第01讲 空间向量及其线性运算（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

第01讲 空间向量及其线性运算 【苏教版】 模块一 空间向量的概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【题型1 空间向量的有关概念】 【例1】（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【变式1.1】（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【变式1.2】（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【变式1.3】（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 模块二 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 2．共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 【题型2 空间向量的加减运算】 【例2】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 空间向量的线性运算】 【例3】（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）求为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【变式3.3】（24-25高二·江苏·课后作业）如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【题型4 根据空间向量的线性运算求参数】 【例4】（24-25高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式4.2】（2025高二·陕西·专题练习）平行六面体中，若则（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二·湖南·课后作业）如图，正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值． (1)； (2)； (3)． 【题型5 空间向量共线的判定及应用】 【例5】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【变式5.2】（24-25高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【变式5.3】（24-25高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【题型6 由空间向量共线求参数或值】 【例6】（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【变式6.1】（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【变式6.2】（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6.3】（24-25高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 模块三 共面向量定理 1．共面向量定理 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 2．空间向量共面证明 (1)证明点在平面内 证明点P在平面ABC内，可以用，也可以用，若用，则必须满足x+y+z=1. (2)证明空间向量共面 ①判断三个向量共面一般用：； ②证明三线共面常用：； ③证明四点共面常用：(其中x+y+z=1). 【题型7 向量共面的判定及应用】 【例7】（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【变式7.1】（24-25高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【变式7.2】（2025高二上·全国·专题练习）已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 【变式7.3】（24-25高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【题型8 由空间向量共面求参数】 【例8】（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式8.2】（24-25高二上·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 【变式8.3】（24-25高二上·广东·期中）已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若向量，满足，则 D．若，，则 2．（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）设向量不共面，已知， 若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·重庆万州·阶段练习）以下四个命题中错误的是（    ） A．向量，，若，则 B．若空间向量、、，满足，，则 C．对于空间向量、、，满足，，则 D．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面 10．（24-25高二上·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）在空间四边形中， ． 13．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 14．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·课堂例题）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量： (1)； (2)； (3). 16．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 17．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：    (1)、、； (2)、、． 18．（24-25高二上·浙江温州·期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. 19．（24-25高二上·全国·课后作业）图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 空间向量及其线性运算 【苏教版】 模块一 空间向量的概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【题型1 空间向量的有关概念】 【例1】（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【解题思路】根据空间向量的相关概念逐一判断即可. 【解答过程】对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误； 对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误； 对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误； 对于D，与仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D正确， 故选：D. 【变式1.1】（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【解题思路】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【解答过程】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 【变式1.2】（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【解题思路】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D. 【解答过程】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 【变式1.3】（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【解答过程】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B. 模块二 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 2．共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 【题型2 空间向量的加减运算】 【例2】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用空间向量的加法运算，结合平行六面体计算即得. 【解答过程】在平行六面体中，==. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量加减法法则计算． 【解答过程】由题意， 故选：C． 【变式2.2】（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件可得出，然后根据空间向量的减法即可得解． 【解答过程】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 【变式2.3】（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先用表示，然后由向量加减法运算可得结果. 【解答过程】因为是平行四边形，所以， 所以， 所以. 故选：B. 【题型3 空间向量的线性运算】 【例3】（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据空间向量的线性运算求解即可. 【解答过程】由题意， , 故选：A. 【变式3.1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）求为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案. 【解答过程】原式 . 故选：B. 【变式3.2】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 【变式3.3】（24-25高二·江苏·课后作业）如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据向量共线，加法与减法运算求解即可； （2）根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则求解即可； （3）根据化简求值即可. 【解答过程】（1）解：因为为的重心，为边的中点， 所以 ， 所以 （2）解：因为分别为边和的中点， 所以 （3）解： . 【题型4 根据空间向量的线性运算求参数】 【例4】（24-25高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据空间向量的运算法则确定，得到答案. 【解答过程】， 故，，，. 故选：A. 【变式4.1】（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据向量加法法则，将分别用表示，再结合题意即可得解. 【解答过程】如图，， ， ，. 故选：C. 【变式4.2】（2025高二·陕西·专题练习）平行六面体中，若则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间向量加法的平行四边形法则，以及向量相等的概念，根据题意，列出等量关系，求解即可. 【解答过程】因为，又因为且等式右边的三个向量不共面， 故可得，解得， 故可得. 故选：B. 【变式4.3】（24-25高二·湖南·课后作业）如图，正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由向量加法的三角形法则和四边形法则得和，由此即可求出结果； （2）由向量加法的三角形法则和四边形法则得和，由此即可求出结果； （3）因为，由（1），（2）可知，，由此即可求出结果. 【解答过程】（1）解：由向量加法的三角形法则得，， 由平行四边形法则和向量相等得，； 所以， 所以； （2）解：由向量加法的三角形法则得，， 由四边形法则和向量相等得，； 所以， 所以． （3）解： 由（1），（2）可知， ， 所以. 【题型5 空间向量共线的判定及应用】 【例5】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【解答过程】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 【变式5.1】（24-25高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】B 【解题思路】由空间向量共线定理逐一判断即可. 【解答过程】对于，当时，，， 所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ， 即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即， 所以点在棱上，故正确； 对于，当时， 所以，， 所以， 即，即， 所以点在线段上，故正确． 故选：． 【变式5.2】（24-25高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【答案】共线. 【解题思路】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断. 【解答过程】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 【变式5.3】（24-25高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【答案】证明见解析 【解题思路】把用基底表示后证明它们共线，再由共顶点可得三点共线． 【解答过程】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线．    【题型6 由空间向量共线求参数或值】 【例6】（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解题思路】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【解答过程】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即 ， ∴，，解得． 故选：C． 【变式6.1】（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【解题思路】利用空间向量平行充要条件即可求得实数的值. 【解答过程】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C. 【变式6.2】（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案. 【解答过程】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C. 【变式6.3】（24-25高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可. 【解答过程】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 故选：A. 模块三 共面向量定理 1．共面向量定理 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 2．空间向量共面证明 (1)证明点在平面内 证明点P在平面ABC内，可以用，也可以用，若用，则必须满足x+y+z=1. (2)证明空间向量共面 ①判断三个向量共面一般用：； ②证明三线共面常用：； ③证明四点共面常用：(其中x+y+z=1). 【题型7 向量共面的判定及应用】 【例7】（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【解题思路】由空间向量共面定理的推论求解即可. 【解答过程】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 【变式7.1】（24-25高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【解题思路】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【解答过程】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C. 【变式7.2】（2025高二上·全国·专题练习）已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 【答案】(1)共面 (2)不共面 【解题思路】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解； （2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解； 【解答过程】（1）解：因为三点不共线，可得三点共面， 对于平面外的任意一点，若， 即， 又因为，根据空间向量的共面定理，可得点与共面. （2）解：因为三点不共线，可得三点共面， 对于平面外的任意一点，若，此时， 根据空间向量的共面定理，可得点与不共面． 【变式7.3】（24-25高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据空间向量线性运算进行求解； （2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面. 【解答过程】（1）四棱柱中，， 因为， 所以 ； （2）设（不为0）， ， 则共面且有公共点，则四点共面. 【题型8 由空间向量共面求参数】 【例8】（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间共面向量定理的推论得到，解得即可. 【解答过程】因为点在平面内，且， 所以，解得. 故选：D. 【变式8.1】（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项. 【解答过程】因为为空间任意一点，， 又因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 故选：C． 【变式8.2】（24-25高二上·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量共面定理列方程，解方程组即可. 【解答过程】由已知，，共面， 则可设， 即， 即，解得， 故选：D. 【变式8.3】（24-25高二上·广东·期中）已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】先利用已知条件求得，再利用均值定理即可求得的最大值. 【解答过程】由及A，B，C，D四点共面得：， 即，又，， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：B. 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若向量，满足，则 D．若，，则 【答案】D 【解题思路】根据向量的相关概念及向量的性质，逐项判断各项的正误即可. 【解答过程】对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的； 把空间中所有的单位向量移到同一起点，则终点构成一个球面，故A错误； 对于B，因为零向量的方向无法确定，规定：零向量与任意向量平行， 所以当时，与不一定平行，故B错误； 对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误； 对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确． 故选：D. 2．（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由空间向量的加减法运算的几何表示和数乘关系即可得到答案. 【解答过程】. 故选：C. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）设向量不共面，已知， 若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用三点共线得到，再使用共线向量定理即可. 【解答过程】因为三点共线，所以，则存在实数，使得， 由已知得 故 由于不共面，故解得 另解:因为向量不共面，所以， 由已知得 故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得． 故选：C. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论. 【解答过程】空间向量共面定理：， 若不共线，且共面，其充要条件是. 对A，因为，所以四点不共面； 对B，因为，所以四点不共面； 对C，由可得， 因为，所以四点不共面； 对D，由可得， 即，因为，所以四点共面. 故选：D. 5．（24-25高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据空间向量的加法法则判断． 【解答过程】由正方体，空间向量的加法法则可得． ；； ；． 故选：D． 6．（24-25高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【解答过程】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 7．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由向量减法运算可得，再根据题设及空间向量的共面定理即可求解. 【解答过程】由，可得， 所以， 当点共面时，可得，解得. 故选：A. 8．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解. 【解答过程】, 因为四点共面，所以， 注意到，从而. 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二上·重庆万州·阶段练习）以下四个命题中错误的是（    ） A．向量，，若，则 B．若空间向量、、，满足，，则 C．对于空间向量、、，满足，，则 D．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面 【答案】ABD 【解题思路】根据零向量的性质判断AB选项；根据相等向量的定义判断C选项；根据共面向量的推论判断D选项. 【解答过程】当为零向量时，满足，但是与不垂直，故A错； 当为零向量时，与不一定共线，故B错； 相等向量具有传递性，故C正确； 因为，所以不共面，故D错. 故选：ABD. 10．（24-25高二上·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 【解答过程】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC. 11．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据空间向量共面定理及其推论，对每个选项进行逐一判断，即可选择. 【解答过程】对A：，定有共面，且有公共顶点， 故四点共面，故A正确； 对B： ，， 故四点不共面，故B错误； 对C：，可得三点共线， 则四点一定共面，故C正确； 对D： ，， 故四点一定共面，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）在空间四边形中， ． 【答案】 【解题思路】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【解答过程】由题意得，. 故答案为：. 13．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 【答案】 【解题思路】根据A，B，D三点共线可得，即可得到关于的方程组，即可解出． 【解答过程】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 14．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 【答案】 【解题思路】根据空间向量共面定理列出方程组计算可得结果. 【解答过程】若，，三个向量共面，则存在实数满足， 即， 所以， 解得，，. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·课堂例题）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【解题思路】根据空间向量的线性运算依次求解即可. 【解答过程】（1）， 向量如图所示. （2）； 向量如图所示. （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示. 16．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果； （2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果. 【解答过程】（1）由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； （2）因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 17．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：    (1)、、； (2)、、． 【答案】(1)、、三点共线，证明见解析； (2)、、三点共线，证明见解析. 【解题思路】（1）用分别表示即可求解； （2）用分别表示即可求解. 【解答过程】（1） , , 所以，所以、、三点共线. （2） , , 所以，所以、、三点共线. 18．（24-25高二上·浙江温州·期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. 【答案】(1)0 (2)6 【解题思路】（1）为正的中心，利用空间向量的线性运算，把用表示，可求的值； （2）根据已知条件，把用表示，由，，，共面，可求的值. 【解答过程】（1）正四面体中，在底面内的投影为正的中心， ∴， ∴，，，∴. （2）因为，且，，， 所以，即， 因为，，，共面，所以，即. 19．（24-25高二上·全国·课后作业）图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据空间向量的基本运算求解即可； （2）根据空间向量的基本运算，证明即可. 【解答过程】（1）因为分别为的中点， 所以，． （2）因为， ， 所以，故四点共面． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $