2.7.1 探索勾股定理 同步分层练习 2025-2026学年浙教版八年级数学上册

2025-2026学年浙教版八年级数学上册2.7.1 探索勾股定理 同步分层练习 一、夯实基础： 1．如图，在Rt中，，边BC的长是（　　） A．5 B．6 C．8 D． 2．在中，若，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　） A． B． C． D． 4．如图，三条直线互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上．已知，，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积为（　　） A．6 B． C．10 D．13 5． 直角三角形的三边为 且 都为正整数，则三角形其中一边长可能为 （　　）. A．61 B．71 C．81 D．91 6．若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是（　　） A．13 B．13或 C． D．12或13 7．直角三角形两条直角边的平方和等于　 　，如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，则　 　. 8．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点，则AD的长是　 　. 9．已知直角三角形的两边长分别为5和12，则斜边上的中线长为　 　. 10．如图，在中，.求： （1）BC边上的中线AD的长 （2）求△ABC的面积. 二、能力提升： 11．如图，在中，，点在AB边上，连结CD，点是CD的中点，连结AE．若，则AE的长是（　　） A．2 B． C． D． 12．如图，在中，，为的中点，于点，若，，则为（　　）． A． B． C． D． 13．如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 14．如图，在△ABC中，CB=90°，∠ACB=60°，点D，E分别为AB，AC上的动点，若BC=1，则CD+DE的最小值是　 　. 15．如图，在 中， 于点 于点 ，并且点 是 的中点，的周长是 ，则 的长是　 　。 16．如图，AD是△ABC的高线，E为AB上一点，连结CE，交AD于点F，BE=CE. （1）求证：△AEF是等腰三角形； （2）若点F是CE的中点，CE=26，CD=12，求AF的长、 17．如图，在 中， 是 边上的高线， 是 边上的中线， ，点 是 中点． （1）求证： ； （2）若 ，求 的长． 三、拓展创新： 18．勾股定理是证明方法最多的定理之一，小明便以此建立项目，加以探究. 【问题提出】小明在做作业本时发现利用右图可以证明勾股定理.思路为利用面积法，将梯形的面积用不同的方式表示列出等式.由此猜想如果将Rt△DAF向左平移，能否证明勾股定理？ 【方案设计】考虑到探究的难度，他首先设计了两种特殊的位置，开展研究： 方案 方案一 方案二 图形 备注 Rt△BCA≌Rt△EAD Rt△BCA≌Rt△CFD BC=a，AC=b，AB=c 【探究验证】首先验证方案一为方案二提供经验基础. 方式 验证过程 （分别用含有a，b，c的代数式完成填空） 图形 方式① S四边形ADBE=S△ABE +S△ABD S△ABE = ▲ ．（以AE为底，高为BC） S△ABD = ▲ ．（以AD为底，则AD边上的高与AC等长） 连结BE，BD，不难得出AB⊥ED 方式② S四边形ADBE =S△EBD +S△EAD ▲ 综上所述利用方式①，②列出等式即可证明勾股定理. 【方法应用】 根据上述经验，请你继续完成方案二后续的证明过程. 提示：如图，连结BD，AD，不难得出CD⊥BA，利用两种方法表示四边形BCAD的面积. 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】斜边的平方； 8．【答案】4 9．【答案】6或 10．【答案】（1）解：在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC， ∴BD＝CDBC30＝15， 在Rt△ABD中，AB＝17，AD2＋BD2＝AB2， ∴AD （2）解：∵BC＝30，AD＝8， ∴△ABC的面积120 11．【答案】B 12．【答案】C 13．【答案】C 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】（1）证明：∵BE=CE， ∴∠B=∠BCE ∵AD是△ABC 的高线， ∴∠ADB=∠ADC=90° ∴∠B+∠BAD=90°，∠BCE+∠CFD=90° ∴∠BAD=∠CFD， ∵∠AFE=∠CFD， ∴∠BAD=∠AFE ∴△AEF 是等腰三角形. （2）解：过点E作 EG⊥AF于点G， ∴∠EGF=90°， ∵点F是CE的中点，CE=26， ∴CF=EF=13， ∵∠ADC=90°，CD=12， ∴， ∵∠EFG=∠CFD， ∠EGF=∠CDF，EF=CF， ∴△EFG≌△CFD(AAS)， ∴FG=DF=5， ∵△AEF是等腰三角形，EG⊥AF， ∴AF=2FG=2×5=10 17．【答案】（1）证明：连结DE，如图， ∵AD是BC边上的高线， ∴∠ADB=∠ADC =90°， ∵CE是AB边上的中线， ∴E是AB边上的中点， ∴AB =2DE， ∵AB=2CD， ∴CD= DE， ∵点F是CE中点， ∴DF⊥EC， ∵∠DFC =90°， ∴∠FDC+∠DCF=90°， ∵∠ADC =90°， ∴∠FDC+∠ADF =90°， ∴∠DCE=∠ADF （2）解：∵∠BAC =90°， 在直角三角形ACB中，由勾股定理得： EC===10， ∵点F是CE中点， ∴CF=5， ∵∠ADB=90°，E是AB边上的中点， ∴DE =AE =6， ∴CD=DE =6， ∵∠DFC =90°， 在直角三角形CDF中，由勾股定理得： DF=== 18．【答案】解： 【方法应用】 方式① S四边形ADBC=S△BDC +S△ACD 方式② S四边形ADBC=S△ABD +S△ACB 1 学科网（北京）股份有限公司 $$