5.3 正方形 同步练习 2025-2026学年浙教版数学八年级下册

第5章　特殊平行四边形 5.3　正方形 第2课时　正方形的性质 分值：77分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题(每小题3分，共9分)；填空题(每小题3分) 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是　(　A　) A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相垂直平分且相等 2.如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连结AE，CE，∠BCE=70°，则∠EAD的度数为(　B　) A.30° B.20° C.15° D.10° 3.(3分)如图，在正方形ABCD中，AB=4，E，F分别是边CD，AD的中点，连结BE，BF，M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为 　。  　　　 第3题答图 【解析】 如答图，连结EF。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD=AB=4，∠D=90°。 ∵E，F分别是边CD，AD的中点， ∴DF=AD=2，DE=CD=2， ∴EF==2。 ∵M，N分别是边BE，BF的中点， ∴MN是△BEF的中位线， ∴MN=EF=。 4.(3分)如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E。若AB=3，则AE=　3　。  【解析】 ∵AC是正方形ABCD的对角线，AB=3， ∴AC=3，DC∥AB。 ∵∠DCA的平分线交BA的延长线于点E， ∴∠DCE=∠ECA。 ∵DC∥EB，∴∠E=∠DCE， ∴∠E=∠ECA， ∴AE=AC=3。 5.(3分)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连结EB，EC，则图中阴影部分的面积是　2　。  　　　 第5题答图 【解析】 如答图，过点E作EF⊥BC于点F。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=2，∠ABC=90°，AD∥BC，∴EF=AB=2， ∴S△BCE=BC·EF=×2×2=2。 ∵S正方形ABCD=BC2=22=4， ∴S阴影=S正方形ABCD－S△BCE=4－2=2。 6.(8分)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形DEBF为正方形。 (1)(4分)求证：AE=CF。 (2)(4分)已知▱ABCD的面积为20，AB=5，求CF的长。 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD。 ∵四边形DEBF是正方形， ∴DF=BE， ∴AE=AB－BE=CD－DF=CF。 (2)∵S▱ABCD=AB·DE=20，AB=5， ∴DE=4，∴EB=DE=4， ∴AE=AB－EB=1， ∴CF=AE=1。 7.(8分)如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF=CE。求证：四边形BEDF是菱形。 　　 第7题答图 证明：如答图，连结BD，与AC相交于点O， 则BO=DO=AO=CO，BD⊥AC。 ∵AF=CE， ∴AF－AO=CE－CO，即FO=EO， ∴四边形BEDF是平行四边形。 又∵BD⊥AC，∴▱BEDF是菱形。 8.(8分)如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE=DF，连结AE和BF。求证：AE=BF。 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°。 又∵CE=DF，∴BE=CF。 在△ABE和△BCF中， ∵ ∴△ABE≌△BCF(SAS)， ∴AE=BF。 9.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF=45°，连结EF，则BF的长为(　A　) A.2 B. C.3 D.2 　　　 第9题答图 【解析】 ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD。 如答图，把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则∠BAF=∠DAG。 ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAF＋∠DAE=45°， ∴∠EAG=∠DAG＋∠DAE=∠BAF＋∠DAE=45°， ∴∠EAF=∠EAG。 ∵∠ADG=∠ADC=∠B=90°， ∴∠EDG=180°，即E，D，G三点共线。 在△AFE和△AGE中， ∵ ∴△AFE≌△AGE(SAS)， ∴EF=EG， 即EF=EG=ED＋DG。 ∵E为CD的中点，正方形ABCD的边长为6， ∴CD=BC=6，DE=CE=3，∠C=90°， ∴设BF=x，则CF=6－x，EF=3＋x。 在Rt△CFE中，由勾股定理得，EF2=CE2＋CF2， ∴(3＋x)2=32＋(6－x)2，解得x=2， 即BF=2。 10.(3分)如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为　1　。  【解析】 ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OB，∠OAE=∠OBF=45°，AC⊥BD， ∴∠AOB=90°。 ∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°， ∴∠AOE=∠BOF。 在△AOE和△BOF中， ∵ ∴△AOE≌△BOF(ASA)， ∴S△AOE=S△BOF， ∴S四边形AFOE=S△AOB=S正方形ABCD=×22=1。 11.(8分)如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM=CN，AN与DM相交于点P。 (1)(4分)求证：△ABN≌△DAM。 (2)(4分)求∠APM的度数。 解：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=BC，∠DAM=∠ABN=90°。 ∵BM=CN， ∴BC－CN=AB－BM，即BN=AM。 在△ABN和△DAM中， ∵ ∴△ABN≌△DAM(SAS)。 (2)由(1)知△ABN≌△DAM， ∴∠MAP=∠ADM， ∴∠MAP＋∠AMP=∠ADM＋∠AMP=90°， ∴∠APM=180°－(∠MAP＋∠AMP)=90°。 12.(8分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE=∠CDF。 (1)(4分)求证：AE=CF。 (2)(4分)连结DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG=OD，连结EG，FG，判断四边形DEGF是否为菱形，并说明理由。 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠A=∠C=90°。 在△ADE和△CDF中， ∵ ∴△ADE≌△CDF(ASA)， ∴AE=CF。 (2)四边形DEGF是菱形。理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC。 ∵AE=CF， ∴AB－AE=BC－CF， 即BE=BF。 ∵△ADE≌△CDF， ∴DE=DF， ∴BD垂直平分EF。 又∵OG=OD， ∴四边形DEGF是菱形。 13.(8分)如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，F是AD的中点，BE与CF相交于点P，连结AP，设AB=a。 (1)(4分)求证：BE⊥CF。 (2)(4分)求AP，CP的长(用含a的代数式表示)。 解：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D=∠BCE=∠DAB=90°，AD=CD=BC=AB。 又∵E，F分别是CD，AD的中点， ∴CE=DF。 在△CDF和△BCE中， ∵ ∴△CDF≌△BCE(SAS)， ∴∠DFC=∠CEB。 ∵∠DCF＋∠DFC=90°， ∴∠DCF＋∠CEB=90°， ∴∠EPC=90°，∴BE⊥CF。 (2)如答图，延长CF，交BA的延长线于点M，则∠DAM=90°。 第13题答图 在△CFD和△MFA中， ∵ ∴△CFD≌△MFA(ASA)， ∴MA=CD=AB=a，∴BM=2a。 又∵BP⊥CF， ∴AP=BM=a。 ∵CP⊥BE， ∴CP·BE=CE·BC=a2。 ∵BE= =a， ∴CP=a。 14.(8分)[模型观念]如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点(不与端点重合)，点F在 BC的延长线上，且CF=BE， 过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG，CG。 (1)(4分)求证：∠GEC=∠GCE。 (2)(4分)求的值。 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴∠GBF=45°。 又∵FG⊥BD， ∴∠F=∠GBF=45°， ∴GB=GF。 又∵BE=FC， ∴△GBE≌△GFC(SAS)， ∴GE=GC， ∴∠GEC=∠GCE。 (2)方法一：如答图1，连结AG。 第14题答图1 ∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴由正方形的轴对称性质，得AG=CG，∠AGB=∠CGB。 又∵EG=CG，∴AG=EG。 ∵△GBE≌△GFC， ∴∠BGE=∠FGC， ∴∠AGE=∠AGB＋∠BGE=∠CGB＋∠FGC=∠BGF=90°， ∴△GAE是等腰直角三角形， ∴AE=EG， ∴。 方法二：如答图2，过点G作GH⊥BF于点H， 第14题答图2 设AB=BC=1，BE=CF=x，则BF=1＋x，EC=1－x，AE2=AB2＋BE2=x2＋1。 ∵△BGF是等腰直角三角形，GH⊥BF， ∴GH=BF=。 ∵△GEC是等腰三角形，GH⊥EC， ∴EH=EC=， ∴EG2=EH2＋GH2=， ∴=2，∴。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章　特殊平行四边形 5.3　正方形 第1课时　正方形的判定 分值：63分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分) 1.下列说法中，正确的是(　C　) A.有一个角是直角的平行四边形是正方形 B.有一组邻边相等的平行四边形是正方形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.四条边都相等的四边形是正方形 2.已知四边形ABCD是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD是正方形，则需要添加条件(　B　) A.AB=BC B.∠ABC=90° C.∠ADB=30° D.AC=AB 3.如图，已知▱ABCD，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形。 ①AB=BC； ②AC⊥BD； ③∠ABC=90°； ④AC=BD。 下列四种选法错误的是(　A　) A.①② B.①③ C.②③ D.①④ 4.(3分)已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点的坐标依次是A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－1)，D(1，－1)，则四边形ABCD是　正方　形。  5.(8分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证：四边形CEDF是正方形。 证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE=DF，∠DFC=∠DEC=90°。 又∵∠ACB=90°，∴四边形CEDF是矩形。 又∵DE=DF， ∴矩形CEDF是正方形。 6.(8分)如图，在矩形ABCD中，∠ABC，∠DCB的平分线的交点E落在边AD上，BF∥CE，CF∥BE。求证：四边形BECF是正方形。 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形。 ∵在矩形ABCD中，∠ABC=∠DCB=90°，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC=∠ECB=45°， ∴∠BEC=90°，BE=CE， ∴▱BECF是正方形。 7.(8分)已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC。 (1)(4分)求证：四边形ABCD是菱形。 (2)(4分)如果BE=BC，且∠CBE∶∠BCE=2∶3，求证：四边形ABCD是正方形。 证明：(1)在△ADE与△CDE中，∵ ∴△ADE≌△CDE(SSS)， ∴∠ADE=∠CDE。 ∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD， ∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD。 又∵AD=CD，∴BC=AD， ∴四边形ABCD为平行四边形。 又∵AD=CD，∴▱ABCD是菱形。 (2)∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC。 ∵∠CBE∶∠BCE=2∶3， ∴∠CBE=180°×=45°。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABE=45°， ∴∠ABC=90°， ∴菱形ABCD是正方形。 8.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了(　B　) A.1次 B.2次 C.3次 D.4次 【解析】 小红把原丝巾相邻的顶点重合对折1次，若原丝巾对折后完全重合，即表明它是矩形或等腰梯形；沿对角线对折1次，若两个三角形重合，表明一组邻边相等，即表明它是菱形或筝形，当它既是矩形又是菱形时，它是正方形，∴最少对折2次。 9.(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA。求证：四边形AECF是正方形。 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD。 又∵BE=DF，∴OE=OF， ∴四边形AECF是菱形。 ∵OE=OA=OF， ∴OE=OF=OA=OC，即EF=AC， ∴菱形AECF是正方形。 10.(8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。 (1)(4分)求证：四边形CEDF为正方形。 (2)(4分)若AC=6，BC=8，求CE的长。 解：(1)如答图，过点D作DN⊥AB于点N。 第10题答图 ∵∠C=90°，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴四边形CEDF为矩形。 又易知DF=DN=DE， ∴矩形CEDF为正方形。 (2)∵AC=6，BC=8，∴AB=10， 由面积法求得CE=DE=6×8÷(6＋8＋10)=2。 11.(8分)[推理能力]如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=2，DC=3，求AD的长。 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。 请按照小萍同学的思路，探究并解答下列问题： (1)(4分)分别以AB，AC为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC，两者相交于点G。求证：四边形AEGF是正方形。 (2)(4分)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程，求出AD的长。 解：(1)由题意可得△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴∠EAB=∠DAB，∠FAC=∠DAC。 ∵∠DAB＋∠DAC=∠BAC=45°， ∴∠EAF=2∠DAB＋2∠DAC=90°。 ∵AD⊥BC， ∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°， ∴四边形AEGF是矩形。 ∵AE=AD，AF=AD， ∴AE=AF，∴矩形AEGF是正方形。 (2)∵AD=x，四边形AEGF是正方形， ∴易知AE=EG=GF=x，∠EGF=90°。 ∵BD=2，DC=3， ∴BE=2，CF=3， ∴BG=x－2，CG=x－3。 在Rt△BGC中，BG2＋CG2=BC2， 即(x－2)2＋(x－3)2=(2＋3)2， 化简，得x2－5x－6=0， 解得x1=6，x2=－1(不合题意，舍去)， ∴AD=6。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章　特殊平行四边形 5.3　正方形 第2课时　正方形的性质 分值：77分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题(每小题3分，共9分)；填空题(每小题3分) 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是　( ) A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相垂直平分且相等 2.如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连结AE，CE，∠BCE=70°，则∠EAD的度数为( ) A.30° B.20° C.15° D.10° 3.(3分)如图，在正方形ABCD中，AB=4，E，F分别是边CD，AD的中点，连结BE，BF，M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为 。  4.(3分)如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E。若AB=3，则AE= 。  5.(3分)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连结EB，EC，则图中阴影部分的面积是 。  　　　 6.(8分)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形DEBF为正方形。 (1)(4分)求证：AE=CF。 (2)(4分)已知▱ABCD的面积为20，AB=5，求CF的长。 7.(8分)如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF=CE。求证：四边形BEDF是菱形。 　　 8.(8分)如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE=DF，连结AE和BF。求证：AE=BF。 9.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF=45°，连结EF，则BF的长为( ) A.2 B. C.3 D.2 10.(3分)如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为 。  11.(8分)如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM=CN，AN与DM相交于点P。 (1)(4分)求证：△ABN≌△DAM。 (2)(4分)求∠APM的度数。 12.(8分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE=∠CDF。 (1)(4分)求证：AE=CF。 (2)(4分)连结DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG=OD，连结EG，FG，判断四边形DEGF是否为菱形，并说明理由。 13.(8分)如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，F是AD的中点，BE与CF相交于点P，连结AP，设AB=a。 (1)(4分)求证：BE⊥CF。 (2)(4分)求AP，CP的长(用含a的代数式表示)。 14.(8分)[模型观念]如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点(不与端点重合)，点F在 BC的延长线上，且CF=BE， 过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG，CG。 (1)(4分)求证：∠GEC=∠GCE。 (2)(4分)求的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章　特殊平行四边形 5.3　正方形 第1课时　正方形的判定 分值：63分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分) 1.下列说法中，正确的是( ) A.有一个角是直角的平行四边形是正方形 B.有一组邻边相等的平行四边形是正方形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.四条边都相等的四边形是正方形 2.已知四边形ABCD是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD是正方形，则需要添加条件( ) A.AB=BC B.∠ABC=90° C.∠ADB=30° D.AC=AB 3.如图，已知▱ABCD，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形。 ①AB=BC； ②AC⊥BD； ③∠ABC=90°； ④AC=BD。 下列四种选法错误的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①④ 4.(3分)已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点的坐标依次是A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－1)，D(1，－1)，则四边形ABCD是 形。  5.(8分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证：四边形CEDF是正方形。 6.(8分)如图，在矩形ABCD中，∠ABC，∠DCB的平分线的交点E落在边AD上，BF∥CE，CF∥BE。求证：四边形BECF是正方形。 7.(8分)已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC。 (1)(4分)求证：四边形ABCD是菱形。 (2)(4分)如果BE=BC，且∠CBE∶∠BCE=2∶3，求证：四边形ABCD是正方形。 8.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了( ) A.1次 B.2次 C.3次 D.4次 9.(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA。求证：四边形AECF是正方形。 10.(8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。 (1)(4分)求证：四边形CEDF为正方形。 (2)(4分)若AC=6，BC=8，求CE的长。 11.(8分)[推理能力]如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=2，DC=3，求AD的长。 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。 请按照小萍同学的思路，探究并解答下列问题： (1)(4分)分别以AB，AC为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC，两者相交于点G。求证：四边形AEGF是正方形。 (2)(4分)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程，求出AD的长。 学科网（北京）股份有限公司 $