专题6.1 空间向量及其线性运算（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第二册

本讲义聚焦高中数学“空间向量及其线性运算”核心知识点，从平面向量推广到空间向量，系统梳理空间向量的概念（定义、模、表示及特殊向量）、线性运算（加减、数乘及运算律）和共线向量定理（充要条件、方向向量），构建从概念到运算再到应用的递进式学习支架。 该资料以“平面到空间”的推广过程培养逻辑推理素养（数学思维），结合正方体、平行六面体等几何模型发展空间观念（数学眼光），通过即学即练、典例变式分层设计提升数学运算能力，助力学生用数学语言表达空间关系。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生回顾强化，弥补知识盲点。

专题6.1 空间向量及其线性运算 教学目标 1.了解空间向量及其线性运算由平面向空间推广的过程，掌握空间向量共线的概念及定理、空间向量的线性运算及其性质． 2.掌握空间向量的夹角的概念，空间向量的数量积的概念、性质和运算律． 3.将平面向量向空间推广的过程中，提升逻辑推理素养；在线性运算、共面向量定理的运用中提升数学运算素养． 教学重难点 1.重点 空间向量的概念、空间向量的线性运算及其运算律；空间向量共面定理的应用． 2.难点 空间向量的数量积的运用；空间向量共面定理的证明及其应用. 知识点01 空间向量的概念 空间向量的概念： (1)定义：在空间，既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量： 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫作零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 注：(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【即学即练】 1．下列说法正确的是（  ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D. 【解析】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 2．（多选）下列命题为真命题的是（  ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，则 D．空间中，，则 【答案】BC 【分析】根据题意，由空间向量的定义以及性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【解析】对于选项A，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量与的方向不一定相同，故A为假命题； 对于B选项，与的方向相同，模也相等，故=，故B为真命题， 对于C选项，向量的相等满足传递性，故C为真命题； 对于D选项，平行向量不一定具有传递性，当时，与不一定平行，故D为假命题； 故选：BC 知识点02 空间向量的线性运算 空间向量的加减法运算与数乘运算律： 空间向量 的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法 运算律 (1) 交换律：a＋b＝b＋a (2) 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa(λ∈R)仍然是一个向量，称为向量的数乘 几何定义 当a≠0 时 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a的方向相反 特别地，当λ＝0时，λa＝0，其方向是任意的；当a＝0时，λa＝0，其方向是任意的 运算律 分配律 λ(a＋b)＝λa＋λb 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 注：(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则以及三角形法则，而且满足交换律、结合律. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，仍然满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【即学即练】 1．在空间四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量加减法运算法则，逐项分析判断即可. 【解析】在空间四边形中， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C. 2．如图， 在平行六面体中， M为与的交点， N是的中点，若 则表示向量正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的加减运算法则即可表示出向量. 【解析】在平行六面体中， M为与的交点， N是的中点， 若 则 故选：A. 3.如图，正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由向量加法的三角形法则和四边形法则得和，由此即可求出结果； （2）由向量加法的三角形法则和四边形法则得和，由此即可求出结果； （3）因为，由（1），（2）可知，，由此即可求出结果. 【解析】（1）解：由向量加法的三角形法则得，， 由平行四边形法则和向量相等得，； 所以， 所以； （2）解：由向量加法的三角形法则得，， 由四边形法则和向量相等得，； 所以， 所以． （3）解： 由（1），（2）可知， ， 所以. 知识点03 共线向量定理 共线向量定理： 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 注：共线向量定理的作用： ①判定两条直线平行；②证明三点共线. ③共线向量定理的推论：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 直线的方向向量： 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. 【即学即练】 1．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（  ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【解析】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即 ， ∴，，解得． 故选：C． 2．如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【答案】共线 【分析】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断. 【解析】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 题型01 空间向量的有关概念 【典例1】下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【解析】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 类比平面向量概念的学习对空间向量的概念进行学习运用。在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合．因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 【变式1】给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【解析】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 【变式2】下列说法正确的是（  ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．若空间向量、、满足，，则． 【答案】D 【分析】根据零向量、单位向量、相等向量、共面向量的概念及性质逐项判断即可得结论. 【解析】对于A，零向量有方向，方向是任意的，故A错误； 对于B，在空间中，单位向量模长为1但方向有无数种，故单位向量不唯一，故B错误； 对于C，若两个向量不相等，则它们的方向不同或长度不相等，故C错误； 对于D，由向量相等关系可知，故D正确. 故选：D. 【变式3】（多选）．下列说法正确的有（  ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【答案】BC 【分析】根据共线向量以及单位向量的定义即可求解. 【解析】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误， 故选：BC 题型02 空间向量的加法、减法运算 【典例1】如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． 【答案】(1);(2) 【分析】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【解析】（1）； （2）； (1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【变式1】如图，在平行六面体中，（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量加减法法则计算． 【解析】由题意， 故选：C． 【变式2】已知，，，是空间中互不相同的四个点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算的运算法则直接计算. 【解析】 ， 故选：B. 【变式3】已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，图见解析;(2)，图见解析 【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可. 【解析】（1）， 向量如图所示，    （2）； 向量如图所示，    题型03 空间向量的线性运算 【典例1】如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量 表示. 【答案】；. 【分析】根据是的中点结合平行四边形法则可表示出；根据条件先表示出，根据表示出，结合线段长度关系表示出，由可求结果. 【解析】因为是的中点，所以，所以； 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 【变式1】已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的减法及线性关系计算即可. 【解析】因为分别是的中点， 所以， 则. 故选：B. 【变式2】求为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案. 【解析】原式 . 故选：B. 【变式3】在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】首先根据几何关系，转化向量再进行运算可得答案. 【解析】延长交边于点，则， 则有，， 故．    故答案为：. 【变式4】如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)； (3). 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【解析】（1）； （2）； （3）. 题型04 利用空间向量的线性运算求参 【典例1】如图，正四面体中，分别为中点，为线段上一动点，设，则（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，再利用向量的加法法则与减法法则即可求得结果. 【解析】设, 则 故, 故选：B 共线向量： 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 【变式1】如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的运算法则确定，得到答案. 【解析】， 故，，，. 故选：A. 【变式2】在四面体OABC中，，，，，N为BC的中点，若，则λ=（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算，求得，结合已知条件，即可求解. 【解析】如图所示，因为N为BC的中点，所以， 又因为，所以， 因为，所以. 故选：B. 【变式3】《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用空间向量运算即可求得正确答案. 【解析】连接，因为是的中点，所以，    因为底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形， 又因M，N分别是的中点， 所以， 则， 又因，所以可得，解得， 所以. 故选：A. 题型05 空间向量共线的判定 【典例1】如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）由已知得，由此可得答案； （2）由已知得 ，由此可得证. 【解析】解：（1）因为， ， 所以， 所以； （2） ， 又与相交于B，所以E，F，B三点共线. 共线向量定理的用途： （1）判定两条直线平行； （2）证明三点共线. 证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 ①存在实数，使成立. ②对空间任一点O，有. ③对空间任一点O，有. 注：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 【变式1】下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【解析】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 【变式2】在平行六面体中，若直线与的交点为．设，，，则下列向量中与共线的向量是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把表示出来，根据向量的数乘运算判断向量的平行. 【解析】如图： 因为. 所以与平行. 故选：D 【变式3】（多选）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法正确的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】ACD 【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可. 【解析】对于，当时，，， 所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ， 即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即， 所以点在棱上，故正确； 对于，当时， 所以，， 所以， 即，即， 所以点在线段上，故正确． 故选：． 【变式4】四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【解析】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 题型06 利用空间向量共线求参数或值 【典例1】在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量线性运算规则，用向量表示出，求出参数的值. 【解析】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 利用空间向量平行充要条件即可求得解 【变式1】若空间三点，，共线，则实数 . 【答案】5 【分析】根据三点共线，转化为向量共线，即可求解. 【解析】，， 由空间三点共线，则，即， 所以，得，. 故答案为：5 【变式2】已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（  ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【分析】利用空间向量平行充要条件即可求得实数的值. 【解析】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C. 【变式3】已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为____________ 【答案】3 【分析】根据，结合，列出方程组，求解即可. 【解析】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故答案为：3. 题型07 空间共线向量定理的推论及其应用 【典例1】已知三点共线，为直线外空间任意一点，若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用共线向量定理，可设，结合向量的减法运算，求得，利用平面向量分解的唯一性，得到，进而证得. 【解析】由三点共线，得， 即， 整理得， 又因为， 所以． 所以． 利用空间共线向量定理的推论进行证明或求参。 在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 【变式1】已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【解析】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 【变式2】已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（  ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【解析】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B. 【变式3】在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则_______ 【答案】 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【解析】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故答案为： 1．下列命题为真命题的是（　　） A.两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同； B.若空间向量、满足，则； C.在正方体中，必有； D.在空间中，单位向量唯一 【答案】C 【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果. 【解析】对于A，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，A错误； 对于B，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，B错误； 对于C，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，C正确； 对于D，在空间中，单位向量模长为1但方向有无数种，故单位向量不唯一，故D错误； 故选：C. 2．在四面体中，（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加减运算计算即可. 【解析】根据向量的加法、减法法则，得， 故选：B. 3．如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和可求关于的线性表示，由此可求结果. 【解析】因为， 所以， 所以， 故选：B. 4．如图在四面体中，分别是的中点，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【解析】连接，如下图所示：    因为为的中点，为的中点， 则， 则. 故选：D. 5．设空间四点满足，其中，则（  ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可. 【解析】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A. 6．在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（  ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算，求得结合已知条件，即可求解. 【解析】因为四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点， 所以 因为，所以，故． 故选：A 7．（多选）下列命题为真命题的是（　　） A.将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； B.在正方体中，必有； C.若空间向量满足，则； D.空间中任意两个单位向量必相等； 【答案】BC 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【解析】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故A为假命题； 对于B，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故B为真命题； 对于C，根据向量相等的定义，明显成立，故C为真命题； 对于D，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故D为假命题. 故选：BC. 8．（多选）以下关于向量的说法正确的有（  ） A．若＝，则＝ B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 C．若＝－且＝－，则= D．若与共线，与共线，则与共线 【答案】AC 【分析】根据向量的基本概念和性质即可逐项判断. 【解析】若＝，则和的大小相等，方向相同，故A正确； 将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误； 若＝－，＝－，则＝－=，故C正确； 若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误. 故选：AC. 9.（多选）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 【解析】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC. 10．化简：=______________． 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算及运算律即可求解. 【解析】原式． 故答案为： 11．正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 【答案】 【分析】由图结合空间向量加法可得答案. 【解析】如图，连接，，则其交点为E.又连接AC. 如图，可得，又. 则，，则. 故答案为：. 12．设向量不共面，已知，，若三点共线，则______________ 【答案】0 【分析】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可. 【解析】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 故答案为：0 13．如图，已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x，y，z的值.    （1）； （2）. 【答案】（1）x＝1，y＝－1，z＝1；（2）x＝，y＝，z＝1 【分析】（1）根据空间向量的线性运算算出答案即可； （2）根据空间向量的线性运算算出答案即可. 【解析】(1)因为， 又， 所以x＝1，y＝－1，z＝1. (2)因为 ， 又， 所以x＝，y＝，z＝1. 14．已知在空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，如图所示，记＝，＝，＝，试用向量，，表示向量. 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算进行求解. 【解析】解：由题意得： ＝＋＝＋＝＋ 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 空间向量及其线性运算 教学目标 1.了解空间向量及其线性运算由平面向空间推广的过程，掌握空间向量共线的概念及定理、空间向量的线性运算及其性质． 2.掌握空间向量的夹角的概念，空间向量的数量积的概念、性质和运算律． 3.将平面向量向空间推广的过程中，提升逻辑推理素养；在线性运算、共面向量定理的运用中提升数学运算素养． 教学重难点 1.重点 空间向量的概念、空间向量的线性运算及其运算律；空间向量共面定理的应用． 2.难点 空间向量的数量积的运用；空间向量共面定理的证明及其应用. 知识点01 空间向量的概念 空间向量的概念： (1)定义：在空间，既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量： 名称 定义及表示 零向量 单位向量 模为1的向量称为单位向量 共线(平行)向量 相反向量 相等向量 注：(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【即学即练】 1．下列说法正确的是（  ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 2．（多选）下列命题为真命题的是（  ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，则 D．空间中，，则 知识点02 空间向量的线性运算 空间向量的加减法运算与数乘运算律： 空间向量 的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法 运算律 (1) 交换律：a＋b＝b＋a (2) 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa(λ∈R)仍然是一个向量，称为向量的数乘 几何定义 当a≠0 时 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a的方向相反 特别地，当λ＝0时，λa＝0，其方向是任意的；当a＝0时，λa＝0，其方向是任意的 运算律 分配律 λ(a＋b)＝λa＋λb 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 注：(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则以及三角形法则，而且满足交换律、结合律. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，仍然满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【即学即练】 1．在空间四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（  ） A． B． C． D． 2．如图， 在平行六面体中， M为与的交点， N是的中点，若 则表示向量正确的是（  ） A． B． C． D． 3.如图，正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值． (1)； (2)； (3)． 知识点03 共线向量定理 共线向量定理： 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 注：共线向量定理的作用： ①判定两条直线平行；②证明三点共线. ③共线向量定理的推论：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 直线的方向向量： 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. 【即学即练】 1．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（  ） A． B． C． D．8 2．如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 题型01 空间向量的有关概念 【典例1】下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 类比平面向量概念的学习对空间向量的概念进行学习运用。在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合．因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 【变式1】给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（  ） A． B． C． D． 【变式2】下列说法正确的是（  ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．若空间向量、、满足，，则． 【变式3】（多选）．下列说法正确的有（  ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 题型02 空间向量的加法、减法运算 【典例1】如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【变式1】如图，在平行六面体中，（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，，是空间中互不相同的四个点，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 题型03 空间向量的线性运算 【典例1】如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量 表示. 【变式1】已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（  ） A． B． C． D． 【变式2】求为（  ） A． B． C． D． 【变式3】在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ． 【变式4】如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)； (3). 题型04 利用空间向量的线性运算求参 【典例1】如图，正四面体中，分别为中点，为线段上一动点，设，则（  ） A．1 B． C． D． 共线向量： 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 【变式1】如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】在四面体OABC中，，，，，N为BC的中点，若，则λ=（  ） A． B． C． D． 【变式3】《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（  ）    A． B． C． D． 题型05 空间向量共线的判定 【典例1】如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 共线向量定理的用途： （1）判定两条直线平行； （2）证明三点共线. 证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 ①存在实数，使成立. ②对空间任一点O，有. ③对空间任一点O，有. 注：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 【变式1】下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】在平行六面体中，若直线与的交点为．设，，，则下列向量中与共线的向量是（  ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法正确的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【变式4】四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 题型06 利用空间向量共线求参数或值 【典例1】在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 利用空间向量平行充要条件即可求得解 【变式1】若空间三点，，共线，则实数____________ . 【变式2】已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（  ） A． B．1 C．3 D．或3 【变式3】已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为____________ 题型07 空间共线向量定理的推论及其应用 【典例1】已知三点共线，为直线外空间任意一点，若，求证：． 利用空间共线向量定理的推论进行证明或求参。 在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 【变式1】已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（  ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【变式3】在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则_______ 1．下列命题为真命题的是（　　） A.两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同； B.若空间向量、满足，则； C.在正方体中，必有； D.在空间中，单位向量唯一 2．在四面体中，（  ） A． B． C． D． 3．如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（  ） A． B． C． D． 4．如图在四面体中，分别是的中点，则（  ）    A． B． C． D． 5．设空间四点满足，其中，则（  ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 6．在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（  ） A． B．1 C． D． 7．（多选）下列命题为真命题的是（　　） A.将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； B.在正方体中，必有； C.若空间向量满足，则； D.空间中任意两个单位向量必相等； 8．（多选）以下关于向量的说法正确的有（  ） A．若＝，则＝ B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 C．若＝－且＝－，则= D．若与共线，与共线，则与共线 9.（多选）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（  ） A． B． C． D． 10．化简：=______________． 11．正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 12．设向量不共面，已知，，若三点共线，则______________ 13．如图，已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x，y，z的值.    （1）； （2）. 14．已知在空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，如图所示，记＝，＝，＝，试用向量，，表示向量. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $