2.7 勾股定理的常见模型 提高练习 2025-2026学年浙教版数学八年级上册

勾股定理的常见模型—2025-2026学年浙教版数学八年级上册解题模型提高练习 一、矩形翻折形成的全等模型 1．如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使边落在对角线上，折痕为，则的面积为(　　) A． B． C． D． 2．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，．点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点G，连接，则的面积的最小值为（　　） A．18－3 B． C． D． 4．如图，在矩形ABCD中，，，将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 二、蚂蚁爬行模型 5．如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（　　） A． B． C． D． 6．如图，正方体的棱长为，点为一条棱的中点．蚂蚁在正方体侧面爬行，从点爬到点的最短路程是（　　） A． B． C． D． 7．有一圆柱体如图，高，底面周长，处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到处，求蚂蚁爬行的最短距离为（　　）． A． B． C． D． 8．如图，已知圆锥的母线长为6，底面圆的半径为3，在圆锥的底面边缘上点A处有一只蚂蚁，想吃到与点A 相对的母线的中点B处的食物，这只蚂蚁从点 A 出发，沿着曲面爬到点 B，则最短路线长是　 　. 9．如图，有一个高为8cm ，底面周长为6 cm的圆柱形容器，在外壁距下沿3c m的点A处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的内壁距上沿4 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从A 处到蜂蜜 B 处所走的最短路径长为　 　. 10．如图，是一个四级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5，1.5 和1.5，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，B点上有一只蚂蚁，想到A点去觅食，则蚂蚁从 B 点出发，沿着台阶面爬到A点，最短路径长为　 　. 11． 如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高的端点A到达，若圆柱底面半径为，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 　 　． 12． 如图， 一个长方体形盒子的长为15cm， 宽为10cm， 高为20cm， 点B到点C的距离是5cm.一只蚂蚁沿盒的外表面从点A处爬到点B处，那么它爬行的最短路程是多少? 三、“赵爽弦图”模型 13． 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 14．如图一所示，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图（2）所示的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 15．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（　　） A．13 B．19 C．25 D．169 16．赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”，．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 17．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为22，小正方形的面积为2，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为　 　． 18．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积为41，小正方形的面积为1，设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，则的值为　 　． 19．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． （1）请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积． 方法1：________； 方法2：________． 根据以上信息，可以得到等式：________； （2）将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，，求图2中阴影部分的面积． （3）如图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，直角顶点重合于点，较大锐角的顶点为，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 四、“勾股数”模型 20．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，其面积分别记为，，.若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 21． 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以边AC、BC向外作正方形ACDE和正方形BFGC，连接EF、AF.若已知AB2-AC2的值，则能求出的三角形面积是（　　）. A．三角形ABF B．三角形 ACF C．三角形 AEF D．三角形 ABC 22． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，线段 BC与 BC关于AB 对称，作 GJ⊥BC于点J，FK⊥GJ于点K，连结AC并延长交FK于点L，连结EH，CC'，若CC'=4，正方形CLKJ 的面积为 5，则EH 的长为（　　） A．3 B．3 C．3 D．10 23．如图，中，，分别以为边在AB的同侧作正三角形，图中四块阴影部分的面积分别为，，，，则（　　） A． B． C． D． 24．如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（　　） A．200 B．175 C．150 D．125 25．如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形，的面积为，． （1）比较，的大小：　 　； （2）若，则的值为　 　． 26．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为　 　 27．如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系? 28．如图 ①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，它的三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：分别以两个小正方形的边为斜边，向外作一个锐角为40°的直角三角形；再分别以所得到的直角三角形的直角边为边，向直角三角形外作正方形.图②是1次操作后得到的图形. （1）试画出2次操作后得到的图形. （2）已知最初的直角三角形斜边长为1cm，写出2次操作后得到的图形中所有正方形的面积和. （3）如果一直画下去，你能想象出它的样子吗?请借助数学软件进行探索. （4）重复上述步骤若干次后得到的图形称为“毕达哥拉斯树”.如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，那么此时“毕达哥拉斯树”会是什么形状? 29．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） （2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； ②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； （3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则： ①______． ②b与c的关系为______，a与d的关系为______． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】10 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】3 9．【答案】​​​​​​​ 10．【答案】13 11．【答案】13 12．【答案】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， D+BC=10+5=15，AD=20， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在 的平面形成一个长方形，如第2个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， 在直角三角形ABC中，根据勾股定理得： ∴蚂蚁爬行的最短距离是25. 13．【答案】D 14．【答案】B 15．【答案】C 16．【答案】A 17．【答案】42 18．【答案】9 19．【答案】（1）；； （2）75 （3）24 20．【答案】B 21．【答案】B 22．【答案】C 23．【答案】D 24．【答案】B 25．【答案】； 26．【答案】55 27．【答案】解：∵由勾股定理得： 同理 28．【答案】（1）解：2次操作后的图形如图所示 . （2）解：如图，根据规律可得因为最初的直角三角形斜边长为1cm， 所以 所以 所以 所以2次操作后得到的图形中所有正方形的面积和为 （3）解：形成自相似的分型结构，正方形无限扩展，整体形状类似树状分型. （4）生成对称的树状分型，分支对称分布，整体呈现规则的几何图形. 29．【答案】（1）解：①； ②选择图1，证明过程如下： 证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和， 即， 化简，得 （2）解：①3； 证明：②结论； ， （3）①；②， 1 学科网（北京）股份有限公司 $