辽宁省县级重点高中协作体2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

绝密★启用前 高一期末质量监测 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 ,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的)】 .样本数据210,224,201,244的第50百分位数为 A.210 B.217 C.222 D.224 2.已知平面向量a=(1,2),b=(x,x2),设甲：x=2:乙：a∥b,则 A,甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 ?已知集合A={x∈Z>1B=(x=3-1,则AnB= A.(2) B.(4) C.(2,3】 D.(3,4) 4.设正数4,6满足3a+b=3,则是+方的最小值为 A号 B名 c D号 5.已知函数f(x)=ln(x2十ax+2a2+a)的定义域为R,则a的取值范围为 A（-∞，-)U(0,+∞) B.(0,+co】 C.(-∞，) D.(-,-U(1,+∞) 6.定义在R上的函数f(x)满足f)二f>5,若f0)>0,则 x1一工2 A.f(10)<10 B.f(10)>100 C.f(20)<50 D.f(20)>100 高一数学第1页（共4页） 7某地开展志愿服务，小蓝，小黄等9人充当志题者，现将他们均分成三组，则小蓝和小黄不在同 一组的概率为 A是 c号 D 8.已知函数f（x),当x≤0时，f(x)=e川，当x≥0时，T>0,f(x十T)=f(x),则不等式 f(x十1)<f(2x)的解集为 A.(-o∞，-1] B.[-1,0] C.(0,e] D.(-∞，0) 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分】 9.设©1，©是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是 A.十e2和e1一3e B.e1+2e:和乞e1十e C.3e1一4e和6e,一8c D.e1十6和g1十e2 10.设函数f八x)=z十中市-n(z十1)，则 A.函数y=f(x)一1为奇函数 B.VI>1,f(x)<0 C.3m<0,Vx≠0，f(x)>m D.区间（受，1）上存在(x)的零点 11.已知样本数据，x,x的方差为6，则 A.该组样本数据的平均数无最值 B.数据的一，1一x,一约的方差为9 C.该组样本数据极差的最大值为6 D.该组样本数据极差的最小值为3，√3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）】 12.设A,B为平面直角坐标系xOy内两点，若OA=(1,3),AB=(2,2),则1OB1= 13.已知函数f(x)=in(2一x),则f(f(x)的定义域为 14.梯形ABCD的两顶点A,D是直线y=x与曲线y=logx的交点，顶点B,C在曲线y= logax上，AB是一条垂直于x轴的梯形底边，AC⊥y轴，则梯形ABCD的面积为 高一数学第2页（共4页】 四、解答题{本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说阴、证明过程或演算步骤】 15.(本小题满分13分) 12月20日是澳门回归纪念日，为了增强学生们的祖国领土完整意识，某中学高一年级有 600名学生参加了相关知识测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 200名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，并整理得 到如下频率分布直方图 领率/组距 0.015 0.010 0.00 02040600160东 (1)从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率： (2)若样本中男生有一半的分数不小于60，且样本中分数不小于60的男女生人数相等，试估 计总体中男生和女生人数的比例， 16.(本小题满分15分) 已知幂函数f(x)=(m2十8m一8)x+的定义域为R. (1)求m: (2)解不等式f+)≥f(). 17.(本小题满分15分) 设函数f(x)=ax+2(x一1)8. (1)证明：曲线y■f(x)为中心对称图形； (2)若f(x)>0当且仅当x>1,求a的值. 高一数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) T宫宝★ 如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按a=(2,1)或b=(1,3)这两个方向进行，且 每次只能走一步，若某点P(x,y)可以表示为ma十b(m、n为自然数)，则称P为鸿蒙点 4b-(13) ra=2,0 (1)通过鸿蒙点(x,y)中x、y满足的关系，判断A(7,10)是否为鸿蒙点，并说明理由： (2)证明：若(x,y)是湾蒙点，则(x十5，y)也是鸿蒙点： (3)若某些鸿蒙点满足x十y=200,求在所有满足条件的鸿蒙点中，m十1最小的点及此时 加十”的值， 19.(本小题满分17分)】 已知函数f)=lg年，。>0， (1)当b=3a时： (1)求f(x)的单阔区间： (1)正数m,m满足m+2=4,m>1,证明：f(1ogn干 3一m )<1g(3a). (2②)若f代)有2个零点，证明：+>4 高一数学第4页（共4页）参考答案 高一期末质量监测·数学 说明： 一、本解答给出的解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分；如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分， 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C D A D D D 二、多选题 9 10 11 BC BD ACD 三、填空题 12.v厨1.2-2,2)14号 四、解答题 15.解：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数小于60的频率为(0.005十0.015)×20=0.4， (3分) 所以从总体的600名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.4. (5分) (2)由题意可知，样本中分数不小于60的学生人数为(0.020+0.010)×20×200=120， (8分) 所以样本中分数不小于60的男生人数为120×号=60，因为样本中男生有一半的分数不小于60，所以样 本中男生为120人，女生为200-120=80， (11分) 所以样本中男生和女生人数的比例为120：80=3：2，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人 数的比例为3：2. (13分) 16.解：(1)由幂函数的性质有m2十8m-8=1, (2分) 解得m=一9或m=1, (4分) 由f(x)的定义域为R得m+2>0,故m=1. (6分) 第1页共5页 (2)注意到f(x)=x3是增函数， (7分) 故要解的不等式即青≥ (9分) x-x+4=2x+3.x二x-4-2x2+2x-4_2(x+2)(x一D0 2x+3 2x+3 2x+3 f(x+2)(x-1)(2x十3)≤0 即 13分) 2.x+3≠0 可得xe(-©，-2U(-多，1]， (15分) 17.解：(1)令g(x)=f(x+1)-a,则g(x)=ax+2.x3,g(-x)=a(-x)+2(-x)3, (2分) 则g(x)十g(-x)=a.x十a(-x)十2x3+2(-x)3=0,g(x)为奇函数. (5分) 即f(x+1)+f(一x+1)=2a,故曲线y=f(x)为关于点(1，a)对称的中心对称图形. (7分) (2)因为f(x)>0当且仅当x>1,所以f(1)≤0→a≤0， (9分) 当a<0时，f(1)<0,当x→十oo,f(x)→+∞，因为曲线y=f(x)在R上连续，由零点存在定理，了x0> 1,f(xo)=0,与题干相悖，故a<0不成立， (14分) 当a=0时，f(x)=2(x-1)3,符合题意，故a=0. (15分) 18.解：(1)A不是鸿蒙点. (1分) 由(x,y)=m(2,1)+n(1,3)=(2m十n,m十3n),得x=2m+n,即n=x-2m. (2分) y=m十3n=m+3(x一2m)=3.x一5m.即3x一y=5m.所有鸿蒙点满足3x-y可以被5整除. (4分) 代入点A,有3×7一10=11不能被5整除，故A不是鸿蒙点. (5分) (2)由(x,y)为鸿蒙点可知，(x,y)=m十b.构造：(x十5，y)=a十b+(5,0).将(5,0)表达为a十 2p+q=5 gb的形式，有 (7分) 力+3g=0 p=3 解得 .故(x十5，y)=(m十3)a十(n一1)b.即仍为鸿蒙点. (9分) g=-1 (3)(x,y)=(2m+n,m+3n),x+y=3m+4n=200.令3m=200-4m,即m=2004n 3 (11分) 由m是整数可知，200一4n可以被3整除，即n被3整除余2.不妨设n=3k十2，k∈N, (13分) 则有m=200-4(3k十2)=192,12k=64-4k.即m十m=(64一4)十(3k+2)=66一k.为使m十n尽可 3 能小，即要求k尽可能大，且m≥0， (15分) 解不等式有k≤16.k=16时，m=0,n=50.此时点坐标为(50,150)，m十n的最小值为m十n=50.(17分) 19.解：11)此时f）=1g0=g串+ga… (1分) 2x+1 显然其单两性与g0-者相同，而g)士”，1出-2十1十气2， 4 (2分) 2x+1 第2页共5页 设1=25+1，>1g)=0)=+手-2，当长1,2)时，取1<<<2，h(g-h)=,-6+生 手=-4)+2=，-41-名)<，-41-)=0，故)在1,2)上单调遵减，8 在（一∞，0）上单调递减，即f(x)的单调递减区间为（一∞，0）， (5分) 当>2时取2<<a)-)=8-十专-4=《-)0一有)≥0，故e在2.+∞)上 S2 S1 单调递增，g(x)在(0，十∞)上单调递增，即f(x)的单调递增区间为(0，十∞). (7分) (i)注意到2十1=3二mm+1=4 4 mn+1 n十12o8m)+1' (8分) 于是21，晋十1十4 2+1+2m中可知glog:）=gogm0. 4 21g,+1 (9分) 由fx)=le[agx]知f(og）=f(og.(ma), (10分) 而4=m十2n≥2√2mn,得mn≤2，当且仅当m=2,n=1时取等号. (11分) 于是结合单调作有(log》)=og加m≤I)=lg(号a)<lg3a. (12分) (2)设1=2>0，原题等价于十b=1有两正解，即a2一t计b-1=0有两正解， t+1 (13分) 注意到a>0,由韦达定理知b1>0,即b-1>0, (14分) 而4=1-4a6-1D>0,可得a-1)<子， (15分) 而06-120下当且权当&=6-1所取等号：分>0产0书工十可得 2 ab-l +> (17分) 第3页共5页 答案详解 一、单选题 1.B【解析】由题意可知第50百分位数即中位数，易得样本数据的中位数为210十224=217，故选B, 2 2.A【解析】若a∥b,则x2=2x,解得x=2或x=0,故甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件.故选A. 3C【解标】不等式即产->0，即（一1x-6)<0.角x∈z知A=2,34i而B=d≤ 3},故A∩B={2,3.故选C. 4D【解标】由题意可得2+名-(3a+6(2+名》[10+3会+会)]≥10十6)-9，当且仅当 a=b=子时，等号成立.故选D, 5.A【解析】由题意可转化为不等式x2十a.x+2a2十a>0在R上恒成立，故△=a2-4(2a2十a)=-a(7a+ 4)<0,解得a∈(-∞，-号)U(0,十∞.故选A. 6.D【解析】因为了)满足)二/)5，所以f10)-0)>50,因为f0)>0,则/10)>50，故 x1x2 A、B错误；f(20)-f(0)>100,则f(20)>100,故C错误，D正确.故选D. 7.D【解析】先固定小蓝，则剩余8个空位，其中6个空位与小蓝不为一组，剩余空位与小蓝为一组，故不为 一组的概率p日-放选D 8.D【解析】由题，当x≤0时，f(x)=e,故f(x)在x≤0时单调递减；当x≥0时，HT>0,f(x十T)= f(x),则函数f(x)在x≥0时只可能为常函数，且常值等于f(0).故f(x十1)<f(2x)时，需分两种情况 讨论，考虑两者均在单调区间的情形：2x<x十1≤0→x≤一1；考虑两者一个在单调区间，一个在常值区间 的情形：2x<0<x+1→一1<x<0,综上，不等式f(x+1)<f(2x)的解集为(-o∞，0).故选D. 二、多选题 9.BC【解析】对于A,假设(e1十e2)∥(e1-3e2),则]入∈R使得e1十e2=入(e1-3e2)=e1一3e2,则因为 e1,e不共线得入=1且1=一3入，则入无解，故e1十e2,e1-3e2不共线可作为一组基底，故A错误；对于B, 因为e+2e,=2(2e+e:),所以(e+2e)∥(2e+e,不能作为基底，故B正确：对于C,因为3e 4e,=2(6e-8e),所以(3e-4e:)∥(6e-8e),不能作为基底，故C正确：对于D,假设(e十6e)∥ (e1十e2),则3入∈R使得e1十6e2=(e1十e2)=e1十e2,则因为e1,e不共线得λ=1且=6，则入无解， 第4页共5页 故e1十6e2,e十e2不共线可作为一组基底，故D错误.故选BC. 10.BD【解析】由x2,x均为偶函数，故函数y=f(x)一1只可能为偶函数，不可能为奇函数，故A错误； 当x>1时，x)单调递减，Vx>1,x十1>2，z十1>2，放fx)<号-ln2<0,故B正确：当x→ 十o∞，十1→0，ln(x十1)→十o∞，故f(x)→一∞，这意味着不存在这样的m使得对任意的x≠0，都满 足x)>m,故C错误：因为函数在区间（分1）上连续/(）=专-n多>0，f)=号-n2<0,由 零点存在定理，区间（号，1）上存在f(x)的零点，故D正确.故选BD. 11.ACD【解析】由方差的性质可知数据x1,x2,x3的方差与数据x1十k,x2十k,十k的方差相同.由k的 任意性，所以数据x1,x2,x3的平均数无最值，故A正确；设数据x1x2,3的平均数为x1,方差为D,数 据一x一，一的平均数为，方差为D,.即=西+十，2=0，D,=十+- 3 3 --户+(。+-》2，D,=-+(P+西》-= 3 (-x)P+(x-)P+(m一)=3D1.由D,=6,所以D,=3D=18,故B错误；不妨设m≥≥ 3 x3,所以x1一x3是数据x1,x2x3的极差.根据2(a2十b2)≥(a十b)2可得2[(x1一x2)2+(x2一x3)2]≥ (x1-x3)2,所以D1≥ 9 -),即一≤V6D=6,当且仅当x1十x=2,时取等， 6 故C正确；又a≥0，b≥0时，有a2十b2≤(a十b)2,由x1-x2≥0，x2-x3≥0，所以(x1-x2)2+（x2-x3)2 ≤一，所以D<2。,即一≥√罗=3，x=或=时取年，故D正晚.故 9 选ACD. 三、填空题 12.√/34【解析】由题意可得OB=OA+AB=(3,5),故|OB=√32+5=√34.故答案为√34. 13.(2-e,2)【解析】f(x)=ln(2-x)的定义域为(-o∞，2)，对于函数f(f(x),其外层，内层函数均需符 合定义域，故x<2,且f(x)<2,解得f(f(x)的定义域为(2-e2,2).故答案为(2一e,2). 14.是【解析】因为1og=号og,因为AB∥CD∥y轴，设A(alg:,B(x,g:),C( og:x,D(xlog,),因为A,D在直线y=kx上，所以2-88，因为ACLy轴，所以1og:1 1 x logzx 21og解得=2，=4，故A2,1D,B(2,),C4,1),D(4,2),解得梯形ABCD的面积为号故答 3 案为 第5页共5页