考点08 二次函数 2026年中考数学一轮基础通关手册安徽专用

二次函数 1． 解析式求解 - 三种形式灵活选用：一般式（已知三点）、顶点式（已知顶点或最值）、交点式（已知与x轴两交点），核心方法为待定系数法，是解答题必考点。 2． 图像与性质 - 开口方向：由a的符号决定（a>0开口向上，a<0开口向下）；|a|越大，开口越小。 - 顶点与对称轴：顶点坐标，对称轴为直线，常考查顶点、对称轴与函数最值的关系。 - 增减性：结合对称轴判断，如a>0时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧反之。 - 与坐标轴交点：求与y轴交点（令x=0得(0,c)）；求与x轴交点（令y=0，解一元二次方程，判别式决定交点个数）。 3． 与方程、不等式的关联 - 与一元二次方程：抛物线与x轴交点的横坐标是方程的解；利用判断方程根的情况。 - 与一元二次不等式：根据抛物线图像高低，确定（或<0）的解集，多为选择、填空题。 4． 综合应用 - 与几何图形结合：如抛物线与三角形、四边形的存在性问题（等腰三角形、直角三角形、平行四边形等），需分类讨论。 - 实际应用：建立二次函数模型解决最值问题（如利润最大化、面积最大值），注意自变量的实际取值范围，是中考压轴题高频考法。 1．二次函数的图像与性质 一、单选题 1．二次函数的最小值是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数解析式写为，即可得出结果，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数为，且， ∴当时，二次函数的值最小为， 故选：A． 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的性质，能够熟练运用顶点式得出顶点坐标是解题关键． 利用顶点式直接得出顶点坐标即可． 【详解】解：∵顶点式的顶点为， ∴的顶点为， 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线平移的顶点变化，掌握“左加右减，上加下减”的规律是解答本题的关键． 根据抛物线平移规律，求出平移后的解析式，进而可得出平移后抛物线的顶点坐标． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度得，再向下平移2个单位长度得， ∴新顶点坐标为． 故选C． 4．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．与轴交点为 D．对称轴是直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握顶点式中、、对应的开口方向、顶点坐标、对称轴是解题的关键．根据二次函数顶点式的性质，逐一分析开口方向、顶点坐标、对称轴及轴交点，判断选项正误． 【详解】解：∵ 二次函数为， ∴ ，顶点坐标是，B正确，对称轴是直线，D错误； ∵ ， ∴ 开口向下，A错误； 当时，， ∴ 与轴交点为，C错误 故选：B． 5．已知抛物线（a为常数）与抛物线关于y轴对称，，，都是抛物线上的点，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，坐标与图形变化——轴对称，设点是抛物线上的一点，则点是抛物线上的一点，据此可得抛物线的解析式为，则可推出抛物线的开口向下，对称轴为直线，即在抛物线上的点离其对称轴越远，函数值越小，比较出三个点到直线的距离的大小即可得到答案． 【详解】解：设点是抛物线上的一点， ∵抛物线（a为常数）与抛物线关于y轴对称， ∴点是抛物线上的一点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴在抛物线上的点离其对称轴越远，函数值越小， ∵，，都是抛物线上的点，且， ∴， 故选：A． 6．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．图象在x轴上截得的线段长度为4 B．顶点坐标是 C．图象与y轴交点的坐标是 D．开口向上 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求二次函数与坐标轴的交点坐标，根据解析式可得开口方向和顶点坐标，即可判断B、D；求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可判断A、C． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，故B、D说法错误； 在中，当时，则， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为， ∴图象在x轴上截得的线段长度为，故A说法正确； 在中，当时，， ∴图象与y轴交点的坐标是，故C说法错误； 故选：A． 7．对于抛物线，下列判断正确的是（   ） A．开口向下 B．有最小值 C．与轴无交点 D．顶点坐标为 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，通过系数判断开口方向和最值，通过解方程判断与轴交点，通过顶点公式求顶点坐标，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，且 ∴ 抛物线开口向下， 故A选项正确； ∵开口向下， ∴函数有最大值，无最小值， 故B选项错误； 令，则， 解得， ∴抛物线与轴有两个交点， 故C选项错误； ∵顶点坐标公式为，且，，， ∴ ，， ∴顶点坐标为， 故D选项错误； 故选：A． 8．对于二次函数，下列描述正确的是（   ） A．其图象的顶点坐标为 B．图象与x轴有两个交点 C．当时，y有最大值为2 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；故A选项错误； ∴当时，y有最小值为2，当时，y随x的增大而增大，故C选项错误，D选项正确； 当时，，此方程无实数解， ∴图象与x轴没有交点；故B选项错误； 故选：D． 9．对于抛物线，下列说法正确的是() A．可由抛物线向左平移个单位长度得到 B．顶点坐标是 C．与轴无交点 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线顶点式性质，分析顶点坐标、开口方向、平移关系及与x轴交点情况． 【详解】解：∵抛物线为， ∴顶点坐标为，，开口向上． 对于A：向左平移个单位得，与给定抛物线不符，∴A错误． 对于B：顶点为，不是，∴B错误． 对于C：令，得，，方程有两个实数根，∴与x轴有交点，C错误． 对于D：∵开口向上，对称轴，∴当时，随的增大而增大，∴D正确． 故选：D． 10．若抛物线（m是常数）的开口向下，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟记二次函数图象开口向下对应二次项系数小于0是解决问题的关键． 根据二次函数的图象与性质，列不等式求解，即可解题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数， 解得． 故选：C． 11．已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的大小比较． 通过计算各点与函数顶点横坐标的距离，利用二次函数开口向上时距离顶点越远函数值越大的性质比较大小． 【详解】解：函数的顶点坐标为，且开口向上． 点的横坐标与顶点横坐标的距离为， 点的横坐标与顶点横坐标的距离为， 点的横坐标与顶点横坐标的距离为， ∵开口向上时，距离顶点越远，函数值越大，且， ∴． 故选：C． 12．定义运算：，例如，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算的理解与二次函数的最值求解，将新定义运算转化为二次函数并利用配方法（顶点式）分析最值是解题的关键． 根据新定义运算，将函数化为二次函数，然后化为顶点式，根据二次函数性质求最小值即可． 【详解】解：， 化为顶点式得 ， ∵，抛物线开口向上， ∴当时，有最小值，． 故选：B． 13．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则点一定是抛物线上的一个点．以上结论中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．由抛物线开口和抛物线与轴交点，对称轴，判断①，由抛物线的对称性及经过点可判断②，由抛物线对称轴为直线可得，从而判断③，由抛物线的对称性及经过点可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ∴，①正确； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， ∵抛物线过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， ∴，②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，③错误； ∵此抛物线经过点，且对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 即点不是抛物线上的一个点，④错误； 故正确的结论有1个． 故选：A． 14．如图，二次函数的图象与轴交于点，其对称轴是直线，则以下四个结论中：①；②；③当时，随的增大而增大；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 由二次函数图象与性质即可判断①②③，再由一元二次方程解的情况可以看作函数图象的交点个数判断④即可得到答案． 【详解】解：①由于抛物线的开口向下，则，故①正确； ②抛物线对称轴为直线， ，故②正确； ③抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，故③错误； ④关于的一元二次方程解的情况，可以看作抛物线与直线的交点个数， 如图所示： 抛物线与直线有两个不同的交点， 则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上所述，四个结论中正确的是①②④，共个， 故选：C． 15．二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④抛物线与x轴的另一个交点为；⑤若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为，5．上述结论中正确个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质． 根据图象可判断的符号，可判断结论①，由图象经过点可判断②，由对称轴及时的函数值即可判断③，由对称轴可判断④，由抛物线经过点和对称轴即可判断⑤． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵图象与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴， ∴①正确， ∵图象经过点， ∴， ∴②正确， 由图象可知，当时，， ∴， ∴③正确， ∵图象经过点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴④正确， 由题意可知是的一个根， ∵对称轴是， ∴另一个根为， ∴⑤正确， ∴正确的有①②③④⑤共5个． 故选：D． 16．如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴，以及一次函数的斜率与截距的意义是解题的关键． 先根据一次函数的图象确定的符号，再结合二次函数的开口方向、对称轴等性质，逐一判断选项是否符合． 【详解】解：A、二次函数开口向上，；一次函数过一、三象限，，一次函数与y轴的正半轴相交，二次函数的对称轴为，时对称轴应在轴右侧，符合，故A项可能． B、二次函数开口向上，；一次函数过二、四象限，，矛盾，故B项不可能． C、二次函数开口向上，；一次函数过二、四象限，，矛盾，故C项不可能． D、二次函数开口向下，；一次函数过二、四象限，，但二次函数的对称轴为，时对称轴应在轴左侧，而图中对称轴在轴右侧，矛盾，故D项不可能． 故选：A． 17．抛物线的图象如图所示，与x轴交于A，B两点，B点坐标为，抛物线的对称轴是直线，且与y轴的交点在，之间．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，，在该抛物线上，则； ⑤关于x的方程的两实数根分别为， 其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据所给函数图象，可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， ，，对称轴为直线， ∴，， 则．故正确． ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，两点， ∴，即， ∴．故错误． ∵抛物线经过点， ∴， 又， ∴， 即． 又， ∴， 解得．故正确． ∵抛物线开口向下， ∴到对称轴距离越大的点的纵坐标越小， ∵，，，， ∴．故错误． ∵， ∴，即， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴方程的两个根为和， ∴和 ∴，．故正确． 故选：B． 18．一次函数和二次函数（a，b，c是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数和一次函数的性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象特点是解题的关键．先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：选项：一次函数，二次函数，不符合题意； 选项：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； 选项：一次函数，二次函数，不符合题意； 选项：一次函数，；二次函数，，可得，不符合题意； 故选：． 2．二次函数的解析式求解 一、单选题 1．某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 2．用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 3．国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为m，该药品的原价是100元，两次降价后的价格是n元，则n与m关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是根据降价规律列出与的函数关系式，再结合函数性质与特殊值分析图象． 先根据降价规律列出二次函数关系式，确定其为开口向上的曲线；再代入特殊值计算得，结合选项验证，选出符合条件的图象． 【详解】解：∵药品原价为100元，平均每次降价的百分率为m， ∴第一次降价后价格：，第二次降价后价格： ∴此函数是二次函数，形式为， ∵， ∴图象是开口向上的曲线，选项B直线，对应一次函数，不符合题意； 在函数中，取特殊值，计算对应n， ， 当时，，与计算结果一致，故选项A符合题意； 当时，，但实际计算得，故选项C不符合题意； 当时，，与计算结果36不符，故选项D不符合题意；． 故选：A． 4．如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，正方形的边长为， ∴， 故选：． 5．某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查销售问题的数量关系，根据利润（售价进价）销量列函数关系式即可． 【详解】解：设该商品的销售单价为元个， 则每个某商品的利润为：元，销量为：， 则每天的利润， 故选：D． 6．如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先证明，可说明四边形是正方形，再根据勾股定理可得，则此题可解. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形. ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形. ∵， ∴. 在中，， ∴， 即. 故选：D. 7．某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 8．关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，牢记二次函数概念及“时，二次函数与x轴有2个交点”是解题的关键． 二次函数图象与x轴有两个不同的交点等价于对应方程有两个不同的实数根，需满足判别式大于零且二次项系数不为零． 【详解】∵ 函数为二次函数， ∴ . ∵ 图象与x轴有两个不同的交点， ∴ 方程 有两个不同的实数根， ∴ 判别式 ， 解得 . ∴ 且 ． 故选：D． 9．若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， 解得：或， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 10．若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 首先根据二次函数的定义，确定指数必须为2，求出m的可能值；再根据函数在时的增减性条件，判断开口方向，从而确定m的符号，得到m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数， ∴指数， 解得， ∴． 又∵当时，y随x的增大而增大， 函数为， 当时，开口向下，在时y随x增大而增大， ∴，故． 故选：C． 11．若是二次函数，则等于（    ） A． B．2 C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2且系数不为零． 【详解】解：函数是二次函数， 且． 解得． 故选：C． 12．若是关于的二次函数，则的值为（　　） A．0 B．0或3 C．3 D．0或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的函数是二次函数，据此可得，解之可得答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得，， 故选：D． 二、填空题 13．把变成一般式，它的常数项为_____． 【答案】18 【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，将二次函数表达式展开为一般形式，常数项即为． 【详解】解：， 故常数项为． 故答案为：18． 14．小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为），另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是______（写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则矩形平行于墙的一边长为，根据矩形的面积公式可求出与的函数关系式，再根据题意求出自变量的取值范围即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则矩形平行于墙的一边长为， ∴， 又由题意得，， 解得， ∴与的函数关系式为， 故答案为：． 15．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 16．西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为______________(化为一般式) 【答案】 【分析】本题考查根据题意列二次函数解析式． 根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，再化为一般式即可． 【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：． 故答案为：． 17．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 18．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 19．若函数（是常数）是二次函数，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的定义；根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，计算即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， 因此二次项系数，解得． 故答案为：． 20．若二次函数的图象经过原点，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，把代入函数解析式，结合二次函数的二次项系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴且， ∴； 故答案为：． 21．已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程综合． 根据二次函数图象与x轴只有一个公共点，判别式等于零，列方程求解，并注意二次项系数不为零． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴只有一个公共点， ∴， 解得：， ∵二次项系数， ∴， 综上所述，． 故答案为：． 22．若是关于的二次函数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的两个核心条件是解题关键． 根据二次函数的定义，未知数的最高次数为，且二次项系数不为0，列方程求解． 【详解】解：∵ 是二次函数， ∴ 且， 由得， ∴ ， 由得， ∴ ． 故答案为：． 23．若是关于x的二次函数，则________． 【答案】2或 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握好二次函数的形式是解题关键． 根据二次函数的定义，最高次项为x的二次项，计算出m的值． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，     ∴或． 故答案为：2或． 24．若关于的函数是二次函数，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，关键是应用知识点解决问题； 根据二次函数的定义，二次项系数必须不为零． 【详解】解：函数 是二次函数， 需满足二次项系数，解得 ， 故答案为 ：． 3．二次函数的最值问题 一、单选题 1．已知函数，当时，函数值随增大而减小，且对于任意的和，，相应的函数值，总满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象，掌握相关知识点是解题的关键，由函数在时函数值随增大而减小，可知；给定范围内函数值的差不超过，可得最大值与最小值的差不超过，解不等式并结合可求出的取值范围． 【详解】解：函数开口向上，对称轴为直线，且时函数值随增大而减小， ， 任意的和，，相应的函数值，总满足， 时，最大值与最小值的差不超过， 时，取到最小值， ， ，对称轴为直线， 时，取到最大值，此时， ，即， 解得， 又， ． 故选：． 2．已知：、两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点的坐标为，则二次函数（   ） A．有最大值，最大值为3 B．有最大值，最大值为 C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为3 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的性质，由M和N关于y轴对称，M在双曲线上，N在直线上，可求出，代入二次函数得，开口向下，有最大值，利用顶点公式求最值 【详解】解：∵、两点关于轴对称，点的坐标为， ∴， ∵M在上， ∴， ∵N在上， ∴， ， ∴二次函数 ∵二次项系数， ∴函数有最大值，最大值， 故选：B． 3．已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值可能是（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题．先求得抛物线对称轴，分和，两种情况进行分析，求得m的值即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时，抛物线的开口向上， ∵当时，函数值y的最小值为， ∴当时，， ∴， 解得； ②当时，抛物线的开口向下， ∵当时，函数值y的最小值为， ∴当时，， ∴， 解得：； 综上所述，或， 即m的值可能是2． 故选：C． 4．已知二次函数，该函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数m的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质． 先求出二次函数开口向上，对称轴为直线，判断出当顶点在范围内时最大值与最小值的差不可能为3，当顶点不在范围内时，分两种情况根据最大值与最小值的差3列方程求解即可． 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴为直线， 当顶点在范围内时，， ∵， ∴与对称轴的距离，即， ∴， 最大值与最小值的差， 即当顶点在范围内时最大值与最小值的差不可能为3， 当顶点不在范围内时， 当即时，此时最大值在处取得，最小值在处取得， 当时，， 当时，， ∵最大值与最小值的差为3， ∴， 即， 解得； 当时，此时最大值在处取得，最小值在处取得， 当时，， 当时，， ∵最大值与最小值的差为3， ∴， 即， 解得； 综上所述，或． 故选：A． 5．二次函数（为常数），当时，的最小值为，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题．先求得抛物线对称轴为直线，分、和，三种情况进行分析，求得m的值即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上， 当时，函数值y的最小值为， ①当时，则最小值在处， 此时， 解得，不符合题意，舍去； ②当，则最小值在处， 此时， 解得，不符合题意，舍去； ③当，则最小值在处， 此时， 解得或（不符合题意，舍去）； ∴ 常数m的值为2． 故选：C． 二、填空题 6．如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作直线于，设 ，构建辅助线和设定未知数，由线段旋转性质得出， ，通过角度关系证明 ，证明 ，得到对应边相等关系．根据矩形边长及全等三角形对应边相等，计算出、、、关于的表达式． 在中，依据勾股定理建立关于的表达式，再通过配方转化为顶点式，结合二次函数性质求出的最小值． 【详解】如图，过点作直线于， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 设长为，在矩形中，，， ，， ，， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质、三角形全等判定及性质、勾股定理和二次函数求最值 ，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用相关性质建立线段长度表达式并求其最小值． 7．如图，平面直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一个动点，将线段绕点P逆时针旋转，点A的对应点为Q， （1）若点P的坐标为，则点Q的坐标为_____； （2）在点P运动过程中，线段BQ的最小值是_____． 【答案】 【分析】（1）过点 Q 作轴于点C，轴于点 D，证明，可得，，即点Q的坐标为； （2）与（1）同理证明，设，可得，表示出，利用配方法求出的最小值即可． 【详解】解：（1）如图，过点 Q 作轴于点C，轴于点 D， 由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 则 即点Q的坐标为； 故答案为：． （2）与（1）同理证明， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最小值， ∴（负值已舍去） ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，坐标与图形性质，勾股定理的应用，配方法的应用，作出合适的辅助线，设出点P坐标，能够表示出点Q的坐标是解题的关键． 8．已知二次函数，点A在该图像的第一象限上，若过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点B，C，则的最大值为________． 【答案】 8 【分析】此题考查二次函数的性质，二次函数的最大值，设点的坐标为，其中，由垂线性质可得，，则，代入抛物线解析式，得到，通过求二次函数的最大值即可求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值， 则的最大值为． 故答案为：8． 9．如图，在直线上方的双曲线上有一个动点P，过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，连接，则面积的最大值是_____． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，设，则，将三角形面积用代数式形式表达出来，再根据二次函数最值解得出来即可． 【详解】解：设，则， 线段， ， ，二次函数开口向下，有最大值， 当时，有最大值，最大值：3． 故答案为：3． 10．如图所示：抛物线的对称轴为直线，最小值为，且经过点，下列结论：①；②；③；④点，在抛物线上，则；⑤关于一元二次方程没有实数根．其中正确结论有_____． 【答案】①②③④⑤ 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，比较函数值的大小，二次函数与一元二次方程的问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据对称轴为直线，最小值为，以及把代入，求出，则，，即，，运用二次函数的性质进行分析，得点，在抛物线上，则；再结合二次函数最小值为，得出关于一元二次方程没有实数根，即可作答． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，最小值为， ∴抛物线的顶点坐标为 则设抛物线的解析式为， 依题意，把代入，得， 解得， ∴， ∴； ∴， 故①是符合题意的； 由，得， ∵， ∴， 故②是符合题意的； 则， 故③是符合题意的； ∵的，且对称轴为直线 ∴开口方向向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵点，在抛物线上，且 ∴， 故④是符合题意的； ∵抛物线的最小值为， ∴， ∴没有实数根． 故⑤是符合题意的； 故答案为：①②③④⑤ 11．已知二次函数在时的最大值是t，则t的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的性质 二次函数开口向下，顶点不在内，函数在上单调递减，最大值在左端点． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． 由于，函数开口向下，且在对称轴右侧， ∴函数在区间上单调递减， ∴当时，最大值是t，． 故答案为：4． 12．已知抛物线，当，抛物线的最小值为，则的值为____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的对称性和增减性，是解题的关键． 二次函数开口向上，顶点横坐标为．根据顶点与的位置关系，分三种情况讨论最小值点，并令最小值为求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为，开口向上． ∵当时，抛物线的最小值为， 当时，y随x的增大而增大， ∴，y取得最小值， ∴， 解得，不满足． 当时，，y取得最小值， ∴， 解得或，均不满足． 当时，y随x的增大而减小， ∴，y取得最小值， ∴． 解得，满足． 综上，． 故答案为：． 4．二次函数的实际应用 一、解答题 1．如图1为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高高度为．水柱落地处离池中心的水平距离为．小刚以柱形喷水装置与地面交点O为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，柱形喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度与水平距离之间的函数关系如图2． (1)求表示该抛物线的函数表达式； (2)若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确求出对应的函数表达式是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设该抛物线的函数表达式为，由题意得，该抛物线经过点，待定系数法求解析式即可求解； （2）求出时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 由题意得，该抛物线经过点，则， 解得， ∴该抛物线函数表达式为． （2）解：在中，当时，． 答：柱形喷水装置的高度为． 2．如图①，位于贵州省安顺市关岭布依族苗族自治县与黔西南州贞丰县交界处北盘江花江段、国家级景区花江大峡谷风景区上空的悬索桥——花江峡谷大桥于2025年9月28日建成通车．花江峡谷大桥主桥跨径超越贵州北盘江大桥，居山区桥梁跨径世界第一、桥梁高度居世界第一，被称为“横竖都是第一”的“世界第一高桥”．小星在国庆期间游览该大桥时，被这座宏伟壮观的大桥所吸引．他通过查找资料了解到此桥的相关信息由图②所示：该桥缆索形状近似于抛物线，它的最低点是点P；两端的索塔高度相同，即，且两个索塔均与桥面垂直；主桥的跨径约为，它的中点是点Q，，且；缆索与主桥之间通过200多根垂直于桥面的吊杆连接（如吊杆）．现以O为原点，桥面所在直线为x轴，索塔所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请你根据相关数据帮助小星解决以下问题： (1)求缆索所在抛物线的解析式； (2)花江峡谷大桥作为贵州“桥旅融合”3.0版本的代表作，大桥中间建有水幕灯光秀设备，能实现“光影魔术”吸引游客． ①已知该桥的吊杆上装有与吊杆等长的灯带，工作人员在检修灯光设备的过程中发现在距离点Q水平距离处的两根灯带损坏，那么完成更换工作需要准备多长的灯带？ ②若点Q处设有一颗激光射灯，该射灯光线恰好经过索塔的顶端点B，求缆索与该光线的最大竖直距离． 【答案】(1)； (2)①完成更换工作需要准备46米的灯带；②缆索与该光线的最大竖直距离为26米． 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是列出二次函数解析式． （1）用待定系数法求函数解析式； （2）①把代入解析式求出y的值即可； ②先求出直线的解析式，再求缆索与该光线的距离，然后由函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线顶点P的坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入抛物线得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：①当时，， ∴更换工作需要准备灯带长为（米）； 答：完成更换工作需要准备46米的灯带； ②设直线的解析式为, 把，代入解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∴缆索与该光线的竖直距离 ， ∵， ∴当时，d有最大值，最大值为． ∴缆索与该光线的最大竖直距离为26米． 3．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不低于成本价，且不高于100元． (1)直接写出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果企业要使每天的销售利润不低于4000元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元 (3)每天的销售量最少应为100件 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次不等式的应用． （1）根据销售单价与销售量的变化关系直接写出函数式即可； （2）根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出二次函数解析式，转化为顶点式，利用二次函数图象的性质进行解答即可； （3）根据题意得到，解得，即每天的销售利润不低于4000元时，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵当销售单价为100元时，销售量为50件；销售单价每降低1元，销售量增加5件， ∴设销售单价为元，则销售量， ∵销售单价不低于成本价50元且不高于100元， ∴， ∴； （2）解：设销售利润为元， 由题意得 ， ， ∵， ∴抛物线开口向下． ∵，对称轴是直线， ∴当时，； 即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元； （3）解：∵每天的销售利润不低于4000元， ∴， 解得， 即每天的销售利润不低于4000元时， ∵销售量，y随x增大而减小， ∴当时，y最小，此时， ∴每天的销售量最少应为100件． 4．如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． (1)的长为________； (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值． 【答案】(1)7 (2) (3)6 【分析】（1）过点作于点，利用解直角三角形的计算求出，再利用勾股定理求出，最后根据计算求解，即可解题． （2）根据点运动状态，分两种情况，当时，当时，记交于点，结合正方形性质，三角形面积公式，解直角三角形计算，整理求解，即可解题． （3）根据正方形的对称中心与点重合，结合勾股定理建立方程，求出的值． 【详解】（1）解：过点作于点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：7． （2）解：当时， 四边形为正方形，， ， 则正方形与重叠部分图形的面积为； 当时，记交于点， ，， ， 解得， ， 正方形与重叠部分图形的面积为， 整理得， 综上，； （3）解：当正方形的对称中心与点重合时，如图： 有， 即， 解得或（不合题意，舍去）， 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，正方形的性质，三角形相似，勾股定理，解题的关键是添加辅助线利用数形结合的思想进行求解． 5．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即），小孔顶点N距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出大孔抛物线的解析式； (2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由； 【答案】(1) (2)该巡逻船能安全通过大孔，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）先求出顶点坐标，，再设大孔抛物线的解析式为，将点代入求解即可得； （2）求出当时，的值，与进行大小比较，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：大孔抛物线的顶点坐标，，，即，， 设大孔抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 所以大孔抛物线的解析式为． （2）解：该巡逻船能安全通过大孔，理由如下： 由（1）得：大孔抛物线的解析式为， 将代入得：， 因为， 所以该巡逻船能安全通过大孔． 6．如图1，为了丰富学生的课余生活，某校九年级组织开展跳长绳活动．如图2，假设两名摇绳的学生握绳的手A，B之间的水平距离为，当手A，B与地面的距离均为时，绳子的最高点C与地面的距离为，此时绳子的形状可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，设该抛物线表示的二次函数为．当摇绳两端握绳的手同时向上平移时，绳子整体也相应向上平移且形状不变． (1)求该抛物线表示的二次函数； (2)如果参加跳长绳活动的学生身高均为，且相邻学生站位间隔均为，除摇绳的学生外，求最多有多少名学生能同时参加跳长绳活动； (3)由于还有1名学生没能同时参加跳长绳活动，在（2）的情况下，若加入这名学生，在不改变摇绳的学生手A，B之间的水平距离和绳长的情况下，只需将手A，B同时向上平移，直接写出h的最小值（精确到0.01）． 【答案】(1) (2)最多有9名学生能同时参加跳长绳活动 (3)0.05 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）由题意并结合图象可得二次函数的顶点坐标为，二次函数的解析式为，将代入可得，计算即可得出结果； （2）在中，当时，，求得或，从而可得与轴的两交点间的水平距离为，再求出间隔数，即可得出结果； （3）抛物线上移后，解析式为，求出总水平距离为，令，则，求出水平距离为，由题意可得，求解即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， 由图象可得：二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴该抛物线表示的二次函数为； （2）解：在中，当时，， 解得：或， ∴与轴的两交点间的水平距离为， ∵相邻学生站位间隔均为， ∴间隔数为，取整数部分， ∴人数为（人）， 故最多有9名学生能同时参加跳长绳活动； （3）解：抛物线上移后，解析式为， ∵需要容纳人， ∴总水平距离为， 令，则， 解得：或， ∴水平距离为， 由题意可得：， 解得：， ∴h的最小值为． 7．某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x（元/千克） 75 80 85 90 95 周销售量y（千克） 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其它因素和费用．解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？请说明理由； (3)求公司销售这种绿茶的最大周利润是多少，此时周销售单价是多少？ 【答案】(1) (2)周销售单价定为80元，见解析 (3)这种绿茶最大周利润为1800元，此时周销售单价为90元 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用； （1）利用待定系数法求函数解析式； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据题意列二次函数求解即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，把，代入可得：， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． （2）解：由题可得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴． 即周销售单价定为80元； （3）解：设周销售利润为w元， 则：， 即当周销售单价为90元时，这种绿茶最大周利润为1800元． 8．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)直接写出该品牌头盔销售量的月增长率为_； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个．若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少20个． ①设该头盔涨价x元，则每月售出的数量是_个． ②设月销售利润为W元，则当售价应定为多少元时，每月的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)①；②售价定为元，每月的利润最大，最大为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，列代数式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）①根据题意列出代数式即可； ②表示出关于的函数关系式，再由二次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：①设该头盔涨价x元，则每月售出的数量是个． ②设月销售利润为W元， 则 ， ∵， ∴当时，此时售价定为元，每月的利润最大，最大为元． 9．综合与实践 【问题情境】：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广泛应用．当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下（忽略空气阻力），物资的运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度y与距投放点的水平距离x之间的函数表达式为．其中，h表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离（单位：米），v表示投放物资时无人机的水平初速度（单位：米/秒）． 【实践探究】：如图，1号无人机在空中以米/秒的速度向平坦地面投放物资A，2号无人机在1号无人机竖直上方100米处以米/秒的速度，投放物资B，已知1号，2号无人机及物资A，B的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系，物资A的运动路径即为抛物线，物资B的运动路径即为抛物线． 【问题解决】： (1)请结合图中相关数据，求抛物线的函数表达式； (2)请求出两物资落点间的水平距离； (3)多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题．由于实际投放需求，1，2号无人机需同时投放物资A，B，且物资落点不变，为避免A，B两物资相撞，在保持1，2号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，为使物资投放路径无交点，仅通过改变2号无人机的投放高度及水平初速度解决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，求2号无人机投放物资B的水平初速度的取值范围（两无人机不能在同一点同时投放）． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为：． (2)两物资落点间的水平距离为米． (3)号无人机投放物资的水平初速度的取值范围为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求抛物线的解析式，求抛物线与轴的交点问题，两个抛物线的交点问题等．熟练掌握待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）根据题意，列出表达式为，结合图象，根据待定系数法即可求解； （2）根据题意，求出抛物线的函数表达式，分别求出与时，的值，即可求解； （3）根据题意可得号无人机的运动路径为，根据两个抛物线无交点，得出可降低物资的投放高度，使其低于物资的投放高度，分别计算出当物资的投放高度与物资的投放高度一致，以及物资的投放高度与无人机投放物资的最低飞行高度一致，两种情况下，号无人机投放物资的水平初速度，即可求解． 【详解】（1）解：∵号无人机的速度为：， ∴， 根据图可得：时，， 代入，得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：． （2）解：根据题意可得：号无人机的速度为：，高度为：， 结合题意可得， 当时，， 解得：（负值已舍去）， 当时，， 解得：（负值已舍去）， ∵， 故两物资落点间的水平距离为米． （3）解：由（1）可得：当时，（负值已舍），故物资的落点坐标为， 由（2）得，当时，（负值已舍），故物资的落点坐标为， 将，代入，得， 整理得：， ∵， 故随的减小而增大， ∵物资，的落点不变，要使得物资，不相撞， 即两个抛物线无交点， 故可降低物资的投放高度，使其低于物资的投放高度， 当物资的投放高度与物资的投放高度一致时，即， 代入，得， 解得：（负值已舍去）， ∵无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，即， 代入，得， 解得：（负值已舍去）， ∴号无人机投放物资的水平初速度的取值范围为． 10．在疫情防控期间，各景区限量、有序开放．某旅游公司在某景区内配置了64辆观光车供游客租赁使用，为确保游客乘车安全，每天用完后对车辆内部进行清洁消毒，若每辆观光车一天内最多能出租一次．设每辆车的日租金为（元），不少于100元且是5的倍数，发现每天的营运规律如下：每天租出去的观光车（辆）与每辆车的日租金（元）之间成如下函数关系： 日租金（元） 135 115 110 105 租出去的观光车（辆） 50 58 60 62 已知所有观光车每天的管理费总计是1200元． (1)求每天租出去的观光车（辆）与每辆车的日租金（元）之间的函数关系式； (2)设每日净收入为元，请写出与之间的函数关系式；（注：净收入租车收入管理费） (3)若某日的净收入不低于5520元，则当天的观光车最多租出多少辆？ 【答案】(1) (2) (3) 56 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法即可求出（辆）与每辆车的日租金（元）之间的函数关系式； （2）根据净收入租车收入管理费可以得到与的函数关系式； （3）由题意和（2）中的条件可以求得某日的净收入不低于5520元时当天每辆车的日租金取值范围，再把最低租金代入（1）中的函数关系式即可求出当天的观光车最多租出多少辆． 本题主要考查了一元一次函数和二次函数的实际应用，正确理解题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：从表格看，（辆）与每辆车的日租金（元）之间的函数关系为一次函数，设该函数为， 将点、代入上式得， 解得， 故函数的关系式为； （2）由题意得 （不少于100元且是5的倍数）； （3）由题意得， 即， 整理得， 解得， 当时，最大为， 故某日的净收入不低于5520元，则当天的观光车最多租出56辆． 11．某贸易公司以每吨3万元的价格向葡萄种植园收购葡萄，然后分为P、K两类销售给水果批发市场．其中P类葡萄经过包装后销售给水果批发市场，包装成本为每吨1万元，销售给水果批发市场的均价y（万元/吨）与销售量x（吨）之间的函数关系为；K类葡萄要进行加工后再销售给水果批发市场，加工总费用S（万元）与加工数量t（吨）之间函数关系是，销售给水果批发市场的均价为每吨9万元．若公司销售给某水果批发市场的两类葡萄共吨，其中P类有x吨． (1)求该公司获得的利润W（万元）关于x（吨）的函数表达式，并求W的最大值； (2)当时的利润记为，时的利润记为，试比较和的大小． 【答案】(1)该公司获得的利润（万元）关于的函数表达式为，的最大值为 (2)当时，，当时，，当时， 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设类葡萄销售量为吨，类葡萄销售量为吨，分两种情况：当时；当时；分别求出表达式即可得出结果； （2）当时，，当时，，再分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解：设类葡萄销售量为吨，类葡萄销售量为吨， 当时，类葡萄的销售价格为，则类葡萄的利润为， 类葡萄的加工总费用为，则类葡萄的利润为， 因此，总利润； 当时，类葡萄的销售价格为，则类葡萄的利润为， 类葡萄的加工总费用为，则类葡萄的利润为， 因此，总利润， 当时，，这是一个二次函数，其对称轴为，则当时，取得最大值，， 当时，，这是一个一次函数，且随着的增大而减小，故当时，最大值趋近于， ∵， ∴的最大值为， 因此，该公司获得的利润（万元）关于的函数表达式为，的最大值为； （2）解：当时，， 当时，， 当时，，， ， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，， ， 当时，，即， 当时，，， ，故； 综上所述，当时，，当时，，当时，． 12．综合实践：怎样才能命中篮筐． 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)小玟初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玟此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则的取值范围是多少？ 【答案】(1)不能 (2)的值为 (3)不能，的取值范围是 【分析】本题考查二次函数的应用．应用平移规律得到平移后的抛物线的解析式是解决本题的易错点． （1）易得小玟初次投篮时抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点 P的坐标代入可得a的值，取，看对应的y的值是多少，即可判断能否命中篮筐； （2）设出向右平移后的抛物线解析式，把代入可得的值； （3）判断出运动后的抛物线解析式，取，得到y的值即可判断是否命中篮筐；判断出提高出手高度后的抛物线解析式，取，得到对应的y的值，进而根据y的取值范围得到m的值，取，得到c的值，即可判断c的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：小玟初次投篮时抛物线的顶点坐标为：， 设， 经过点， ， 解得：， ， 当时，， 时，篮球命中篮筐， 小玟初次投篮时不能命中篮筐． 故答案为：不能； （2）解：向前走了米后抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 解得：（不合题意，舍去），， 答：的值为； （3）解： 不能命中篮筐，理由如下： 由题意得：小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，抛物线的解析式为：， 当时，， 不能命中篮筐； 设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为：， 当时，， ， 解得：， 出手点的坐标为， ， ． 故答案为：不能，的取值范围是． 13．12月9日，青海省西宁市大通县第一届中小学生乒乓球联赛决赛举行，因此也带动了当地相关产品的销售．某店因此采购一批成本价为50元的乒乓球拍，物价部门规定销售单价不高于成本价的倍，在销售过程中发现日销售量y与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：．（销售单价不低于成本价） (1)当每天获得的利润为400元时，则乒乓球拍的销售单价应定为多少元？ (2)当乒乓球拍的单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)60元 (2)当销售单价定为70元时，每天获得的利润最大，最大利润为600元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据每天的利润等于每副球拍的利润乘以销售量建立方程求解即可； （2）设每天获得的利润为w元，根据每天的利润等于每副球拍的利润乘以销售量列出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得， 整理得：， 解得：，， ， ， 答：销售单价应定为60元． （2）解：设每天获得的利润为w元， 由题意得，， ， ∴当时，w随x的增大而增大， 当时，w最大，最大为（元）， 答：当销售单价定为70元时，每天获得的利润最大，最大利润为600元． 14．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴，某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台10月份的水果销售量，12月份的水果销售量是． (1)若该平台10月份到12月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少? (2)某水果店以5元的单价进了一批水果，若售价为10元，每天能销售为了尽快减少库存，决定降价销售，市场调查发现，售价每降价0.1元，每天可多售出． ①水果的售价为多少元时，每天可获利润为1600元? ②水果的售价定为多少元时，每天获得利润为最大? 【答案】(1)该平台月份到月份销售的月平均增长率是； (2)①水果的售价为7元或9元时，每天可获利润为1600元；②售价定为元时，每天可获得利润为最大． 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数表达式是解题的关键． （1）设月平均增长率是，利用月份的水果销售量月份的水果销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设售价降低元，利润为，则水果的销售利润为元，每天的销售量为，函数关系式，当时，代入计算即可求解；②利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率是， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 故该平台月份到月份销售的月平均增长率是； （2）解：①设售价降低元，利润为， 则水果的销售利润为元，每天的销售量为， ∴， 当时，， 解得或， ，， 答：水果的售价为7元或9元时，每天可获利润为1600元； ②对于， ∵， ∴降价2元，即售价为元时，每天可获得最大利润为元． 5．二次函数与几何综合（最值、存在性问题） 一、解答题 1．已知，二次函数． (1)若该图象过点，求函数的顶点坐标； (2)当时， y的最大值是，求a的值； (3)当时，若在函数图象上，且，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) a的值为或 (3) 【分析】本题考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数图象性质，二次函数的对称性，增减性，是解题的关键． （1）把点代入中，求解即可； （2）分两种情况：和讨论，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据当时，抛物线开口向上，对称轴为直线，故函数图象上的点离对称轴越近，函数值越小，结合可知B点离对称轴的距离小于A点离对称轴的距离，A点离对称轴的距离小于C点离对称轴的距离，然后求解即可． 【详解】（1）解：把点代入中，得， 解得， ∴， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，， ∴把代入中，得， 当时， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，， ∴把代入中，得， ∴综上所述，a的值为或； （3）解：∵当时，，，在二次函数图象上， 此时抛物线开口向上，对称轴为直线， 故函数图象上的点离对称轴越近，函数值越小， ∵， ∴B点离对称轴的距离小于A点离对称轴的距离，A点离对称轴的距离小于C点离对称轴的距离， 即， 化简得， 由，两边平方得， 解得； 由，两边平方得， 解得， ∴m的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴是． (1)用含t的式子分别表示b和c； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，且点M与点N不重合． ①若，直接写出的长； ②点P在x轴上运动的过程中，的长随t的增大而增大，求t的取值范围． 【答案】(1)； (2)①2；②或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用数形结合的思想方法是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴是，抛物线经过点，即可解答； （2）①由（1）可知，抛物线为，则当时，，然后分别求得当时，抛物线和直线的对应的y的值，从而得到点M、N的坐标，即可解答；②分别求得当时，抛物线和直线的对应的y的值，从而得到点M、N的坐标，进而求得，然后求得该函数的对称轴、与x轴的交点，画出图象，利用数形结合的方法，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是， ∴， ∴； ∵抛物线经过点， ∴； （2）解：①由（1）可知，抛物线为， 当时，，且， ∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， ∴对于，令，则；对于，令，则， ∴，， ∴； ②∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， ∴对于，令，则； 对于，令，则， ∴，， ∴， 令，其对称轴为， 当时，即， 解得，， ∵， ∴的图象如图所示， 又∵M与点N不重合， ∴的长随t的增大而增大时，t的取值范围为或， 3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)点B的坐标为________，点D的坐标为________；（用含有m的代数式表示） (2)连接CD、BC． ①若CB平分，求二次函数的表达式； ②当时，若为该二次函数图象上不同两点，且，求证：． 【答案】(1)，； (2)①；②见解析 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的根与系数关系，分式的减法，解直角三角形等知识，准确计算和数形结合是关键． （1）在二次函数中，令，即可求出的坐标，将化为顶点式即可写出点的坐标； （2）①过点作，交于点，证，由（1）知，求出，由可列出关于的方程，求出的值即可； ②根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再利用分式的减法计算进行证明即可． 【详解】（1）解：在二次函数中， 当时， ∴， 当时，， ∵点在点的左侧，， ∴， ∵， ∴顶点， ∴故答案为：，； （2）①如图，过点作，交于点E， 则， 平分 由（1）知，， 解得：(舍去)， ∴二次函数的关系式为：； ②当时，二次函数， ∵为该二次函数图象上不同两点， ∴，即， ∴是一元二次方程即的两根， ∴， ∴ ∴ 4．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)设点Q是线段上的动点，作直线轴于点D，交抛物线于点E，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）求出直线解析式为，设点，则点，根据二次函数的最值求法，可求的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴点， 设直线解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设点，如图， 则点， ， ∵， 当时，有最大值，最大值为． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）把A、B的坐标代入，求出b、c即可； （2）①先求出直线的表达式为，过P作轴，交于Q，设，则，，结合，得出方程，解方程即可； ②先求出，根据与相似，且，则分两种情况讨论：当时，或，设，则或，分别解方程求出x，即可求出P的坐标；当时，过P作于H，证明，进而判断出与相似，，则或，然后同理可求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：①令，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴， 过P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意舍去），， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点在对称轴上，且与相似， ∴当时， 或， 设， 则或， 解方程，得，， ∴， ∴， 解，得，， ∴， ∴， 当时， 过P作于H， 则， 又， ∴， 又与相似， ∴与相似，， ∴或， 同理可求或， 综上：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想和添加合适的辅助线是解答类似题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线经过A，B两点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的顶点坐标； (2)过点A作轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上一动点（点P在上方），作轴交于点．当四边形的面积最大时，连接，求与直线的夹角的正切值． (3)点Q是抛物线上的动点，点R是抛物线对称轴上的动点，是否存在以A、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；Q点的坐标为或或 【分析】（1）先利用一次函数求出A、B的坐标，然后把A、B坐标代入抛物线解析式中求解即可； （2）先求出点C坐标为，设点P的坐标为，点D的坐标为．证明，则，据此求出点，再求出直线与的交点E的坐标，过点O作于点F，求出点F的坐标，再求出，的长，即可得出答案； （3）设点Q的坐标为，点R的坐标为，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：对于，当时，； 当时，， ∴， 将，代入抛物线的解析式，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为：； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 由轴可得点C的坐标为， 设点P的坐标为，则由轴可得点D的坐标为， ∵轴，轴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 当时，，此时， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 过点O作于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴点F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在； ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点Q的坐标为，点R的坐标为， 根据已知可知：，， 当为对角线时，如图所示： 根据中点坐标公式可得： ， 解得：， ∴此时点Q的坐标为，点R的坐标为； 当为对角线时，如图所示： 根据中点坐标公式可得： ， 解得：， ∴此时点Q的坐标为，点R的坐标为； 当为对角线时，如图所示： 根据中点坐标公式可得： ， 解得：， ∴此时点Q的坐标为，点R的坐标为； 综上， Q点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，中点坐标公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 7．如图（1），抛物线与x轴交于A，B两点(A在B的左边)，与y轴交于点C，连接，点P是第一象限内抛物线上的动点． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)过点P作x轴的平行线，交直线于点E． ①若，求点P的坐标； ②直接写出的最大值． (3)如图(2)，D为抛物线的顶点，过点P作的平行线交抛物线于另一点G，连接，，满足，若点M在直线上运动，求的最小值． 【答案】(1) (2)①或② (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，相似的性质和判定，解题的关键是根据相似的性质求出直线的解析式； （1）分别令，即可得解； （2）①先求出直线的解析式，设，根据列方程求解即可； ②根据求解最值即可． （3）过D作轴于H，过G作于M，过P作于N，则，设，则，设直线的解析式为，证明，可得，即可求出直线的解析式，设，求出的最小值，进而求出的最小值． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， 解得：， ， ； （2）解：①设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 设，则， 把代入得， 解得， ， ， ， 解得：或， 或； ②， ， ∴当时，有最大值，此时， 的最大值为； （3）解：过D作轴于H，过G作于M，过P作于N，则， 设，则， ， ∴设直线的解析式为， 把P代入得， 解得， ， 联立得， 整理得， 解得或， 当时，， ， ， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或或， 当时，，此时P与D重合，不符合题意， 当时，，此时G与D重合，不符合题意， ，即， 直线的解析式为， 设，则， ， 当时，取最小值，的最小值， 的最小值为． 8．如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中，． (1)求的值； (2)点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点的坐标； (3)若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连接，，求m的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）理解题意，利用待定系数法，即可作答． （2）先得，，再证明，运用，得，设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为，再分别求出的解析式为，的解析式为，整理得点，因为点为抛物线上第一象限内一点，得，解得，；，即可作答． （3）先求出，再整理得平移后的抛物线的解析式为，因为点在，则，即，故，所以是等腰三角形，再结合解直角三角函数得，代入数值计算得，再运用换元法进行整理得，解得，，求解可得． 【详解】（1）解：依题意，分别把，代入， 得， 解得． （2）解：由（1）得， 则， 令，则， ∴，， 故，， 分别过点作，，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为， 设的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴的解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 依题意，把代入， 得， 则， 即点， ∵点为抛物线上第一象限内一点，且， ∴， 整理得， ∴，； 此时的， 故，是符合题意的； 当时，则，，此时， 当时，则，，此时， 综上：或． （3）解：由（2）得，整理， ∵为抛物线的顶点， ∴， ∵平移抛物线使得新顶点为，又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连接、，．如图所示： ∴平移后的抛物线的解析式为， 把代入， 得， ∵点在， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， 则，即， ∴是等腰三角形， 过点作， ∵， ∴， 则， ∴，令， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴或， ∴（舍去）或， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点，是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方时，求面积的最大值． (3)直线与线段相交于点，当与相似时，直接写出点的横坐标___________． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)最大值为； (3)或或或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）设直线与轴交于点，如图，设，直线解析式为，则，解得，则直线解析式为，又，再通过二次函数的性质即可求解； （）由（）得抛物线解析式为，当时，，则，所以，故有，当与相似时，分两种情况，当时，即，当时，即，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线与轴交于点，如图， 设，直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为； （3）解：由（）得抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当与相似时，分两种情况， 当时，即，如图， ∴， 由题意可得，，， ∴， ∴， 由，，同理可得直线解析式为， 设， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立， 解得：或； ∴点的横坐标为或； 当时，即，如图， ∴， 由，，同理可得直线解析式为， ∴直线解析式为， 联立， 解得：或； ∴点的横坐标为或； 综上可得：点的横坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 10．如图，抛物线经过，，三点． (1)求b，c的值； (2)点P在抛物线上，当，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或， (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法先确定函数解析式，再代入相应坐标即可求解； （2）先求出P点到x轴的距离，再将坐标代入解析式即可求解； （3）先设出M点与N点坐标，利用平行四边形的对角线互相平分，设出对角线的交点，利用中点坐标关系即可求解． 【详解】（1）解:∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∴对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线经过， ∴， ∵抛物线经过， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， 设点纵坐标为m， ∵， ∴    ， ∴， 令，则， ∴或， 令，则该方程无解， ∴或， （3）解：存在，或或 设， 由（1）可知， ， 若以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形，设它们的对角线的交点为点Q 则分为以下三种情况： ，， ∴，， ∴或， 当时，，此时M点与A点重合，故不符合题意，舍去， 当时，，； ，， ∴，， ∴或， 当时，，， 当时，，； ，， ∴，， ∴或， 当时，，， 当时，，，与C点重合，故舍去； 综上可得：或或． 【点睛】本题考查了抛物线与平行四边形的判定或性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，正确确定点的坐标关系，本题涉及了分类讨论的思想方法． 11．如图1，已知二次函数的图象分别与轴、轴交于、、三点．      (1)如图2，若点为抛物线上位于第一象限的一点，且，求点的坐标； (2)若抛物线上有两动点、，且直线与轴正方向夹角的正切值为2，直线、分别与轴交于、两点，证明：为的中点； (3)如图3，若为抛物线上一动点，且，轴，点在轴上，四边形为平行四边形，求当最大时，的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据得出，，．延长并过作交于点，过作轴，根据得出，，进而可得的坐标为，求得，联立抛物线解析式，进而得出 （2）根据直线与轴正方向夹角的正切值为2，设，，，，，联立直线与抛物线解析式得出，，，，根据得出则线段，故为的中点． （3）设，，表示出，根据二次函数的性质求得当时，的取值最大，此时点坐标为，作关于轴对称点，连接、、，则，，根据四边形为平行四边形，得出 【详解】（1）由题意可得， 当时，， 当时，， 解得, ，，． ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 如图1所示，延长并过作交于点，过作轴， ∴ 由题意知，又， ， ∴， 的坐标为， 设直线的解析式为，代入， 解得： ， 联立 解得，， 或（舍）， 综上所述，点坐标为． （2）由题意可知，如图2所示． 设，，， ，， 联立解得   联立解得 联立解得 令，解得，， ， 又， ，， 又， ， 线段，故为的中点． （3）因为，且轴， ， ∴， 由题意可知． 设，， ， ， 当时，的取值最大，此时点坐标为， 如图3，作关于轴对称点，连接、、， 则，， 四边形为平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，解直角三角形，一次函数与二次函数图象交点问题，二次函数的性质，轴对称的性质求最短线段的和，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接和，当的面积为时，求点的横坐标； (3)若M为抛物线对称轴上一动点，，使得为直角三角形，请求出点M的坐标． 【答案】(1) (2)点F的横坐标是1或4 (3)满足条件的M点的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式为，再设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，根据三角形的面积建立方程，解方程即可得； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，再设点的坐标为，则可得，，的值，然后分三种情况：①，②，③，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点，，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，连接和， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高之和为， ∵的面积为， ∴， 解得或， ∴点的横坐标为1或4． （3）解：将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ①如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ②如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ③如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得或， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 13．阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”，小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请思考小明的方法解决下面问题： (1)写出函数的“旋转函数”； (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值； (3)已知函数的图象与轴交于A，B两点，与轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是，，，试证明：经过点，，的二次函数与互为“旋转函数”． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的a、b、c的值，从而得出函数解析式； （2）根据定义得出m和n的二元一次方程组，从而得出答案； （3）首先求出三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得 故解析式为：． （2）解：∵函数与互为“旋转函数”， ∴， ∴， ∴． （3）证明：当时，， ∴， 当时，， 解得：， ， 点A、B、C关于原点的对称点分别是， ∴， 设过点的二次函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， 过点的二次函数解析式为． ，，， ∵， ，，， ∵， ∴两个函数互为“旋转函数”． 14．在平面直角坐标系中，对于点和二次函数，定义点P关于该二次函数的“伴随点”为点，已知二次函数． (1)求点关于该函数的伴随点的坐标； (2)若点关于该函数的伴随点恰好落在x轴上，求t的值； (3)点M是二次函数图象上的一个动点，点N是点M关于该函数的伴随点．以线段为边向右作正方形，当正方形与抛物线有且只有三个公共点时，求点M的坐标或取值范围．（请直接写出结果） 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题主要考查二次函数图像的性质，新定义点即几何图形与二次函数图像综合问题，解题的关键是理解新定义及数形结合思想． （1）根据“伴随点”的定义直接求解； （2）根据“伴随点”的定义得到，再结合题意求解即可； （3）设，根据“伴随点”的定义得到，以线段为边向右作正方形，再数形结合分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：二次函数，则， 点关于该函数的伴随点，即； （2）解：点关于该函数的伴随点， 又点恰好落在x轴上， ， 解得，； （3）解：点M是二次函数图象上，可设， ， 令，，解得或， 二次函数与轴交于两点，则，， 当时，以线段为边向右作正方形，， 则， 又与二次函数有且只有三个公共点， 当在处时，正方形与二次函数有三个公共点, 即，解得或（舍去）； 当时， ， 又与二次函数有且只有三个公共点， 边与二次函数必有一个公共点，设为,边或有一个公共点， 由对称性知， ，即， 令，解得， 则的图像如下： 的解为， 又，则； 当时，重合，不符合题意； 当且时， 如图，正方形与抛物线至多有2个公共点，不符合题意； 综上，，． 15．如图1，抛物线经过点，，并交轴于另一点，点在第一象限的拋物线上，连接，交直线于点，连接，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求的最大值； (3)当时，点坐标为____________； (4)如图2，为直线上的一点，且，当的周长最小时，点坐标为_________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）令时，求得抛物线与x轴的交点坐标，从而可得，作轴，交于点F，证明，可得，即可知当最大时，的值最大，利用待定系数法求直线的解析式，设、，求得，即可得出当时，取最大值，从而求得结果； （3）作关于的对称点，连接,则,，证明得出,根据题意得出在上，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解； （4）过点作，且得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，作关于的对称点，连接，，则，同理可得，设直线，交于点，根据题意可得，即重合时，的周长最小，设的上方上一点，且得，进而确定点的位置，当与点重合时，满足题意，则在直线上，求得直线的解析式为，进而联立抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、， ∴把点、代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵时，，解得：，， ∴， ∴， 如图，作轴，交于点F， ∵轴， ∴, 又∵， ∴， ∴， ∵是定值， ∴当最大时，的值最大， 设直线的解析式为：， ∵点，在直线上， 把点，代入可得，，解得：， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为：，则点F的坐标为：， ∴， ∴当时，取最大值， ∴的最大值为； （3）解：如图，作关于的对称点，连接,则,， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵，则， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴在上， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴点坐标为； （4）解：∵直线的解析式为：， 过点作，且 则直线的解析式为 设， ∴，解得 ∴点 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， 作关于的对称点，连接，，则， 则， ∴的周长为 ∴当在上时，的周长最小 设直线，交于点，即重合时，的周长最小 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式 联立 解得： ∴ ∵直线的解析式为：， 设的上方上一点，且， ∴ 解得：或（舍去） ∴ ∴当与点重合时，满足题意，则在直线上 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、二次函数图象与x轴交点坐标、相似三角形的判定与性质、二次函数最值，轴对称的性质，平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数 1.解析式求解 -三种形式灵活选用：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)（已知三点）、顶点式 y=a(x-)+k(a≠0)（已知顶点或最值）、交点式y=ax-x(x-x(a≠0)（已知与x轴两 交点)，核心方法为待定系数法，是解答题必考点。 2.图像与性质 -开口方向：由a的符号决定(a>0开口向上，a<0开口向下)；a越大，开口越小。 -顶点与对称轴：顶点坐标（一会，。），对称轴为直线x=一会，常考查顶点、对称轴与函数最 值的关系。 -增减性：结合对称轴判断，如a>0时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧反之。 -与坐标轴交点：求与y轴交点（令x=0得(0，c));求与x轴交点（令y=0,解一元二次方程，判别式 △=b2-4ac决定交点个数)。 3.与方程、不等式的关联 -与一元二次方程：抛物线与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的解；利用△判断方程根的情 况。 -与一元二次不等式：根据抛物线图像高低，确定ax2+bx+c>0(或<0)的解集，多为选择、填空 题。 4.综合应用 一与几何图形结合：如抛物线与三角形、四边形的存在性问题（等腰三角形、直角三角形、平行四边形 等)，需分类讨论。 -实际应用：建立二次函数模型解决最值问题（如利润最大化、面积最大值），注意自变量的实际取值 范围，是中考压轴题高频考法。 1.二次函数的图像与性质 一、单选题 1.二次函数y=(x+3)2-2的最小值是（) A.-2 B.2 C.-3 D.3 2.抛物线y=-3(x-1)2-2的顶点坐标是（) A.(1,2 B.(1,-2 C.（-1,2) D.-1,-2 3.在平面直角坐标系x0y中，将抛物线y=2(x+1)-3向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 得到的抛物线的顶点坐标是() A.(0,-2 B.(2,-2) C.(0,-5 D.（2,-5 4.对于二次函数y=-(x-1)2+4的图象，下列说法正确的是() A.开口向上 B.顶点坐标是(1,4) C.与y轴交点为(0,4) D.对称轴是直线x=-1 5.已知抛物线L:y=-(x-1)+a(a为常数)与抛物线L'关于y轴对称，A(-2,),B(1,y2),C(2,) 都是抛物线L'上的点，则片、、的大小关系是() A.1>y2>y3 B.y1>y3>2 C.y3>y2> D.y2>y>y3 6.对于二次函数y=-(x-1)+4的图象，下列说法正确的是() A.图象在x轴上截得的线段长度为4 B.顶点坐标是-1,4 C.图象与y轴交点的坐标是(0,4) D.开口向上 7.对于抛物线y=-x2+1,下列判断正确的是（) A.开口向下 B.有最小值 C.与x轴无交点 D.顶点坐标为-1， 8.对于二次函数y=(x-1)+2,下列描述正确的是() A.其图象的顶点坐标为-1,2 B.图象与x轴有两个交点 C.当x=1时，y有最大值为2 D.当x>1时，y随x的增大而增大 9.对于抛物线y=4(x-2)-10,下列说法正确的是0 A.可由抛物线y=4x2-10向左平移2个单位长度得到 B.顶点坐标是(-2，-10 C.与x轴无交点 D.当x>2时，y随x的增大而增大 10.若抛物线y=(m-1)x2(m是常数)的开口向下，则m的取值范围是() A.m>1 B.m=1 C.m<1 D.m<-1 1.已知-〔小( 在函数y=3(x+1)2+9的图象上，则y,,的大小关系为 A.>y2>片B.y2>y>y C.y2>y3>y D.y3>>3 12.定义运算：a★b=aa+2b)-3,例如4★3=4×(4+2×3-3，则函数y=（x+1)★2的最小值为() A.-3 B.-7 C.-9 D.-21 13.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A2,m),且经过点B(5,0,其部分图象如图所示.对于此抛物线有如 下四个结论：①ac<0;②a-b+c>0;③4a+b<0;④若此抛物线经过点C(1,1,则点(4,1)一定是 抛物线y=ax2+bx+c上的一个点.以上结论中，正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点A(0,3),，其对称轴是直线x=1,则以下四个结论 中：①a<0;②2a+b=0;③当x>0时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根.正确的个数是（) x=1 A.1 B.2 C.3 D.4 15.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分如图所示，已知图象经过点(-1,0)，其对称轴为直线 x=1,下列结论：①abc<0;②a-b+c=0;③8a+c<0;④抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)；⑤ 若抛物线经过点(-3，n),则关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0(a≠0)的两根分别为-3,5.上述 结论中正确个数有() -101* A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 16.如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 () 17.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，与x轴交于A,B两点，B点坐标为4,0)，抛物线的对 称轴是直线x=1,且与y轴的交点在(0,3)，(0,4)之间.下列结论： 4 B ①abc<0; ②4a-2b+c>0; @-a-8 3 ④若点(-1y,（5,y),(2)在该抛物线上，则2<乃<乃； ⑤关于x的方程a(x-1)+bx=b-c的两实数根分别为x,=-1,x2=5 其中正确的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 18.一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中 的图象可能是() 2.二次函数的解析式求解 一、单选题 1.某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保 用药目录.如果每次降价的百分率都是x,则两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的 函数关系式是() A.y=300(1-x) B.y=300(1-x)2 C.y=300(1+x D.y=3001-x2) 2.用长为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设AB为x(单位：米)，则窗框的透光面积y(单 位：m2),关于x(单位：m)的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）() 0 B A.y=-x2+4x B.y=-3x2+8x C.y=- D.y=-x2+8x 3 3.国家决定对某药品分两次降价.若设平均每次降价的百分率为m,该药品的原价是100元，两次降价后 的价格是n元，则n与m关系的图象是() 100 100 A. B. 36 40% 1 1房 nA nA 100 C. D.50 36 18- 0 60% 1 40% 4.如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池.从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为3. 记正方形内除水池外的面积为m2,圆的半径为xm,则y关于x的函数表达式是() A.y=(x+3)2-πx2 B.y=4(x+3)2 C.y=4(x+3)2-πx2 D.y=(x+3)2 5.某商品的进货单价为30元/个，当销售单价为40元/个时，每天能卖出40个，若销售单价每上涨1元/ 个，则每天的销量就减少1个.设该商品的销售单价为x元/个，每天的利润为y元，则y与x之间的函 数关系式为() A.y=(x-30)[40-(40-x] B.y=(x-40)40-(x-40) C.y=(10+x)(40+x D.y=(x-30)[40-(x-40] 6.如图，点E,F,G,H分别在正方形ABCD边AB,BC,CD,AD上，且AE=BF=CG=DH,AB=8;设线 段AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,则y与x的函数表达式为() D G H B A.y=x2+64B.y=2x2+64 C.y=x2-16x+64D.y=2x2-16x+64 7.某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为x,如果第三季度共生产零件y 万个，那么y与x满足的函数关系式是() A.y=50(1+x)2 B.y=50+50(1+x C.y=50(1+x)+501+x2 D.y=50+50(1+x)+50(1+x) 8.关于x的二次函数y=2-3x-1的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是() a号 B<是 C会-号：0 n.>?且=0 9.若y=(2-m)x-"是二次函数，且开口向上，则m的值为（) A.3 B.-1 C.3 D.4 10.若二次函数y=mx1当x<0时，y随x的增大而增大，则m的值为() A.m=±1 B.m=1 C.m=-1 D.m≠0 11.若y=（2-ax4是二次函数，则a等于() A.±2 B.2 C.-2 D.不能确定 12.若y=(m-3)xm+3m+2是关于x的二次函数，则m的值为() A.0 B.0或3 C.3 D.0或-3 二、填空题 13.把y=(3-3x(6+x)变成一般式，它的常数项为 14.小亮爸爸想用长为80m的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为28m), 另外三边用栅栏围成.设矩形与墙垂直的一边长为xm,面积为m,则y与x的函数关系式是 (写出自变量x的取值范围) 15.建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为y平方米， 为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口 作为小门，若设AB=x米，则y关于x的函数关系式为 LLLLLLLLILLLLLLLLLLLLLLLLLLLILLL A B 16.西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元.调查发现，当销售价为120元时，平均每天 能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个.设每个宁萌公仔降价x元时，每 天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为 (化为一般式) 17.某商店从)厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价20%的情况下可以自行定价.若 每件商品售价为x元，可卖出350-10x件商品，则商店所得利润y(元)与售价x(元)的函数关系 式是，自变量x的取值范围为一· 18.某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而 销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件.若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y 与x之间的函数关系为 19.若函数y=(m-2)x2+4x-5(m是常数)是二次函数，则m的取值范围是。 20.若二次函数y=(a-1)x2+3x+a2-1的图象经过原点，则a的值为一· 21.已知二次函数y=(a-3)x2-4x+2的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是 22.若y=(m-3)xm-1是y关于x的二次函数，则m的值为 23.若y=xm+3x-2是关于x的二次函数，则m= 24.若关于x的函数y=(m-1)x2-x-2是二次函数，则m的取值范围为 3.二次函数的最值问题 一、单选题 1.已知函数y=x2-2ax+7,当x≤3时，函数值随x增大而减小，且对于任意的1≤x1≤a+2和 1≤x2≤a+2,X1,x2相应的函数值片，2总满足y,-y2≤9，则实数a的取值范围是() A.3≤a≤4 B.3≤a≤5 C.-2≤a≤3 D.-2≤a<4 2.已知：M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y= 上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐 2x 标为a,b),则二次函数y=-abx2+(a+b)x() A.有最大值，最大值为3 B。有最大值，最大值为号 C,有最小值，最小水值为号 D.有最小值，最小值为3 3.已知二次函数y=mx2-2mx(m为常数)，当-1≤x≤2时，函数值y的最小值为-2，则m的值可能是 () A.-2 B.1 C.2 D.-1 4.已知二次函数y=x-2x+ 2 ,该函数在m≤x≤m+1上的最大值与最小值的差为3，则实数m的值为 () B.3 或1±v6 C.1±V6 D.2±V6 5.二次函数y=x2-2mx(m为常数)，当1≤x≤3时，y的最小值为-4，则常数m的值为() C.2 D.±2 二、填空题 6,如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,点E是边AD上一动点，连接EC,将线段EC绕点E逆时针 旋转90°得到线段EF，连接AF，则线段AF的最小值为· D E B 7.如图，平面直角坐标系中，已知点A6,0),点B(10,0),P为y轴正半轴上一个动点，将线段PA绕点P 逆时针旋转90°，点A的对应点为Q, B (1)若点P的坐标为(0，)，则点Q的坐标为： (2)在点P运动过程中，线段BQ的最小值是 8.己知二次函数y=-x2+5x-1,点A在该图像的第一象限上，若过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足 分别为点B,C,则AB+AC的最大值为 9.如图，在直线：y=x-4上方的双曲线y=2(x>0)上有一个动点P,过点P作x轴的垂线，交直线1于 点Q,连接OP,OQ,则△POQ面积的最大值是：