江西省南昌大学附属学校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷

南大附中2025-2026学年度高一上学 期第一次月考数学试卷 命题人：付颖梅审题人：焦焰东 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合A={-1,0,1,2,3,4},B={x-1≤x≤ 3},则A∩B= () A.{0,1,2 B.{0,1,3 C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 【答案】D 【分析】根据交集的运算法则计算即可， 【详解】因为A={-1,0,1,2,3,4},B={x-1≤x≤3}， AnB={-1,0,1,2,3}, 故选：D 2已知e>-,则+1的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【分析】变形得到x+1>0,利用基本不等式“1”的妙用求 出最小值 【详解】由2>-1，得+1>0，则+中1=+1+ 本-1≥2+10小+-1=1， 当且仅当x+1=中，即=0时，等号成立， “红+中的最小值为1 故选：A 3.有15人参加篮球、乒乓球、羽毛球训练，参加篮球 训练的有6人，参加兵乓球训练的有9人，参加羽毛 球训练的有10人，其中只参加2种球类训练的有6 人，则3种球类训练都参加的人数为 A.2 B.4 C.7 D.3 【答案】C 【分析】根据总人数、各项训练人数、只参加2种训练的人数， 利用集合计数关系建立方程求解. 【详解】设参加1种、2种、3种球类训川练的人数分别为N、 W2、W. 由题意得总人数N+W+N=15,且NW=6,则N+W= 15-6=9. 参加各项目的人数总和为6+9+10=25 该总和中，参加1种、2种、3种训练的人数分别被计算了1 次、2次、3次，故M+2W+3%=25 将N=6代入可得N+2×6+3N=25,即N+3W=13, 欧方短化+g解得心-2N-7回1件装关 训川练都参加的人数为7人， 故选：C 4.设a,b,c为实数，且a>b>0,则下列不等式正确 的是 A ac2>bc2 1 c舟<号 D.a2<ab 【答案】C 【分析】利用特例判断A的真假，根据不等式的基本性质，判 断BCD的真假， 【详解】对A:若c=0,则ac2=bc2,故A错误 对B:因为a>b>0,两边同除以a6,可得名>女，故B错 对C:因为a>b>0,名<1<号，故C正确； a 对D:因为a>b>0,两边同乘以a,得：a2>ab,故D错 误 故选：C 5.已知0≤x≤2，则√c(2-c)的最大值为 A月 B.3 C.6 D.1 【答案】D 【分析】利用基本不等式直接求解 【详解】解法1：0≤r≤2,2-x≥0， 由基本不等式有√2-西≤√ 厂x+(2-D】7 2 =1,当且仅当 x=2-x即x=1时，等号成立， .√m(2-x)的最大值为1. 故选：D. 解法20≤x≤2，√x(2-x=√-x2+2c-1+1= √-(x-1y+1≤W1=1. 6.若集合A={xx2-4x-5≤0}，B={xax≤a3}, 且A∩B={x2≤x≤5}，则a= () A√2 B.-√2 C.+√2 D.√2或0 【答案】B 【分析】对集合B进行分类讨论，再根据两集合的交集判断可 得 【详解】A={xx2-x-5≤0}={x-1≤c≤5} 由集合B={rlax≤a,分三类情况： ①当a=0时，B={xlax≤a}=R,则AnB=A,显然不 满足A∩B={x2≤x≤5}. ②当a>0,则B={xlx≤a},如图，也不满足AnB= {x2≤x≤5}. -1 ③当a<0,则B={cx≥a2},由A∩B={2≤x≤5}，得 a2=2,即a=-√2.如图： -1a2 故选：B. 7.关于x的一元二次不等式aax2+bx十c>0的解集为 {-1<<号}，则下列不正确的是 A.a<0 B.b+c=0 C.关于x的一元二次不等式bx2+ax-c≥0的解集 为{xx=-1} D.关于x的一元二次不等式ax2+cx-b<0的解集 为{<分或> 【答案】D 【分析】由题可得ar+证+c=0的解为x=-1或x=号，a <0,然后由韦达定理可得a,b,c关系，可判断各选项正 误 【详解】因ax2+b如+c>0的解集为{1<<号}，则a< 0,故A正确： 对于B,由题可得ax2+b加+c=0的解为0=-1或x=, 由韦达定理：合=号6=号，8=一号0=一分，则 b+c=号-号=0，故B正确： 对于C,关于x的一元二次不等式bx2+aax-c≥0可化为： 号2+am+号≥0→2+2如+1≤0→(+1Y≤0=m∈ {xz=-1},故C正确； 对于D,关于x的一元二次不等式ax2+cx一b<0可化为： ar2-号-号(0=2xr2-x-1）0→(2m+1)(m-1)>0→x∈ {中<一子或>1，故D错误 故选：D. 8.若对于Vx1∈[1,2]，x2∈[m,m+1],均有c-1≥ -2x2成立，则实数m的取值范围是 A.（-00,0] B(-0,2] c[号+m D.[1,+∞) 【答案】C 【分析】将x-1≥x-2成立转化成(y=x)mn≥ (y=-+1)mx恒成立的问题，构造函数h(x)=f(x+1), 然后分类讨论，即可求出m的取值范围， 2= 【详解】由题意，在f知)=2-2m中，对称轴x=一2 1,函数在(-00,1)上单调递减，在(1，+o0)上单调递增， :对于H,2∈[m,m+1],均有f(x1+1)≥f(x2)成立， 即对于HG,x2∈[m,m+1],均有f(c+1)min=(x2-1)mn≥ f(x)max=(ax2-2x)mmx恒成立，设h(x)=f(x+1)=x2-1,则 对称租==0，圣数在〔-0.0上单调递减，在 (0,+00)上单调递增， 当m+1≤0即m≤-1时，函数h(x)在[m,m+1]上单调递 减，函数f(x)在[m,m+1]上单调递减， h()min=(m+1)-1=m2+2m,f()max=m2-2m :m2+2m≥m-2m3m=0, m≤-1 当之00，即-1<m<0时， 函数h(x)在[m,0)上单调递减，在(0，m+1)上单调递增， 函数f(x)在[m,m+1]上单调递减， ∴.h(c)min=02-1=-1,f(x)mx=m2-2m, m2-2m≤-1→m=0, -1<m<0 当e1即m=0时，mm+=0., 函数h(x)在[-2，-1]，[0,1]上单调递增，函数f(x)在 [-2,-1],[0,1]上单调递减， ∴h(x)min=02-1=-1,f(x)mx=f0)=02-0=0, ∴.h(c)mn=-l<f(c)max=0,故不符题意，舍去. 当m+m+1<1即0<m<分时， 2 函数h(x)在[m,m+1]上单调递增，h(x)min=m2-1, 函数f(x)在[m,1)上单调递减，在(1，m+1)上单调递增 f(c)max=f(m)=m2-2m, m2-1≥m2-2m ·0<m<号 →m=必， 当 m+7+1≥ m<1 即分<m<1时， 函数h(x)在[m,m+1]上单调递增，h(x)min=m2-1, 函数f(x)在[m,1)上单调递减，在(1，m+1)上单调递增， f(x)max=f(m+1)=m2-1, 此时，h(如)加n=m2-1=fs,·子<m<1符合题意 当m≥1时， 函数h(x)在[m,m+1]上单调递增，函数f(x)在[m,m+1] 上单调递增 h(ax）mn=m2-1,f(x)max=f（m+1)=m2-1, 此时，h(x)mn=m2-1=f(x)ma,∴.m≥1符合题意 综上，实数的取值范国是[分+0 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查恒成立问题，关键在 于熟练掌握二次函数不同区间的单调性，以及分类讨 论的思想，具有很强的综合性 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在 每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.使不等式x2-2x-3≥0成立的一个充分不必要条件 是 Ax≤-1 B.x<0或c>2 C.x>2 D.x<-1或x>3 【答案】A 求出不等式x2-2x-3≥0成立的一个充分必要条件，根据集 合的包含关系判断即可！ 【详解】根据一元二次不等式的解法，解x2-2x一3≥0， 可得x≤-1或c≥3， 故使x≤-1或x≥3成立的一个充分不必要条件有x≤-1，x <-1或x>3. 故选：AD. 10.已知a>0,b>0,若a+b=1,则 Ab的最大值为子 B.1+4的最小值为10 a C.a2-2b2的最大值为2 D. 名+去的最小值为8 a 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用，结 合二次函数的性质逐项分析求解即可 详解】对于A,a>0.b>0,a+b=1,则ab≤（生= },当且仅当a=0=方时取等号，A正确： 对于B,吕+吉=a+b合+吉)=5+总+号≥5+ a b 2√侣·共=9，当且仅当6=2如=号时取等号，错误， 对于C,0<b<1,a2-2b2=(1-b)2-2b2=-b2-2b+1= -(b-1)2+2<2,C错误； 对于0.&+吉-总+a-名+告+4心 b 0 b 2√公号+4=8，当组仅当0=2a=号时取等号，D四确 故选：AD 11.已知非空集合A,B同时满足以下四个条件： ①AUB={1,2,3,4,5}: ②A∩B=0; ③card(A)tA; ④card(B)tB. 注：其中card(A)、card(B)分别表示A、B中元素 的个数.如果集合A中有2个元素，则满足条件的集 合A为 () A.{1,3} B.{2,3} C.{3,4 D.{3,5} 【答案】ACD 【分析】由题意，结合交集和并集的定义，注意检验条件，可 得答案 【详解】(1)如果集合A中只有-个元素，则cad(A)=1,由 ③card(A)EA得：1生A,④card(B)任B,可得4EB,即 4∈A,可得，A={}； (2)如果集合A中有2个元素，则2庄A,可得A={1,3},{1 ,},{1,5},{3,},{3,5},{4,5},由AUB={1,2,3,4, 5},可得B中至少含3个元素，且A∩B=,可得B为三元 集，card(B)任B,可得3B,可得B={1,2,},{1,2,5} ,{1,4,5},{2,4,5}. 则A={1,3},B={2,4,5}；或A={3,},B={1,2,5}, }；或A={3,5},B={1,2,. (3)如果集合A中有3个元素，则3A,可得A={1,2,} {1,2,5},{1,4,5},{2,4,5},由AUB={1,2,3,4,5}, 可得B中至少含2个元素，且A∩B=,可得B为二元集， card(B)B,可得2任B,可得B={3,5},{3,},{1,3} 则A={1,2,,B={3,5};或A={1,2,5},B={3, 4}；或A={2,4,5},B={1,3}. 故答案为：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.已知实数x,y满足-1≤x十y≤3,4≤2x-y≤ 9,则4x+y范围是」 【答案】[2,15]. 【分析】变形知+y=2(x+y)+(2x-y),利用不等式的可加 性结合题设条件即可求如+y的范围.。 【详解】由题意，实数x,y满足-1≤c+y≤3,4≤2x-y ≤9， 令+y=m(x+y)+n(2x-y),即4如+y=(m+2m)z+ (m-n)y, 可得m十n,,解得m=2,n=1,∴.如+y=2红++ (2x-y),则-2≤2(x+y)≤6,4≤2m-y≤9， .2≤4切+y≤15. 故答案为：[2,15]： 13.已知集合A={x-2<c≤1}，集合B= {x2a-1≤x≤a+1},若A∩B=0,则实数a的取 值范围为 【答案】(-0，-3]U(1,+0) 【分析】由题意分集合B是否为空集进行讨论，结合A∩B= 心，列出相应的不等式（组），从而即可得解 【详解】集合A={x-2<x≤1}，集合B {x2a-1≤c≤a+1},且A∩B=0, 若B=,则2a-1>a+1,即a>2,此时满足A∩B=0, 即a>2满足题意； 若B≠，则2a-1≤a+1,即a≤2，此时若要使得A∩B =功 则还需2a-1>1或a+1≤-2，解得a≤-3或a>1, 注意到此时a≤2，从而此时满足题意的a的范围为a≤-3或 1<a≤2： 综上所述，实数a的取值范围为(-0，-3]U(1,+0): 故答案为：（-0，-3]U(1,+0) 14.已知m∈R,集合A={xm<x<3m-1}中的元素 恰有2个整数，则m的取值范围是 【答案】（告号]U2 【分析】分析可知集合A对应的区间长度在(1,3]之间，可得 出关于m的取值范围，然后对m的取值进行分类讨论，确定 集合A中的整数元素，可得出关于m的不等式，解之即可. 【详解】因为集合A={xm<x<3m-1}中的元素恰有两个 整数， .1<3m-1-m≤3，解得1<m≤2， 当1<m<2时，集合A中的两个整数分别为2、3， 则3<3m-1≤+，解得青<m≤号： 当m=2时，A={x2<x<5},此时，集合A中元素为整数 的只有3、4，合乎题意， 综上所述，实数m的值范围是（侍，号]U{2 故答案为：（侍，号]U2 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是根据集合中 整数元素的个数，确定集合对应区间长度的取值范 围，列出不等式求解，同时一定要注意确定集合中的 整数元素，进而对集合的左端点和右端点值进行限制 求解 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤， 15.已知集合A={x-1≤x<5},B={x2<c≤6}， 求 (1)求A∩B;(2)AUB;(3)(CRA)∩B. 【答案】(1)AnB={x2<D<5},(2)AUB= {x-1≤x≤6}；(3)(CnA)∩B={x5≤c≤6} 【分析】(1)利用并集概念求解A∩B,AUB,先求出CRA, 然后再求解(CRA)∩B即可； 【详解】(1)因为集合A={x-1≤x<5},B={x2<x≤6}， .A∩B={x2<x<5}; (2)AUB={x-1≤c≤6}： (3)又CRA={xx<-1或x≥5}，则(CRA)nB= {x5≤x≤6}. 16.设命题p:彐x∈R,-x2+2x+a>0;命题g:关 于x的不等式ax2+2ax+1>0的解集为R (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p真g假，求实数a的取值范围 【答案】(1)(-1，+0)：(2)(-1,0)U[1,+0). 【详解】(1)解：对于命题p:3x∈R,-x2+2x+a>0,则 有(-x2+2ac+a)mam>0即可， ∴.-x2+2x+a=-(x2-2x+1)+a+1=-(x-12+a+1≤a +1,.（-x2+2x+a)mae=a+1, 即a+1>0→a>-1,∴p为真时，实数a的取值范围是 (-1,+0). (2)解：命题q:关于x的不等式ax2+2ax+1>0的解集为 R时 当a=0时，f(x)=ax2+2ac+1=1>0恒成立，x∈R: 当a<0时，ax2+2ax+1>0的解集显然不为R; 当a>0时，aax2+2ax+1>0的解集为R,则△=(2a2-a =a(a-1)<0,即a∈(0,1)， 综上，不等式ax2+2ax+1>0的解集为R时，a∈[0,1)， 若命题q假，则，a∈(-0,0)U[1,+o) 又p真g发，÷份0成a≥1ae-1.0u,+m ∴实数a的取值范围是(-1,0)U[1,+o). 17.某厂家拟2025年举行某产品的促销活动，经调查测 算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年 促销费用m万元(m≥0满起x=4-nk为常 数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能 是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每 生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件 产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍 (此处每件产品年平均成本按8+162元来计算)】 (1)求k的值； (2)将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用 m万元的函数； (3)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家 的利润最大？ 【答家】12：2y=36--mm≥0：(33万元 【分析】(1)由m=0时，x=2代入即可求解： (2)由销售综合减去促销费用、成本即可求解； (3)由(2)结合基本不等式即可求解， 【详解】(1)由题意知，当m=0时，c=2(万件)， 则2=4-k,解得k=2; (2)由(1)可得x=4- 2 m+1 每件产品的销售价格为1.5×8+16（元）， 2024年的利润y=1.5x×8+16-8-16c-m=36 16 m+1-m(m≥0). (3):当m≥0时，m+1>0, “9+m+≥216=8，当且仅当m=3时等号成立 .y≤-8+37=29， 当组仅当9 :=m+1,即m=3万元时，max=29(万元) 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大 为29万元. 18.已知函数f(x)=ax2+4x十3， (1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是 {c1b<x<1},求a,b的值 (2)若a>0,求关于x的不等式f(x)>-ax-1的解 【答案】①a=-7,6=-号：2)答案见洋解 【分析】(1)根据二次函数解集的区间端点值为二次方程的根 可得a的值，再求解二次不等式可得b的值； (2)将二次不等式因式分解，对α的情况分类讨论解不等式即 可 【详解】(1)因为不等式f(x)>0的解集是{xlb<x<1}, m1=b,2=1是方程ax2+如+3=0的两个实数根，且a< 0, 将x=1代入方程中得：a+4+3=0→a=-7, 则原不等式为：-7x2+4c+3>0,即72-4如-3<0台 (x-1)(7+3)<0, 不等式的解笑为{女1-马<8<1小，从而得出6=一号， a=-7,6=-9 (2)由不等式f(x)>-ax-1得：ax2+4c+3>-ax-1台 ax2+(a+4)x+4>0, 因为a>0,∴.不等式变形得到：（ax+4)(c+1)>0, “对应方程的根为：=-吉或场=-山， ①当a=4时，即-=-1，不等式为e+1P>0, 此时不等式解集为：{lx≠-1}： ②当0<a<4时，即-<-1， 此时不等式解类为：e）-1或<》} ③当a>4时，即-±>-1， 此时不等式解集为：{)-青或x<-1: 综上所述： 当a=4时，不等式解集为：{x≠-1} 当0<a<4时，不等式解集为：{p)-1或<}： 当a>4时，不等式解集为：{xlx〉-或x<-1} 19.定义区间(m,n)、[m,n]、(m,n]、[m,n)的长度 均为n-m,其中n>m. ()不等式组1≤，≤8 ,解集构成的各区间的长 x2+3t-4<0 度和等于7，求实数t的取值范围， (2)已知实数a>b,求满足不等式1 1，≥1 x-a x-b 解集的各区间长度之和. 【答案】(-m,-9]22 【分折】由1≤1。≤8解得0≤2≤7，则不等式g)- 厂2+3tx-4<0对任意x∈[0,7]恒成立，得g7)≤0，解之 即可： (2)分类讨论当x>a或x<b、b<x<a时，结合新定义解 出对应的一元二次不等式即可。 详解】a由1≤子。≤8解得：0≤<7， 不等式组 1≤.<8 x2+3tc-4<0 解集构成的各区间的长度和等于 7, .不等式x2+3ta-4<0对任意c∈[0,7]恒成立， 令g(x)=x2+3t-4,x∈[0,7]， 则/9(0)=-450 8)=0+216-1c0解得：t≤-与， 实数的苑国为（一0,9] (2)①当x>a或x<b时，原不等式等价于x-b+x-a≥(ax -a)(x-b),整理得：x2-(a+b+2)x+(a+b+ab)≤0， f(x)=x2-(a+b+2)x+(a+b+ab), fa)=b-a<0,fb)=a-b>0,设f(x)=0的两根为 D1,x2(D1<D2), 此时原不等式的解集为(a,x2],解集的区间长度为2-a; ②当b<x<a时，同理可得原不等式的解集为(b,],此时 解集的区间长度为一b. 综合①②知：原不等式的解集的区间长度之和为x2+x-a 0y 又由韦达定理可知：c+c2=a+b+2, ∴.原不等式的解集的区间长度之和为2. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则（公式）之后，运用学 过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解 决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质 应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质， 南大附中2025-2026学年度高一上学期第一次月考数学试卷 命题人：付颖梅 审题人：焦焰东 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ 　 ） A． B． C． D． 2．已知，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．有15人参加篮球、乒乓球、羽毛球训练，参加篮球训练的有6人，参加乒乓球训练的有9人，参加羽毛球训练的有10人，其中只参加2种球类训练的有6人，则3种球类训练都参加的人数为（ 　 ） A．2 B．4 C．7 D．3 4．设，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ 　 ） A． B． C． D． 5．已知，则的最大值为（ 　 ） A． B．3 C．6 D．1 6．若集合，，且，则（ 　 ） A． B． C． D．或0 7．关于的一元二次不等式的解集为，则下列不正确的是（ 　 ） A． B． C．关于的一元二次不等式的解集为 D．关于的一元二次不等式的解集为 8．若对于，，均有成立，则实数的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．使不等式成立的一个充分不必要条件是（ 　 ） A． B．或 C． D．或 10．已知，，若，则（ 　 ） A．的最大值为 B．的最小值为10 C．的最大值为2 D．的最小值为8 11．已知非空集合，同时满足以下四个条件： ①； ②； ③； ④． 注：其中、分别表示、中元素的个数．如果集合中有2个元素，则满足条件的集合为（ 　 ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知实数，满足，，则范围是__________． 13．已知集合，集合，若，则实数的取值范围为__________． 14．已知，集合中的元素恰有2个整数，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合，，求 （1）求； （2）； （3）． 16．设命题；命题关于的不等式的解集为． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题真假，求实数的取值范围． 17．某厂家拟2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）． （1）求的值； （2）将2025年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （3）该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 18．已知函数． （1）若关于的不等式的解集是，求，的值． （2）若，求关于的不等式的解集． 19．定义区间、、、的长度均为，其中． （1）不等式组，解集构成的各区间的长度和等于，求实数的取值范围； （2）已知实数，求满足不等式解集的各区间长度之和． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $