辽宁省铁岭市2025-2026学年高二上学期期末质量监测数学试题

参考答案 高二期末质量监测·数学 说明： 、 本解答给出的解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分；如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、单选题 1 2 3 5 6 8 B C C D C B D A 二、多选题 9 10 11 ACD ABD AC 三、填空题 12.013.3614.50 四、解答题 15.解：(1)设事件A表示“A员工完成工作”，事件B表示“B员工完成工作”， 由题意可知P(A)=0.5,P(B)=0.8. (1分) 因为A,B两位员工必定至少有一位完成工作，即事件AUB为必然事件，所以P(AUB)=1. (2分) 根据概率的加法公式，P(AUB)=P(A)+P(B)一P(AB),解得P(AB)=0.3. (4分) 所以A,B两位员工均能完成工作的概率为0.3. (5分) (2)由(1)可得P(AB)=0.3, (6分) 且P(A)P(B)=0.4. (7分) 由于P(AB)≠P(A)P(B), (9分) 故事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立. (10分) (3)所求概率为条件概率P(AB). 则由条件概率公式，P(AB)=PCAB-3 P(B)8· (12分) 第1页共7页 故在B员工完成工作的前提下，A员工也完成工作的概率为冬 (13分) 16.解：(1)由平面几何知识知FA⊥FB, (1分) 由AC⊥平面FAB,FBC平面FAB知FB⊥AC, (2分) 由FA∩AC=A,FAC平面FAC,ACC平面FAC知FB⊥平面FAC, (4分) 由FBC平面FBD得平面FAC⊥平面FBD. (6分) (2)取AB中点O,以O为坐标原点，垂直于平面ABDC的方向为x轴正方向，OB的方向为y轴正方向， AC的方向为之轴正方向，建立空间直角坐标系Oxy之， (8分) 不纺设AF=2.则A0,-2,0).C0,-2.4.D0,24,F5,-1.0)E(,0）则A正=(，， 0),CD=(0,4,0),CF=(W5,1,-4), (10分) 记平面FCD的法向量为n=(x,y,z), [n·CD=04y=0 ,即 n.CF=0 3x+y-4*=0 可取n=(4,0W3) (12分) 记直线AE与平面FCD所成角为0， 13分) 则sing=1A它·nl 2√5 2√3_2√399 (14分) AEn √++ w19X7 133 故直线AE与平面FCD所成角的正弦值为2Y390 133 (15分) 1,解：1显然号=寸p=1, (1分) E:y2=2.x. (2分) (2)不妨设lo:x=my+n,P(x1y),Q(x2,y）, x=my十n 联立 有y2-2my-2n=0, (4分) y2=2z △=(-2m)2+8n=4(m2+2n)>0, 此时y1+y2=2m,y1y2=一2n, (5分) 故PQ=√1+m√(y十y2)2-4yMy2=√1十m√4m2+8n=1, (7分) 第2页共7页 即(1+m2)(4m2十8n)=1. 当PQ斜率k=1=1时，m=1, m 于是2(4+8m)=1,解得n=一16： 7 (9分) 故交点坐标为（一60）： (10分) (3)求最大值不妨考虑n>0. 注意到8n=1十m 1 一4m2≤1，当且仅当m=0时，等号成立， (12分) 1 此时n=g,lo:x=8 (13分) 注意到此时F到PQ的距离d=?日=受， (14分) 放△PQr的面积S-PQd-是 (15分) 18,解：(1)记事件A,:抽到n次黑球，易知抽到黑球次数服从二项分布B(m,专)， (2分) 于是P(A)=C(号)()=()， (4分) PA.)G(告)'(g)=5., (5分) 故所求概率p=1-P(A,)-P(A,1)=1-4十5m·4 (6分) (2)(ⅰ)事实上，只需考虑前三次抽球， 记事件M:第二次抽到灰球且第三次抽到黑球， V:第一次抽到白球，N2:第一次抽到灰球，N:第一次抽到黑球， 则PMN)=××号 (8分) PMN:)-号×g×号高： (9分) (10分) 可得P(M)=P(MN)+P(MN,)+P(MN,)=3-g 7.1 (11分) (ⅱ)显然前X一1次应该抽非灰球，在此条件下，此时第X次抽到灰球的概率为 、2 2 9-(X-1)=10-X' (13分) 而前X一1次抽不到发球，对应筱率为=号X…X了二》。 9-(X-1)' (14分) 故可得第X次精到灰球的概率为X (15分) 第3页共7页 而X的取值可以是1~8，故可得分布列为 X 1 2 3 5 7 7 1 1 P 9 36 6 36 9 12 36 (17分) 19.解：(1)不妨设P(x,y),4-x=2√x-1)2+y, (2分) 化简得军+芳=1. (4分) (2)(1)T(4,0),AB斜率为0时CD过x轴上点， 不妨设laB:x=my十1， 可由平行线分线段成比例知AB∥CD, (5分) 故记lcw:x=my十n, 由条件知4-1=3(n-1),得n=2, (6分) 故lw:x=my十2，其过定点(2,0). (7分) (i)设A(x1,y1),B(x2y2),注意到(2,0)在椭圆上，不妨设D(2,0), (x=my-+2 联立 有(3m2+4)y2+12my=0, 3x2+4y2=12 可得C的纵坐标为一 12m 3m2+4' 于是1GD=m0(12m平 3m2+4 (10分) (x=my+1 联立 得(3m2+4)y2+6my-9=0, 3x2+4y2-12=0 于是十%=一3044%= 6m 9 3m2+4' 于是1AB=+m√+)P-4y=1十m√3m+4 36m2 36-12(m2+1) 3m2+4 (13分) 3m2+4 可得MN=号1AB1=8Cm 3m2+4, yiy2 -9 -1 而：，-(m+1-4Cm+1-④mX(-9)-3m×(-6m)+93m+④)4(m+' (15分) 而=于是N-4D×”》 -1 ×64(m2+1)2 k2CD x144n2n十1） ,为定值，故得证 1 (17分) (3m2+4)2 第4页共7页 答案详解 一、单选题 1.B【解析】因为离散型随机变量是可取值为有限个或可以一一列举的随机变量，对于A,车载大灯的使用 寿命X1不能一一列举，故不是离散型随机变量；对于B,从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出 数字1的次数为X2能一一列举，是离散型随机变量；对于C,某次物理实验测量所得的实验误差X,不能 一一列举，不是离散型随机变量；对于D,某培养皿上的细菌个数X4不能一一列举，故不是离散型随机变 量.故选B. 2.C【解析】依题意可得P(X=1)十P(X=0)=8P(X=0)=1,解得P(X=0)=g,故选C. 3.C【解析】注意到圆心坐标为（一1,0），而4×（一1）一3×0+4=0，故其在该直线上，于是二者相交.故 选C. 4D【解析】由a/9得a/,于是。务告解得p=宁=.故选D 5.C【解析】过点P作抛物线的准线x=-2的垂线，垂足为T,则PA+PF1=PA|+PT≥AT≥ 5,当且仅当A,P,T三点共线时，等号成立.故选C 6.B【解析】由条件得5=a·n anV4+1+71+友后T十元于是51+)=+4板+4，即4： 2+k1 2+| √6 4k十1=0，解得=2 故选B. 7D【解折】显然FC,0,A2.0.不的设1斜率为正，则1：-2-反，不防设y一一，由重 y=√5x 直得点=后侣放my=一停-，联 ,得H(1,√5)，设M(1,0),显然 y= ∠MHA=否，∠MHF=夸，故∠AHF=∠MHF-∠MHA=吾，可得an∠AHF= 3.故选D. 8.A【解析】不妨设E的半焦距为c,记右焦点为T,易知FM-受，FT=2,由定文知MT=2a- FM=号，记∠MFT=0,显然其为锐角，故由cos∠MFN=影=2coeg-1,解得cosg=是，由余弦 定理得cosg=FM?+FT2-MT全十4ca 4_-a2+2c2_17 2 FM FT 2×9×2 3ac=18,于是6a2-17ac+12c2=0,(2a 第5页共7页 300-0)=0,可得商心常e=台-号或是故选A 二、多选题 .ACD【解析】对于A,已知上的渐近线方程)y=之y=士后 土疗，山后2得A=子放A正确，对于B 瓜-苦-，当<0时，气=1，其半熊距为40及=证，长半轴长为2天，可得离心 率为=⑤ 2√一 ，放B错误，对于C此时B:苦-若-1熊距为V4什=25，由对称作不对设 F(25,0),其到蒲近线y士2=-0的距离4=后=4，故C正确，对于D.此时E茶号-1，由定义 4+1 知|PF-PF2||=2×6=12,故D正确.故选ACD. 10.ABD【解析】对于A,b=√cost十sint+1=√2，故A正确，对于B,当t=x时，a=(0,π+1，一1)， b=(一1,0,1)，此时a·b=-1,故B正确，对于C,当t=3时，a=(sin3,4,cos3),|a|= √Sin3+16十cos3=√17>4，故C错误，对于D,注意到|a=√sint+(t+1)十cost=√I+(t+1)7 >√2=|b,故a>(W2)F>√2=|b|,故D正确.故选ABD. 11.AC【解析】对于A,此时f(x)=(a.x十1)”，T。=C1(ax)×11=a.x,故A正确；对于B,下面考虑 反例.注意到m=2时，)=(++1=十+1十2+2x+子，故a=2≠2，故B错误： x 对于C,原展开式f1)=(a+b+1)”,故C正确：对于D,此时f(x)=(2026r十2026+1)°，设()= 2026x+2026+1,注意到(x)十-x)=2,故f(x)十f(-)=(x)+r(-x)=[t(）十t x x)][t(x)-t(x)t(-x)+t(-x)]=2{[t(x)+t(-x)]2-3t(x)t(-x)}=8-6t(x)[2-t(x)]= 6t(x)-12t(x)十8，而显然t(2226)>2026,可得f(2226)+f(-226)>2026>2,故D错误.故选 AC. 三、填空题 12.0【解析】由题意可知两圆的圆心坐标分别为C1(0,3),C2(4,0),两圆的半径分别为4,10，由CC2|= √/4十3=5<10一4=6，所以两圆内含，其公切线条数为0.故答案为0. 13.36【解析】不妨令小明，小红均在A组.当给A组增加一人时，B,C各有一人，此时情况数为A=6.当 剩余三人均在B,C组时，若两人在B组，一人在C组，则共3种排法，对称的，共2×3=6种，于是此时共 6十6=12种可能.而小明，小红可在A,B,C任意组，故最终总数为12×3=36种.故答案为36. 14.50【解析】设A:为从抽样后的甲批次样本中抽到i个一级品，B:为从抽样后的乙批次样本中抽到i个 一级品(i=0,1,2),X为抽到的4个零件中一级品的总数量，且P(X≥2)=0.75，则P(X<2)=0.25,故 第6页共7页 P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=P(A)P(B)+P(A:)P(B )+P(A)P(B).P(A)=CC C好 =PA)-S-9周8PR)+PR=PR)-CG=a十g)P(Bi-CG- C+2 m十2n故[D]+[a十m+D=解得a=2或a=号（合)，即a=2.此 An 时甲批次总体NA=50,样本kA=2十2=4；乙批次总体NB未知，样本B=2十n=2十2=4，根据题意，抽 样方法为按比例分层抽样，则了一念一怎代入解得N。=50.故答案为50， 第7页共7页绝密★启用前 高二期末质量监测 数学 本卷满分150分，考试时间120分仲。 女注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的) 1.下列是离散型随机变量的是 A.车载大灯的使用寿命X1 B.从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2 C.某次物理实验测量所得的实验误差X3 D.某培养皿上的细菌个数X 2.若X服从两点分布，且P(X=1)=7P(X=0),则P(X=0)= A名 B立 c D 3.直线4x一3y+4=0与圆(x+1)2+y2=1的公共点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知平面a,B的法向量分别为n1=(1,k,4),2=(p,3p,2),若a∥B,则k= A.-8+2 B.1 C.2 D.3 3p 5.已知抛物线y2=8x的焦点为F,A(3,1),点P在抛物线上，则|PA|+|PF1的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.6 6.已知直线L的方向向量为a=(2,1,1),平面a的法向量为n=(1,0,k),若L与a所成角的正弦 值为 60,则= A是 B号 C.2 D.4 高二数学第1页（共4页) 7已如双曲线E号-能-1的有瓶点为P,有顶胤为Λ一条衡近线为1，过点P作1的善线，垂 足为H,则tan∠AHF A司 B名 c. D. 3 ⑧已知椭圆E:号+芳=1(a>6>0)的左焦点为P.以F为圆心，号为半径的圆与E交于M,N 两点，若cos∠MN-影则E的离心率为 A号或是 B.或号 c或 D,各或号 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知双曲线E:x2一λy2=k(λ>0，k≠0)的渐近线方程为y=士2x,其焦点分别为F,,F2,点P 在E上，则 A=是 B.E的离心率为√⑤ C.当=4时，F1到渐近线的距离为4 D.当k=-9时，川PF|-|PF21=12 10.已知空间向量a=(sint,t十1，cost),b=(cost,sint,1),>0,则 A|b|=√2 B.当t=π时，a·b=一1 C..a<4 D.a>b 1.已知函数f(x)=(ax++1)”,其展开式中x项的系数为a,则 A.当b=0时，an=an B.当a=b=1时，an=n2 C.其展开式中所有项的系数之和为(a十b十1)” D.当n=3,a=b=2026时，f(22026)+f(-22o26)=2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.圆C1:x2+(y一3)2=16与圆C2:(x一4)2+y2=100的公切线条数为 13.将小明，小红等5人分成A,B,C三组，要求小明与小红一组，且每组至少有一人，则不同的分 法总数为 14.某工厂有甲、乙两个批次零件，某次破坏性检查中按比例分层抽样的结果如下：批次甲共50 个零件，抽样后的一级品与二级品各2个；批次乙抽样后的一级品为2个，二级品数量未知、 (两个批次的零件只有一级品和二级品)若在复查过程中，从甲、乙两个抽样后的批次中各随 机抽取2个零件进行检测，且至少检测到2个一级品的概率为0.75，则批次乙的总零件个数 为 高二数学第2页（共4页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程成演算步骤） 15.(本小题满分18分) 莱公司招募了A、B两位员工完成对应工作，且A,B两位员工必定至少有一位完成工作.已 知A员工完成工作的概率为0.5，B员工完成工作的概率为0.8. (1)求A,B两位员工均能完成工作的概率： (2)证明：事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立： (3)求在B员工完成工作的前提下，A员工也完成工作的概率。 16.（本小题满分15分) 如图.AC,BD为圆柱的母线，AB,CD为圆柱的底面直径，点F在底面圆周上（不与A,B重 合)，E为BF中点 (1)证明：平面FAC⊥平面FBD: (2)若AB=AC=2AF,求直线AE与平面FCD所成角的正弦值. 17.（本小题满分15分) 已知抛物线E:y2=2px的焦点为F(号，0)，其上两点P,Q满足PQ=1. (I)求E的方程： (2)若PQ的斜率为1，求其与x轴的交点坐标： (3)求PQ与x轴交点横坐标的最大值，并求当取得最大值时△PQF的面积. 高二数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 现有一口袋内有4个限球，3个白球和2个灰球，这些球除舰色外完全相同，现啪机抽收球并 进行记录，次只抽我一个球， (1)若抽完球记录后放回口袋，进行n次抽取（≥3），求摸到黑球的次数不超过n一2次的 概率， (2)若抽完球记录后不放回日我， (丨)若抽完所有球时抽取结束，求第二次抽到灰球且第三次抽到黑球的概率： (Ⅱ)若当抽到灰球时抽取结束，记抽取次数为X,求X的分布列， 19.(本小题满分17分) 在直角坐标系xOy中，F(1,0),点P到l:x=4的距离为2|PF|,记P的轨迹为E. (1)求E的方程： (2)已知L与x轴交于点T,过点F的直线与E交于A,B两点，点M,N满足AT=3AM, BT=3BN,直线MN与E交于C,D两点. (I)证明：直线CD过定点； )若直线AB率存在记AT,BT,AB的组分别为k1kk,证明：，是定值 高二数学第4页（共4页）