专题01三角形的证明寒假预习闯关必备讲义(知识点梳理+常考题型精讲精练)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题01三角形的证明寒假预习闯关必备讲义 1.掌握全等三角形的性质与判定定理，能准确区分有效判定方法与易错陷阱。 2.理解等腰（等边）三角形的性质与判定，熟练运用“三线合一”解决基础问题。 3.牢记直角三角形的核心性质、勾股定理及逆定理，明确直角三角形特有的全等判定方法。 4.初步认识线段垂直平分线、角平分线的性质与判定，建立几何证明的逻辑思维意识。 5.了解反证法的基本思路，学会规范书写简单的几何证明过程。 题型01 三角形内角和定理.........................................4 题型02 等腰三角形题型..........................................14 题型03 直角三角形题型..........................................30 题型04 线段的垂直平分线题型....................................39 题型05 角平分线题型............................................46 【（一）基础核心：全等三角形的性质与判定】 全等三角形是几何证明的核心工具，通过全等可实现边、角关系的转化，是后续特殊三角形证明的基础。 1. 全等三角形的性质 对应边相等、对应角相等；推论：全等三角形的周长、面积相等。 关键技巧：找对应边、对应角时，可通过公共边、公共角、对顶角，或全等符号标注的顺序确定（如△ABC≌△DEF，则AB对应DE，∠A对应∠D）。 2. 全等三角形的判定定理（重点） 无需证明所有边、角相等，满足以下一种方法即可，排除“SSA”陷阱： SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等； SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（注意：必须是夹角，非对边）； ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等； AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； HL（斜边、直角边）：仅适用于直角三角形，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 【（二）重点应用：等腰三角形与等边三角形】 等腰三角形是轴对称图形，其性质与判定是中考高频考点，核心突破“三线合一”的理解与应用。 1. 等腰三角形的性质 轴对称性：对称轴为顶角平分线所在直线； 核心性质： ①等边对等角（两底角相等）； ②三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据； 补充：等腰直角三角形的两个底角均为45°，底角必为锐角，顶角可为锐角、直角或钝角。 2. 等腰三角形的判定 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形； 定理法：等角对等边（有两个角相等的三角形，这两个角所对的边相等）。 3. 等边三角形（特殊等腰三角形） 性质： ①三边相等； ②三角均为60°； ③具备等腰三角形“三线合一”的所有性质，且每条边都满足该特征； ④面积公式：边长为a时，面积为a²。 判定： ①三边相等或三角相等的三角形； ②有一个角为60°的等腰三角形。 【(三)难点突破：直角三角形的性质与判定】 1. 直角三角形的性质 角的特征：两个锐角互余（若∠C=90°，则∠A+∠B=90°）； 边的特征：勾股定理（a²+b²=c²，a、b为直角边，c为斜边）； 特殊性质：①30°角所对的直角边等于斜边的一半；②斜边上的中线等于斜边的一半； 面积公式：S= ab=ch（c为斜边，h为斜边上的高）。 2. 直角三角形的判定 定义法：有一个角为90°的三角形； 角的判定：两个锐角互余的三角形； 边的判定：勾股定理逆定理（若a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形，c为斜边）； 中线判定：一边上的中线等于这条边一半的三角形。 【(四)拓展延伸：线段垂直平分线与角平分线】 1. 线段垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等； 判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 拓展：三角形三条边的垂直平分线交于一点（外心），外心到三个顶点的距离相等。 2. 角平分线 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上； 拓展：三角形三条角平分线交于一点（内心），内心到三条边的距离相等。 【（五）方法补充：反证法】 基本思路：先假设命题的结论不成立，再由此推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明原命题结论一定成立。适用于直接证明较困难的命题（如“在一个三角形中，两个角不相等，则所对的边也不相等”）。 易错点警示 1.误用“SSA”判定三角形全等，仅两边及其中一边的对边相等，不能确定两三角形全等； 2.“三线合一”仅适用于等腰（等边）三角形，普通三角形不成立，使用时需先明确三角形为等腰三角形； 3.等腰三角形问题未分类讨论：边未明确是腰或底、角未明确是顶角或底角时，需分情况分析，避免漏解； 4.勾股定理逆定理应用时，未先确定哪条边为斜边，导致判断错误； 5.直角三角形全等判定混淆：HL仅适用于直角三角形，普通三角形不能用。 【题型1.三角形内角和定理】 1.如图，直线，则 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵直线， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 2．在中，是高，是角平分线，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于180°是解题的关键． 根据三角形的内角和得出，再利用角平分线得出，利用三角形内角和解答即可． 【详解】解：∵是高，， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，，的延长线交于点．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理，根据全等三角形的对应角相等得到，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4．如图，在中，，分别是的高和角平分线．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的定义，根据三角形内角和定理可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，再根据三角形高的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 5．在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意； D、如图， ∵，∴，，∵，∴，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 6．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于不相邻的两个内角和是解题的关键． 先求出的度数，再利用三角形外角的性质可得． 【详解】解：由题意可知，， ． 故选：．. 7．在中，为边上的高，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的高，三角形内角和，正确画出图形是解题的关键． 分高在内部和外部两种情况讨论；利用三角形内角和定理及高的性质计算． 【详解】解：当高在内部时，如图， ，在中，； 当高在外部时（点D在延长线上）， ，则， 在中，， 故答案为：或． 8．如图1已知线段，相交于点，连接，，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题： （1），，，之间的等量关系为 ； （2）如图2，和的平分线和相交于点，并与，分别交于点，．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，解题的关键是利用“8字型”图形中对顶角相等，结合三角形内角和推导角度关系． （1）利用三角形内角和定理，结合对顶角相等，推导、、、的等量关系； （2）设角平分线分成的角为相等的两部分，结合“8字型”角度关系，联立方程求解 【详解】（1）解：在和中， ∵ （对顶角相等），， ， ∴ ， 故答案为：． （2）解：设，， 由（1）得：， 两式相加得：，代入，，得， 解得， 故答案为：． 9．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找规律，你发现的规律是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及外角的性质，翻折变换，解题的关键是得出折叠前后不变的角．根据折叠的性质可得，再由三角形内角和定理以及外角的性质，即可求解． 【详解】解：结论：，理由如下： 如图，补全折叠前的图形， ∵是沿折叠得到， ∴， 又∵，， ∴， ∴． ∴； 故选B． 10．如图，在中，是边上的高，垂足为D点，点P在边上，连接，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）根据题意可知，结合，得出，根据内错角相等，两直线平行得出结论； （2）利用三角形内角和求出的度数，再利用角平分线定义得到，利用两直线平行同旁内角互补即可得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： 是边上的高线， ， ， 又， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 11．折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点B，C分别落在点，的位置，在上，再沿折叠，点落在点位置，点在上，若，则 °． 【答案】 【分析】设，，由折叠的性质可得和，进而证得，根据和可得和，进而得到，在中，根据三角形的内角和为，列出方程，解出、的值即可． 【详解】解：设，， 由折叠得：、， , ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质、平行线的性质、矩形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质和角与角之间的关系是解题的关键． 12．如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得即可求得结果； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，整理可得结论； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理即可得到答案． 【详解】（1）解：沿直线折叠，且， 点落在上，如图（1）， ∴， ； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ， 又， ； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ∴ ， ． 【题型2.等腰三角形题型】 13．若等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是注意分类讨论． 等腰三角形的一个内角可能为顶角或底角，然后分类讨论，利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角为， ∴若为顶角，则底角； 若为底角，则另一个底角也为， ∴ 底角为或， 故选：B． 14．在中，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握等角对等边； 根据，可得，即可解答． 【详解】∵在中，， ∴（等角对等边）． ∵， ∴． 故选：B． 15．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：对于A、， 则是等腰三角形，故本选项不符合题意； 对于B：由得， 则不是等腰三角形，故本选项符合题意． 对于C：由，得， 则， 则， 故是等腰三角形，故本选项不符合题意； 对于D：由得，则， 则是等腰三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 16．在中，，，若，则的长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一性质是解决问题的关键．根据等腰三角形三线合一的性质即可得到，进而可得的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：A． 17．用反证法证明命题“已知，，则．”的第一步应先假设 ． 【答案】 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键． 反证法的步骤先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：原命题的结论是，其反面为，因此第一步应先假设． 故答案为． 18．填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则， ； ③假设不成立，所以一个三角形中 含有两个直角．（填“能”或“不能”） 【答案】 这与三角形内角和定理矛盾 不能 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 反证法通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原命题成立．本题假设三角形有两个直角，导致内角和大于，与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立． 【详解】解：假设中和都是直角， 则，，． 又， 则， 这与三角形内角和定理矛盾， 故假设不成立， 所以一个三角形中不能含有两个直角． 故步骤②填“这与三角形内角和定理矛盾”，步骤③填“不能”． 故答案为：这与三角形内角和定理矛盾，不能． 19．如图，已知，点，分别对应点，，交于点，，若，，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定，由全等三角形的性质推出，，得到，因此，推出，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 20．如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据即可证明； （2）由全等三角形得到，再由等角对等边即可证明． 【详解】（1）证明： ， ， 即 在和中， （2）证明：由（1）可知，≌， ， ， 是等腰三角形． 21．如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有 个． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；分类讨论是解决本题的关键． 根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得符合的点，即可得解． 【详解】解：要使为等腰三角形分三种情况讨论： ①当时，作线段的垂直平分线，与直线的交点为，此时有个； ②当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ③当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个， ， 故答案为：． 22．如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称的性质及线段最短问题，熟练掌握等边三角形的对称性与线段最短模型的应用是解题的关键． 利用等边三角形的对称性，将转化为与相关的线段，结合“两点之间线段最短”确定取最小值的位置，再通过等边三角形的性质推导的度数． 【详解】解：由题意可知，当点、、共线，且时，取得最小值， 过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 23．如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，当的长为时，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，得到，则，当、、三点共线时，有最小值等于的长，最后判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， ，， 平分， ， ． 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值等于的长， 又，，， ， 是等边三角形， ，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短和等边三角形的判定，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 24．如图，将边缘平行的纸片折叠后得到阴影部分及折痕．若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；过点作于点，证明是等边三角形，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 依题意， ∴，， ∴ ∵折叠 ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 25．如图，在中，，，点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，由题意可得，，作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，，从而可得，当、、三点共线且时，的值最小，即此时最小，证明、、三点共线，求出，再由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴为等边三角形， ∴，， 如图，作点关于的对称点，连接， ， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当、、三点共线且时，的值最小，即此时最小， ∵， ∴、、三点共线， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 26．如图，在直角三角形中，，，点D是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接，下列判断正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由是锐角为的直角三角板、等腰三角形的性质及角的和差，即可得出，从而得到，由全等的性质判断其它三个选项是否正确即可． 本题考查的是全等三角形的性质和判定，等边对等角；熟练运用全等三角形的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：，点D是的中点， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中，， ， 故①正确； （全等三角形的对应边相等）， 故②正确； （全等三角形的对应角相等）， ， ， 故③正确； ， ， ，， ， ， 故④正确． 综上分析，正确的有4个． 故选：D． 27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点，点C在x轴正半轴上，且． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，在直线上取一点D，且点D在x轴上方，连接，若以A，C，D为顶点的三角形的面积是面积的2倍，求出D点的坐标； (3)在（2）的条件下，在线段，上分别取M，N，且使得线段轴，在x轴上取一点P，连接，，使得为等腰直角三角形，请直接写出P点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组、的值．也考查了一次函数的性质，解题关键是分情况进行讨论． （1）利用待定系数法求直线的解析式； （2）过点作轴的垂线交轴于点，根据三角形面积公式得到到的距离等于点到的距离的2倍，从而得到点坐标． （3）先求出直线的表达式，再分三种情况、结合一次函数的性质与等腰直角三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入， 得， 解得， 直线的表达式． （2）令，则， ， ，且点在轴正半轴上， ， ， ， 设点的坐标为， 如图①，过点作轴的垂线交轴于点， 则， ， 即， 解得：， 点的坐标为． （3）由在、在，且轴， 设直线的表达式为， 将点、代入， 得， 解得， 直线的表达式． 设，， ∵轴，且N在上， ∴将代入，得， 解得， ∴点N的坐标是， ∴ ①如图，当点M为直角顶点时，且， ∴， 解得：， ∴点P的坐标是； ②当点N为直角顶点时，如图，且， ∴， 解得：，， ∴点P的坐标是； ③当点N为直角顶点时，如图，且， 作于点Q，则为的中点，且， ∴， 解得：， ∴点P的横坐标为， 点坐标为：； 综上，点P的坐标是或或． 28．如图，在等边△中，射线、分别交线段于点、，，作于点，分别交、于点、． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，再求得，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质得，，再证明，然后由全等三角形的性质即可得到结论； （3）先证明是等腰三角形，得，再证明，进而证明，然后证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：为等边三角形， ，， 由（1）可知，， 在与中， ， ， ； （3）解：如图，取的中点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ，，， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 【题型3.直角三角形题型】 29．在中，，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余． 根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：D． 30．命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题主要考查了命题之间的关系，解决问题的关键是掌握原命题与逆命题的关系； 原命题的逆命题是“如果两个角互余，那么这两个角的和等于90°”，根据互余角的定义，该逆命题成立． 【详解】解：命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是：“如果两个角互余，那么这两个角的和等于”，逆命题是真命题． 故答案为：真． 31．定理“等角的补角相等” (填“有”或“没有”)逆定理． 【答案】有 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；定理“等角的补角相等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”．根据等式的性质即可得出其逆命题成立，即可求解． 【详解】解：定理“等角的补角相等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”． 设两个角分别为和，它们的补角分别为和． 若补角相等，即，根据等式的性质，可得， 因此逆命题成立．故有逆定理． 故答案为：有 32．定理“等腰直角三角形的两个锐角都是”的逆定理是(   ) A．两个锐角都是的三角形是等腰直角三角形 B．等腰直角三角形的角都是 C．两个角不是的三角形不是等腰直角三角形 D．有一个角是的三角形是等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了逆定理．原定理的条件是“等腰直角三角形”，结论是“两个锐角都是”，逆定理需将条件和结论互换．逆定理是原命题的条件与结论互换，需严格对应． 【详解】解：∵ 原定理：若三角形是等腰直角三角形，则两个锐角都是． ∴ 逆定理：若两个锐角都是，则三角形是等腰直角三角形． 故选：A． 33．下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：选项A： ∵，且， ∴ ， ∴， ∴是直角三角形， 故选项A不符合题意； 选项B： ∵，，， ∴中最大的角为， ∴不是直角三角形， 故选项B符合题意； 选项C： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， 故选项C不符合题意； 选项D： ∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴是直角三角形， 故选项D不符合题意． 故选：B． 34．下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查逆定理的定义；判断每个定理的逆命题是否成立，若成立则有逆定理. 【详解】解：A、其逆命题为“相等的角是对顶角”，可举“等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故A不符合题意； B、其逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，可举“大小不一样的等边三角形所有的角都相等，但不是全等三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故B不符合题意； C、其逆命题为“面积相等的两个三角形是全等三角形”，可举“面积相同，但形状不一样的两个三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故C不符合题意； D、其逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，逆命题成立，有逆定理，故D符合题意. 故选：D. 35．若中，，则 ，是 三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定． 利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角度关系判断三角形的类型． 【详解】解：在中，． ，， 则． 是直角三角形． 故答案为：，直角． 36．如图，在，，是边上的高，，，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为5． 37．（1）证明：等腰三角形两底角的角平分线相等； （2）写出这个命题的逆命题：__________，它是一个______命题（填“真”或“假”）． 【答案】（1）见详解 （2）如果一个三角形的两个底角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形，真 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理证明两条角平分线相等； （2）写出原命题的逆命题并判断其真假即可． 【详解】（1）证明：设等腰三角形中，，为的角平分线，为的角平分线，如下图， ∵ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴ 在和中 ， ∴， ∴； （2）逆命题：如果一个三角形的两个底角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形 它是一个真命题． 故答案为：如果一个三角形的两个底角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形，真． 38．如图，已知和都是等腰直角三角形，，． (1)如图①所示，延长交于点F，求的度数； (2)将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)与相互垂直，，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， ， ， ； （2）解：与相互垂直，． 理由如下：， ， 即， 在和中，    ， ， ， ， ， ． 39．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数为______． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”，见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，一元一次方程与几何问题，理解“友爱角”的概念和计算方法，掌握三角形内角和定理，几何问题与一元一次方程的综合运用是解题的关键． （1）①根据材料提示的“友爱三角形”得到，再根据直角三角形两锐角互余可得，由此即可求解；②由是中边上的高，得到，根据三角形两锐角互余可得，，结合与互为“友爱角”即可求解； （2）根据三角形内角和定理，设，则，根据是“友爱三角形”，分当与互为“友爱角”时，，或；当与互为“友爱角”时，，或；当与互为“友爱角”时，，或，求解即可． 【详解】（1）解：①∵是“友爱三角形”，与互为“友爱角”（）， ∴， ∵， ∴是直角三角形，， ∴，解得，， ∴； ②、都是“友爱三角形”．理由如下： ∵是中边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，，， ∴， ∵与互为“友爱角”（）， ∴与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； 同理，与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； （2）解：在中，， 设， 则， ∵是“友爱三角形”， 当与互为“友爱角”时， ， 或， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当与互为“友爱角”时， 若， 则， 解得，， 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； 当与互为“友爱角”时， 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； ∴的度数为或． 【题型4.线段的垂直平分线题型】 40．如图，已知线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，在直线上任取一点，连接，．若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查尺规作线段垂直平分线，及线段垂直平分线的性质，掌握以上知识是关键． 根据作图得到是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等即可求解． 【详解】解：根据作图痕迹知，是线段的垂直平分线， ∴， 故选：D． 41．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点，，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质． 根据等腰三角形的判定与性质得出的长度，再结合线段的垂直平分线的性质得出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ∴， 故答案为：． 42．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等． 先根据垂直平分线的性质得出，再根据的周长是，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴的周长=． 故选：A． 43．如图，中，，是的垂直平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由已知条件得出是正确解答本题的关键． 由是的垂直平分线得，从而得到，结合与直角三角形两锐角互余，可以得到答案． 【详解】解∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 44．如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于、两点，连接； ②分别以点、为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接、； ③连接交于点． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．垂直平分线段 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图-作已知角的角平分线，线段垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图的步骤是解题的关键．利用基本作图可知，为的平分线，从而得出；由，得出垂直平分，从而得出；根据已知条件不能判断． 【详解】解：由作图步骤可得：是的角平分线，则， 根据作图可知：，， ∴点O、E在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， 没有条件能得出，故C错误，符合题意． 故选：C． 45．如图，在中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点不写作法，保留作图痕迹； (2)在的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形内角和、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 利用基本作图作的垂直平分线即可； 先根据线段垂直平分线的性质得到，由于，所以，再根据等腰三角形的性质得到，所以为等腰直角三角形，从而得到的度数． 【详解】（1）解：如图，点为所作； （2）解：的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 46．如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质．本题先求出，再得出后即可求解． 【详解】解：连接，的周长为， ， 垂直平分，， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：8 ． 47．如图，四边形的对角线相交于点E，，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，垂直平分线；等腰三角形； （1）根据角边角判定三角形全等即可； （2）连接，结合三角形全等的性质证出所在直线为的垂直平分线，再证出所在直线为的垂直平分线，即可证出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴． （2）证明：连接． ∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上．     ∵， ∴点E在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴．     ∵， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上．    ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴． 【题型5.角平分线题型】 48．上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等， ∴应建在三条角平分线的交点． 故选：C． 49．如图，，点D在内，于点E，于点F，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上． 根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度即可． 【详解】解：∵，，， ∴平分， 又∵， ∴， 故选：D． 50．如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 由角平分线的性质可得，，由题意知，计算求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得，． 故选：B． 51．如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于 ． 【答案】6 【分析】作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：作于， 平分 的面积为 故答案为：6． 52．作图题：（不写作法，但要保留痕迹） (1)作出下面图形关于直线l的轴对称图形（图1）． (2)在图2中找出点A，使它到M，N两点的距离相等，并且到OH，OF的距离相等． (3)在图3中找到一点M，使它到A、B两点的距离和最小． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，以及利用轴对称确定最短路径问题，熟记各性质是解题的关键． （1）找出四边形的四个顶点关于直线l的对称点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等分别作出的平分线和的垂直平分线，交点即为A； （3）根据轴对称确定最短路径问题，作出点B关于直线的对称点，连接与直线的交点即为点M． 【详解】（1）解：轴对称图形如下图所示： ； （2）点A如下图所示： ； （3）点M如下图所示： 53．如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点， ∴___________， ∴___________， 又∵___________， ∴． (1)请你补全小海同学的证明过程； (2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 【答案】(1)，， (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查角平分线性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分别表示出是解决问题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再由即可得到答案； （2）根据题意，将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，由角平分线的性质得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，且于点，于点， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：，，； （2）解：成立． 已知：如图，在中，平分一个外角，交所在直线于点． 求证：． 证明：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ∴， ∴， 又∵， ∴＝． 54．如图，在和中，，，，分别交，于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理； （1）证明即可得到； （2）过点分别作于点，于点，根据得到，，利用三角形的面积公式得到，再利用角平分线的判定定理即可证明平分． 【详解】（1）证明：， ， 即， ， ， ． （2）证明：过点分别作于点，于点， 由（1）得，， ，， ， ， 又，， 平分． 55．如图，等边中，D、E分别为、边上的点，，连接、交于点F，、的平分线交于边上的点G，与交于点H，连接．下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的说法是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 根据等边三角形的性质可推导，可判断①错误；证明，得到，再由角平分线的性质可判断②正确；证明得到，然后推导可得，，则，进而可判断③④正确；由题意得，，则，得到，可判断⑤错误，进而可得答案． 【详解】解：①∵是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， 故①错误； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图1，过点G作于T，于J，于K， ∵平分，平分， ∴， ∴平分， ∴， 故②正确； ③如图1， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③④正确； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故⑤错误， 答案为：②③④． 56．如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接．作的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为 ． 【答案】/69度 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，垂线段最短，直角三角形的性质，作于，于，于，连接，由角平分线的性质可得，进而由角平分线的判定得平分，即点在的平分线上，即得到，作于，则，即的最小值为，此时点与重合，再利用直角三角形两锐角互余解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作于，于，于，连接， ∵平分，，， ∴， 同理可得，， ∴， ∵，， ∴平分，即点在的平分线上， ∴， ∵， ∴， 如图，作于，则，即的最小值为，此时点与重合， ∵， ∴， ∴当线段取最小值时，的度数为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题01三角形的证明寒假预习闯关必备讲义 预习目标 1.掌握全等三角形的性质与判定定理，能准确区分有效判定方法与易错陷 阱。 2.理解等腰（等边）三角形的性质与判定，熟练运用“三线合一”解决基础 问题。 3.牢记直角三角形的核心性质、勾股定理及逆定理，明确直角三角形特有的 全等判定方法。 4.初步认识线段垂直平分线、角平分线的性质与判定，建立几何证明的逻辑 思维意识。 5.了解反证法的基本思路，学会规范书写简单的几何证明过程。 题型梳理 题型01三角形内角和定理， 4 题型02等腰三角形题型.· 14 题型03直角三角形题型...· .30 题型04线段的垂直平分线题型， .39 题型05角平分线题型. 。。。。。。。。。。。。。。。，。,。。。。。。。1。。。。。。。。。。。。。。。46 知识点梳理 【（一)基础核心：全等三角形的性质与判定】 全等三角形是几何证明的核心工具，通过全等可实现边、角关系的转化，是后 续特殊三角形证明的基础。 1.全等三角形的性质 对应边相等、对应角相等；推论：全等三角形的周长、面积相等。 关键技巧：找对应边、对应角时，可通过公共边、公共角、对顶角，或全等符 号标注的顺序确定（如△ABC≌△DEF,则AB对应DE,∠A对应∠D)。 2.全等三角形的判定定理（重点）】 试卷第1页，共3页 无需证明所有边、角相等，满足以下一种方法即可，排除“SSA”陷阱： SSS(边边边)：三边对应相等的两个三角形全等； SAS(边角边)：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（注意：必须是夹 角，非对边)； ASA(角边角)：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等： AAS(角角边)：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； L(斜边、直角边)：仅适用于直角三角形，斜边和一条直角边对应相等的两 个直角三角形全等。 【(二)重点应用：等腰三角形与等边三角形】 等腰三角形是轴对称图形，其性质与判定是中考高频考点，核心突破“三线合 一”的理解与应用。 1.等腰三角形的性质 轴对称性：对称轴为顶角平分线所在直线： 核心性质： ①等边对等角（两底角相等）： ②三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），是证明线 段相等、角相等、垂直关系的重要依据： 2.等腰三角形的判定 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形； 定理法：等角对等边（有两个角相等的三角形，这两个角所对的边相等）。 3.等边三角形（特殊等腰三角形） 性质： ①三边相等； ②三角均为60°： ③具备等腰三角形“三线合一”的所有性质，且每条边都满足该特征； ①面积公式：边长为a时，简积为是。 判定： ①三边相等或三角相等的三角形： ②有一个角为60°的等腰三角形。 试卷第2页，共3页 【(三)难点突破：直角三角形的性质与判定】 1.直角三角形的性质 角的特征：两个锐角互余（若∠C=90°，则∠A+∠B=90°）； 边的特征：勾股定理(a2+b2=c2,a、b为直角边，c为斜边)： 特殊性质：①30°角所对的直角边等于斜边的一半；②斜边上的中线等于斜边 的一半： 面积公式：S}山h(e为斜边，h为斜边上的高)· 2.直角三角形的判定 定义法：有一个角为90°的三角形： 角的判定：两个锐角互余的三角形： 边的判定：勾股定理逆定理（若a2+b2=c2,则该三角形为直角三角形，c为斜 边)； 中线判定：一边上的中线等于这条边一半的三角形。 【(四)拓展延伸：线段垂直平分线与角平分线】 1.线段垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等： 判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 拓展：三角形三条边的垂直平分线交于一点（外心），外心到三个顶点的距离 相等。 2角平分线 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等： 判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上： 拓展：三角形三条角平分线交于一点（内心），内心到三条边的距离相等。 【(五)方法补充：反证法】 基本思路：先假设命题的结论不成立，再由此推导出与定义、基本事实、已有 定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明原命题结论一定成立。适用于直接证 试卷第3页，共3页 明较困难的命题（如“在一个三角形中，两个角不相等，则所对的边也不相 等”)。 易错点警示 1.误用“SSA”判定三角形全等，仅两边及其中一边的对边相等，不能确定两 三角形全等： 2.“三线合一”仅适用于等腰（等边）三角形，普通三角形不成立，使用时 需先明确三角形为等腰三角形； 3.等腰三角形问题未分类讨论：边未明确是腰或底、角未明确是顶角或底角 时，需分情况分析，避免漏解； 4.勾股定理逆定理应用时，未先确定哪条边为斜边，导致判断错误； 5.直角三角形全等判定混淆：HL仅适用于直角三角形，普通三角形不能用。 题型精讲精练 【题型1.三角形内角和定理】 1.如图，直线a∥b,则∠A=度 31°B 709 △ABC ∠B=64°，∠DAE=10 2.在 中，A 是高，AE是角平分线， ,则C的度数是 DE A.36° B.42° C.44° D.54° 试卷第4页，共3页 3.如图，△ABC≌△ADE,BC的延长线交DE于点G.若∠AED=103°，∠B=37°，则 ∠1的度数为() B G E A.40° B.64° C.65° D.60 4.如图，在△ABC中，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线.若LB=30°，∠C=50° ,求∠DAE的度数. B ED 5.在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其 中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是() B D D-- D.E 6.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于() 45 60°入 试卷第5页，共3页 A.120° B.105° C.60° D.45 故选： 45。 2 60°入 B 7.在△ABC 中，1D为BC边上的高，若 ABD=2∠C,∠C=36° ，则<BAC 的度数为— 8.如图1已知线段AB,CD相交于点O,连接AD,CB,我们把这种图形称之为“8字 型”，试解答下列问题： D A M B B 图1 图2 (1)∠A,∠B,∠C,∠D之间的等量关系为一： (2)如图2，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并与CD,AB分别交于点 M,N.若∠D=40°，∠B=36°，则∠P的度数为一 9.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠I和 ∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找规律，你发现的规律是() B A.∠A=∠1-∠2 B.2∠A=∠1-∠2 C.3∠A=2∠1-∠2 D. 3∠A=2(∠1-∠2 I0.如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，垂足为D点，点P在边BC上，连接DP, ∠BDP+∠A=90° 试卷第6页，共3页 D D (I)请判断DP与AB的位置关系，并说明理由： (2)若BD平分∠ABC,，∠A=65°，求∠BPD的度数. 11.折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带ABCD,将纸带沿EF折叠 后，点B,C分别落在点B,C的位置，C在AD上，再沿AB折叠，点B落在点B”位 置，点B"在C"E上，若∠I=∠2，则∠1=_°. D E G B 12.如图，△1BC是一个三角形的纸片，点D,E分别是△16C过 D,E AB,AC 边 上的两点 图(1) 图(2) 图(3) (I)如图(1)，如果沿直线DE折叠，且DE⊥AC,若∠A=30°，求∠BDA= (2)如图(2)，如果沿直线DE折叠后A落在四边形BCED内部，探究∠BDA,∠CEA'和 ∠DAE的关系，并说明理由， (3)如果折成图(3)的形状，直接写出∠BDA',∠CEA'和∠A的关系. 【题型2.等腰三角形题型】 13.若等腰三角形的一个内角为50°，则它的底角为() A.65° B.65°或50° C.80°或50° D.80° △ABC ∠A=∠B=50°，BC=6AC 14.在 中， ,则的长为() A.3 B.6 C.8 D.10 试卷第7页，共3页 15.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是() A.a=4,b=4,c=5 B.a:b:c=2:3:4 C.∠B=50°，∠C=80° D.∠A:∠B:∠C=1:1:2 16.在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,若BD=4,则BC的长为() D A.8 B.7 C.6 D.5 17.用反证法证明命题“已知△ABC,AB=AC，则∠B<90°.”的第一步应先假设 18.填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在△ABC中，∠A和∠B都是直角： ②则∠A+∠B+∠C>180°，： ③假设不成立，所以一个三角形中一含有两个直角.（填“能”或“不能”） 19.如图，已知△ABCDBE,点A,C分别对应点D,E,BC交DE于点F, ∠ABD=∠E,若BE=I2,CF=5,则EF的长为() B A.6 B.7 C.8 D.9 AC,DE 20.如图，B,E,C,F是直线1上的四点， 相交于点G,AB=DFAC=DE BE=CF.求证： 试卷第8页，共3页 D G (I)△ABC≌△DFE: (2)△GEC是等腰三角形. 21.如图，直线“相交形成的夹角中，锐角为2°，交点为0，点在直线“上，直线 4,b 52° 上存在点B,使以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有一个 6 22.如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E 是AC边上一点.若AE=2,当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为() A.15° B.22.5 C.30° D.45° 23.如图，在△1BC中，AB=AC.∠BAC=10°BD BD 中， O平分<ABC P Q 分别为边 ,BC上一点，且BP=CO,当AB的长为4时，则AP+A0的最小值为-· 24.如图，将边缘平行的纸片折叠后得到阴影部分及折痕EF.若∠1=60°，EF=2cm, 则阴影部分的面积为一· 试卷第9页，共3页 D 25.如图，在△ABC中，AC=AB=8,∠A=60°，点E在边BC上，BE=5，,射线 CD⊥BC,垂足为点C,点P是射线CD上的一动点，点F在线段AB上，当EP+PF的值 最小时，则BF=一 D E 26.如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB,点D是AC的中点，将一块 锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连 接BE、EC,下列判断正确的有() △ABE≌△DCE BE=EC。BE⊥EC。SHEC=2SHEB ① ；② ；③ ④ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 27.如图，在平面直角坐标系中，一次函数’=+b(k≠0) 的图象经过两点 A-1,0),B(0,2 ,点C在x轴正半轴上，且OC=50A 试卷第10页，共3页