01不等式及其性质.一元一次不等式寒假预习讲义.2025-2026学年北师大版数学八年级下学期

01不等式及其性质、一元一次不等式寒假预习讲义（北师大版） (5大知识点+12大题型解读+36巩固提升) 01预习目标 1.理解不等式的概念,能识别不等式，并能用不等式表示简单的不等关系。 2.掌握不等式的基本性质,探究不等式的基本性质，特别要理解不等式两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号方向要改变的道理，能运用不等式的基本性质对不等式进行简单的变形。 3.理解不等式的解与解集的意义,能区分“解”与“解集”的概念，初步了解求不等式解集的过程。 4. 理解一元一次不等式的概念,归纳出一元一次不等式的定义，能准确识别一元一次不等式。 5.掌握一元一次不等式的解法,掌握其一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），并特别注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变这一关键点。 6会在数轴上表示不等式的解集,能正确地在数轴上表示出一元一次不等式的解集，体会数形结合的思想。 7.能列一元一次不等式解决简单的实际问题, 初步学会从实际问题中找出不等关系，设未知数，列出一元一次不等式并求解，从而解决简单的实际问题，体会不等式是解决实际问题的有效数学模型。 02知识点梳理 知识点1不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点提示 （1）不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． （2）五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 （3）有些不等式中不含未知数，如38＜9，-2＞-3；有些不等式中含有未知数，如2x＞7中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点2不等式的解及解集 · 不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． · 不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点提示 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围． 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立 ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 · 不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． （2）用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 要点提示 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．（1）确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；（2）确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 知识点3不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）． 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或）． 知识点4一元一次不等式的概念 （1） 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2） 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 知识点5一元一次不等式的解法 1． 解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2．一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化为（或）的形式（其中）；（5）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集． 3．不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 要点提示 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1） 边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 在数轴上表示不等式的解集 03题型解读归纳 题型解读1不等式的定义 例1．下列式子中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 变式1．x减去y不大于，用不等式表示为 ． 变式2．用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 题型解读2不等式的解集 例2．关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式1．已知的三条边长均为正整数，，，则的长度可能是 ．（只填写一种情况即可） 变式2．对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 题型解读3不等式的性质 例3．若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．已知，，化简 ． 变式2．已知三个实数，，满足，． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 题型解读4一元一次不等式的定义 例4．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 变式1．已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 变式2．指出下列不等式中的一元一次不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型解读5求一元一次不等式的解集 例5．关于x的不等式的解集为，则b的值是（    ） A． B． C．6 D．4 变式1．关于的不等式的解集为，请写出一组满足条件的实数，的值： ， ． 变式2．解不等式． 题型解读6在数轴上表示不等式的解集 例6．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，该数轴表示的不等式的解集是 ． 变式2．解不等式，将解集在数轴上表示出来 (1) (2) 题型解读7求一元一次不等式的整数解 例7．满足不等式的最小整数解是（    ） A． B．7 C． D．4 变式1．写出不等式的一个正整数解 ． 变式2．求不等式的正整数解． 题型解读8求一元一次不等式解的最值 例8．若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 变式1．已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 变式2．已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 题型解读9解|X|≥a型的不等式 例9．若，则x与3的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式1．已知不等式的解是，则a＝ ． 变式2．解不等式： 题型解读10列一元一次不等式 例10．下面列出的不等式中，正确的是（    ） A．a不是负数，可表示成 B．x与2的和是非负数，可表示成 C．m与4的差不多于3，可表示成 D．x不大于3，可表示成 变式1．根据“的倍与的差不大于”，可列不等式为 ． 变式2．小明家距新华书店．他于星期日上午从家里出发，骑车前往书店购书，先以的速度行驶了后，又以的速度继续行驶，结果在之前赶到了书店．请列出相应的不等式． 题型解读11用一元一次不等式解决实际问题 例11．某商品进价加价后出售，最后降价处理库存．要使后续销售不亏本，售价降价不能高于（   ） A． B． C． D． 变式1．某超市开展促销活动，一次性购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔 支． 变式2．为促进冰雪经济，平几山滑雪景区需要购买型和型两种型号的保暖帐篷．若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需5200元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买型和型两种型号的帐篷共顶，为使购买帐篷的总费用不超过元，则最少购买种型号帐篷多少顶？ 题型解读12用一元一次不等式解决几何问题 例12．如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 变式1．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ． 变式2．如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 04强化提升 一、单选题 1．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 2．下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法不一定成立的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 5．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（    ） A． B． C． D． 7．不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 9．有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（   ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④ 10．用适当的符号表示“两数的平方和不小于这两数积的2倍”，下列表示正确的是（　　） A． B． C． D． 11．某种品牌自行车的进价为400元，标价600元出售，五一期间商店准备打折销售，但要保持利润率不少于，则最多可以按几折销售？（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 12．数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 二、填空题 13．用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 14．若，则 ． 15．若，则 0．（选填“”、“”或“”）． 16．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 17．当x 时，分式有意义． 18．关于的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数是 ． 19．已知关于x的方程的解是不等式的负整数解，则a的值为 ． 20．如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是 ． 21．已知（是整数），则的值是 ． 22．用不等式表示“的3倍减去1是负数”： ． 23．小明从家坐公共汽车上班，每天8:00准时上车，全程6400 m，8:20到公司．某天小明照常出发，但遇上交通堵塞，从8:14到8:22，公共汽车都未能前行．小明决定8:22下车骑共享单车去公司，小明骑车的平均速度至少为 m/min，才能保证最晚在8:30到公司． 24．若关于x的不等式（k，b为常数，）的解集是．若在一次函数的图象上，其中，请写出一个可能符合条件的点M ． 三、解答题 25．用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． 26．求证：当时，一定比小． 27．当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 28．已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 29．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1) (2) 30．（1）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． （2）解不等式． 31．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 32．已知．请确定的最大值． 33．已知对任意都成立，求的取值范围． 34．某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 0.48 0.53 0.78 七月份是用电高峰期，李叔叔计划七月份电费支出不超过200元，请列出关于x的不等式． 35．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某商家购进甲、乙两款玩偶进行销售，甲款玩偶的进货单价为70元，乙款玩偶的进货单价为40元，该商家购进甲、乙两款玩偶共100件，若每件甲款玩偶的售价为110元，每件乙款玩偶的售价为70元，且销售完这100件玩偶所获得的利润不低于3700元，则商家最少需购进甲款玩偶多少件？ 36．规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中称为“倍角”． (1)判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”． (2)已知为“2倍角三角形”，为“倍角”． ①若，求的度数． ②若为锐角三角形，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 01不等式及其性质、一元一次不等式寒假预习讲义（北师大版） （5大知识点+12大题型解读+36巩固提升） 01预习目标 1.理解不等式的概念,能识别不等式，并能用不等式表示简单的不等关系。 2.掌握不等式的基本性质,探究不等式的基本性质，特别要理解不等式两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号方向要改变的道理，能运用不等式的基本性质对不等式进行简单的变形。 3.理解不等式的解与解集的意义,能区分“解”与“解集”的概念，初步了解求不等式解集的过程。 4. 理解一元一次不等式的概念,归纳出一元一次不等式的定义，能准确识别一元一次不等式。 5.掌握一元一次不等式的解法,掌握其一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），并特别注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变这一关键点。 6会在数轴上表示不等式的解集,能正确地在数轴上表示出一元一次不等式的解集，体会数形结合的思想。 7.能列一元一次不等式解决简单的实际问题, 初步学会从实际问题中找出不等关系，设未知数，列出一元一次不等式并求解，从而解决简单的实际问题，体会不等式是解决实际问题的有效数学模型。 02知识点梳理 知识点1不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点提示 （1）不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． （2）五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 （3）有些不等式中不含未知数，如38＜9，-2＞-3；有些不等式中含有未知数，如2x＞7中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点2不等式的解及解集 · 不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． · 不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点提示 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围． 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立 ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 · 不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． （2）用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 要点提示 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．（1）确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；（2）确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 知识点3不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）． 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或）． 知识点4一元一次不等式的概念 （1） 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2） 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 知识点5一元一次不等式的解法 1． 解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2．一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化为（或）的形式（其中）；（5）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集． 3．不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 要点提示 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1） 边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 在数轴上表示不等式的解集 03题型解读归纳 题型解读1不等式的定义 例1．下列式子中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式定义，熟记不等式定义是解决问题的关键．根据不等式的定义，含有不等号（如、、、、）的式子是不等式，否则不是． 【详解】解：∵不等式需用不等号连接，而D选项“”使用等号，是等式，∴D不是不等式． 故选：D． 变式1．x减去y不大于，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，关键是要抓住题目中的关键词，首先表示x减去y为，再表示“不大于”即为． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 变式2．用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）长方形的面积为，正方形的面积为，根据“长方形的面积小于正方形的面积”即可列出不等式； （2）客车到站乘客上下车后，车上有乘客人，“车内仍有空余座位”意味着车上乘客数少于40人，即可列出不等式． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2） 解：根据题意，得． 题型解读2不等式的解集 例2．关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质．掌握不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变是解题关键． 根据不等式解集的形式，确定系数符号，进而求出参数范围． 【详解】解：原不等式为解集为， ∴且， ∴． 故选：A． 变式1．已知的三条边长均为正整数，，，则的长度可能是 ．（只填写一种情况即可） 【答案】2（或3或4）． 【分析】本题考查三角形的三边关系，不等式，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的三边关系得出不等式求解即可． 【详解】解：由三角形的三边关系，得 ， 即， ∵的三条边长均为正整数， ∴． 故答案为：2（或3或4）． 变式2．对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 【答案】不正确，理由见解析 【分析】本题考查了不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．据此判断即可． 【详解】解：这句话说的不正确，只是该不等式解集的一部分．如：是不等式的解，但未包含在内，所以这句话不正确． 题型解读3不等式的性质 例3．若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质：不等式两边加或减同一个数，不等号方向不变；乘或除同一个正数，不等号方向不变；乘或除同一个负数，不等号方向改变，进行分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴与的大小关系不确定，故该选项不符合题意； B、∵，∴，∴，故该选项符合题意； C、∵，∴，故该选项不符合题意； D、∵，∴，∴，故该选项不符合题意； 故选：B 变式1．已知，，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查含字母的绝对值的化简，先分别判断绝对值里面的代数式的正负，然后去绝对值，最后合并同类项即可 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴， ∵，， ∴，得 ， ∴， ∴ ， ∴原式 ． 故答案为：． 变式2．已知三个实数，，满足，． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查不等式的基本性质： （1）根据和即可求得答案； （2）根据，可变形得到，据此即可求得答案． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 题型解读4一元一次不等式的定义 例4．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的 “未知数次数为 1 且系数不为 0” 这两个条件列方程与不等式求解． 根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，且系数不为零得到关于的方程求解即可． 【详解】∵ 不等式是关于 x 的一元一次不等式， ∴ x 的指数 ，且系数 ， 解 ，得 ，即 或 ， 又 ∵ ，即 ， ∴． 故选A． 变式1．已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的概念；根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，因此令指数表达式 等于 1，求解 即可． 【详解】解：∵ 是关于 的一元一次不等式， ∴ 的次数必须为 1，即 ， 解得 ， ∴ ． 故答案为2． 变式2．指出下列不等式中的一元一次不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟知一元一次不等式的定义是解题的关键． （1）根据一元一次不等式的定义进行判断即可； （2）根据一元一次不等式的定义进行判断即可； （3）根据一元一次不等式的定义进行判断即可； （4）根据一元一次不等式的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：因为该不等式中含有， 所以不是一元一次不等式； （2）解：因为该不等式中只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1， 所以是一元一次不等式； （3）解：因为该不等式中含有x，y两种未知数， 所以不是一元一次不等式； （4）解：因为该不等式中只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1， 所以是一元一次不等式． 题型解读5求一元一次不等式的解集 例5．关于x的不等式的解集为，则b的值是（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集．解题的关键在于正确的解不等式．解一元一次不等式得，由关于x的不等式的解集为，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴解不等式得，即， ∴， 解得． 故选：A． 变式1．关于的不等式的解集为，请写出一组满足条件的实数，的值： ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，解题的关键在于对知识的熟练掌握． 根据已知条件判断出，，，即可得解； 【详解】解：关于的不等式的解集为， ， 令，则， ， ， ； 故答案是：；． 变式2．解不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤． 不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 题型解读6在数轴上表示不等式的解集 例6．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的数轴表示，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式在数轴上表示出来，再比较得到答案． 【详解】将不等式表示在数轴上，如图所示： 故选：D． 变式1．如图，该数轴表示的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握“实心点对应不等号含等号、向左表示小于或小于等于”是解题的关键．根据数轴上点的虚实和方向，确定不等式的解集即可． 【详解】解：数轴上表示的点是1（实心点），方向向左， 故解集为：， 故答案为： 变式2．解不等式，将解集在数轴上表示出来 (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 先求出不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解： 将解集在数轴上表示如下： （2）解： 将解集在数轴上表示如下： 题型解读7求一元一次不等式的整数解 例7．满足不等式的最小整数解是（    ） A． B．7 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式的整数解，正确求出不等式的解集是解答的关键． 通过解不等式得到x的取值范围，再找出满足条件的最小整数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最小整数解为7． 故选：B． 变式1．写出不等式的一个正整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及正整数解的确定，解题关键是先解不等式求出解集，再从解集中找出正整数解． 先解不等式 ，得到解集 ，再从中选取一个正整数解即可． 【详解】 因此，不等式的解集为 ． 满足条件的正整数解有 、、，任选其一即可． 故答案为：（故答案不唯一）． 变式2．求不等式的正整数解． 【答案】1，2，3，4 【分析】考查知识点：一元一次不等式的解法、正整数解的确定．解题关键：正确处理不等式两边除以负数时的不等号方向，以及准确筛选正整数解．易错点：除以负数时忘记改变不等号方向，或遗漏正整数的范围限制． 先通过“移项”将常数项移到不等号右侧，计算后得到；再将系数化为1（注意除以负数，不等号变向），得到；最后从正整数中筛选出小于4.3的数即可． 【详解】 满足的正整数为 1, 2, 3, 4． 该不等式的正整数解是 1, 2, 3, 4． 题型解读8求一元一次不等式解的最值 例8．若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 变式1．已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解．根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】有最大值，4 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据题意，可以列出，然后解方程，最后根据x是整数，而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 所以有最大值，是4． 题型解读9解|X|≥a型的不等式 例9．若，则x与3的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，准确分析判断是解题的关键． 根据绝对值的非负性，等式成立需，即，且代入验证成立． 【详解】， ， ，即， 故选． 变式1．已知不等式的解是，则a＝ ． 【答案】 【分析】首先根据题意表示出不等式的解，然后根据列方程求解即可． 【详解】∵ ∴，即， ∴ ∴或 ∴或 ∵不等式的解是， ∴应舍去， ∴，解得， 经检验，是方程的解． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式含参数问题，解题的关键是根据题意表示出一元一次不等式的解． 变式2．解不等式： 【答案】或 【分析】本题主要考查了解带绝对值的不等式，分，和三种情况，分别去绝对值，再解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴，即，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上所述，或． 题型解读10列一元一次不等式 例10．下面列出的不等式中，正确的是（    ） A．a不是负数，可表示成 B．x与2的和是非负数，可表示成 C．m与4的差不多于3，可表示成 D．x不大于3，可表示成 【答案】C 【分析】本题主要考查了列不等式，不是负数，则该数大于或等于0，非负数即为大于或等于0的数，不多于，即小于或等于，不大于，即小于或等于，据此列出对应选项中的不等式即可得到答案． 【详解】解：A、a不是负数，可表示成，原式错误，不符合题意； B、x与2的和是非负数，可表示成，原式错误，不符合题意； C、m与4的差不多于3，可表示成，原式正确，符合题意； D、x不大于3，可表示成，原式错误，不符合题意； 故选：C． 变式1．根据“的倍与的差不大于”，可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式，熟练掌握“用数学符号表示文字描述的数量关系”是解题的关键． 先明确“x的5倍” “与3的差”的数学表达式，再根据“不大于”对应的不等号，列出不等式． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 变式2．小明家距新华书店．他于星期日上午从家里出发，骑车前往书店购书，先以的速度行驶了后，又以的速度继续行驶，结果在之前赶到了书店．请列出相应的不等式． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据实际情况，抓住关键词语，弄清不等关系是解题的关键； 由题意可知，到之间为半个小时，即，所以根据时间小于半小时来写出不等式即可． 【详解】解：因为小明在之前赶到了书店， 所以小明到书店的时间为小于半个小时，即小于， 由题意得． 题型解读11用一元一次不等式解决实际问题 例11．某商品进价加价后出售，最后降价处理库存．要使后续销售不亏本，售价降价不能高于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是理解进价、售价和降价率的关系．设进价为，则初始售价为，设降价率为，根据不亏本条件列不等式求解． 【详解】解：设进价为，则初始售价为， 设降价率为，则降价后售价为， 由题意得：， 两边除以：， ， ， ， ， 即售价降价不能高于， 故选：A． 变式1．某超市开展促销活动，一次性购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔 支． 【答案】10 【分析】设需要购买x支钢笔，根据总价=单价×数量，结合总价超过88元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 本题主要考查了一元一次不等式的应用，准确列不等式计算是解题的关键． 【详解】解：设购买钢笔x支，根据题意，得 由题意得， 解得． ∵x为整数， ∴x的最小值为10， ∴至少买10支钢笔． 故答案为：10． 变式2．为促进冰雪经济，平几山滑雪景区需要购买型和型两种型号的保暖帐篷．若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需5200元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买型和型两种型号的帐篷共顶，为使购买帐篷的总费用不超过元，则最少购买种型号帐篷多少顶？ 【答案】(1)每顶型帐篷元，每顶型帐篷元 (2)最少购买型帐篷顶 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出数量关系． （1）设型帐篷每顶元，型帐篷每顶元，根据题意列方程组即可求解； （2）设购买型帐篷顶， 则购买型帐篷为顶，根据题意列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设型帐篷每顶元，型帐篷每顶元， 根据题意可得， 解得， 答：每顶型帐篷元，每顶型帐篷元； （2）设购买型帐篷顶， 则购买型帐篷为顶， 根据题意可得， 解得， 答：最少购买型帐篷顶． 题型解读12用一元一次不等式解决几何问题 例12．如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 变式1．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ． 【答案】 ① 9 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，10为最长边、10不为最长也不为最短边、10为最短边进行讨论即可求解． 本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 【详解】解：（1）①， 能组成“不均衡三角形”； ②， 不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当10为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， 故不合题意，舍去； ③当为最长边，10为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， ，可以构成三角形； 综上所述，x的整数值为9； 故答案为：9． 变式2．如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． （1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， m最小取． 04强化提升 一、单选题 1．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列不等式、非负数的概念（非负数即大于等于 0 的数）以及代数式的正确表示；解题的关键是准确拆解文字表述中的数量关系，先确定 “a 与 b 和的平方” 对应的代数式，再结合 “非负数” 的符号特征列出不等式． 先分析文字表述：“a 与 b 的和” 表示为，“和的平方” 即对整体平方，为；“非负数” 表示该式的值大于等于 0，即，由此组合得到对应的不等式，再与选项对比确定答案． 【详解】解：A、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为非负数”，并非 “a 与 b 和的平方”，此选项不符合题意； B、选项表示 “a 与 b 和的平方为非负数”，与文字表述完全一致，此选项符合题意； C、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为正数”，既不是 “和的平方” 也排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； D、选项表示 “a 与 b 的和的平方为正数”，虽为 “和的平方” 但排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； 故选：B． 2．下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键． 将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解. 【详解】A、当时，，成立，不符合题意； B、当时，，，不成立，符合题意； C、当时，，，成立，不符合题意； D、当时，，，成立，不符合题意； 故选：B． 3．下列说法不一定成立的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴（不等式两边除以同一个正数，不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； B、当时，，则， 当时，， ∴若，则（不等式两边乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 综上，此项不一定成立，符合题意； C、若，则（不等式两边减去同一个数（或式子），不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； D、若，则（不等式两边加上同一个数（或式子），不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； 故选：B． 4．下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，判断各选项即可． 【详解】解：A、，只含未知数x，次数为1，且有不等号“”，故是一元一次不等式； B、，含有两个未知数x和y，故不是一元一次不等式； C、，没有不等号，故不是一元一次不等式； D、，未知数x的最高次数为2，故不是一元一次不等式； 故选：A． 5．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤． 不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 故选：A． 6．若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解集，，向右画；，向左画；在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 根据不等式的正整数解只有，，对四个选项中数轴所表示的不等式的解集内的正整数解分别进行判定即可解决问题． 【详解】解：A、不等式的解集为，正整数解为：，，，…，不符合题意； B、不等式的解集为，正整数解为：，，，…，不符合题意； C、不等式的解集为，正整数解为：，不符合题意； D、不等式的解集为，正整数解为：，，符合题意； 故选：D． 7．不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 先求解不等式，再从解集中找出负整数解的个数． 【详解】解： 所以不等式的负整数解为，，，共个． 故选：C． 8．已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，将问题转化为解不等式是解题的关键． 由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和 约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ 。 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴ 的最大值为 ， 此时， 故最大值为， 故选：B． 9．有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（   ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了解绝对值不等式，根据题意得出x的取值范围是解题的关键．先求解绝对值不等式，得出x的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴能使不等式成立的为①；④5． 故选：C． 10．用适当的符号表示“两数的平方和不小于这两数积的2倍”，下列表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式的定义，代数式表示不等式，根据“平方和不小于积的2倍”即，“不小于”表示大于或等于，表示为，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得到，， 故选：B． 11．某种品牌自行车的进价为400元，标价600元出售，五一期间商店准备打折销售，但要保持利润率不少于，则最多可以按几折销售？（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式在实际销售问题中的应用，熟练掌握利润、进价、利润率以及折扣之间的关系是解决本题的关键． 先设出未知数，再根据利润率不少于，列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设可以按折销售， 根据题意得：， 解得：， 最多可以按7折销售． 故选：． 12．数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得，解一元一次不等式即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：∵数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧， ∴， 解得：， ∴x的值可以是， 故选：A． 二、填空题 13．用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列不等式，关键是根据题意正确找出不等关系． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】（1）解：的4倍与3的差是正数，即差大于0，因此不等式为． 故答案为：． （2）解：与的积小于7，即乘积小于7，因此不等式为． 故答案为：． （3）解：与的平方和大于10，即平方和大于10，因此不等式为． 故答案为：． 14．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是二次根式的意义，零指数幂，有理数的乘方，不等式组，代数式求值，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题关键． 根据二次根式的意义求出x、y的值，代入求值即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∴， 则， ∴． 故答案为：2． 15．若，则 0．（选填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，不等式两边同乘一个正数，不等号方向不变． 本题考查了不等式的基本性质，同时乘以一个正数转化为所求不等式是解题关键． 【详解】, 两边同乘3, 得, ． 故答案为：． 16．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的定义得到，即可求解． 本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得． 故答案为：． 17．当x 时，分式有意义． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握“分式有意义时分母不为0”是解题的关键． 根据分式有意义的条件，确定分母不为零的情况，进而求出x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 18．关于的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数是 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查不等式的求解．先求出不等式的解集，然后根据数轴得到不等式的解集，故可列式求解． 【详解】解：设“”表示的数为， 由题意得：， 解得， 由数轴得到不等式的解集为， 故， 解得． 则“”覆盖的数为1， 故答案为：1． 19．已知关于x的方程的解是不等式的负整数解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的负整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先解不等式得到解集，再找出负整数解，代入方程求解a． 【详解】解：解不等式 ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴负整数解为， 将代入方程， 得，即， 解得． 故答案为：． 20．如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过解不等式得到x的取值范围，并利用解的最大值建立方程求解m． 【详解】解：解不等式，得． 由于不等式的解的最大值是4， 因此， 解得：． 故答案为：20． 21．已知（是整数），则的值是 ． 【答案】或或或0或1或2或3 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，解不等式可得，再根据x是整数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x是整数， ∴x的值是或或或0或1或2或3， 故答案为：或或或0或1或2或3． 22．用不等式表示“的3倍减去1是负数”： ． 【答案】 【分析】本题考查列一元一次不等式，根据已知条件列出不等式是解题的关键． 根据题意列出不等式即可． 【详解】解“x的3倍”表示为，“减去1”表示为，因此表达式为；“是负数”表示该表达式小于0，故不等式为， 故答案为：． 23．小明从家坐公共汽车上班，每天8:00准时上车，全程6400 m，8:20到公司．某天小明照常出发，但遇上交通堵塞，从8:14到8:22，公共汽车都未能前行．小明决定8:22下车骑共享单车去公司，小明骑车的平均速度至少为 m/min，才能保证最晚在8:30到公司． 【答案】240 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用（行程问题），掌握根据实际问题中的不等关系列不等式求解是解题的关键． 设骑车的平均速度为，先计算公交车速度及堵塞前行驶的路程，得到剩余骑行路程；再确定骑车的最长可用时间，根据骑行路程≥剩余路程列不等式，求解不等式得到最小骑行速度． 【详解】解：设骑车的平均速度为 ∵公交车全程，计划20分钟到达， ∴公交车速度为；   ∵8：00 到 8：14 共行驶 14 分钟， ∴已行驶路程为，剩余路程为； ∵8：22到8：30共 8分钟，骑车时间≤8分钟， ∴骑行路程为； ∵要在8：30前到达，需满足骑行路程≥剩余路程， ∴， 解得：． 故答案为：． 24．若关于x的不等式（k，b为常数，）的解集是．若在一次函数的图象上，其中，请写出一个可能符合条件的点M ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次不等式解集的几何意义和一次函数图像上点的坐标特征，通过不等式确定，且，假如，则，得出一次函数解析式，再取，即可得出n的值． 【详解】解：，即， ∵关于x的不等式的解集是．不等号改变符号， ∴，且， 假如，则， 此时函数表达式为：， 取，则， 则， 故答案为：（答案不唯一） 三、解答题 25．用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）“x的2倍”表示为，“与3的和”表示再加上3，即，“小于15”意味着该表达式的值比15小，用不等号“”连接，即可列出不等式； （2）“y的一半”表示为，“与1的差”表示减去1，即，“是负数”表示该表达式小于0，即可列出不等式； （3）“与1的和”表示为，“不小于6”意味着该不等式大于或等于6，用不等号“”连接，即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． 26．求证：当时，一定比小． 【答案】见解析 【分析】对和进行作差与0进行比较，从而得出结论． 【详解】证明：由题意得， ， ， 当时，， ∴当时，一定比小． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，根据题意得出式子，在给定的取值范围内，用作差法比较大小是解题的关键． 27．当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 【答案】(1)，不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；，不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变 (2) 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的性质是解答的关键． （1）根据不等式的性质求解即可． （2）由得到，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变） ∴（不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变）． （2）解：∵且， ∴， 解得：． 28．已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， 解得：或，且 ． 29．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 按照解不等式的基本步骤解答即可． (2) 按照解不等式的基本步骤解答即可． 本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去括号，得 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）解：， 去分母，得： 去括号，得 移项，得 合并同类项， 两边同时除以，得， 数轴表示如下： 30．（1）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． （2）解不等式． 【答案】（1），图见解析；（2） 【分析】此题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集． （1）利用去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式，并把解集表示在数轴上即可； （2）利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可． 【详解】解：（1）， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，， 原不等式的解集在数轴上表示如图： ． （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 31．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【答案】（1），图见解析 （2），最小整数解为，图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示即可； （2）先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找出最小整数解即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： 则这个不等式的最小整数解为． 32．已知．请确定的最大值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先去括号，再移项合并同类项，可得到，即可求解． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， 即的最大值为． 33．已知对任意都成立，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值不等式，先求出，再由对任意都成立得，即可求解． 【详解】解：由题意得有解， ， ， 对任意都成立， ， 解得：， 故的取值范围． 34．某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 0.48 0.53 0.78 七月份是用电高峰期，李叔叔计划七月份电费支出不超过200元，请列出关于x的不等式． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，先判断出用电量是否超过400度，然后根据不等关系：七月份电费支出不超过200元，分和两种情况列不等式即可． 【详解】解： （元）． 因为，李叔叔家计划七月份的电费支出不超过200元， 所以用电量不超过400度， 根据题意，当时，得； 当时，得 综上，关于x的不等式为． 35．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某商家购进甲、乙两款玩偶进行销售，甲款玩偶的进货单价为70元，乙款玩偶的进货单价为40元，该商家购进甲、乙两款玩偶共100件，若每件甲款玩偶的售价为110元，每件乙款玩偶的售价为70元，且销售完这100件玩偶所获得的利润不低于3700元，则商家最少需购进甲款玩偶多少件？ 【答案】70 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据不等关系列不等式并求解是解题的关键．设购进甲款玩偶的数量为未知数，根据总利润=甲款利润+乙款利润，结合利润不低于3700元的条件，列不等式求解． 【详解】解：设商家购进甲款玩偶件，则购进乙款玩偶件．由题意可得 ， ， ， ， ， ， 答：商家最少需购进甲款玩偶件． 36．规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中称为“倍角”． (1)判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”． (2)已知为“2倍角三角形”，为“倍角”． ①若，求的度数． ②若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)等腰直角三角形是“2倍角三角形” (2)①的度数为；② 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰直角三角形的性质、一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理解新定义是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质并结合“2倍角三角形”的定义求解即可； （2）①根据“2倍角三角形”的定义分为两种情况：或，然后判断求解即可； ②设（为另一个内角），则第三个内角为，根据锐角三角形的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形的内角为、、， 则其中， ∴符合“2倍角三角形”的定义， ∴等腰直角三角形是“2倍角三角形”； （2）解：①∵， ∴， ∵是“倍角”，则或， 当时，设， 则 解得， ∴； 当时，则（舍去）， 综上所述，的度数为； ②设（为另一个内角），则第三个内角为． ∵是锐角三角形，三个内角均小于， ∴且且， ∴且且， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $