋3.14×25＋120 ＝188.4＋78.5＋120 ＝386.9（cm2） 图形的表面积是386.9cm2。 【变式训练1】如下图的“博士帽”是用黑色卡纸做成，上面是边长30厘米的正方形，下面是底面直径20厘米，高10厘米的无底无盖的圆柱。制作20顶这样的“博士帽”，至少需要多少平方分米的黑色卡纸？   【答案】305.6平方分米 【易错思路点拨】观察图可知，先求出1顶这样的“博士帽”的表面积，正方形的面积＋圆柱的侧面积＝1顶“博士帽”的表面积，然后用1顶这样的“博士帽”的表面积×制作的数量＝一共需要的黑色卡纸表面积，然后把平方厘米化成平方分米，除以进率100，据此解答。 【完整解答】30×30＋3.14×20×10 ＝900＋628 ＝1528（平方厘米） 1528×20＝30560（平方厘米）＝305.6（平方分米） 答：制作20顶这样的“博士帽”，至少需要305.6平方分米的黑色卡纸。 【考点再现】此题主要考查圆柱的侧面积和表面积的应用解题方法，需要牢记侧面积和表面积公式。 【变式训练2】如图，在一个棱长为5分米的正方体木块的前后、上下、左右各面的中心位置各挖去一个底面直径为2分米、高为2分米的圆柱，做成一个模型，这个模型的表面积是( )平方分米。 【答案】225.36 【易错思路点拨】要求这个模型的表面积，实际上是用棱长为5分米的正方体的表面积加上6个底面直径为2分米、高为2分米的圆柱的侧面积求和。 【完整解答】5×5×6＋3.14×2×2×6 ＝150＋75.36 ＝225.36（平方分米） 这个模型的表面积是225.36平方分米。 【考点再现】此题考查长方体表面积和圆柱侧面积的综合应用，解答本题的关键是将表面积转化为学过的基本图形表面积。 易错考点五：圆柱的体积 【典例精讲】（24-25六年级下·湖南邵阳·期中）把一个底面半径是4厘米，高是6厘米的圆锥形铁块放入装有水的圆柱形容器中，完全浸没。已知圆柱的内直径是20厘米，铁块放入后水面会上升几厘米？ 【答案】0.32厘米 【易错思路点拨】因为圆锥形铁块放入圆柱形容器中完全浸没，所以圆锥的体积等于上升的水的体积。根据圆锥的体积公式：V＝Sh＝πr2h，代入数据计算，即可求出上升的水的体积；再根据圆的面积公式：S＝πr2＝π（d÷2）2，求出圆柱的底面积，最后根据圆柱的高＝体积÷底面积，代入数据计算，即可求出铁块放入后水面会上升几厘米。 【完整解答】×3.14×42×6 ＝×3.14×16×6 ＝100.48（立方厘米） 3.14×（20÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 100.48÷314＝0.32（厘米） 答：铁块放入后水面会上升0.32厘米。 【变式训练1】（24-25六年级下·江苏盐城·期末）图中的蒙古包由一个近似的圆柱形和一个近似的圆锥形组成，圆柱与圆锥体积的比是( )。 【答案】6∶1 【易错思路点拨】由图可知，蒙古包的底面直径是6m，那么底面半径为6÷2＝3m。圆柱的高为2m，圆锥的高为1m。根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14），把r＝3m，h＝2m代入即可求得圆柱的体积。 根据圆锥体积公式V＝πr2h（π取3.14），把r＝3m，h＝1m代入即可求得圆锥的体积。 然后把圆柱的体积和圆锥的体积相比即可。 【完整解答】6÷2＝3（m） 圆柱体积：3.14×32×2＝3.14×9×2＝56.52（m3） 圆锥体积：×3.14×32×1＝×3.14×9×1＝3×3.14×1＝9.42（m3） 体积比：56.52∶9.42＝（56.52÷9.42）∶（9.42÷9.42）＝6∶1 圆柱与圆锥体积的比是6∶1。 【变式训练2】（25-26六年级·全国·随堂练习）在实践活动课上，老师要求把完全一样的圆柱形橡皮泥平均切成两块，且切成的不是圆柱。下面是乐乐和园园按要求切完后的形状，原来圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米？ 【答案】100.48立方厘米 【易错思路点拨】由题意可知：原来圆柱的底面直径为4厘米，高为厘米，据此利用圆柱的体积＝底面积×高，即可得解。 【完整解答】 （立方厘米） 答：原来圆柱形橡皮泥的体积是100.48立方厘米。 【考点再现】本题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，得出原来圆柱的底面直径和高是解答本题的关键。 易错考点六：圆柱的容积 【典例精讲】（23-24六年级下·江苏·课后作业）做一个底面直径是4分米，高是6分米的圆柱形无盖铁皮水桶，至少用铁皮( )平方分米；这个水桶最多能盛水( )升。 【答案】 87.92 75.36 【易错思路点拨】根据“圆面积＝πr2”求出底面积，根据“圆柱侧面积＝底面周长×高”求出侧面积，将底面积和侧面积相加，求出至少用铁皮多少平方分米； 圆柱容积＝底面积×高，据此求出这个水桶最多能盛水多少立方分米。1立方分米＝1升，再据此单位换算。 【完整解答】4÷2＝2（分米） 3.14×22＋3.14×4×6 ＝3.14×4＋75.36 ＝12.56＋75.36 ＝87.92（平方分米） 3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝75.36（立方分米） 75.36立方分米＝75.36升 所以，至少用铁皮87.92平方分米；这个水桶最多能盛水75.36升。 【变式训练1】（23-24六年级下·江苏·课后作业）请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。 （1）你选择的材料是（    ）号和（    ）号。 （2）你选择的材料一共用了多少平方分米的铁皮？（接头处忽略不计） （3）你选择的材料做成的水桶最多能装水多少升？ 【答案】（1）①；④ （2）25.905平方分米 （3）14.13升 【易错思路点拨】 （1）圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长或宽等于圆柱底面周长，据此根据圆的周长＝圆周率×直径，求出②和④的周长，选择能与之组成圆柱的长方形铁皮即可。 （2）无盖圆柱形水桶只有一个底面，铁皮面积＝侧面积＋底面积，侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。 （3）根据圆柱体积＝底面积×高，求出水桶容积即可。 【完整解答】 （1）3.14×4＝12.56（分米） 3.14×3＝9.42（分米） 选择的材料是①号和④号或②号和③号。 （2）如果选择①号和④号。 9.42×2＋3.14×（3÷2）2 ＝18.84＋3.14×1.52 ＝18.84＋3.14×2.25 ＝18.84＋7.065 ＝25.905（平方分米） 如果选择②号和③号。 12.56×5＋3.14×（4÷2）2 ＝62.8＋3.14×22 ＝62.8＋3.14×4 ＝62.8＋12.56 ＝75.36（平方分米） 答：如果选择①号和④号一共用了25.905平方分米的铁皮；如果选择②号和③号一共用了75.36平方分米的铁皮 （3）如果选择①号和④号。 3.14×（3÷2）2×2 ＝3.14×1.52×2 ＝3.14×2.25×2 ＝14.13（立方分米） ＝14.13（升） 如果选择②号和③号。 3.14×（4÷2）2×5 ＝3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝62.8（立方分米） ＝62.8（升） 答：如果选择①号和④号做成的水桶最多能装水14.13升；如果选择②号和③号做成的水桶最多能装水62.8升。 【变式训练2】（2025六年级下·全国·专题练习）小芳生病了，在医院要输液250毫升，输液瓶液面高度是10厘米（如图①）。护士给小芳设置了平均每分钟2.5毫升的输液速度，20分钟后，空的部分高度是6厘米（如图②）。 （1）这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？ （2）这个输液瓶的容积是多少毫升？ 【答案】（1）25平方厘米 （2）350毫升 【易错思路点拨】（1）已知输液瓶中液体有250毫升，因为1毫升等于1立方厘米，所以250毫升就是250立方厘米，这就是液体的体积。又知道此时输液瓶液面高度是10厘米，而对于圆柱体来说（输液瓶中液体部分可近似看作圆柱体），圆柱体体积公式为体积 ＝底面积×高，那么要求底面积，就可以用体积除以高。 （2）护士设置的输液速度是平均每分钟2.5毫升，输液了20分钟根据总量＝速度×时间，那么输液的体积就是2.5×20＝50（立方厘米）；由前面已经求出输液瓶的底面积是25平方厘米，现在知道输液的体积是50立方厘米，再根据圆柱体体积公式体积 ＝底面积×高，变形可得高＝体积÷底面积，所以输液部分的高度为50÷25＝2（厘米）；原来液面高度是10厘米，输液部分高度是2厘米，那么输液后剩余液体的高度就是10－2＝8厘米，又已知20分钟后空的部分高度是6厘米，所以整个输液瓶如果看作一个圆柱体，它的高度就是8＋6＝14厘米。已经求出输液瓶的底面积是25平方厘米，相当于圆柱体的高度是14厘米，根据圆柱体体积公式体积 ＝底面积×高，代入数据解答即可。 【完整解答】（1）250÷10＝25（平方厘米） 答：这个输液瓶的底面积是25平方厘米。 （2）2.5×20÷25 ＝50÷25 ＝2（厘米） 10－2＋6 ＝8＋6 ＝14（厘米） 25×14＝350（立方厘米） 350立方厘米＝350毫升 答：这个输液瓶的容积是350毫升。 【考点再现】求出输液瓶的高是解题的关键，根据圆柱体体积公式体积 ＝底面积×高，变形可得高＝体积÷底面积，所以输液部分的高度又是求出输液瓶的高的关键。 易错考点七：立体图形的切拼（圆柱） 【典例精讲】（23-24六年级下·江苏·课后作业）把一个长、宽、高分别是16厘米、12厘米、8厘米的长方体削成一个体积最大的圆柱，这个圆柱的底面半径、高分别是多少厘米？ 【答案】6厘米；8厘米 【易错思路点拨】长方体削成最大的圆柱有三种情况： 圆柱的底面直径是12厘米，高为8厘米； 圆柱的底面直径是8厘米，高为16厘米； 圆柱的底面直径是8厘米，高为12厘米； 根据圆柱的体积分别计算出三种情况下的圆柱的体积，再比较体积大小选出即可。 【完整解答】12÷2＝6（厘米） ＝π×36×8 ＝288π（立方厘米） 8÷2＝4（厘米） ＝π×16×16 ＝256π（立方厘米） 8÷2＝4（厘米） ＝π×16×12 ＝192π（立方厘米） ＞＞ 所以当圆柱底面直径是12厘米，高为8厘米时，圆柱的体积最大。 答：这个圆柱的底面半径是6厘米，高是8厘米。 【变式训练1】（23-24六年级下·江苏·期中）把一根长4米、横截面直径是40厘米的圆木沿直径和高锯成两半，表面积增加了( )平方米。 【答案】3.2 【易错思路点拨】由题意可知，沿圆柱的直径和高锯成两半，增加了两个长是4米，宽是40厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算长方形的面积，再乘2即可得解。单位统一为米，再计算。 【完整解答】40厘米＝0.4米 （平方米） 把一根长4米、横截面直径是40厘米的圆木沿直径和高锯成两半，表面积增加了3.2平方米。 【变式训练2】（25-26六年级·全国·随堂练习）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动。冰球一般是用硬橡胶制成的圆柱体，厚为2.54cm，直径为7.62cm，重156g∼170g。如果将3个这样的冰球拼在一起，表面积比原来减少了（    ）cm²。 A．3.14×（7.62÷2）2×2.54 B．3.14×7.62×4 C．3.14×（7.62÷2）2×4 D．3.14×7.62×6 【答案】C 【易错思路点拨】根据题意可知，把3个同样的冰球重叠在一起，表面积比原来减少了4个底面的面积，根据圆的面积公式：，把数据代入公式解答。 【完整解答】直径为7.62cm，底面圆的面积为， 把3个同样的冰球重叠在一起，表面积比原来减少了4个底面的面积，即。 故答案为：C 【考点再现】此题考查的是理解掌握圆柱表面积的意义及应用，圆的面积公式及应用，关键是熟记公式。 易错考点八：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥的体积相等，高也相等，已知圆锥的底面积是39平方厘米，那么圆柱的底面积是（    ）平方厘米。 A．39 B．13 C．117 D．156 【答案】B 【易错思路点拨】根据圆柱的体积：V＝sh，圆锥的体积V＝sh，当圆柱与圆锥的体积相等，高也相等时，圆柱的底面积是圆锥底面积的，据此解答即可。 【完整解答】（平方厘米） 圆柱的底面积是13平方厘米。 故答案为：B 【变式训练1】（24-25六年级下·江苏·假期作业）如图，先将圆锥形容器注满水，再将水倒入圆柱形容器中。这时，圆柱形容器中水的高度是( )厘米。 【答案】4 【易错思路点拨】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以当圆锥与圆柱的底面积相等，高也相等时，把圆锥容器装满水倒入圆柱形容器中，这时圆柱形容器中水面的高是圆锥高的。据此解答即可。 【完整解答】（厘米） 圆柱形容器中水的高度是4厘米。 【变式训练2】观察下图，下列说法正确的是（    ）。 A．甲的体积与乙的体积比是3∶1 B．丁的体积与甲的体积相等 C．丙的体积是乙的 D．丁的体积是戊的3倍 【答案】B 【易错思路点拨】根据圆柱和圆锥的体积公式分析即可。 【完整解答】A． 甲的体积与乙的体积比是1∶3，原选项错误； B． 等体积等底面积的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱的3倍，所以丁的体积与甲的体积相等，选项正确； C． 丙的体积是乙的，原选项错误； D． 丁的体积是戊的9倍，原选项错误。 故答案为：B 【考点再现】本题考查了圆柱和圆锥的体积。 易错考点九：圆锥的体积（容积） 【典例精讲】（24-25六年级下·江苏宿迁·期中）如图是一个直角三角形，如果以BC边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是( )立方厘米。 【答案】18.84 【易错思路点拨】以BC边为轴旋转一周，会得到一个高是2厘米，底面半径是3厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式，代入数据计算即可。 【完整解答】 （立方厘米） 如图是一个直角三角形，如果以BC边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是18.84立方厘米。 【变式训练1】（24-25六年级下·江苏宿迁·期中）一个圆锥和一个圆柱底面积相等，体积的比是1∶6。如果圆锥的高是4.2厘米，则圆柱的高是（    ）厘米。 A．2.1 B．8.4 C．12.6 D．25.2 【答案】B 【易错思路点拨】圆锥体积公式：V＝Sh（S是底面积，h是圆锥高）。圆柱体积公式：V＝Sh（h是圆柱高）。已知圆锥和圆柱底面积相等，体积比是1∶6，即圆锥体积∶圆柱体积＝1∶6。把体积公式代入可得：Sh（圆锥）∶Sh（圆柱）＝1∶6，因为底面积S相等且不为0，可以约掉，得到h（圆锥）∶h（圆柱）＝1∶6。已知圆锥的高h＝4.2厘米，先算×4.2＝1.4。由1.4∶h＝1∶6，然后根据分数除法的意义，解答即可。 【完整解答】Sh（圆锥）∶Sh（圆柱）＝1∶6 h（圆锥）∶h（圆柱）＝1∶6 ×4.2∶h（圆柱）＝1∶6 1.4∶h（圆柱）＝1∶6 1.4÷h（圆柱）＝ h（圆柱）＝1.4÷ h（圆柱）＝1.4×6 h（圆柱）＝8.4 所以圆柱的高是8.4厘米。 故答案为：B 【变式训练2】一个圆柱底面直径为2厘米，高是5厘米，把它浸没在一个盛有水的圆柱形玻璃容器中，量得水面上升了3厘米。再把一个底面直径为6厘米的圆锥浸没在水中，量得水面又上升了9厘米。求圆锥的体积。（容器中两次水都没有溢出） 【答案】47.1立方厘米 【易错思路点拨】先求出底面直径为2厘米，高是5厘米的圆柱的体积，由圆柱浸没在圆柱形玻璃容器中，量得水面上升了3厘米，可求出圆柱形容器的底面积。再根据把一个底面直径为6厘米的圆锥浸没在水中，量得水面又上升了9厘米，将底面积和高带入圆柱的体积公式即可求出圆锥的体积。 【完整解答】3.14×（2÷2）2×5÷3×9 ＝3.14×1×5÷3×9 ＝3.14×5×3 ＝3.14×15 ＝47.1（立方厘米） 答：圆锥的体积是47.1立方厘米。 【考点再现】本题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活应用。 易错考点十：体积的等积变形（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）一个圆柱形容器里盛有10cm深的水，它的底面直径是20cm。园园把一块铁块完全浸没在水中，容器内水面上升了3cm（如下图），且水未溢出。这块铁块的体积是多少立方厘米？ 【答案】942立方厘米 【易错思路点拨】首先应明白上升的水的体积就是这块铁块的体积，求出底面直径是20厘米，高为3厘米的水的体积即可。根据圆柱体体积公式，代入数据即可。 【完整解答】 （立方厘米） 答：这块铁块的体积是942立方厘米。 【变式训练1】（23-24六年级下·河南平顶山·期中）将一堆底面直径是6米、高是1米的圆锥形沙子填入底面周长是12.56米的圆柱形坑里，正好填平。这个圆柱形坑的高度约是多少？ 【答案】0.75米 【易错思路点拨】已知圆锥形沙堆的底面直径是6米、高是1米，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这堆沙子的体积； 把这堆沙子填入底面周长是12.56米的圆柱形坑里，正好填平，那么沙子的体积不变； 先根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆柱形坑的底面半径；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱形坑的底面积； 根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，据此求出这个圆柱形坑的高度。 【完整解答】沙子的体积： ×3.14×（6÷2）2×1 ＝×3.14×32×1 ＝×3.14×9×1 ＝9.42（立方米） 圆柱形坑的底面半径： 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 圆柱形坑的底面积： 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 圆柱形坑的高： 9.42÷12.56＝0.75（米） 答：这个圆柱形坑的高度约是0.75米。 【变式训练2】水平桌面上放着高度同为40厘米的两个圆柱形容器，在它们高度的一半处有一连通管相连（连通管容积忽略不计），容器A和B底面直径分别为32厘米和24厘米。先关闭连通管，将容器A注满，再打开连通管，容器B中水的高度最终是多少厘米？（π取3.14） 【答案】25.6厘米 【易错思路点拨】将容器A注满，水的体积是圆柱A的体积，圆柱的体积＝。在高度的一半处有一连通管相连，将容器A注满，再打开连通管后，这时两个容器水面的高度是一样的，则底面积比就是体积比。A和B容器都是圆柱，则底面是圆，圆的面积＝，就是底面积。即两个圆柱的底面积比是16∶9，则两个圆柱的水的体积比也是16∶9，按比例分配，B圆柱容器的水的体积占水总体积的，得出B圆柱的水的体积，再根据水面的高＝水的体积÷底面积。 【完整解答】 （立方厘米） ＝ （立方厘米） （厘米） 答：容器B中水的高度最终是25.6厘米。 【考点再现】计算量比较大的时候，可以不要将先算出来，这样更简便。注意将容器A注满，再打开连通管时两个容器的高度是一样的，那么底面积的比就是体积的比。 易错考点十一：立体图形的切拼（圆锥） 【典例精讲】（23-24六年级下·安徽蚌埠·期中）如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方厘米。 【答案】 188.4 376800 【易错思路点拨】由题意可知，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，切面是以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的等腰三角形，根据增加的表面积求出一个切面的面积，再利用“”求出圆锥的底面直径，然后利用“”求出圆锥的体积，当圆锥和圆柱等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥比圆柱少的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，据此解答。 【完整解答】60÷2×2÷5 ＝60÷5 ＝12（分米） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝188.4（立方分米） 188.4×3－188.4 ＝188.4×（3－1） ＝188.4×2 ＝376.8（立方分米） 376.8立方分米＝376800立方厘米 所以，圆锥的体积是188.4立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少376800立方厘米。 【变式训练1】（20-21六年级下·山西太原·期中）把一个底面直径是10cm的圆锥沿高切开后表面积增加了60cm2，这个圆锥的高是( )cm，体积是( )cm3。 【答案】 6 157 【易错思路点拨】根据题意可知，表面积增加了两个相同的三角形的面积，其三角形的底是底面直径，高等于圆锥的高，据此求出圆锥的高，再根据圆锥的体积＝ ×底面积×高，代入数据计算即可。 【完整解答】60÷2×2÷10 ＝60÷10 ＝6（厘米） ×3.14×（10÷2）2×6 ＝ ×3.14×25×6 ＝157（立方厘米） 这个圆锥的高是6厘米，体积是157立方厘米。 【考点再现】此题考查立体图形的切拼，明确表面积增加的部分包含哪些面是解题关键。 【变式训练2】把一个底面周长是31.4厘米的圆锥体木料，沿底面直径割开，表面积增加了60平方厘米，这个圆锥体的体积是( ) 立方厘米。 【答案】157 【易错思路点拨】圆锥体木料沿底面直径竖直剖开，增加了2个三角形，三角形的底就是圆锥体的底面直径，即31.4÷3.14＝10（厘米），每个三角形的面积是60÷2＝30（平方厘米）；三角形的高就是圆锥体的高，三角形的高为30×2÷10＝6（厘米）；所以圆锥体的体积是：3.14×（10÷2）2×6×，计算即可。 【完整解答】圆锥体的底面直径：31.4÷3.14＝10（厘米）； 圆锥体的高：60÷2×2÷10 ＝30×2÷10 ＝60÷10 ＝6（厘米） 圆锥体的体积是：3.14×（10÷2）2×6× ＝3.14×25×6× ＝157 （立方厘米） 这个圆锥的体积是157立方厘米。 【考点再现】此题主要考查圆锥的体积计算公式：V＝πr2h，同时考查了学生空间想象力。 易错考点十二：组合体的体积（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（2024·江苏·小升初模拟）2023年5月30日，我国长征二号运载火箭搭载神舟十六号载人飞船顺利升空并取得圆满成功。整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。某学校创客小组制作了运载火箭整流罩的模型（如图所示）。 （1）这个整流罩模型的体积是多少？ （2）创客小组打算装饰一下模型，在圆柱部分的侧面包上一层彩纸并写上文字介绍。需要多少平方分米的彩纸？（粘合处忽略不计） 【答案】（1）18.84立方分米 （2）31.4平方分米 【易错思路点拨】（1）模型由圆柱和圆锥组成，根据圆柱的体积底面积高，圆锥的体积底面积高，再相加，即可解答； （2）根据圆柱的侧面积底面周长高，列式解答即可。 【完整解答】（1） （立方分米） 答：这个整流罩模型的体积是18.84立方分米。 （2） （平方分米） 答：需要31.4平方分米的彩纸。 【变式训练1】（22-23六年级下·江苏南通·期中）如图，四边形ABCD是一个直角梯形，以AB为轴并将这个梯形旋转一周，得到一个立体图形。它的体积是( )立方厘米。 【答案】150.72 【易错思路点拨】以AB为轴并将梯形绕这个轴旋转一周而得到的旋转体为：上部是一个底面半径为3厘米，高为6－5＝1厘米的圆锥体，下部是一个底面半径为3厘米，高为5厘米的圆柱体，由此利用圆柱与圆锥的体积公式即可解答。 【完整解答】 （立方厘米） 即这个立体图形的体积是150.72立方厘米。 【变式训练2】（2025六年级下·全国·专题练习）如图，分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周得到了甲、乙两个立体图形，它们的体积相比（    ）。 A．甲的体积较大 B．乙的体积较大 C．甲、乙体积一样大 【答案】A 【易错思路点拨】甲的体积＝底面半径是3cm，高是6cm的圆柱的体积－底面半径是3cm，高是（6－3）cm圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，据此求出甲的体积； 乙的体积＝底面半径是3cm，高是（6－3）cm的圆柱的体积＋底面半径是3cm，高是（6－3）cm的圆锥的体积，据此求出乙的体积，再和甲的体积比较，即可解答。 【完整解答】甲的体积： 3.14×32×6－3.14×32×（6－3）× ＝3.14×9×6－3.14×9×3× ＝28.26×6－28.26×3× ＝169.56－84.78× ＝169.56－28.26 ＝141.3（cm3） 乙的体积： 3.14×32×（6－3）＋3.14×32×（6－3）× ＝3.14×9×3＋3.14×9×3× ＝28.26×3＋28.26×3× ＝84.78＋84.78× ＝84.78＋28.26 ＝113.04（cm3） 141.3＞113.04，甲的体积较大。 分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周得到了甲、乙两个立体图形，它们的体积相比甲的体积较大。 故答案为：A 易错考点十三：不规则物体的体积算法(圆柱、圆锥) 【典例精讲】（24-25六年级下·江苏南通·期中）在一个圆柱形储水桶里，把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材全部放入水中，这时水面上升9厘米。把这段钢材竖着拉出水面8厘米，水面下降4厘米。求这段钢材的体积。 【答案】1413立方厘米 【易错思路点拨】分析题目，根据“把这段钢材竖着拉出水面8厘米，水面下降4厘米”可知高是8厘米的圆柱形钢材的体积和高是4厘米的圆柱形水的体积相等，据此先根据圆柱的体积＝πr2h求出高是8厘米的圆柱形钢材的体积，再根据圆柱的高＝体积÷底面积，用前面求出的体积除以4即可求出圆柱形储水桶的底面积。因为圆柱形钢材全部放入水中，所以水上升的体积就是圆柱形钢材的体积，用圆柱形储水桶的底面积乘9即可求出钢材的体积。 【完整解答】3.14×52×8÷4 ＝3.14×25×8÷4 ＝78.5×8÷4 ＝628÷4 ＝157（平方厘米） 157×9＝1413（立方厘米） 答：这段钢材的体积是1413立方厘米。 【变式训练1】（2024·江苏连云港·小升初真题）学习需要动脑，也需要动手。某小组4名同学，测量一个不规则瓶子的容积，操作如下： ①用直尺测量出整个瓶子的高度是22厘米； ②用直尺测量出整个瓶子的内直径是6厘米； ③往瓶子里注入一些水，把瓶子正放时，用直尺量出水面的高是5厘米； ④把瓶子倒放时，无水部分是圆柱形，用直尺量出圆柱的高是15厘米。 （1）上面的操作中，第 步操作是不需要的。 （2）这个瓶子的容积是立方厘米？ 【答案】（1）①　 （2）565.2立方厘米 【易错思路点拨】（1）依据题意结合图示可知，瓶子的容积等于正放时水的体积加上底面直径是6厘米，高是15厘米的圆柱的体积，水的体积等于底面直径是6厘米，高是5厘米的圆柱的体积，由此解答本题； （2）按照（1）利用圆柱的体积＝π×底面半径×底面半径×高，因图2空白部分的底面积与图3水的部分的底面积相等，可把它们叠加起来看成一个长圆柱去计算，结合题中数据计算即可。 【完整解答】（1）上面的操作中，第①步操作是不需要的。 （2）3.14×（6÷2）×（6÷2）×（5＋15） ＝3.14×3×3×20 ＝565.2（立方厘米） 答：这个瓶子的容积是565.2立方厘米。 【变式训练2】（23-24六年级下·江苏镇江·期末）一个盖着瓶盖的瓶子里装着一些水（如下图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的体积是多少立方厘米？（瓶底面积10平方厘米） 【答案】60立方厘米 【易错思路点拨】根据题意，结合图示可知，水的体积加上瓶子空的体积就是瓶子的体积，根据圆柱的体积公式：底面积×高，图一可以求出水的体积，图二可以求出瓶子空的体积，两者相加即可。 【完整解答】水的体积：4×10＝40（立方厘米） 瓶子空的体积：（7－5）×10 ＝2×10 ＝20（立方厘米） 瓶子体积：40＋20＝60（立方厘米） 答：瓶子的体积为60立方厘米。 1．（2025六年级下·江苏南通·竞赛）有一口煮盐的大锅，锅的形状近似圆锥。直径1.2米，厚2厘米，深0.3米，两锅可以炼出30千克盐，请问盐和盐水之比是（    ）。（用X比100的形式表示，1立方分米盐水＝1千克水） A．13∶100 B．16∶100 C．26∶100 D．53∶100 【答案】A 【易错思路点拨】首先计算圆锥形锅的容积，直径1.2米，深0.3米，根据圆锥体积公式为，代入半径、高度，计算得单锅体积约为1.1304立方米，根据高级单位转化为低级单位乘两个单位之间的进率，为113.04立方分米，即113.04千克水。两锅总水量为226.2千克，炼出盐30千克，盐与水的比例为，化简为。 【完整解答】计算单锅容积： 1.2÷2＝0.6（米） （立方米） 0.11304立方米＝113.04立方分米 113.04立方分米＝113.04千克 （千克） 盐与盐水的比例： 因此，盐和水的比例约为13∶100。 故答案为：A 2．（23-24六年级下·江苏镇江·期末）下面说法正确的有（    ）句。          ①圆柱的侧面展开后一定是一个长方形。     ②9□□÷1□计算结果不可能是三位数。        ③如果两个质数的和仍然是质数，那么这两个质数的积一定是偶数。 ④2104年是闰年，与他相邻的前一个闰年是2100年。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【易错思路点拨】圆柱的侧面展开图的长等于圆柱底面周长，侧面展开图的宽等于圆柱的高，底面周长有可能与高相等。 “9□□”表示一个三位数（范围900到999），“1□”表示一个两位数（范围10到19），据此求出商的范围。 质数中，除了2以外都是奇数，如果两个质数都是奇数，则它们的和是偶数，但大于2的偶数都不是质数，因此“和是质数”时，两个质数不能都是奇数。 闰年的规则是：能被4整除，但整百年份（如2100）必须能被400整除才是闰年，据此判断。 【完整解答】①当圆柱的底面周长等于圆柱的高时，圆柱的侧面展开后是一个正方形，该选项的说法是错误的； ②计算结果的范围，最小商：900÷19≈47；最大商：999÷10＝99.9，所有商都在47到99之间，均为两位数，因此商不可能是三位数，该选项的说法是正确的； ③质数中除了2其余都是奇数。如果两个质数的和是质数（且大于2），则和必须是奇数（因为2是唯一的偶质数，但两个质数的和最小为2＋2＝4＞2，不可能为2）。质数和的可能情况：一个质数是偶数（即2），另一个是奇质数（如2＋3＝5，2＋5＝7），积为：2×奇质数＝偶数（因为含有因数2）。因此，当两个质数的和是质数时，积一定是偶数，该选项的说法是正确； ④2104÷4＝526，因此2104年是闰年；2100÷100＝21（能被100整除），但2100÷400＝5.25（不能被400整除），因此2100年不是闰年；该选项的说法是错误的。 因此说法正确的有②③共2句。 故答案为：B 3．（24-25六年级下·江苏南通·期中）一个长方形长6厘米，宽2厘米，以它的长所在直线为轴旋转一周所得的圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．80π B．72π C．25π D．24π 【答案】D 【易错思路点拨】分析题目，以长方形的长所在直线为轴旋转一周所得的圆柱，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径，根据圆柱的体积＝πr2h代入数据列式计算即可。 【完整解答】π×22×6 ＝π×4×6 ＝4π×6 ＝24π（立方厘米） 一个长方形长6厘米，宽2厘米，以它的长所在直线为轴旋转一周所得的圆柱的体积是24π立方厘米。 故答案为：D 4．（24-25六年级下·江苏常州·期中）把一根2米长的圆柱形木料截成3段，表面积增加了30.4平方厘米，这根木料的体积是( )立方厘米。 【答案】1520 【易错思路点拨】木料截成3段需要切2次，每次切割增加2个底面，共增加4个底面。表面积增加的30.4平方厘米对应4个底面积之和，由此可求出圆柱的底面积。再用底面积乘原木料的长度（需转换为厘米）即可得到体积。 【完整解答】2米＝200厘米 3－1＝2（次） 30.4÷（2×2）×200 ＝30.4÷4×200 ＝7.6×200 ＝1520（立方厘米） 所以这根木料的体积是1520立方厘米。 5．（24-25六年级下·江苏常州·期中）一个圆柱形钢锭的底面直径是10厘米，高是6厘米。它的侧面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。把它熔铸成一个底面积和体积不变的圆锥，圆锥的高是( )厘米。 【答案】 188.4 345.4 471 18 【易错思路点拨】已知圆柱形钢锭的底面直径是10厘米，高是6厘米，根据圆柱的侧面积公式S＝πdh计算出圆柱的侧面积；用直径除以2计算出底面半径，根据圆的面积公式S＝2πr2计算出圆柱的底面积，乘2再加上侧面积计算出圆柱的表面积；根据圆柱的体积公式计算出圆柱的体积。把它熔铸成一个底面积和体积不变的圆锥，那么圆锥的高是圆柱高的3倍，据此解答。 【完整解答】3.14×10×6 ＝31.4×6 ＝188.4（平方厘米） 10÷2＝5（厘米） 3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝78.5×2 ＝157（平方厘米） 157＋188.4＝345.4（平方厘米） 3.14×52×6 ＝3.14×25×6 ＝78.5×6 ＝471（立方厘米） 6×3＝18（厘米） 所以该圆柱的侧面积是188.4平方厘米，表面积是345.4平方厘米，体积是471立方厘米。把它熔铸成一个底面积和体积不变的圆锥，圆锥的高是18厘米。 6．（25-26六年级·全国·随堂练习）如图，把直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，得到的圆锥体积最大是( )cm3。 【答案】50.24 【易错思路点拨】先确定直角三角形的两条直角边长度：在直角三角形中直角边小于斜边，所以直角边是3厘米和4厘米，再分别以两条直角边为轴旋转得到两个圆锥，根据圆锥体积公式：，计算两个圆锥的体积，比较后得出最大体积；据此解答。 【完整解答】当以3cm直角边为轴旋转时，得到的圆锥的高为3cm ，底面半径为另一条直角边4cm，圆锥的体积为：      （cm） 当以4cm直角边为轴旋转时，得到的圆锥的高为4cm ，底面半径为另一条直角边3cm， 圆锥体积为：       （cm） 把直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，得到的圆锥体积最大是50.24cm3。 【考点再现】本题是考查将一个简单图形旋转一定的度数变成圆锥，意在训练学生的观察能力和空间想象能力。 7．（21-22六年级下·广西防城港·阶段练习）把一个圆柱体橡皮泥捏成一个长方体后，体积变小了。( )（判断对错） 【答案】× 【易错思路点拨】物体的体积就是物体占有空间的大小，和物体的形状无关，据此即可解答。 【完整解答】由分析得，因为物体的体积就是物体占有空间的大小，和物体的形状无关，所以把一个圆柱体橡皮泥捏成一个长方体后，虽然它的形状变了，但是它的体积没有变。 故答案：× 【考点再现】此题主要考查物体体积的意义，掌握物体的体积就是物体占有空间的大小，和物体的形状无关是解题关键。 8．一个圆柱的底面周长与高相等，它的侧面沿高展开图是正方形。( )（判断对错） 【答案】√ 【易错思路点拨】根据圆柱体的特征，它的上下底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，侧面沿高展开是一个长方形或正方形，长方形的长等于圆柱体的底面周长，宽等于圆柱体的高；由此解答。 【完整解答】根据圆柱体的侧面展开图的长、宽与圆柱体的底面周长和高的关系，如果圆柱的侧面展开后是一个正方形，那么这个圆柱的底面周长和高一定相等。 故答案为：√ 【考点再现】此题主要考查圆柱的特征，掌握侧面展开图的长、宽与圆柱体的底面周长和高的关系是解题关键。 9．（24-25六年级下·湖南邵阳·期中）计算下面图形的体积。 【答案】251.2cm3 【易错思路点拨】据图可知，图形是由一个底面直径是8厘米高是2厘米的圆柱和一个底面直径是8厘米高是9厘米的圆锥组成，圆柱的体积＝π（d÷2）2h，圆锥的体积＝π（d÷2）2h，据此代入数据列式计算。 【完整解答】3.14×（8÷2）2×2＋3.14×（8÷2）2×9× ＝3.14×42×2＋3.14×42×9× ＝3.14×16×2＋3.14×16×9× ＝50.24×2＋50.24×9× ＝100.48＋150.72 ＝251.2（cm3） 图形的体积是251.2cm3。 10．（24-25六年级下·江苏盐城·期中）一个塑料大棚，如图，长20米，横截面是半径3米的半圆形。 （1）搭建这个大棚需要塑料薄膜多少平方米？ （2）大棚内的空间大约有多少立方米？ 【答案】（1）216.66平方米 （2）282.6立方米 【易错思路点拨】（1）这个大棚的形状是底面是半圆的半个圆柱，求搭建这个大棚需要多少平方米的塑料薄膜，就是求圆柱表面积的一半；已知长20米，横截面半圆形半径是3米，根据圆柱的表面积公式S＝2πr2＋2πrh计算出圆柱的表面积，再除以2，即为搭建这个大棚需要塑料薄膜的面积。 （2）大棚内的空间就是求圆柱体积的一半，根据圆柱的体积公式计算出圆柱的体积，再除以2计算出大棚内的空间。 【完整解答】（1）2×3.14×32＋2×3.14×3×20 ＝2×3.14×9＋2×3.14×3×20 ＝6.28×9＋6.28×3×20 ＝56.52＋18.84×20 ＝56.52＋376.8 ＝433.32（平方米） 433.32÷2＝216.66（平方米） 答：搭建这个大棚需要塑料薄膜216.66平方米。 （2）3.14×32×20÷2 ＝3.14×9×20÷2 ＝28.26×20÷2 ＝565.2÷2 ＝282.6（立方米） 答：大棚内的空间有282.6立方米。 11．（24-25六年级下·江苏宿迁·期中）有一个高是12厘米，底面直径是6厘米的圆锥形钢块，如果把它熔铸成一个底面直径8厘米圆柱形钢块。熔铸成的圆柱形钢块的高是多少厘米？ 【答案】 2.25厘米 【易错思路点拨】根据题意，圆锥形钢块熔铸成圆柱形钢块，体积不变。 先利用圆锥体积原钢块的体积，再利用圆柱体积公式求出熔铸后的高。 【完整解答】6÷2＝3（厘米） （立方厘米） 8÷2＝4（厘米） （厘米） 答：熔铸成的圆柱形钢块的高是2.25厘米。 12．（24-25六年级下·江苏扬州·期末）一个近似于圆锥形的黄沙堆，底面半径是2米，高1.5米，如果每立方米黄沙约重5.8吨，这堆黄沙大约重多少吨？（得数保留整吨数） 【答案】36吨 【易错思路点拨】已知圆锥形黄沙堆的底面半径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出黄沙堆的体积，再乘每立方米黄沙的重量，即可求出这堆黄沙的总重量，得数依据“四舍五入”法取整数。 【完整解答】×3.14×22×1.5 ＝×3.14×4×1.5 ＝6.28（立方米） 5.8×6.28≈36（吨） 答：这堆黄沙大约重36吨。 13．（2024·江苏宿迁·小升初模拟）一个圆柱体油箱，从里面量直径是40厘米，高是60厘米。 （1）做这样一个油桶，至少需用铁皮多少平方分米？ （2）如果1升汽油重0.85千克，这个油桶可装汽油多少千克？（得数保留整千克数） 【答案】（1）100.48平方分米 （2）64千克 【易错思路点拨】（1）由于油桶是有盖的，做这个油桶需要铁皮多少平方分米，相当于是求油桶的表面积，根据圆柱的表面积＝πdh＋2πr2，把数值代入即可求解； （2）如果1升汽油重0.85千克，即圆柱形油桶能装多少升汽油，根据圆柱的体积＝Sh，把数值代入即可求出能装多少体积的汽油，再把得出的结果换算成以升为单位的数，最后再乘0.85即可求出能装多少千克，结果保留整数即可。 【完整解答】（1）40厘米＝4分米，60厘米＝6分米 3.14×4×6＋3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×24＋3.14×22×2 ＝75.36＋3.14×4×2 ＝75.36＋3.14×8 ＝75.36＋25.12 ＝100.48（平方分米） 答：至少需用铁皮100.48平方分米。 （2）40厘米＝4分米，60厘米＝6分米 3.14×（4÷2）2×6 ＝3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝3.14×24 ＝75.36（立方分米） 75.36立方分米＝75.36升 0.85×75.36＝64.056≈64（千克） 答：这个油桶可装汽油64千克。 14．（23-24六年级下·山西太原·期末）一个立体组合图形从前面、右面和上面看到的图形及尺寸如图所示。它的体积是多少？（单位：厘米） 【答案】226.08立方厘米 【易错思路点拨】根据从前面，右面和上面看到的图形可知，这个立体图形的上面是一个圆锥，下面是一个圆柱，其中圆锥的底面直径和圆柱的底面直径相等是6厘米，圆锥的高和圆柱的高也相等是6厘米；根据圆锥的体积＝πr2h，圆柱的体积＝πr2h，且圆柱的体积等于与它等底等高的圆锥体积的3倍，把相应数值代入圆锥体积的计算公式，计算出圆锥的体积，再把圆锥的体积乘3，计算出圆柱的体积，最后把圆锥的体积加上圆柱的体积，即为这个立体组合图形的体积。 【完整解答】 （立方厘米） 圆柱的体积：56.52×3＝169.56（立方厘米） 56.52＋169.56＝226.08（立方厘米） 答：它的体积是226.08立方厘米。 15．把一个底面直径是12厘米的圆锥形木块沿高切成两个形状、大小完全相同的小木块后，表面积比原来增加了96平方厘米，求原来这个圆锥形木块的体积。 【答案】301.44立方厘米 【易错思路点拨】沿高切成两个形状、大小完全相同的小木块后，表面积增加了两个三角形的面积，三角形的底是圆锥的底面直径，三角形的高是圆锥的高，先求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式列式解答即可。 【完整解答】96÷2×2÷12 ＝96÷12 ＝8（厘米） 3.14×（12÷2）×8÷3 ＝3.14×36×8÷3 ＝301.44（立方厘米） 答：原来这个圆锥形木块的体积是301.44立方厘米。 【考点再现】本题考查了圆锥的体积，关键是求出圆锥的高。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $